Η ΑΝΑΓΚΑΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΣΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ

Εργασία που πραγματοποιήθηκε κατά το σχ. έτος 2012-2013 από τους μαθητές της Γ΄ τάξης του σχολείου μας.

Με το που ξεκινήσαμε φέτος τα Μαθηματικά στην Τρίτη τάξη , καταλάβαμε ότι οι απαιτήσεις άλλαξαν. Άρχισε να μας απασχολεί έντονα η έννοια της απόδειξης.

Συχνά αναρωτιόμαστε: Γιατί αποδεικνύουμε; Ποια είναι η αξία και η σημασία μιας απόδειξης ;

Στην πορεία διαπιστώσαμε ότι :

Η απόδειξη είναι το όργανο που μπορεί να κατοχυρώσει την αλήθεια.

Προτάσεις που φαίνονταν ότι σίγουρα ισχύουν, χρειάζονταν απόδειξη. Καταλάβαμε σιγά-σιγά ότι η διαίσθηση δεν αρκεί , αν θέλουμε να είμαστε σίγουροι για κάτι.

Άραγε μόνο τα Μαθηματικά έχουν τέτοιες απαιτήσεις;

Αφού προβληματιστήκαμε λίγο πάνω σ΄αυτό, διαπιστώσαμε ότι και η νομική επιστήμη στην απόδειξη στηρίζεται.

Μα και στην καθημερινή ζωή , σε κάθε διαφωνία η απόδειξη της κάθε θέσης είναι απαραίτητη.

Καθώς διδασκόμασταν την «Ελένη» του Ευριπίδη με την κ. Παρδάλη, διαπιστώσαμε ότι και εκεί τα φαινόμενα ήταν διαφορετικά από αυτό που πραγματικά συνέβαινε.

Είναι λοιπόν αναγκαίο να αποδεικνύουμε κάθε τι που ισχυριζόμαστε;

1

Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΚΑ

Στα Μαθηματικά κάθε καινούργιο αποτέλεσμα προκύπτει από τα προηγούμενα, χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που λέγεται απόδειξη και που στηρίζεται στους κανόνες της Λογικής. Τα συμπεράσματα, για να είναι γενικά, δεν πρέπει να είναι συνέπειες μόνο της παρατήρησης. Είναι αναγκαίο να προκύπτουν με ορθό συλλογισμό από τα αξιώματα ,τους ορισμούς και προτάσεις που έχουν ήδη αποδειχτεί.

Στα Μαθηματικά η απόδειξη πρωτοεμφανίζεται με το Θαλή

το 640 π.χ. περίπου και τότε θεμελιώνεται η επιστήμη των Μαθηματικών. Μέχρι τότε οι αρχαίοι λαοί είχαν αναπτύξει σπουδαία μαθηματικά τα οποία χρησιμοποιούσαν για τις πρακτικές τους ανάγκες. Τους αρκούσε που έβρισκαν τρόπους να λύνουν τα προβλήματά τους αλλά δεν τους ενδιέφερε το γιατί.

Οι αρχαίοι Έλληνες , όχι τυχαία, ανάπτυξαν την αποδεικτική διαδικασία. Έκαναν τα Μαθηματικά την τέχνη του «συλλογίζεσθαι».

2

Λαός κατ΄ εξοχήν φιλοπερίεργος , οδηγήθηκε στην αναζήτηση της αλήθειας, όχι μόνο για την εξυπηρέτηση πρακτικών αναγκών αλλά για την πνευματική ικανοποίηση που προσφέρει η γνώση και η λογική εξήγηση.

Ο Πυθαγόρας και η σχολή των Πυθαγορείων χρησιμοποίησαν και βελτίωσαν την αποδεικτική διαδικασία που εισήγαγε ο Θαλής.

Στη συνέχεια ο Ευκλείδης (330-270 π.χ.) τελειοποίησε την αποδεικτική διαδικασία δημιουργώντας με τα «ΣΤΟΙΧΕΙΑ» ένα έργο σταθμό της μαθηματικής επιστήμης.

Στο Γυμνάσιο, χρησιμοποιούνται  κατά κύριο λόγο η διαισθητική (άτυπη) και η επαγωγική απόδειξη, όπου το βάρος δίνεται κυρίως  στην εποπτεία, τη διαίσθηση και την εμπειρία και με την αξιοποίηση αυτών, καλούνται οι μαθητές να παρατηρήσουν, να κάνουν εικασίες, να συμπεράνουν, να κατηγοριοποιήσουν, να γενικεύσουν κλπ

3

Διαισθητική μέθοδος

Πολλές φορές έχουμε πει τη φράση «Μου φαίνεται ότι ισχύει»

Η διαίσθηση μπορεί να αποτελέσει πηγή γνώσης αλλά μπορεί να είναι και παραπλανητική. Γι ΄αυτό πρέπει να αποφεύγεται στον επιστημονικό συλλογισμό.

