حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح

فيما سبق: درست حل نظام من معادلتين بالتعويض.

والنأحل نظام ًا من معادلتين باستعمال

طريقة الحذف بالجمع.

أحل نظام ًا من معادلتين باستعمال طريقة الحذف بالطرح.

المفردات:

الحذف

لماذا؟

يزيد عدد الشهر (أ) التي ترتفع فيها

درجة الحرارة العظمى في مدينة

30الرياض على ˚ س بمقدار شهرين

على عدد الشهر (ب) التي تنخفض

30فيها عن ˚ س. ويمثل النظام التي

هذا الموقف:

لماذا؟

12أ + ب = 2أ – ب =

لماذا؟

الحذف باستعمال الجمع: إذا

جمعت هاتين المعادلتين

فسوف يتم حذف المتغير

(ب)، وُتسمى طريقة الجمع أو

الطرح في حل النظام . الحذف

أضف إلى مطويتك مفهوم أساسي

الحل بالحذف

:1الخطوة

اكتب النظام على أن يكون الحدان المتشابهان اللذان معامل أحدهما معكوس للخر بعضهما فوق بعض.

أضف إلى مطويتك مفهوم أساسي

الحل بالحذف

:2الخطوة

اجمع المعادلتين أو اطرحهما للتخلص من أحد المتغيرين، ثم حل المعادلة.

أضف إلى مطويتك مفهوم أساسي

الحل بالحذف

:3الخطوة

في 2عوض القيمة الناتجة في الخطوة إحدى المعادلتين وحلها ليجاد المتغير

الثاني، واكتب الحل كزوج مرتب.

1مثال

الحذف باستعمال الجمع

استعمل الحذف لحل النظام:32ص = 6س + 43ص = 6س -3

32ص = 6س + 43ص = 6س -3

ص 6ص، -6كل معاملي :1الخطوة معكوس للخر.

اجمع المعادلتين.:2الخطوة 32ص = 6س + 4

3ص = 6س – 3ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

.حذف المتغير ص35س = 7

35س 7.7اقسم كل طرف على

7 7 ــــــــ=ـــــــ

طّس.ط.5س = ب

في إحدى 5عوض عن س بـ :3الخطوة .المعادلتين ليجاد قيمة ص

المعادلة الولى32ص = 6 + س4

5عوض عن س بـ 32ص = 6 + )5(4

اضرب32ص = 6+ 20

من كل طرف 20اطرح 20-32 = 20-ص6+ 20

طّس.ط 12ص = 6 ب

12ص666

6اقسم كل طرف على ـــــــ = ــــــــطّس.ط2ص = ب

تحقق من فهمك

3ص = -3س + 4أ) -15ص = 5س -4

الحـــــــــــــل أجمع المعادلتين

3 ص = ــ 3 س + 4 ــ 5 ص = 5 س ــ 4

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 2 ص = 2 ــ

1 ص = ــ عوض عن ص في إحدى المعادلتين لجيجاد قيمة س

5 ص = 5 س ــ 4 5 ) = 1 ( ــ 5 س ــ 4

5 = 5 س + 4 0 س =

) 1 ، ــ 0 اذن الحل هو : (

جيمكنك استعمال طرجيقة الحذف لجيجاد عددجين محددجين جيرتبطان مع ًا بعلةقة.

ةقراءة الرجياضيات

الحذف

إذا أدى جمع أو طرح معادلتين إلى أن جيكون ناتج معاملي أحد المتغيرجين صفر ًا ، جيقال

عندئ ٍذ إنه تم حذف هذا المتغير.

