Чисто усукване на пръти с некръгло...
TRANSCRIPT
Б) Чисто усукване на пръти с некръгло сечение
Невалидност
на хипотезата на Бернули.
(след натоварването с усукващ момент точките от сечението се преместват извън първоначалната равнина) и загубват равнинната си форма.
Опитът и изследвания с помощта на Теория на еластичността доказват, при чисто усукване на такива пръти напречните сечения се депланират
Явно е, че хипотезата на Бернули не е валидна. Тангенциалните напрежения са функция на две променливи = ( y,z ) .
фиг. 10
7. Специфика в разпределението на напреженията
С помощта на закона за взаимност на тангенциалните напрежения ще докажем следните специфични особености в разпределението на напреженията при усукване.
n
t
’n
t
7.1. Върху площадки в близост до контура на напречното сечение тангенциалните напрежения са насочени успоредно на допирателната към контура на сечението
(фиг. 11).
’n= 0
t
7.2. Върху площадки в близост до връх от контура на напречното сечение тангенциалните напрежения са равни на нула
2
1
’2
’1
(фиг.12).
(’1 = 0 ;и ’2 =0 = 0 ),
8. Усукване на пръти с пълностенно напречно сечение
8.1 правоъгълно сечение
Разпределението на тангенциалните напрежения в случай на правоъгълно сечение с височина h и ширина b, получено с помощта на Теория на еластичността е показано на фиг.13.
max
kmax
T
yc
bh
yc
W
M
hb
M
2)/(
max
T
yc
bh
yc
GJ
M
hbG
M
3)/(
фиг.13
Коефициентите , и k са функция на отношението h/b и се дават в таблици по Съпротивление на материалите. Част от тези стойности са дадени в таблица 1
h/b 1,0 1,25 1,5 2,0 4,0 20
0,208 0,220 0,231 0,246 0,282 0,327 1/30,333
0,1406 0,164 0,196 0,229 0,281 0,327 1/30,333
k 1,00 0,930 0,857 0,795 0,745 0,743 0,743
8.2 некръгло сечение
Структурата на формули (18) и (19) е подобна на (7) и (5). Характеристиките WT и JT за триъгълно, елиптично, шестогранно, осмогранно и др. сечения се дават в таблици по Съпротивление на материалите.
9. Мембранна и хидродинамична аналогии
Оказва се, че диференциалите уравнения описващи чистото усукване на прът с произволно сечение и диференциалите уравнения описващи провисването на тънка мембрана (натоварена с налягане) опъната върху контур с формата на сечението, подложено на усукване, са едни и същи от математическа гледна точка.
Всеки лесно може да си представи как се деформира от налягане р тънка мембрана опъната върху контур и да сравнява ъглите, които сключва допирателната към деформираната мембрана фиг.14.
Прандтл е доказал, че аналог на тангенциалното напрежение в дадена точка е ъгълът на наклона, който допирателната към деформираната мембрана сключва с равнината на контура (недеформираната мембрана).
max
p
=0
мембрана
контур
Аналог на усукващия момент е обема заключен между деформираната и недеформираната мембрана.
фиг.14
Съществува и хидродинамична аналогия. В съд със сечение като това на усуквания прът има идеална течност. Ако приведем течността в стационарно движение в равнината на контура, то токовите линии и посоката на тангенциалните напрежения съвпадат. Скоростта в дадена точка е аналог на тангенциалното напрежение. В ъглите скоростта е нула. Около издатини скоростта се увеличава.
Хидродинамична аналогия
10. Свободно усукване на тънкостенни пръти
Тънкостенни са тези пръти, при които дебелината на стената е много по-малка от разгънатата средна линия на профила L, а тя от своя страна е много по-малка от дължината на пръта l т.е. имаме следното съотношение << L << l .
Свободно усукване имаме, когато краищата на пръта могат свободно да се деформират по оста на пръта.