Όταν επισκεφτήκαμε το μουσείο « Ηρακλειδών» πήραμε μια ιδέα για το πόσο μπορεί να μας εξαπατά η διαίσθηση και πόσο αναγκαία είναι η απόδειξη.

Στα δυο αυτά έργα του Vasareli

έχουμε την εντύπωση ότι βλέπουμε στερεά σώματα , όμως είναι σχέδια δισδιάστατα.

4

Μετά από τις επόμενες οφθαλμαπάτες πιστεύετε ότι μπορούμε να εμπιστευόμαστε τις αισθήσεις μας;

Κλειστή ή ανοιχτή η πόρτα;

Αυτό που νομίζετε ότι βλέπετε… δείτε τι στην πραγματικότητα είναι…

5

δείτε εδώ την απάντηση!...

6

Ακολουθεί απόσπασμα από το βιβλίο των Δοξιάδη – Παπαδημητρίου-Παπαδάτου:

Logicomix

7

8

9

Επαγωγική μέθοδος

Ίσως σκεφτούμε:

«Ας κάνω μερικές δοκιμές για να δω τι ισχύει»

Με την επαγωγική απόδειξη βρίσκουμε μια κοινή ιδιότητα για ένα μέρος του πληθυσμού που μελετάμε και την γενικεύουμε σε όλο τον πληθυσμό.

Σίγουρα αυτό δεν αρκεί στη μαθηματική επιστήμη. Μπορεί ένας τύπος που ισχύει για πάρα πολλές περιπτώσεις για την χιλιοστή να μην ισχύει.

Παράδειγμα :

Αν οι 30 από τους 50 κατοίκους ενός χωριού έχουν γαλάζια μάτια , μπορώ να είμαι σίγουρος ότι όλοι οι κάτοικοι έχουν γαλάζια μάτια;

Ο Euler, το 1771 βρήκε το πολυώνυμο

ν2+ν+41 το οποίο παράγει πρώτους αριθμούς

για τις διάφορες τιμές του ν= 0,...,39 .

Όχι όμως και για τιμές μεγαλύτερες του 39.

10

Παραγωγική μέθοδος

Με την παραγωγική απόδειξη βγάζουμε συμπεράσματα που προκύπτουν αναγκαστικά από γνώσεις που ήδη έχουμε και με λογικούς συλλογισμούς.

Η μαθηματική έρευνα συχνά ξεκινά με τη διαίσθηση . Πολλές φορές είναι απαραίτητο να εξεταστούν συγκεκριμένες περιπτώσεις πριν γίνει η γενίκευση και κατόπιν με την παραγωγική απόδειξη ελέγχονται οι εικασίες που έχουν προηγηθεί.

Ο Αρχιμήδης στο έργο του «Έφοδος» αναφέρει ότι πρώτα συνειδητοποίησε εμπειρικά τον τύπο του όγκου της σφαίρας (V=4/3πR3) και μετά έδωσε την αυστηρή μαθηματική απόδειξη. Το ίδιο συνέβη και με τον τύπο εμβαδού του κώνου. Αφού πειραματίστηκε με κώνο και κύλινδρο διαπίστωσε ότι σχεδόν ισχύει ο τύπος Ε =1/3πρ2υ. Κατόπιν έδωσε την αυστηρή μαθηματική απόδειξη.

Παρ΄όλο που η Μαθηματική λογική στηρίζεται κατ΄εξοχήν στην παραγωγική απόδειξη , όπου το συμπέρασμα προκύπτει αναγκαστικά με λογικούς συλλογισμούς ,δεν μπορούμε να αποφύγουμε κάποια «παράδοξα».

Το παράδοξο που παρουσιάζουμε αποδίδεται στον Επιμενίδη

από την Κρήτη ο οποίος σε ένα ποίημά του είχε γράψει:

Κρῆτες ἀεὶ ψεῦσται (οι Κρήτες είναι πάντα ψεύτες)

Σύμφωνα λοιπόν με την έκφραση αυτοί όλοι οι Κρήτες είναι ψεύτες. Όμως και ο Επιμενίδης καταγόταν από την Κρήτη άρα και ο ίδιος ψεύδεται, άρα τελικά οι Κρήτες δεν είναι ψεύτες! Τότε όμως κι ο Επιμενίδης δεν ψεύδεται , επομένως είναι αλήθεια ότι οι Κρήτες είναι ψεύτες κ.ο.κ.