كتابة نظام من معادلتين وحله

عددان ، سالب ةثلةثة أمثال الول مضاف ًا إليه خمسة ، وةثلةثة أمثال الول مضاف ًا 11أمثال الثاني جيساوي -

. فما العددان؟ 1إليه سبعة أمثال الثاني جيساوي -

كتابة نظام من معادلتين وحله

خمسة أمثال زائدعدد أخر

سالب ةثلةثة أمثال عدد

.11-جيساوي

11-=س5+س3-

ةثلةثة أمثال العدد الول

.1-زائد جيساوي سبعة أمثال عدد الثاني

1-=ص7+س3

كتابة نظام من معادلتين وحله

اكتب المعادلتين رأسي ًا ةثم اجمعهما.:2 ، 1الخطوتان

11ص = -5س + 3-1ص = -7س + 3

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

كتابة نظام من معادلتين وحلهاكتب المعادلتين رأسي ًا ةثم اجمعهما.

حذف المتغير الول س 12ص = -12

11ص = -5س + 3-1ص = -7س + 3

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

12-ص12 ـــــــــ=ـــــــــ

121212اةقسم كل طرف على

بّسط1ص = -

في إحدى 1عوض عن ص بـ -:3 ةالخطو .المعادلتين لجيجاد ةقيمة س

المعادلة الثانية1 = -ص7س + 3

1عوض عن ص بـ -1= -) 1(-7س + 3بّسط1) = -7س + (-3

7+)7س + (-3 إلى كل طرف7أضف 1+7= -

بّسط6 = س3

3اةقسم كل طرف على ــــــــ = ــــــــ6س333

2س = بّسط

.1 ، -2العددان هما

في إحدى 1عوض عن ص بـ -:3 ةالخطو .المعادلتين لجيجاد ةقيمة س

تحقق:

المعادلة الولى 11 = -ص5 + س3-

-3)2( + 5-)1( = -11

، وعن 2عوض عن س بـ 1ص بـ -

بّسط √ 11= -11-

تحقق:

المعادلة الثانية 1 = -ص7 + س3

، 2عوض عن س بـ 1 = -)1(-7 + )2(3 1وعن ص بـ -

بّسط √ 1 = -1-

تحقق من فهمك

) أوجد العددجين اللذجين مجموعهما 2 ، وسالب ةثلةثة أمثال العدد 10جيساوي -

2الول ناةقص العدد الثاني جيساوي

الحــــــــــــــل 10 س + ص = ــ

2 س ــ ص = 3 ــ أجمع المعادلتين

10 س + ص = ــ 2 س ــ ص = 3 ــ

ـــــــــــــــــــــــــــــــــ 8 س = ــ 2 ــ

4 س = عوض عن س في إحدى المعادلتين لجيجاد قيمة ص

10 س + ص = ــ 10 + ص = ــ 4

4 ــ 10 ص = ــ 14 ص = ــ

) 14 ، ــ 4 اذن الحل هو (

الحذف باستعمال الطرح:

يمكنك أحيانًا

حذف متغير بطرح معادلة من أخرى.

من اختبار3مثالالحذف باستعمال الطرح

6ر = 5ت + 2حل النظام: 22ت = 2ر + 9

)15,7أ) (-

,ـــــ)7ب) (

)7,-4جـ) (

,ـــــ )4د) ( 89

25

من اختبار3مثالالحذف باستعمال الطرح

6ر = 5ت + 2حل النظام: 22ت = 2ر + 9

الفقرة: اقرأ

ت، 2بما أن كلتا المعادلتين تشتمل على فيمكن حل النظام بالحذف باستعمال الطرح.

