Тема1. ОБ’ЄМ МНОГОГРАННИКІВ

• З історії розвитку поняття об’му геометричних тіл.

• Об’єм тіла. Основні властивості об'ємів. Об'єм прямокутного паралелепіпеда, призми.

• Об'єм похилого паралелепіпеда, похилої призми.

• Розв'язування задач.

• Об'єм піраміди.

• Об'єм зрізаної піраміди.

• Розв'язування задач.

• Многогранники в житті і практиці людини (Єгипетські піраміди, архітектурні споруди, побутові предмети).

З історії розвитку поняття об’єму геометричних тіл.

Наприклад в Англії: 36,4 дм3 – бушель; 159 дм3 – барель; 12 дм3 – відро; 490 дм3 – діжка. Деякі з перелічених одиниць вимірювання використовуються і досі.

У давнину деякі міри маси і об'єму часто збігалися з мірами вартості товару – грошовими одиницями. Зокрема, на Русі основна одиниця маси – гривна – була водночас грошовою одиницею. Гривна – це злиток срібла, маса якого наближено дорівнювала 1 фунту.

У другій половині ХІІІ ст. гривну почали рубати навпіл і називати рублем, який із Х\/ став основною грошовою одиницею.

Нині в Україні гривна – грошова одиниця.

У творах Архімеда та “Началах” Евкліда були виведені

формули для знаходження об'ємів многогранників і деяких тіл

обертання (циліндра, кулі, конуса та їх частин).

Розробив теорію площ і об'ємів К.М.Е.Жордан (1838 - 1922) –

французький математик, один із засновників сучасної математики.

У минулому одиницями вимірювання об'ємів біли міри посудини,

що використовувалися для зберігання сипучих і рідких речовин.

Евклід

Приблизно 330 – 277 до н.е.

ПОНЯТТЯ ОБ’ЄМУДля простих тіл об’єм – це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:1. Рівні тіла мають рівні об’єми.2. Якщо тіло розбито на частини, які є простими тілами, то об’єм цього тіла дорівнює сумі об’ємів його частин.3. Об’єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці.

Пригадай, які одиниці вимірювання обПригадай, які одиниці вимірювання об’’ємів ємів використовуютьвикористовують в математиці?в математиці?

a

b

cA

B С

D

A1

B1

D1

С1

ОБ’ЄМ ПРЯМОКУТНОГО

ПАРАЛЕЛЕПІПЕДАОб’єм прямокутного

паралелепіпеда з лінійними

вимірами a, b, c обчислюється

за формулою:

V=abc

Запиши самостійно формулу для обчислення обЗапиши самостійно формулу для обчислення об’’єму куба.єму куба.

ОБ’ЄМ ПОХИЛОГО

ПАРАЛЕЛЕПІПЕДАОб’єм будь – якого

паралелепіпеда (в тому числі і

похилого) обчислюється за

формулою:

V=SHA

B С

D

A1

B1

D1

С1

Де S – площа основи паралелепіпеда,

H – висота паралелепіпеда.

ОБ’ЄМ ПРИЗМИ

Об’єм будь – якої призми дорівнює добутку площі її основи на висоту

V=SHA

B

С

A1

B1

С1

Виконай самостійно зображення похилої чотирикутної призми.Виконай самостійно зображення похилої чотирикутної призми.

Зверни увагу!!! Площею основи призми є площа відповідного плоского Зверни увагу!!! Площею основи призми є площа відповідного плоского

многокутника.многокутника.

ОБ’ЄМ ПІРАМІДИ

Об’єм будь – якої піраміди дорівнює третині добутку площі її основи на висоту.

A

B

S

С

V= SH3

1К

ОБ’ЄМ ЗРІЗАНОЇ ПІРАМІДИ

Q1

Q2

Об’єм зрізаної піраміди дорівнює:

)(3

12211 QQQQhV

M

K

Q1 і Q2 – площі основ зрізаної призми

h – висота.

