Ірраціональні рівняння і нерівності

План лекції1. Розв’язування ірраціональних рівнянь.2. Рівняння виду .3. Метод заміни.4. Рівняння виду 5. Рівняння виду 6. Ірраціональні нерівності та їх розв’язування.

Теорія. При розв’язуванні рівнянь з коренями потрібно накласти область визначення (ОДЗ). Якщо це зробити важко, розв’язати рівняння, а потім зробити перевірку.Розглянемо різні методи розв’язування рівнянь.Потрібно запам’ятати: ліву і праву частину рівняння можна підносити до квадрату, якщо вони не від’ємні.

Приклад 1. Знайдіть корінь рівняння Розв’язання.

ОДЗ: Піднесемо до квадрату, маємо:

х-2=36,х=38.

Відповідь: .

Приклад 2. Розв’язати рівняння Розв’язання.

ОДЗ: Ми бачимо, що ліва частина рівняння не від’ємна, а в правій частині стоїть нуль. Рівність буде виконуватись коли кожний доданок буде нулем, тобто:

Відповідь:

Приклад 3. Розв’язати рівняння Якщо рівняння має кілька коренів знайти їх добуток.

Розв’язання.

ОДЗ:

Добуток дорівнює нулю, коли один із множників буде нулем, мємо:х-3=0 або х+5=0 або

х=3- не входить в ОДЗ х=-5-не входить в ОДЗ х=4.Отже рівняння має один корінь х=4.

Відповідь:

Теорія. Розглянемо рівняння виду , в правій частині якого стоїть вираз залежний від х. Перш ніж піднести до квадрату накладемо обмеження на праву частину , бо підносити до квадрату можна коли обидві частини рівняння не від’ємні. ОДЗ на корінь накладати не потрібно, бо умова каже про те, що підкореневий вираз теж не від’ємний.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх суму.

Розв’язання.

накладаємо обмеження на праву частину рівняння:

Підносимо рівняння до квадрату, маємо:

Як ми бачимо х=6 не буде коренем рівняння, тому що не входить в обмеження.Відповідь:

Приклад 5. Розв’яжіть рівнянняРозв’язання.

ОДЗ:

Перенесемо в ліву частину, тоді обидві частини рівняння будуть не від’ємні і можна підносити до квадрату.

Враховуючи ОДЗ і обмеження Підносимо останню рівність до квадрату, маємо:

Відповідь:

Приклад 6. Розв’яжіть рівняння Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх суму.

Розв’язання.

ОДЗ:

В правій частині рівняння винесемо 6 за дужки, потім все перенесемо в ліву частину рівняння і розкладемо на множники, маємо:

добуток дорівнює нулю коли один із множників дорівнює нулю:х+2=0 абох=-2-не входить в ОДЗ

Сума коренів дорівнює 1.Відповідь: 1.

Теорія. Розглянемо декілька прикладів рівнянь, які розв’язуються методом заміни.

Приклад 7. Розв’яжіть рівняння У відповідь записати середнє арифметичне коренів рівняння.

Розв’язання.Розв’яжемо рівняння, а потім зробимо перевірку. Якщо піднести до квадрату то вийде досить складне рівняння, тому виділимо однаковий вираз в різних місцях рівняння.

Вертаємось до заміни

Робимо перевірку і бачимо, що обидва числа є коренями рівняння.Середнє арифметичне коренів рівняння: (0+4):2=2.Відповідь: 2.

Приклад 8. Визначити найменший корінь рівняння У відповідь записати вісім помножено на найменший корінь рівняння.

Розв’язання.

Введемо заміну:

Вертаємось до заміни:

Вертаємось до заміни з літерою х:

Найменший корінь рівняння помножено на вісім дорівнює -1.Відповідь: -1.

Приклад 9. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання.

ОДЗ:

Введемо заміну:

Вертаємось до заміни:

Відповідь:

Приклад 10. Визначити найбільший корінь рівняння

Розв’язання.ОДЗ: Ми бачимо однорідне рівняння другого степеня,

поділимо рівняння на переконавшись, що , маємо:

вводимо заміну , маємо:

Вертаємось до заміни:

Найбільший корінь рівняння 0.Відповідь: 0.

Теорія. Розглянемо рівняння виду ( в правій частині рівняння може стояти число). Піднесемо ліву і праву частину рівняння до кубу і використаємо перетворену формулу (2)

замість підставимо . Маємо,

Після спрощення в обох частинах рівняння підносимо до кубу і рівняння зводиться до нескладного розв’язування.

Приклад 11. Визначити добуток коренів рівняння Розв’язання.

ОДЗ: Підносимо ліву і праву частину рівняння до кубу користуючись вище записаною формулою (2), маємо:

Добуток коренів рівняння:

Відповідь: -20.

Теорія. Рівняння виду де В лівій частині рівняння ми бачимо частину формули суми або різниці кубів, тобто

Тому помножимо рівняння на вираз , маємо:

остання рівність є рівнянням попереднього виду. Розглянемо приклад.

Приклад 12. Розв’яжіть рівняння Розв’язання.

помножимо рівняння на вираз , маємо:

підносимо ліву і праву частину рівняння до кубу, маємо:

Відповідь:

Теорія. Більш складні рівняння, в яких зустрічається два корені, можна розв’язувати методом заміни. Розглянемо цей тип рівнянь на прикладі.

Приклад 13. Розв’яжіть рівняння Розв’язання.

ОДЗ:

Введемо заміну: додамо рівняння системи, маємо: . Тепер ми маємо два рівняння відносно літер а і в, перше з умови, а друге відшукали. Розв’яжемо систему рівнянь відносно а і в:

розв’яжемо останнє рівняння з літерою а, маємо:

отримали кубічне рівняння.Дільники вільного члена: Цілий корінь рівняння повинен знаходитись серед дільників вільного члена. Підбором встановлюємо, що а=2, перевірка: 8-4+16-20=0. Це означає, що ліва частина рівняння націло ділиться на двочлен а-2. Виконуємо ділення «кутом», маємо:

а-2 -

-

0Рівняння розкладаємо на множники:

отже а=2, то в=4-2=2,

Вертаємось до заміни: Відповідь:

Завдання для розв’язування.Завдання 1. Розв’яжіть рівняння:1. 2. Завдання 2. Розв’яжіть рівняння. Якщо рівняння має кілька коренів у відповідь запишіть їх суму.3. 4. 5. Завдання 3. Визначити найменший корінь рівняння Завдання 4. Визначити найбільший корінь рівняння 1) 2) Завдання 5. Визначити суму коренів рівняння (х-3)

Ірраціональні нерівності. Теорія. При розв’язуванні ірраціональних нерівностей обов’язково накладають ОДЗ. Підносити ліву і праву частину нерівності до парного степеня можна, коли обидві частини нерівності не від’ємні. Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність У відповідь запишіть кількість цілих розв’язків нерівності.

Розв’язання.

ОДЗ:

Підносимо до квадрату: спільні розв’язки між ОДЗ і нерівністю

Цілих розв’язків 4.Відповідь: 4.

Приклад 2. Визначити найбільший розв’язок нерівності Розв’язання.

Підносити до четвертої степені не можна, бо в правій частині нерівності стоїть від’ємне число. Нерівність буде виконуватися тільки для чисел з ОДЗ, бо ліва частина нерівності при цих значеннях завжди більша за -4.

ОДЗ: найбільший розв’язок нерівності 1,5.

Відповідь: 1,5.

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність Розв’язання.

Підносити до квадрату не можна, бо в правій частині нерівності стоїть від’ємне число. Ліва частина нерівності при будь-яких значеннях ікс не може бути менша за -1, тому нерівність не має розв’язків. Відповідь:

Приклад 4. Визначити найбільший розв’язок нерівності Розв’язання.

Підносити до квадрату не можна, бо в правій частині нерівності стоїть від’ємне число. Нерівність буде виконуватися тільки для чисел з ОДЗ, бо ліва частина нерівності при цих значеннях завжди більша за -2.ОДЗ:

Найбільший розв’язок нерівності 3,75.Відповідь: 3,75.

Приклад 5. Визначити найменший розв’язок нерівності Розв’язання.

ОДЗ:

Підносимо нерівність до квадрату:

Спільні розв’язки між ОДЗ і нерівністю: Найменший розв’язок 3.Відповідь: 3.

Теорія. Нерівність виду рівносильна системі нерівностей (Коментарії: на нерівність наклали ОДЗ: ;

обмеження на праву частину ; потім нерівність піднесли до квадрату ).Приклад 6. Розв’яжіть нерівність

Розв’язання.Нерівність рівносильна системі нерівностей:

Відповідь:

Теорія. Нерівність виду рівносильна сукупності двох систем:

Приклад 7. Розв’яжіть нерівність Розв’язання.

Нерівність рівносильна сукупності двох систем:

розв’яжемо рівняння , щоб потім останню

нерівність розкласти на лінійні множники.

Останню сукупність запишемо у вигляді:

.

Відповідь: .

Приклад 8. Розв’яжіть нерівність Розв’язання.

ОДЗ: Зробимо щоб обидві частини нерівності були не від’ємні, а потім піднесемо до квадрату, маємо:

останню нерівність розв’яжемо, як показано вище, ОДЗ не накладатимемо, бо це зроблено на початку. Отже, нерівність рівносильна системі нерівностей:

розв’яжемо рівняння , щоб потім останню нерівність розкласти на лінійні множники.

,

Враховуючи ОДЗ, остання система запишеться у вигляді

Відповідь:

Теорія. Багато ірраціональних нерівностей можна розв’язувати методом інтервалів.

Метод інтервалів, для розв’язування нерівностей виду (знак нерівності будь-який).

1) Знаходимо ОДЗ виразу .2) Знаходимо корені виразу , розв’язуючи рівняння .3) Розбиваємо ОДЗ знайденими коренями на проміжки.4) Знаходимо знак виразу на кожному проміжку.5) Записуємо відповідь.

Приклад 9. Визначити кількість цілих розв’язків нерівності у проміжку (-7;7).

Розв’язання.Використаємо метод інтервалів.

ОДЗ:

Запишемо нерівність у вигляді: Розв’яжемо рівняння:

Розбиваємо ОДЗ знайденими коренями на проміжки і знаходимо знак лівої частини нерівності на кожному проміжку.

Отже, Кількість цілих розв’язків нерівності у проміжку (-7;7) буде 5.Відповідь: 5.

Приклад 10. Визначити суму цілих розв’язків нерівності

Розв’язання.Використаємо метод інтервалів.ОДЗ:

Розв’яжемо рівняння:

запишемо початкову нерівність у вигляді множників, помноживши початкову нерівність на квадрат знаменника, маємо:

(1). Розбиваємо ОДЗ знайденими коренями на проміжки і знаходимо знак лівої частини нерівності (1) на кожному проміжку.

Отже, Сума цілих розв’язків нерівності

, буде -5+75=70.

Відповідь: 70.

Завдання для розв’язання.Завдання 1. Визначити найбільший цілий розв’язок нерівності:1) 2) 3) Завдання 2. Розв’яжіть нерівності:1) 2) 3) 4) 5) 6) Завдання 3. Визначити найменший цілий розв’язок нерівності

Завдання 4. Визначити найменший розв’язок нерівності Завдання 5. Визначити суму розв’язків нерівності

Завдання для розв’язування.Завдання 1. Розв’яжіть рівняння:1. 2. Завдання 2. Розв’яжіть рівняння. Якщо рівняння має кілька коренів у відповідь запишіть їх суму.

3. 4. 5. Завдання 3. Визначити найменший корінь рівняння Завдання 4. Визначити найбільший корінь рівняння 1) 2) Завдання 5. Визначити суму коренів рівняння (х-3)

Завдання для розв’язання.Завдання 1. Визначити найбільший цілий розв’язок нерівності:1) 2) 3) Завдання 2. Розв’яжіть нерівності:1) 2) 3) 4) 5) 6) Завдання 3. Визначити найменший цілий розв’язок нерівності

Завдання 4. Визначити найменший розв’язок нерівності Завдання 5. Визначити суму розв’язків нерівності