من اختبار3مثالالحذف باستعمال الطرح

6ر = 5ت + 2حل النظام: 22ت = 2ر + 9

6ر = 5ت + 2حل النظام: 22ت = 2ر + 9

حل الفقرة: اطرح المعادلتين. :1الخطوة

6ت = 2ر + 522ت = 2ر + 9

ــــــــــــــــــــــــــــ

اكتب نظام المعادلتين على أن تكون الحدود

المتشابهة بعضها .تحت بعض

حذف المتغير ت16ر = -4-طّس�ط4ر = ب

6ر = 5ت + 2حل النظام: 22ت = 2ر + 9

في إحدى 4عوض عن ر بـ :2الخطوة .المعادلتين ليجاد قيمة ت

المعادلة الولى 6ت = 2 + ر5

4ر = 6ت = 2 + )4(5

طّس�ط6ت = 2 +20 ب 20-ت 2 +20

من كل طرف20اطرح 6-20=

طّس�ط 14ت = -2 ب

7ت = -

)، والجابة 7، -4فيكون الحل (الصحيحة هي جـ

11جـ = 3ب + 87جـ = 7ب + 8

) حل النظام :3

)1، -1.5أ) (

)1، -1.75 ب) (

)1، 1.75جـ) (

) 1، 1.5د) (

الحـــــــــــــــــــل11 جـ = 3 ب + 8 7 جـ = 7 ب + 8

اطرح المعادلتين 11 جـ = 3 ب + 8

7 جـ = ــ 7 ب ــ 8 ــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

4 جـ = 4 ــ 1 جـ = ــ

عوض عن جـ في إحدى المعادلتين لجيجاد قيمة ب 11 جـ = 3 ب + 8 3 + 11 ب = 8

14 = ب 8 8

1 . 75 ب = )1 ، ــ 1 . 75اذن الحل هو (

الحل = ب

11جـ = 3ب + 87جـ = 7ب + 8

) حل النظام :3

ب

تأكد

حل كاًل من أنظمة المعادلت التية مستعماًل طريقة الحذف:

7م – ب = 5(111م – ب = 7

الحـــــــــــــل أطرح المعادلتين

7 م ــ ب = 5 11 م + ب = ــ 7 ــ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 4 م = ــ 2 ــ

2 م = عوض عن م في إحدى المعادلتين لجيجاد قيمة ب

7 م ــ ب = 5 7 ) ــ ب = 2 ( 5

7 ــ ب = 10 10 + 7 ب = ــ

3 ب = ) 3 ، 2 اذن الحل هو : (

3 , ب = 2م =

تأكد

ط ًال طريقة الحذف: ط ًال من أنظمة المعادل ت التية مستعم حل ك

38ص = 5س + 8(24ص = 2س + 8 -

الحــــــــــــل أجمع المعادلتين

38 ص = 5 س + 8 4 ص = 2 س + 8 ــ

ـــــــــــــــــــــــــــــــــ 4 2 ص = 7

6 ص = عوض عن ص في إحدى المعادلتين لجيجاد قيمة س

38 ص = 5 س + 8 38 ) = 6 ( 5 س + 8

30 ــ 38 س = 8 8 س = 8

1 س = ) 6 ، 1 اذن الحل هو (

6 , ص = 1س =

تدرب وحل المسائل

ط ًال ط ًال من أنظمة المعادل ت التية مستعم حل كطريقة الحذف:

7) – ف + و = 61 ف + و =

الحــــــــــــــل اجمع المعادلتين

7 ــ ف + و = 1 ف + و =

ـــــــــــــــــــــــ 8 و = 2

4 و = عوض عن و في احدى المعادلتين لجيجاد قيمة ف

1 ف + و = 4 ــ 1 ف =

3 ف = ــ )4 ، 3اذن الحل هو ( ــ

تدرب وحل المسائل

22ما العددان اللذان مجموعهما ) 12؟ 12والفرق بينهما

الحـــــــــــــل22س + ص =

12 س ــ ص = اجمع المعادلتين

22 س + ص = 12 س ــ ص =

ـــــــــــــــــــــــ 34 س = 2

17 س = عوض عن س في احدى المعادلتين لجيجاد قيمة ص

22 س + ص = 17 ــ 22 ص =

5 ص = )5 ، 17اذن الحل هو (

17 العدد الول = 5 العدد الثاني =

تدرب وحل المسائل

22ما العددان اللذان مجموعهما ) 12؟ 12والفرق بينهما

انتهى الدرس