ЄГИПЕТСЬКІ ПІРАМІДИВеликі піраміди в Гізі Ступінчата піраміда Джосера

Червона піраміда Снофру Велика піраміда Хеопса

Довідкова інформація• ЄгиJпетські піраміJди — найбільший архітектурний пам'ятник з семи чудес світу. Піраміди —

це величезні камяні споруди пірамідальної, ступінчатої чи баштоподібної форми, збудовані як гробниці для фараонів Давнього Єгипту.

• При згадці єгипетських пірамід, як правило, мають на увазі розташовані в Гізі, неподалік від Каїру Великі Піраміди. Проте, вони не були єдиними пірамідами Єгипту.

• Перша піраміда — ступінчата піраміда Джосера, побудована приблизно в 2670 року до нашої ери, нагадує кілька поставлених один на одного щораз менших мастаб. Швидше за все, саме таким був задум архітектора цієї піраміди, Імхотепа. Імхотеп розробив спосіб кладки з тесаного каменю. Згодом, єгиптяни глибоко шанували зодчого першої піраміди, і навіть обожествили його. Він вважався сином бога Птаха, покровителя мистецтв і ремесел. Сама піраміда Джосера розташована в Саккарі, неподалік від древнього Мемфіса. Її висота становить 62 метри.

• Фараон Снофру, батько Хеопса, побудував першу піраміду з рівними стінами - Червону піраміду.

• Найбільшою є піраміда Хеопса. Спочатку її висота становила 147 метрів, проте, через те, що нині відсутнє облицювання піраміди, її висота натепер зменшилася на 7,5 метрів. Довжина сторони піраміди — 230 метрів. Піраміда була побудована XXVII столітті до н. е. Припускають, що будівництво тривало 23 роки. Піраміда складена з 2,3 мільйонів кам'яних блоків, які були підігнані один до одного з неперевершеною точністю. При цьому не використовувався цемент чи інші сполучні речовини. Кожен блок важить 2 тонни. Піраміда є практично монолітним спорудженням — за винятком поховальної камери і провідних до неї коридорів, в піраміді практично немає внутрішнього простору.

Розв'яжіть задачі:Початковий рівень 1.Обчисліть об’м похилого прямокутного паралелепіпеда, якщо сторони його основи 4 см і 6 см, а висота рівна 10 см.

1.Об’єм призми 300 см3, площа її основи дорівнює 30 см2. Обчисліть висоту призми.

1.В основі піраміди лежить паралелограм, одна сторона якого рівна 8 см, а висота, проведена до цієї сторони, дорівнює 5 см. Обчисліть об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює 6 см.

Середній рівень1.Основа прямокутного паралелепіпеда – квадрат. Знайти об'єм цього паралелепіпеда, якщо його висота 4 см, а діагональ бічної грані утворює з площиною основи кут 45°.

2. В основі призми лежить ромб з діагоналями 2 см і 3 см, висота призми рівна 4 см. Обчисліть об'єм даної призми.

3. Основою піраміди є трапеція з основами 8 см і 12 см і висотою 4 см. Висота піраміди дорівнює 6 см. Знайти об'єм піраміди.

Розв'яжіть задачі:Достатній рівень 1.Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом . Кут між стороною і діагоналлю основи дорівнює Визначити об'єм паралелепіпеда.

2. В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник із кутом і протилежним катетом b. Діагональ грані, що містить гіпотенузу цього трикутника, утворює з площиною основи кут . Визначити об'єм призми.

3. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом 30° при основі і радіусом вписаного кола 5 см. Визначити об'єм піраміди, якщо всі її бічні грані утворюють з площиною основи кут 45°.

Високий рівень1.Основою похилого паралелепіпеда є прямокутник зі сторонами 4 см і 8 см. Одне з бічних ребер паралелепіпеда дорівнює 3 см і утворює з сторонами основи кути по 45°. Визначити об'єм паралелепіпеда.

2. Визначити об'єм правильної трикутної зрізаної піраміди, якщо радіуси вписаних в основу кіл відповідно дорівнюють 3 і 5 см, а бічне ребро 4 см нахилене до площини основи під кутом 60°.

Розв'яжіть задачі: