수열의 극한
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2009 년 1 학기 교생 연구 수업
그 녀석의 한계- 수열의 극한 -
2009 년 1 학기 교생 연구 수업
그 녀석의 한계- 수열의 극한 -
전시학습 1다음 수열의 규칙성을 파악하여라
(1) 1, 4, 7, 10, ...
(2) 8, -4, 2, -1, ...
전시학습 2다음 분수식을 간단히 하여라 .
(1) (2)
전시학습 3다음 식의 분모를 유리화 하여라 .
(1)
(2)
학 습 목 표
- 무한수열에서 항의 번호 n 이 커짐에 따라 그 일반항 ( 그 녀석 ) 이 어떻게 변하는가를 살펴보아 수렴 , 발산의 뜻을 알 수 있다 .
- 주어진 수열의 수렴 , 발산을 판정하고 ,
왜 수렴하는 지를 수직선을 이용하여 구할 수 있다 .
도 입 ( 우리들의 한계 )
- 질 문 : 우리들의 한계는 어떤 것들이 있나요 ?
( 짝궁과의 이야기 시간 )
- 다이어트 , 성적 올리기 , 뷔페에서 많이 먹기 , 키
수렴하는 수열
- 주어진 녀석 의 값을 계산 !!
- 수직선에 표시
-1 0 1
1 1.5 2
수렴하는 수열
- 또 다른 녀석 의 값을 계산 !!
- 수직선에 표시
수열의 ‘수렴’ 이란 ?
그리고 ‘수열이 수렴한다 .’ 란 ?
- ‘ 수열 an 에서 n 의 값이 한없이 커질 때
일반항 an 은 일정한 값 α 에 가까워진다 .
- lim an = α : n → ∞ ( n 값이 커질 때 )
an ( 그 녀석의 )
lim= ( 한계는 )
α ( 알파이다 .)
- ‘ 수열 an 은 α 에 수렴한다 .’ 라고 하며 ,
이때 ‘ α 를 수열 an 의 극한값 또는 극한’ 이라 한다 .
n→∞
문 제다음 수열의 극한값을 구하여라 .
( 어떻게 ? 수직선에서 a1, a2, a3, a4,… 을 표시하여 어느 점에 가까워졌는지 확인하세
요 .)
(1)
(2)
0 1
-1 10
- 그렇다면 ,
수열 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7…… 은 어디로 수렴하는가 ?
잘못된 개념 바로잡기
6 87
발산하는 수열 (1)
- 주어진 녀석 {n2} 의 값들을 계산 1, 4, 9, 16, 25, 49 ……
- 이를 수직선에 표시
1 4 9 16 25 49
발산하는 수열 (2)
- 또 다른 녀석 {-2n + 5} 의 값들을 계산 3, 1, -1, -3, -5 ……
- 이를 수직선에 표시
-3 -1 1-5-7-9 3
발산하는 수열 (3)
- 마지막 녀석 {(-1)n} 의 값들을 계산 -1, 1, -1, 1, -1 ……
- 이를 수직선에 표시
-1 10
(1) 에서 , ‘ 수열이 발산한다’ 란 ?
- ‘ 수열 an 에서 n 의 값이 한없이 커질 때
일반항 an 은 양의 무한대 (∞) 로 발산한다 .
- lim an = ∞ : n → ∞ ( n 값이 커질 때 )
an ( 그 녀석의 )
lim= ( 한계는 )
∞ ( 양의 무한대이다 .)
- ‘ 수열 an 의 극한은 양의 무한대 (∞) 이다 .’
n→∞
(2) 에서 , ‘ 수열이 발산한다’ 란 ?
- ‘ 수열 an 에서 n 의 값이 한없이 커질 때
일반항 an 은 음의 무한대 (- ∞) 로 발산한다 .
- lim an = - ∞ : n → ∞ ( n 값이 커질 때 )
an ( 그 녀석의 )
lim= ( 한계는 )
- ∞ ( 음의 무한대이다 .)
- ‘ 수열 an 의 극한은 음의 무한대 (- ∞) 이다 .’
n→∞
(3) 에서 , ‘ 수열이 발산한다’ 란 ?
- ‘ 수열 an 에서 n 의 값이 한없이 커질 때
일반항 an 은 진동한다 .
- lim an = 진동 : n → ∞ ( n 값이 커질 때 )
an ( 그 녀석의 )
lim= ( 한계는 )
진동 (‘ 이랬다 저랬다 .’ 한다 .)
- ‘ 수열 an 은 진동한다 .’
n→∞
수열의 수렴 / 발산
- (1) 수렴 … lim an = α ( 극한값 α 를 갖는다 .)
- (2) 발산 … lim an = ∞ ( 양의 무한대로 발산한다 .)
… lim an = - ∞ ( 음의 무한대로 발산한다 .)
… lim an : 진동 ( 진동한다 )
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
1-1 0-1/2 -1/4 1/31/5
문 제다음 수열의 수렴 , 발산을 조사하여라 .
(1)
(2)
0-2-6-12
형 성 평 가
- lim 을 계산하여라 . (-1)n
2n-1n→∞
차 시 예 고
- 수렴하는 수열의 성질을 이용하여 , 수직선을
그리지 않고도 수열의 수렴 / 발산을
판정할 수 있다 .
- 부정형 극한의 극한값을 구할 수 있다 .