Денисенко Віктор Сергійович, доцент кафедри економічної кібернетики

Черкаського національного університету ім. Б. Хмельницького

Робастна стійкість економічних систем з імпульсним керуючим

впливом

Стійкість економічної системи

Стійкість - здатність економічної системи, що зазнала несприятливого відхилення за межі її допустимого значення, повернутися в стан рівноваги за рахунок власних або позичкових ресурсів, перепрофілювання виробництва та ін.

У такому випадку стан рівноваги називається стійким. Другому варіанту відповідає нестійкість стану економічних систем.

Стан рівноваги – стан системи, який зберігається як завгодно довго за відсутності зовнішніх збурень.

Втрата стійкості

Втрата стійкості в загальному випадку може відбутися внаслідок:

зміни параметрів системи (біфуркації) через наявність зовнішніх впливів (зокрема,

занадто значних або якісно несумісних з системою)

при порушенні зв'язків у системі, коли змінюється її структура (структурна нестійкість)

Вплив зовнішніх факторів

Зовнішні фактори можуть: посилювати або зменшувати дію внутрішніх

властивостей системи з нескінченною швидкістю (відбувається стрибок в інший стан);

посилювати або зменшувати дію внутрішніх властивостей системи з певною швидкістю (відбувається плавний перехід системи в інший стан);

згладжувати або підсилювати внутрішні процеси, що відбуваються в системі;

не чинити ніякого впливу на властивості системи.

Актуальність дослідження

Детермінований підхід у дослідженні стійкості економічних систем пов'язаний з точними оцінками її параметрів, що певною мірою важко, так як будь-яка система, в тому числі економічна система піддається впливу не тільки регулярного, але і ймовірнісного характеру, а отже містить неточно задані параметри, які можуть належати певним наперед заданим множинам.

Таким чином, за наявності параметричної невизначеності (невизначеності в елементах матриць простору станів) необхідно досліджувати робастну стійкість економічних систем (стійкість цілого класу систем), а також аналізувати отримані робастні оцінки параметрів системи та їх характеристики.

Актуальність дослідження

Актуальність досліджень робастної стійкості в системах управління на сьогоднішній день обумовлена сучасними потребами науки і техніки. У практичних завданнях, пов'язаних з конструюванням і моделюванням процесів управління в техніці, економіці, біології та інших сферах робастна стійкість є одним з ключових факторів, що гарантують застосовність моделей і надійність роботи спроектованих систем. Фактично результати, отримані в теорії робастної стійкості, дозволяють забезпечувати динамічну безпеку керованих промислових систем на етапі їх конструювання та експлуатації.

Класичний результат Класичним результатом для оцінки стійкості

економічних систем з параметричною невизначеністю є застосування результатів

В.Л. Харитонова, - для систем, які моделюються лінійними диференціальними рівняннями n-го порядку ним було отримані необхідні і достатні умови інтервальної (робастної) стійкості.

На жаль, результати, отримані для лінійних звичайних диференціальних рівнянь, виявилися малоефективними для інших класів динамічних систем (в тому числі й для систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією).

Системи з імпульсною дією Відмітимо, що існує досить багато динамічних систем і

процесів, управління якими здійснюється протягом настільки короткотривалих проміжків, що їх можна ідеалізувати як миттєві, а результати дії приводять до швидкої зміни процесу - скачкам фазової траєкторії системи, що моделюється.

Формалізація таких процесів неможлива без переходу до керування імпульсного типу та динамічних систем з розривними траєкторіями.

Важливі приклади подібних ситуацій можна знайти в механіці, ракетодинаміці, квантовій електроніці, робототехніці, медико-терапії, математичній екології, економіці і т.д.

Математичною формалізацією моделей таких процесів і явищ є диференціальні рівняння з імпульсною дією.

Імпульсні керуючі впливи (швидка зміна вектора стану системи) в моделях економічних систем можуть виникати в результаті фінансової кризи, при змінах в структурі фінансування і фіскальної політики, науково-технічному прогресі і як наслідок, зростанні продуктивності праці і т.д.

Мета дослідження

Мета роботи - розвиток прямого методу Ляпунова і його застосування для дослідження робастної (інтервального) стійкості економічних систем зі структурною невизначеністю, математичними моделями яких є лінійні системи диференціальних рівнянь з неперіодичною імпульсною дією.

Постановка задачі

Розглянемо економічну систему, модель якої описується інтервальною лінійною системою диференціальних рівнянь з неперіодичною імпульсною дією

)1(

,,=),(=)(

,),(=)(

kttxCtx

ttxAdt

tdx

kk

k

де – послідовність моментів імпульсної дії,

Матриці являються

інтервальними, тобто

Нерівність між матрицями розуміється поелементно.

,nx ,)(0)(=)( txtxtx 1=}{ kk

.<0 211 kk

,A kC k ,

,,, **

** kCCCAAA kkk

,),[ at

Означення. Система (1) називається інтервально(робастно) стійкою, якщо для будь-яких пар матриць

система (1) буде асимптотично стійкою по Ляпунову.

,],[ ** AAA

],[ ** kkk CCC

Приклад асимптотично стійкої траєкторії

імпульсної системи

Приклад нестійких траєкторій імпульсної

системи

Основний результат

Теорема 1. Нехай для деякого виконується припущення 1 і справедливі оцінки

Тоді система (1) буде робастно стійкою.

1p

PGSGSCIPkC

kC

kC

kCk

220)(2

,),(<2!

)(0

1

1=00

kQPGSl m

lA

lAAA

lkk

p

l

.

1)(2

1111 0

00

P

PGS

pA

pmp

Ap

AAA

Теорема 2. Нехай для деякого виконується припущення 2 і справедливі оцінки

Тоді система (1) буде робастно стійкою.

1p

PGSGSCIPkC

kC

kC

kCk

220)(2

PGSs

sA

sAAA

skk

p

s00

2!

)( 1

1=

.),(<

1)!(

20

)(2))((2

1

1100

kQPeep

GSm

AGASA

pAAA kkkk

Теорема 3. Нехай для деякого виконується припущення 3 і справедливі оцінки

Тоді система (1) буде робастно стійкою.

1p

l

Al

AAA

lkk

p

l

GSl

00

1

1=

2!

)( [

PCIPGSPCIGS kkCkCkkCkC2

022

0

PGSCIPGS lAkCkCk

lAkCkC 00

2202

,),()(2 022

0 ] kQPGSGSCIP mkCkCkCkCk

.)(

21

11 0

00

P

PGS

pAMp

Ap

AAA

Наслідки

Наслідок 1. Наслідок 2. Наслідок 3.

Висновки У роботі на основі розвитку прямого методу

Ляпунова отримані достатні умови робастної (інтервального) стійкості економічних систем з параметричною невизначеністю, математичними моделями яких є лінійні системи диференціальних рівнянь з неперіодичним імпульсною дією.

Перевірка отриманих критеріїв робастної стійкості в багатьох конкретних випадках не є складною, так як проблема робастної стійкості зведена до питання сумісності деякої системи лінійних матричних нерівностей та виконання алгебраїчних нерівностей, а розв'язання цих завдань алгоритмізованно у відповідних системах комп'ютерної математики.