1

Выпускная квалификационная работа на тему:

«Применение алгоритмов гарантированной двухсторонней оценки решения в задачах

моделирования динамических систем с интервальными параметрами»

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (национальный исследовательский университет)

20.01.2015

Руководитель работы:- проф. каф. 806, д.ф-м.н. Ревизников Д.Л. Дипломник:- Морозов А.Ю., гр. 08-606

2

Задачи

3

Проблема интервального анализа

4

Цели работы

Изучение проблем, задач и методов интервального анализа

Разработка программно-алгоритмического обеспечения для моделирование динамических систем с интервальными параметрами.

Выработка подходов по повышению точности интервальных вычислительных алгоритмов

5

Интервальная арифметика

Множество интервалов:

Основные арифметические операции:

Субдистрибутивность

6Основная теорема интервальной арифметики

Пример

7

Эффект обертывания

Пример

8Задача Коши для системы ОДУ с интервальными начальными условиями

где

9

Методы решения

Метод Монте-Карло

Интервальные методы Рунге-Кутта и Адамса

Методы рядов Тейлора

и др.

10Семейство методов на основе рядов Тейлора

12Семейство методов на основе рядов Тейлора

13

Матрица Якоби

Линейная система ОДУ:постоянная

Нелинейная система ОДУ:в каждой точке разная

интервальная

вся область деформируется одновременновсеми возможными вещественными

матрицами

14Семейство методов на основе рядов Тейлора. Модификации

Основная причина появления паразитного эффекта – интервальная матрица Якоби.

Предлагаемые модификацииВычислять матрицу Якоби:

1) от меньшей области.2) в центральной точке области.3) в случайной точке области.

Цена – потеря свойства гарантированности.

15Критерии оценки эффекта обертывания и гарантированности решения

– характеризует во сколько раз получаемая оценка больше оптимальной в худшем случае.

– в среднем случае.

– характеризует долю оптимального решения в получаемой оценке в худшем случае.

– в среднем случае.

16

Реализация

Модуль реализации метода Монте-Карло

Модуль интервальных

матриц и векторов

Модуль интервальной арифметики

Модуль методов решения интервальных систем ОДУ

17

Результаты

Линейная система ОДУ:

Аналитическое решение:

18

Результаты

Линейная система ОДУ (t = 13.3):

19

Результаты

Линейная система ОДУ (t = 13.3):

20

Результаты

Модель Лотки-Вольтерры:

21

Результаты

Модель Лотки-Вольтерры (t = 13):

22

Результаты

Модель Лотки-Вольтерры (t = 30.7):

23

Результаты

Модель Лотки-Вольтерры (t = 30.7):

28Дискретные динамические системы

29Дискретные динамические системы

30

Заключение

Разработано программно-алгоритмическое обеспечение для моделирование динамических систем с интервальными параметрами.

Реализованы методы решения ИСЛАУ, метод Монте-Карло, семейство интервальных методов решения систем ОДУ основанных на рядах Тейлора.

Предложены модификации интервальных методов решения систем ОДУ направленные на устранение эффекта обертывания.

Вычислительные эксперименты показали, что предложенные модификации позволяют практически полностью подавить эффект обертывания при незначительной потери гарантированности.