Сеченията на тънкостенните пръти се разделят на следните типове:
фиг.15а
фиг. 15с
сечения, които могат да се разгънат до тесен висок правоъгълник фиг.15а;
фиг.15в
тънкостенни затворени сечения фиг.15с.
такива, които не могат да се разгънат до правоъгълник фиг.15в
L
а) - сечения, които могат да се разгънат до тесен висок правоъгълник (фиг. 16)
L
M
L
M ycyc
22
max
3
31
LG
M
LG
M ycyc
33
3
31
Получава се правоъгълник с ширина и височина L .Съотношението L/ обикновено е по-голямо от 10. Коефициентите , в този случай могат да се примат за 1/3. Тогава от формули (18) и (19) следва:
в) сечения, които не могат да се разгънат до правоъгълник (фиг.17)
n
iiycyc MM
1
,
Разделяме мислено сечението на правоъгълници, всеки от тях с ширина i и
височина Li . Считаме отношението Li/i за голямо и приемаме коефициентите
, за 1/3. Усукващият момент в сечението може да се разглежда като сума от усукващите моменти в отделните правоъгълници.
n
Ln
1
L1
Приемаме, че всички правоъгълници се завъртат на един и същ относителен ъгъл = i =const.
T
yc
n
iii
yc
n
iii
n
iii
n
iiycyc
iiiycii
iyci
GJ
M
LG
M
LGGLMM
GLMGL
M
33
3
1
3
1,
3
1,
,3
1
3
1
3
1
3
1
33
фиг.17
iT
yciii
iiii
iyci J
MGGL
LL
M
3
22max, 3
13,3
n
iiiT LJ
1
3
3
1
iT
yciii
iiii
iyci J
MGGL
LL
M
3
22max, 3
13,3
Вижда се, че в този случай характеристиката JT
се пресмята по формула (22)
Тангенциалното напрежение в i - тия правоъгълник определяме чрез (20)
(22)
Това лесно може да се обясни с мембранната аналогия – там мембраната провисва най-много и ъгълът на допирателната към деформираната мембрана е най голям.
max
1
3max
3
n
iii
yc
L
M
Максималното напрежение за цялото сечение се получава в правоъгълника с най-голяма дебелина
2
1
1
2
ds
ds
a
с) тънкостенни затворени сечения (фиг.18)
От условието за равновесие на изрязания елемент по оста на пръта имаме:
constdsds ii minmax22112211 0
(24)
фиг.18
Произведението от дебелината и тангенциалното напрежение е константа. Най-голямото напрежение се получава където е минималната дебелина
Приемането, че тангенциалните напрежения по дебелината са постоянни се основава на мембранната аналогия фиг.19.
1
2
dt
r
dF
фиг. 19
rdtdFdM yc )(
Върху него действа напрежение . Елементарният усукващ момент е:
Разглеждаме диференциален елемент с дебелина , дължина dt и площ dF.
*
*
2
2)()(
dFrdt
FrdtrdtdMMLLF
ycyc
Усукващият момент в сечението ще получим чрез интегриране в сечението.
Тук F* е площта очертана от линията разполовяваща дебелините.
min*
min*max
2
2
FW
F
M
T
yc
dsG
dsddt
dFdsrd
*2
Интегрираме по затворения контур
L t
L tLLL
dtG
dsFd
dtG
dsdtG
dsdtG
dsdFd
)(
*
)(
*
1)(2.
1)(.2
Заместваме от (25) и интегрираме по дължината на пръта
L t
ycll
dtGF
МdsFd
)(*
0
*
0
1
2
)(2.
L t
yc dtFG
lМ
)(2*
1
2
За взаимното завъртане на две сечения на пръта на разстояние l получаваме:
(28)
2*4FG
lМ yc
При постоянна дебелина се получава:
Коравината на усукване в този случай е:
L t
T
dt
FGGJ
)(
2*
12