מודל בלק שולס מרטון והמודל הנאיבי

1

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

פרקים - 9קרא 16ו

מודל בלק-שולס-מרטוןמודל בלק-שולס-מרטוןוהמודל הנאיביוהמודל הנאיבי

פרופ' רפי אלדורפרופ' רפי אלדור

2


השפעתם של גורמים שונים על מחירהשפעתם של גורמים שונים על מחירהאופציההאופציה

השפעה על מחירי ה-PUT

השפעה על מחירי ה-CALL

הגורם (עליה ב:)

מחיר המניה

מחיר המימוש

סטיית התקן

שער הריבית

שיעור הדיבידנדים

אורך חיי האופציה * *

לעלות* מסוימים במקרים יכול אירופיות באופציות. לרדת אחרים ובמקרים

3


מודל נאיבימודל נאיבי

: דרכים בשתי נכסים לקנות ניתן

כיום – • נשלם זה במקרה ישירה קניהS

זה – • במקרה האופציה דרך קניהכיום נשלם

הפרמיה ( מחיר X)Cאת את ובעתידXהמימוש

4


נוסחת המודל הנאיבינוסחת המודל הנאיבי

SXXC =+)(

שקולות אלו דרכים כי טוען הנאיבי המודלריבית ( בהנחת ):0%היינו

:( ריבית ( כל כללי ובאופן

( ) Sr

XXC T =

++1

)(

5


ונקבל אגפים נעביר

Tr

XSXC

)1()(

+−=

המודל הנאיביהמודל הנאיבי

6


+−=0

)1()( Tr

XS

MaxXC

CALLCALLנוסחת המודל הנאיבי עבור אופציית נוסחת המודל הנאיבי עבור אופציית

7


PUTPUTנוסחת המודל הנאיבי עבור אופציית נוסחת המודל הנאיבי עבור אופציית

−

+=0)1()(

Sr

XMaxXP T

8


CALLCALLגרף הערך הנאיבי של אופציית גרף הערך הנאיבי של אופציית

נאיבי שווי

כיום מדד

9


PUTPUTגרף הערך הנאיבי של אופציית גרף הערך הנאיבי של אופציית

נאיבי שווי

כיום מדד

10


הערות למודל הנאיביהערות למודל הנאיבי

עמוק • אופציות לתמחור טוב קרוב מהווה המודל. הכסף בתוך

•. ודאות של בעולם תופס המודל

11


מודל בלק- שולס-מרטון מודל בלק- שולס-מרטון

אירופיות • אופציות•1973- CBOE•1973 - - מרטון- שולס בלקבכלכלה- 1997• נובל פרס

12


הערכת שווי אופציותהערכת שווי אופציותSCHOLESSCHOLES ו- ו- BLACKBLACKהמודל של המודל של

למימון 1973בשנת הפרופסורים שני פרסמו FISHER BLACK וMYRON SCHOLES אתמאמרם

מחיר הערכת . CALLאופציה על אירופית בתחום דרך פריצת היווה זה . מאמר אופציות מחירי הערכת

הנוסחה את פיתח אליהם מרטון ( במקביל ).1973רוברטמרטון 1997בשנת ורוברט שולס למירון נובל פרס הוענק

ב ( - נפטר בלק פישר זה מדעי הישג ). 1995בזכות

13


SCHOLESSCHOLES ו- ו- BLACKBLACKהנחות מודל הנחות מודל

. רציף הוא בבורסה המסחר

חסר תיק יצירת המאפשרות ההנחות אחת זוהי " קנייה י ע הוודאית התשואה על ושמירה סיכון

בהתאם אופציות או מניות של מכירה אועל( לשמור מאפשרות אלה ומכירות קניותככל המשתנה הנכון סיכון המנטרל היחס

