проект по геометрии

19
Проект по геометрии на тему: Проект по геометрии на тему: «Пифагоровы штаны во все «Пифагоровы штаны во все стороны равны» стороны равны»

Upload: lbhtrnjh-lbhtrnjh

Post on 17-Jun-2015

327 views

Category:

Education


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: проект по геометрии

Проект по геометрии на тему:Проект по геометрии на тему:

«Пифагоровы штаны во все «Пифагоровы штаны во все стороны равны»стороны равны»

Page 2: проект по геометрии

Девиз командыДевиз команды

В математике сильны пифагорцы всей страны

нет команды лучше нашей пифагорцы - это МЫ ! ! !

Page 3: проект по геометрии

Пифагор Самосский – древнегреческий

философ.Родился в 500 г. до н.э. Прожил 80 лет.

Page 4: проект по геометрии

Историческая справкаИсторическая справка

О жизни Пифагора известно немного, зато с его именем связано ряд легенд. Рассказывают, что он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран.

Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии, куда принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя.

Page 5: проект по геометрии

Историческая справкаИсторическая справка

Знаменитая «Пифагорейская школа», сыграла важную роль в научной и политической жизни древней Греции. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками.

Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. В школе существовал Декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору.

Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили тайной имя своего учителя, так что установить правду о Пифагоре невозможно.

Page 6: проект по геометрии

Цель проекта:Цель проекта:

• • Формулировка теоремыФормулировка теоремы

• • Доказательства теоремыДоказательства теоремы

• • Значение теоремы ПифагораЗначение теоремы Пифагора

Page 7: проект по геометрии

Формулировка теоремыФормулировка теоремы

Во времена Пифагора теорема звучала так:

« Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе « Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» квадратов, построенных на катетах»

ИЛИИЛИ

« Площадь квадрата, построенного на гипотенузе « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».квадратов, построенных на его катетах».

Page 8: проект по геометрии

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):"В прямоугольном У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен

квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

****** Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ),

сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный гласит:"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов,

образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

****** В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается

так :"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь так :"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам

его, примыкающим к прямому углу".его, примыкающим к прямому углу".

****** В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И.

Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:"В прямоугольных Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу,

равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

Page 9: проект по геометрии

Современная формулировкаСовременная формулировка

« В прямоугольном треугольнике квадрат « В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов гипотенузы равен сумме квадратов

катетов».катетов».    

Page 10: проект по геометрии

Доказательства теоремыДоказательства теоремы

Существует около 500 различных Существует около 500 различных доказательств этой теоремы доказательств этой теоремы

(геометрических, алгебраических, (геометрических, алгебраических, механических и т.д.). механических и т.д.).

Page 11: проект по геометрии

Самое простое доказательствоСамое простое доказательство

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с

него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных

треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты,

построенные на катетах,— по два.

Page 12: проект по геометрии

Доказательство ЕвклидаДоказательство Евклида

Дано: ABC - прямоугольный треугольник Доказать:SABDE = SACFG + SBCHI

Page 13: проект по геометрии

Доказательство:Доказательство:

Пусть ABDE - квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI -квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G.

Page 14: проект по геометрии

Отсюда и из равенства треугольников ACE Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость и GBA вытекает равновеликость

прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость аналогично доказывается и равновеликость

прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE отсюда, следует, что квадрат ABDE

равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI,равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI,т.е. теорема Пифагора.т.е. теорема Пифагора.

Очевидно, что углы Очевидно, что углы CAE = GAB(=A+90°)CAE = GAB(=A+90°); ; отсюда следует, что треугольники отсюда следует, что треугольники ACEACE и и AGB AGB (закрашенные на рисунке) равны между (закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу между ними). собой (по двум сторонам и углу между ними). Сравним далее треугольник Сравним далее треугольник ACEACE и и прямоугольник прямоугольник PQEAPQEA; они имеют общее ; они имеют общее основание основание AEAE и высоту и высоту APAP, опущенную на это , опущенную на это основание, следовательно основание, следовательно SSPQEA PQEA = = 2S2SACE.ACE.

Точно так же квадрат FCAG и треугольник Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, AC; значит, SSFCAG FCAG = 2S= 2SGAB.GAB.

Page 15: проект по геометрии

Алгебраическое доказательствоАлгебраическое доказательство

Доказательство:

1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует

AB*AD=AC2.3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит

AB*BD=BC2.4) Сложив полученные равенства почленно, получим:

AC2+BC2=АВ*(AD + DB); AB2=AC2+BC2.

Что и требовалось доказать.

Дано: ABC – прямоугольный треугольник

Доказать: AB2 = AC2 + BC2

Page 16: проект по геометрии

Геометрическое доказательствоГеометрическое доказательство

Дано: ABC - прямоугольный треугольник Доказать: BC2=AB2+AC2

Доказательство:1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: SABED=2*AB*AC/2+BC2/23) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна: SABED= (DE+AB)*AD/2.4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим: AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*ACBC2=AB2+AC2.   Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.

Page 17: проект по геометрии

Значение теоремы ПифагораЗначение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора - это одна из самых Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её важных теорем геометрии. Значение её

состоит в том, что из неё или с её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство помощью можно вывести большинство

теорем геометрии.теорем геометрии.

Page 18: проект по геометрии

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его - «ослиный мост», или бегство «убогих», так как

некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», потому что были не в состоянии преодолеть теорему

Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны

на все стороны равны», рисовали карикатуры.

Page 19: проект по геометрии

Проект подготовила для вас команда Проект подготовила для вас команда „Пифагорцы“ „Пифагорцы“

Капитан нашей командыКапитан нашей команды –– Дубина ВалерияДубина Валерия

Заместитель капитанаЗаместитель капитана –– Тюрин АндрейТюрин Андрей

Ответственный за сбор информацииОтветственный за сбор информации –– Коваль ВикторКоваль Виктор

Ответственнаяя за оформление материалаОтветственнаяя за оформление материала –– Доросеева ЕкатеринаДоросеева Екатерина

КонецКонец