โครงงาน สาขาวิชาคณิตศาสตร์

โครงงาน สาขาวชาคณตศาสต

รจำานวน วฏจกรทไมมเสนเชอมรวมกนความยาว N

ในกราฟบรบรณ

A Number of N-edge Disjoint Cycle in Complete Graph and L’ Posa Conclusion

อาจารยทปรกษาโครงงาน

อ.ชดเฉลม คงประดษฐ

อ.ธรรมนญ ผยรอด

ทมาและแนวคดของปญหา

กำาหนดให G เปนกราฟใดๆ ถาจำานวนเสนเชอมของกราฟ G มคามากกวาจำานวนจดยอดของกราฟ G แลวกราฟนนจะมวฏจกร 1 วฏจกรเสมอ

กำาหนดให G เปนกราฟใดๆ ถาจำานวนเสนเชอมของกราฟ G มคามากกวากวาจำานวนจดยอดบวกสแลวจะไดวากราฟนนจะมวฎจกร 2 วฏจกรทไมมมเสนเชอมรวมกน

ตวอยาง

e ≥ v

e=3 v=4 e=5 v=5 e=7 v=6

ตวอยาง

e ≥ v+4

v=6 e=10 v=7 e=11แนวทางการพสจน

โดยขดแยง ให G เปนกราฟทเลกทสดทเปน counter example

iii)Girth ของ G มขนาด 5

iv) minimum degree 3

ทำาให v ≤ 8 โดยการสรางไมมกราฟนน

ปญหาทตองถกถามคอ

ปญหาปญหา กำาหนดให G เปนกราฟใดๆ ถา G มจำานวนวฏจกรทไมมเสนเชอมรวมกนทงหมด N วฏจกรแลว E ≥ V+L

จากปญหาทกลาวมาเราจะหา คาของ L ในรปคาคงท หรอ ในเทอมของ V

จากปญหานทำาใหเราตองพยายามหาคอจำานวนวฏจกรทแนนอนในกราฟทกๆรปแบบทเปนไปได

ปญหาทเกยวของและปญหาเพมเตม

828

727

426

325

24

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

987654321E+

ปญหา การหาจำานวนวฏจกรความยาวตางๆ

การพจารณาวาในกราฟบรบรณทมขนาด N นนจะมจำานวนวฏจกรทไมมเสนเชอมรวมกนทงหมดเทาไหร

ตวอยาง

แนวทางการแกปญหากรณ C3

V1

V2V3

พจารณาการสราง

Cycle ทมความยาว 3 บนเซต ของจดยอด 3 จดนนเราจะเหนไดวา จะให cycle ทจำาเพาะเจาะจงตางกบกรณบนจดยอด 4 จดแลวหา cycle ความยาว 4 เพราะฉะนนถาเซตของจดยอด 2 เซต A และ B โดยท แลวเราสามารถสรางวฏจกรจากไม A ก B เทานน

V4V4

V2V2 V1V1

V3 V3

2A B =ￇ


จากขางตนปญหาของเรานนจะลดลงเหลอเปนคำาถามทวา

{ } { } { }{ }, , , , , 1,2 ,3 ( , 1,2 ,3 1i i jB A a b c a b c n i j k A A= = " =K K

ปญหาคอ คา n คาหนง ขนาดของเซต B ทใหญทสดเปนเทาใด

{ } { } { }{ }, , , , , 1, 2,3 ( , 1, 2,3 1i i jB A a b c a b c n i j k A A= = " =ￎￎￇￆￚK K


V1

V2V3

V2V1

V3V4

พจารณาจำานวน cycle ทเปนไปไดทงหมดทเราจะเลอก

}{1, 2,3{ 1,2,3 }

{ 1,2,3 } { 1,2,4 }

{ 1,3,4 }

{ 2,3,4 }


V1

V2

V3V4

V5

{ 1,2,3 } { 1,2,4 } { 1,2,5 }{ 1,3,4 } { 1,3,5 } { 1,4,5 }

{ 2,3,4 } { 2,3,5 }{ 2,4,5 }

{ 3,4,5}


V6 V1

V2

V3V4

V5

{ 1,2,3 } { 1,2,4 } { 1,2,5 } { 1,2,6 }{ 1,3,4 } { 1,3,5 } { 1,3,6 }{ 1,4,5 } { 1,4,6 }{ 1,5,6 }

{ 2,3,4 } { 2,3,5 } { 2,3,6 }{ 2,4,5 } { 2,4,6 }{ 2,5,6 }

{ 3,4,5 } { 3,4,6 }{ 3,5,6 }

{ 4,5,6 }


V1

V2

V3

V4V5

V6

V7

{ 1,2,3 } { 1,2,4 } { 1,2,5 } { 1,2,6 } { 1,2,7 }{ 1,3,4 } { 1,3,5 } { 1,3,6 } { 1,3,7 }{ 1,4,5 } { 1,4,6 } { 1,4,7 }{ 1,5,6 } { 1,5,7 }{ 1,6,7 }{ 2,3,4 } { 2,3,5 } { 2,3,6 } {2,3,7}{ 2,4,5 } { 2,4,6 } { 2,4,7 }{ 2,5,6 } { 2,5,7 }{ 2,6,7 }{ 3,4,5 } { 3,4,6 } { 3,4,7 }{ 3,5,6 } { 3,5,7 }{ 3,6,7 }{ 4,5,6 } { 4,5,7 }{ 4,6,7 }{ 5,6,7 }