.( הזמן שחולף

14



ומסים • עסקה הוצאות אין

בחסר • מכירות מותרות

15



דיבידנדים • אין

16



קבוע • הוא סיכון חסר ריבית שער

17



נורמלית היא הבסיס נכס תשואת התפלגותלוגנורמלית היא העתידי מחירו והתפלגות

- היא במחיר שינוי של הדינמיקה אחרת בשפתGEOMETRIC BROWNIAN MOTION

18


עולם של ודאותעולם של ודאות

בפקיעה הכסף בתוך שתהיה אופציה ערך

( )[ ] rTrT XeSXTSeC −− −=−=

19


נוסחת בלק ושולסנוסחת בלק ושולס

( ) ( )

( ) ( )

T

T

5.0/

12

2

1

21

σ

σσ

−=

++=

−= −

dd

TrXSLnd

dXNedSNC rT

20


דוגמא דוגמא

שולס – : בלק של בנוסחה לשימוש דוגמא נביא: ש נניח

%20

%20

2466.0365/90

200

205

==

===

=

σr

T

X

S

שנתיים במונחים מצוינים האחרונים הנתונים ששלושת לב שים

21


המשך דוגמאהמשך דוגמא

( ) ( ) N200205 )2466.0(2.021

−−= eddNC

22


מושגים שימושיים של הדוגמאמושגים שימושיים של הדוגמא

37.9

0014.0

78.0

21.17

62.14

5

=Ω≡=≡=≡=≡

=−≡=−=

−

h

C

XeS

XS rT

χ

. האופציה של הפנימי הערך

. האופציה למחיר התחתון הגבול

ושולס בלק לפי האופציה מחיר .

האופציה של הדלתא .

האופציה של הגמא .

. האופציה גמישות

23


הצגה גרפיתהצגה גרפית

אופציה שוויC(200(

" פ" ע ח בשושולס בלק

SBC /

מחיר המניה

תחתון גבוללמחיר ,האופציה פנימי) שווי

( בפקיעה שווי

5

205200

14.62

C=17.21

24


CALLCALLשווי אופציית שווי אופציית

)2(*)1(*)( dNXedNSXC rt−−=

t

trXSnd

σσ )5.0()/(1

12++=

אופציית של ערכה זה מודל :CALLלפי

נכס * – * הסתברותי גורם מהוון מימוש מחיר הסתברותי גורםאופציה = בסיסכאשר:

tdd σ−= 12

-)N(d1ו- ערכי )N(d2ו -d1הם ההתפלגות d2ו בטבלת. סטנדרטית הנורמאלית

N(d1( -בקרובל למימושהאופציה. )N(d2שווה להסתברות בקרוב שווה

25


CALLCALLהצגה גראפית הצגה גראפית

אופציית שווי של גראפית הצגה מודל CALLלהלן : BSלפי

כיום אופציה שווי

כיום מדד

BSערך

פנימי ערך

נאיבי ערך

26


אופציה של ערכהPUT:

)1(*)2(*)( dNSdNXeXP rt −−−= −

פנימי ערך

BSערך

נאיבי ערך

כיום אופציה שווי

כיום מדד

PUTPUTהצגה גראפית הצגה גראפית

27


הגורמים המשפיעים על שווי אופציה הגורמים המשפיעים על שווי אופציה

בנוסחה מוצב גורם סימול

מעוף בסיס X 100 מדד נכס S

מימוש מחיר X 100מחירמימוש

X

, לתקופה סיכון חסרת ריבית. שנתיים במונחים

ריבית r

נכס תשואת של תקן סטיית. שנתיים, במונחים הבסיס

תקן סטיית

. , שנתיים במונחים למימוש זמן זמן למימוש

t

מודל :5יש BSMלפי האופציה מחיר על המשפיעים גורמים

σ

28


דוגמאדוגמא

: בנוסחה לשימוש דוגמא

" א ת על 25מדד היא. 500עומד השנתית תקן .20%סטייתלשנה – סיכון חסרת .8%ריבית

ערך את .90ל – ) C(490של BSMחשב יום

29


BSBS לפי לפי CALLCALLערך ערך

30866368.0*98.0*490006763.0*50000)490(

98.0

6368.0)35.0( 6763.0)45.0(

35.0365/902.045.02

45.01.0

0246.00202.0365/902.0

365/90)2.0*5.008.0()490/500ln(1

365/90*08.0

2

=−===

===−=

=+

=++=

−−

C

ee

NN

d

d

rt

30


השפעת הגורמיםהשפעת הגורמים

: האופציות מחירי על השונים בפרמטרים עליה השפעת להלן

על השפעהPUT

על CALLהשפעה גורם סימול

בסיס נכס S

מימוש מחיר X

ריבית r

תקן סטיית

? למימוש זמן t

σ

31


סטיות תקן גלומותסטיות תקן גלומות

ערך את לנו תיתן בנוסחה הפרמטרים חמשת של .BSהצבה , לשאול ניתן כלשהו במחיר נסחרת האופציה בשוק כי נניח

. מתוך שארבעה מכיוון זה במחיר הגלומים הפרמטרים מהם , התקן סטיית מהי לשאול ניתן ידועים הפרמטרים חמשת

. האופציה במחיר הגלומה

של התיאורטי ערכן עולה כך עולה התקן שסטיית CALLככלהתקן PUTו – סטיית כך יותר גבוה השוק שמחיר ככל מכאן

. יותר גבוהה באופציה הגלומה

32


מקדמי רגישותמקדמי רגישות

. מהפרמטרים אחד לכל ביחס הנוסחה את לגזור יכולים אנו: כלהלן באותיות מסומנות אלו נגזרות

נגזרות גורם סימולהנגזרת ( גמא דלתא

השנייה)

האופציה מנוף

בסיס נכס S

מחיר מימוש

X

רו ריבית rווגא תקן סטייתתטא למימוש זמן t

σ

∆ΓΩ

ρ

θ

Λ

33


דלתאדלתא

. הבסיס נכס למחיר ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת היאהמדד כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקירוב היא

. סיכון חסר תיק לבניית המשמש ההגנה יחס היא בנקודה עולה

:CALLעבור . תמיד חיובית

. עולה שהמדד ככל עולהבאופציות 100ל 0בין ( 1ל 0בין

( ף" מעו : ל )N(d1שווה

1

0 מדד

∆

34


דלתאדלתא

. הבסיס נכס למחיר ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת היאהמדד כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקירוב היא

. סיכון חסר תיק לבניית המשמש ההגנה יחס היא בנקודה עולה

:PUTעבור . תמיד שלילית

( שהמדד ( ככל מוחלט בערך יורדתעולה.

- 100ל 0בין- ( 1ל 0בין ( " ף מעו באופציות

: ל N(d1(0- 1שווה

-1 מדד

∆

35


גמאגמא

מדד

Γ

. הבסיס נכס למחיר ביחס האופציה של השנייה הנגזרת היאעולה המדד כאשר בדלתא בשקלים השינוי בקרוב היא

. ( ל( בנקודה מימוש PUTו – CALLיורד מחיר אותו עם. . תמיד חיובית גמא אותה יש

. בכסף האופציה כאשר היא ביותר הגבוהה הגמא

36


תטאתטא

. לזמן ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת היא. , יום חולף כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקרוב היא

. הכסף באזור היא ביותר הגבוהה התטא

CALLעבור PUTעבור , חיובית להיות עשויה

. אפס, או שלילית. תמיד שלילית

מדד מדד

θ θ0 0

37


ווגאווגא

. התקן לסטיית ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת היאסטיית כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקרוב היא

ב – עולה .1%התקן.PUTו – CALLל ווגא אותה יש מימוש מחיר אותו עם

. חיובית תמיד הווגא

מדד

Λ

38


רורו

. לריבית ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת הואהריבית שער כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקרוב הוא

ב – .1%עולהעבור תמיד עבור CALLחיובית תמיד .PUTושלילית

מודל בלק שולס מרטון והמודל הנאיבי

Economy & Finance