1

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

Bמעוף המודל הבינומי

רפי אלדור’פרופ

פגישה שנייהMBA 2014

2

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

המודל הבינומי

:הנח עוד כי. הנח כי המודל הבינומי לתקופה אחת מתקיים

.100מחיר המניה בהווה הוא -א

.5%שער הריבית הוא ב-

.90-או לרדת ל110-מחיר המניה יכול לעלות לג-

100בעלת מחיר מימוש של CALLחשב מהו שווי אופציית ?בתחילת התקופה

:דוגמא

3

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

ערכי נכסים בסוף התקופה

יכולים לקבל אתCALLמחיר המניה ומחיר אופציית :הערכים הבאים

אופציה

C

10

0

מניה

100

110

90

פתרון

4

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

יחס ההגנה

5.020

10

100)9.01.1(

010 *

h

h*x110-10=h*x90-0

ניצור תיק חסר סיכון על ידי השוואת התמורה במצב כך hנבחר. עולם האחד לתמורה במצב העולם האחר

5

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

ערך תיק חסר סיכון

.שמוכריםCALLכלומר יש לקנות חצי מניה על כל אופציה

:ערך התיק בסוף התקופה הוא

0.5 x 110 – 10 = 0.5 x 90 – 0 = 45

6

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

ערך תיק בתחילת התקופה

מכיוון שהתמורה היא ודאית אזי בשוק פיננסי משוכלל:מתקיימת המשוואה( ' ללא רווחי ארביטראז)

( h*S –C ) x (1 + r ) = 45

(השקעה בהווה ( ) 1+ שער ריבית = ) 45

7

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

CALLשווי אופציית

( C –50= )45/1.05= 42.86או

C=50–42.86= 7.14לכן

8

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

Replicating Portfolio

מניהאופציה

100

110

90

ח"אג

50

55

45

100

105

105

42.86

45

45

C(100)

10

0

10

0

50-42.86

9

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

נוסחת המודל הבינומי

בהתאם CALLניתן לחשב ישירות שווי אופציה ( (.r+1)את R-נסמן ב) , בפרק( 8.2)לנוסחה

RCddu

RuCu

du

dRC /

10

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

לפי הנוסחהCALLשווי אופציית

: כלומר

C = (0.75 x 10 + 0.25 x 0) / 1.05 = 7.14

11

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

'דוגמא לריווחי ארביטראז

:ובנוסף הנח כי8.1הנח אותם נתונים כמו בדוגמא .10₪היא CALLמחיר אופציה . ד

' הוכח כי ניתן לקבל ריווחי ארביטראז.בשוק פיננסי משוכלל וחסר חיכוך

12

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

'טבלת ארביטראז

S(T)=110 S(T)=90 תזרים מזומנים

בהווה

הפעולה

10- 0 10+ מכירת CALאופציהL

55+ 45+ 50- קניית חצי מניה

42- 42- 40+ נטילת הלוואה

3+ 3+ 0 כ"סה

תזרים מזומנים במועד הפקיעה

13

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

דוגמא-PUTשווי אופציית

.הנח אותם נתונים כמו בדוגמא הראשונה

100בעלת מחיר מימוש של PUTחשב מהו שווי אופציה ? בתחילת התקופה

14

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

פתרון

על ידי מציאת מחירPUTניתן לחשב מחיר אופציה PUT-CALL PARITY-ושימוש במשפט הCALLאופציית

: כלומר

38.210005.1

10014.7

)1(

S

r

XCP

15

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

PUTחישוב ישיר של אופציית

י בניית תיק"ישירות עPUTניתן לחשב מחיר אופציית אולם הפעם יש לקנות גם מניות וגם את. חסר סיכוןכי המתאם בין המחירים של שני הנכסיםPUTהאופציה

.הללו הוא שלילי

16

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

PUTחישוב ישיר של אופציית

:הואPUTמחיר האופציה

38.205.1

10

4

310

4

1

1

RPu

du

dRPd

du

RuP

17

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

הערות למודל הבינומי

לא נזקקים להסתברויות למצבי העולם בכדי .לחלץ את מחיר האופציה

בנוסחה הם ההסתברויות Cd-וCuמקדמי .למימוש מצבי העולם בעולם ניטרלי לסיכון

.היא יחסיתDOWN-וUPההגדרה של מצבי העולם . בשני מצבי העולםיתכן כי מחיר הנכס

18

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

מודל בינומי דו תקופתי

(.מהסוף להתחלה)כאשר יש שתי תקופות החישוב הוא רקורסיבי

מחשבים בתחילה את שווי האופציה בכל אחת מהאפשרויות .בתקופה השנייה לפי המודל החד תקופתי

לאחר מכן מחשבים את שווי האופציה בתקופה הראשונה . הם הערכים שקיבלנו מהחישובים הקודמיםCd-וCuכאשר

19

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

אופציות אמריקאיות

כאשר מחשבים שווי אופציה אמריקאית במודל הבינומי,אזי לצורך החישוב בתקופה הראשונה , הדו תקופתי

לוקחים את הגבוה בין הערך של המימוש המיידי בסוףהתקופה הראשונה והערך המתקבל מהיוון של הערך

. בסוף התקופה השנייה

20

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

המודל הבינומי–תרגיל מסכם

מטרת התרגיל להראות כי התכונות שפותחו בפרקיםמתקיימתPUTו CALLהקודמים לגבי אופציות

.במודל הבינומי

21

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

תרגיל

.הנח כי מודל בינומי לתקופה אחת מתקיים

CALLהצג כי גידול באי ודאות מעלה את מחיר אופציה

.PUTומחיר אופציה .השתמש בדוגמא של תקופה אחת הבאה

dS=90 , uS=110 , r=5% , S=100 לשתי 100מחיר המימוש

.האופציות

dS=80 , uS=120 , r=5% , S=100

22

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

'מקרה א

38.205.1/104

10

4

3

14.705.1/109.01.1

9.005.1

P

C

100

110

90

C(100)

10

0P(100)

0

10

23

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

'מקרה ב

14.705.1/208.02.1

05.12.1100

9.1105.1/208.02.1

8.005.1100

P

C

100

120

80

C(100)

20

0P(100)

0

20

24

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

מסקנה

גידול באי ודאות מעלה גם את הערך וגם את הערך CALL(7.1411.9 )של אופציה PUT(2.387.14)של אופציה

25

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

מודל בינומי של שתי תקופות

הנח כי המודל הבינומי של שתי תקופות מתקיים u=1.1,d=0.9לכל תקופה S=100 , r=5%–ו

לשתי תקופותPUT-וCALLומצא את מחירי האופציות והשווה אותן לאלה , 100בעלות מחיר מימוש של

.תקופה אחת

?מתקופה לתקופה, חשב כיצד משתנה יחס ההגנה

26

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

אופציות אירופאיות

100EC

Cu

100110

9099

121

81

Cd

21

0

0

100EP

EPu

EPd

0

1

19

27

אלדורלפרופסור רפי הזכויות שמורות כל ©

CALLשווי אופציית

1505.1

214

3

0

Cu

Cd

,ולכן

71.1005.1

154

3

)100( eC