ผลทไดจากการสงเกตทำาใหไดวา Conjecture

j(6 4 ) 4 6

(5 4 ) 2 6

(4 4 ) (3 3 ) 1 6

f k k

f k k

f k f k k

+ = ++ = ++ = + = +

เมอ k มคาเปนจำานวนเตมทไมเปนลบ

แนวทางการแกปญหา C n

จำานวนวฏจกรความยาว n ในกราฟบรบรณ Kn มคาเทากบ

1

2

n -￪￪￫

แนวทางการพสจน

i) พจารณาดกรของแตละจดยอดii) ความจรงทวาวฏจกรทมความยาว n ออกจากแตละจดยอดวนกลบมาทเดม ดกรของแตละจดยอดจะหายไปทละ2 เสมอiii) พจารณาวา จดแตละจดนนเชอมโยงกนหมดจากความเปนบรบรณ

ตวอยาง วฏจกรความยาว n บน Kn


ปญหากรณ วฏจกรความยาว 4 ในกราฟนคอนขางซบซอน ไมเหมอนกรณของ C3 เนองจากบนจดยอดสจดนนไมได จำานวนวฏจกรทจำาเพาะบนจดยอดสจดใดๆ

แตกพอมเงอนไขบางประการถาเรากำาหนดลงไปเราจะไดเงอนไขของเซตทเราตองการสรางเหมอนกรณ ของ C3{ } { } { }{ }, , , , , , 1, 2,3 ( , 1,2,3 1 2i i jB A a b c d a b c d n i j k A A= = " =ￎￎￇￆￚￚK K

และยงมเงอนไขตอไปอกวา แตละคของตวเลขทสรางจาก 1,2,3…n นนจะปรากฏไดไมเกน 2 ครงเทานน

แนวทางกรณ C5

เนองจากเราทราบมาแลวบนจดบอด 5 ใดนนจะตองมวฏจกรทมความยาว 5 อยางนอย 2 อน

ทำาใหเราไดวา

( ) 15 5,

2 5m

m mK m DC m

-￪￦ﾮﾳ￪￫￨

สำาหรบกรณความยาว n ใดๆ สตรนจะเปนผลพลอยไดโดยตรงจากเรอง Cn บน Kn

( ) 1,

2m

m mK n m DC n m

n

-￪￦ﾮﾳ￪￫￨

ขอสรปบางประการของ C4

2

1

2 ( 1)4

2 4

m

i

m i m mC

￪￪￫

=

- -￪￪ﾣﾣ￪￪￫￫￥

ปญหาเรองการแผทวทกเสนเชอม

จะเหนไดวากราฟบางรปนนเมอหา จำานวนวฏจกรทมความยาวหนงๆ จนถงทสดแลวจะมบางเสนไมถกใชเลย และเมอเราปดวยวฏจกรทมรความยาวทตางกนกลบปไดทว จะหาเงอนไขการปททำาใหเกดวฏจกรมากทสดและเงอนไขตรวจสอบวาปไดทวหรอไม

บทประยกตของการหาจำานวนวฏจกรในกราฟ

ประยกตใชในการสราง Network ประเภท LAN ทสามารถสงขอมลไดทวถงจากแหลงขอมลใดๆไปสตวรบแตละตวไดโดยไมตองผานตวรบตวอนทไมเกยวของ ซงในการสราง Network ประเภทนมกพบปญหา คอ บางครงในการสงขอมลผานทางใดทางหนงอาจลมเหลวได ดงนนระบบจงตองสงขอมลผานตวรบอนแทนเพอถายทอดขอมลไปสตวรบทเปนเปาหมาย แตเนองจากการสงผานตวรบอนๆกอนนนจาทำาใหเสยเวลานาน ฉะนนจงตองมการปรบปรง Networkใหมโดยใชวธการแบง Network ออกเปน Networkยอยๆ

จากรปจะเหนวาหากเราสรางNetworkยอย คอการหาจำานวนวฏจกรทสนทสดทนอยทสดซงไมมเสนเชอมรวมกนทอยบน Network จะพบวาแตละวฏจกรจะชวยเชอมตอตวรบขอมลทกตวใหสงขอมลโดยใชระยะทางสนทสด ฉะนนเมอเกดการลมเหลวของการเชอมตอระหวางตวรบขอมล2 ตว Networkยอยกจะทำาหนาทสงขอมลผานตวรบตวอนแทน ซงระยะทางทใชสงจะเปนระยะทสนทสด ทำาใหในการสงขอมลผาน Networkนเรวกวาการสงตอขอมลผาน Networkทไมใช Networkยอยดงนนยงมจำานวน Networkยอยมากกยงทำาให Networkมประสทธภาพดยงขนดวย



จากรปสงเกตวาเสนทางทเปนสแดงคอเสนทการเชอมตอลมเหลว หากสราง Networkยอยจะพบวาการเชอมตอสามารถเชอมผานตวรบอนเพอตอผานไปยงตวรบขอมลทเปนเปาหมายได โดยเสนทางสนำาเงนคอเสนทางทสนทสด

ปญหาในทางกลบกน

กำาหนดวาเราตองการสรางกราฟทม วฏจกรทไมมเสนเชอมรวมกนยาวความ n จำานวน m วฏจกรเราตองใชจำานวนนอยทสดกจด

แนวทางการตอบปญหาในทางกลบกน

i) พจาณากราฟในสถานตงตนคอ Cn

ii) พจารณา วาสามารถเตม cycle ทเราตองการลงไปไดหรอไม

iii) ถาไมสามารถทำาไดใหเพมจดมา 1 จด แลวเชอมมนเขากบจดทกจดทมอย กอนหนา

iv) ถาสามารถทำาไดหรอไดจำานวน cycle ทเราตองการแลวใหหยด

v) ถาไมสามารถทำาไดใหเพมจดไปเรอยๆ

G

G

ปญหานเปนปญหา Packing

โครงงาน สาขาวิชาคณิตศาสตร์

Education