11

Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΤΗ ΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ

Η νομική επιστήμη έχει άμεση συγγένεια με τη μαθηματική επιστήμη.

Αυτό γίνεται κατανοητό, αν σκεφτούμε τον απλό νόμο της μαθηματικής

λογικής ο οποίος λέει ότι η διπλή άρνηση μιας πρότασης π, ισούται με την

κατάφαση της πρότασης. Έτσι, αν κάποιος ανακρινόμενος μέσα από τις

ερωτήσεις του ανακριτή υποπέσει σε διπλή άρνηση, είναι σαν να παραδέχεται

αυτά που αρνιόταν.

Γενικά στη Δικονομία και την Ανακριτική με τον όρο απόδειξη, χαρακτηρίζεται

το σύνολο των ενεργειών και μεθόδων, με τις οποίες είναι δυνατόν να

σχηματιστεί η πεποίθηση για την αλήθεια ή όχι γεγονότων ή προβαλλομένων

ισχυρισμών.

Πολλοί είναι εκείνοι που χαρακτηρίζουν τις αποδείξεις ως τη "ψυχή" της

ποινικής διαδικασίας και "κέντρο βαρύτητας" αυτής. Και δεν έχουν άδικο αν

ληφθεί υπόψη ότι μπορεί η διαδικασία να ξεκινήσει από μια απλή υπόθεση

πλην όμως η καταδικαστική απόφαση θα πρέπει να βασίζεται επί

πραγματικών και βεβαιωμένων γεγονότων.

12

Στη νομική συναντάμε

τη :

Νομική απόδειξη : εκείνη που αναφέρεται σε κανόνες ρητά διατυπωμένους

σε νόμους προκειμένου ν΄ αποτελέσουν οδηγία στους δικαστές στη κατάρτιση

της απόφασή τους,

Ηθική απόδειξη λέγεται εκείνη δια της οποίας η δικανική πεποίθηση

προέρχεται από άμεση και ελεύθερη διάγνωση που απορρέει συνηθέστερα

από την πείρα και τη σκέψη.

Ο 16ος πρόεδρος της Αμερικής Lincoln έλεγε, ότι διδάχθηκε την έννοια της λογικής και της απόδειξης ως αυτοδίδακτος μαθητής του Ευκλείδη - δήλωνε μάλιστα περήφανος, ότι μπορούσε να αποδείξει από μνήμης οποιοδήποτε θεώρημα των έξι πρώτων Βιβλίων των «Στοιχείων». Είναι γνωστό άλλωστε, ότι η ρητορική δεινότητά του αποτέλεσε το κυριότερο εργαλείο στην πολιτική του σταδιοδρομία, παρ΄ ότι αυτός ο σπουδαίος άνθρωπος πέρασε συνολικά έναν μόνο χρόνο της ζωής του στα θρανία.

13

«Από μαρτυρίες της εποχής μαθαίνουμε ότι οι άλλοι κοιμόντουσαν και αυτός διάβαζε με ένα κερί και ψιθύριζε τις αποδείξεις . Σύμφωνα με τα ιστορικά στοιχεία, είχε κλειστεί στο δωμάτιό του επί δυο μήνες και μελετούσε τα Στοιχεία του Ευκλείδη, του «πατέρα» της Γεωμετρίας. Μετά από αυτό το διάστημα, ισχυρίστηκε, ότι ένιωθε έτοιμος να ασκήσει το επάγγελμα του δικηγόρου.Ο Ευκλείδης έδωσε τη βάση και τα εφόδια στον Λίνκολν κι έτσι κατάφερε να φτάσει στην κατάληψη της αμερικανικής προεδρίας.

 Χαρακτηριστικό του Ευκλείδη ήταν το γεγονός ότι είχε την ικανότητα να ανασυντάξει τις αποδείξεις των θεωρημάτων σε σύντομους αυστηρούς όρους, κάτι που ο Λίνκολν είχε κάνει στα εγκαίνια του νεκροταφείου για τους πεσόντες του αμερικανικού εμφυλίου, χρησιμοποιώντας μόνο 271 λέξεις!

14

 Στην πιο διάσημη ομιλία του Λίνκολν, στο περίφημο Gettysburg Address,

ο 16ος Αμερικανός πρόεδρος αποκαλύπτει μια βαθιά, διαισθητική κατανόηση της ευκλείδειας μεθόδου, που οι μελετητές μόλις τα τελευταία χρόνια έχουν αρχίσει να καταλαβαίνουν.

Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΖΩΗ

Στην καθημερινότητά μας όλα βασίζονται σε αποδείξεις, από το πιο απλό ως

το πιο σύνθετο.

Από την απόδειξη των στοιχείων μας μέσω της αστυνομικής μας ταυτότητας,

των ικανοτήτων ή γνώσεων μέσω

πτυχίων και άλλων εγγράφων,

15

ως την ύπαρξη συγκεκριμένων συναισθημάτων μέσω λόγων και πράξεων

, σε όλα εμπεριέχεται η έννοια της

απόδειξης. Αποτελεί σλόγκαν της ανταγωνιστικής εποχής μας η έκφραση

«πρέπει καθημερινά να αποδεικνύω ποιος είμαι και τι αξίζω», όχι μόνο στην

επαγγελματική αλλά και στην οικογενειακή και προσωπική ζωή μας .

Με την εμπορική και οικονομική έννοια του όρου, οι αποδείξεις ως μαγικά

χαρτάκια έρχονται να επαληθεύσουν την εντιμότητα του καθενός και το

ενδιαφέρον του για την ομαλή λειτουργία του συστήματος της Εθνικής

Οικονομίας.

Ο απόστολος Θωμάς ζητάει αποδείξεις για να πιστέψει ότι αυτός που είναι

μπροστά του ζωντανός, είναι ο αναστημένος Ιησούς.

16

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΛΕΝΗ»

Από την αρχή της ιστορίας της Ελένης η έννοια της απόδειξης έπαιξε πολύ

σημαντικό ρόλο. Όλο το έργο βασίζεται σε αυτήν. Σε όλη την διάρκεια της

αφήγησης ο Ευριπίδης προσπαθεί να αποδείξει πως στην Τροία δεν

βρισκόταν η ίδια η Ελένη αλλά το είδωλο της.

Εκείνη μάλιστα προσπαθεί να αποδείξει πως δεν είναι αυτή αυτουργός της

κατάστασης και πως δεν ευθύνεται για όσα συμβαίνουν στην Τροία αλλά και

στον ίδιο το Μενέλαο. Για αυτό το λόγο είναι και ένα από τα τραγικά

πρόσωπα της ιστορίας.

Ο κόσμος ,λόγω των αντιλήψεων και των προκαταλήψεων που κυριαρχούσαν

εκείνη την εποχή ,δεν την είχε σε μεγάλη εκτίμηση ,

ενώ αποδείχτηκε πως είναι μια δυναμική και έξυπνη γυναίκα αφού τελικά

μπόρεσε να βρει λύση και να αποδράσει μαζί με τον Μενέλαο.

17

Για την εργασία αυτή εργάστηκαν οι μαθητές:

Η απόδειξη στα Μαθηματικά:

Ίφου Δανάη Γ1

Αποστολοπούλου Φωτεινή Γ1

Η απόδειξη στη νομική επιστήμη:

Αλεξανδρή Χριστίνα Γ1

Βασιλειάδη Δήμητρα Γ1

Η απόδειξη στην καθημερινή ζωή

Γκίνης Γιώργος Γ1

Γεωργίου Ανάργυρος Γ1

Η απόδειξη στην Ελένη του Ευρυπίδη

Αποστόλη Ειρήνη Γ1

Αγγέλη Φαίη Γ1

Υπεύθυνη καθηγήτρια : Ελένη Τσουκαλά ΠΕ 03

Φιλολογική επιμέλεια : Γιάννης Κυριαζής ΠΕ 02

Βιβλιογραφία:

1) Θεόδωρος Εξαρχάκος : Η απόδειξη στα Μαθηματικά2) Καρδαμίτσης Σπύρος» : Η απόδειξη στα Μαθηματικά και σχετικές αντιλήψεις

μαθητών λυκείου.

h ttp://www.livepedia.gr/index.php/%CE%9B%CE%BF%CE%B3%CE %B9%CE%BA%CE%AE " http://alikos.blogspot.com/2010/11/blog- post_19.html

3) «Ο Ευκλείδης στο Gettysburg: μια διάλεξη για όσους αναρωτιούνται για τη σχέση της πολιτικής με τη λογική», Απόστολος Δοξιάδης

4) LOGICOMIX :Δοξιάδη, Παπαδημητρίου, Παπαδάτου 5) http://blogs.sch.gr/isiglavas/archives/964

6) http://tube.geogebra.org/student/m19377

18