საგანი: კალკულუსი

ავტორები:

კაპანაძე გიორგი

წარმოებული და მისი თვისებები

ლექტორი : ჯორჯიაშვილი ნატო

ილიას სახელმწიფო

უნივერსიტეტი

• რა არის წარმოებული?

• რა არის კერძო წარმოებული?

• მეორე რიგის წარმოებული

• ფერმას თეორემა

• როლის თეორემა

რა არის წარმოებული?

• ფუნქციის წარმოებული X წერტილში ეწოდება ამ წერტილში ფუნქციის ნაზრდის არგუმენტის ნაზრდთანშეფარდების ზღვარს(თუ ეს ზღვარი არსებობს),როცა არგუმენტის ნაზრდი მიისწრაფვის ნულისკენ...

𝒇′ 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎∆𝒙→∞

𝜟𝒚

𝜟𝒙= 𝒍𝒊𝒎

∆𝒙→∞

𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙)

∆𝒙ფუნქციის წარმოებულის აღსანიშნავად მიღებულია შემდეგი აღნიშვნები:

f’(x) ან y’ ასევე f’(x)=𝑑𝑦

𝑑𝑥

ასევე არსებობს აქედან გამომდინარე უფრო მარტივი ფორმულა ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად.

(𝑎𝑥𝑏)′ = 𝑎𝑏𝑥𝑏−1

რა არის კერძო წარმოებული?

• Z=f(x,y) ფუნქციის კეტძო წარმოებული x ცვლადით ეწოდება ფუნქციის კერძო ნაზრდის არგუმენტის ნაზრდთან შეფარდების ზღვარს (თუ ეს ზღვარი არსებობს)

lim∆𝑥→0

∆𝑧𝑥∆𝑥

= lim∆𝑥→0

𝑓 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)

∆𝑥

lim∆𝑦→0

∆𝑧𝑦

∆𝑦= lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)

∆𝑦

გვაქვს შესაბამისი აღნიშვნები:

𝜕𝑧𝑥

𝜕𝑥, 𝑓𝑥

′,𝜕𝑓(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥,𝜕𝑧𝑦

𝜕𝑦, 𝑓𝑦

′ ,𝜕𝑓(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦

მეორე რიგის წარმოებული

• თუ გვსურს ვიპოვოთ მეორე რიგის წარმოებული საჭიროა მოვიქცეთ იგივენაირად, მაგრამ განსხვავებით პირველი რიგის წარმოებულისგან ეს მოქმედება ორჯერ უნდა ჩატარდეს.

𝒇′ 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎∆𝒙→∞

𝜟𝒚

𝜟𝒙= 𝒍𝒊𝒎

∆𝒙→∞

𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙)

∆𝒙

𝒇′′ 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎∆𝒙→∞

𝜟𝒚′

𝜟𝒙′= 𝒍𝒊𝒎

∆𝒙→∞

𝒇′ 𝒙+∆𝒙 −𝒇′(𝒙)

∆′𝒙=(f’(x))’

გამარტივებული სახით გვაქვს შემდეგი ფორმულა:

(𝑎𝑥𝑏)′′ = (𝑎𝑏𝑥𝑏−1)′=ab(b-1) 𝑥𝑏−2

ფერმას თეორემა

თუ x წერტილში წარმოებად f(x) ფუნქციას ამავე წერტილში აქვს ექსტრემუმი,მაშინ f’(x)=0.

როლის თეორემა

თუ f(x) ფუნქცია უწყვეტია [a;b] სეგმენტზე, წარმოებადი (a;b) ინტერვალზე და ამასთან ,f(a)=f(b) , მაშინ არსებობს ისეთი c∈ a; b წერტილი,რომ f ′ c = 0.

მადლობა ყურადღებოსათვის!