Ύλη Κατατακτηρίων Μαθηματικών ΑΠΘ_Μαθηματικά Κατ. Β'...

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμών, δηλαδή η μελέτη των ιδιοτήτων των θετικών ακεραίων, έθεσε από πολύ νωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: “Κάποια πρόταση αληθεύει για ορισμένες περιπτώσεις ακεραίων. Είναι όμως αδύνατο να εξεταστούν όλες οι ειδικές περιπτώσεις. Πώς μπορούμε να αποδεί- ξουμε ότι αληθεύει γενικά;” Μια από τις πλέον ισχυρές μεθόδους για τη λύση αυτού του προβλήματος είναι η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής. Ο (ελληνικής καταγωγής) Ιταλός μαθη- ματικός Francesco Mauroliko (Μαυρόλυκος) απέδειξε το 1557 ότι: “Το άθροισμα ενός πλήθους περιττών σε διαδοχική σειρά, με αφετηρία τη μονάδα, δίνει το τετράγωνο του πλήθους των περιττών.” [δηλαδή, με σύγχρονο συμβολισμό, ] ) 1 2 ( ... 5 3 1 2 ν ν . Για την απόδειξη ο Μαυρόλυκος χρησιμοποίησε την πρόταση “Κάθε τετράγωνο, όταν αυξάνεται με τον επόμενό του στην τάξη περιτ- τό, δίνει το επόμενο στην τάξη τετράγωνο”. [δηλαδή την ταυτότητα ] ) 1 ( ) 1 2 ( 2 2 ν ν ν . Ουσιαστικά έδειξε λοιπόν ότι υπάρχει ένας γενικός τρόπος μετάβασης από μια περίπτωση στην αμέσως επόμενη. Η μέθοδος αυτή διατυπώθηκε με σαφήνεια από τον Blaise Pascal, το 1654, στην πραγματεία του για το αριθμητικό τρίγω- νο. Διατυπώνοντας μια ιδιότητα που ισχύει σε όλες τις γραμμές του τριγώνου, ο Pascal έγραψε τα εξής: “Αν η πρόταση αυτή έχει έναν άπειρο αριθμό περιπτώσεων, θα δώσω μια πολύ σύντομη απόδειξη υποθέτοντας δύο λήμματα. Το πρώτο, που είναι προφανές, είναι ότι αυτή η ιδιότητα ισχύει στη 2η γραμμή. Το δεύτερο είναι ότι αν αυτή η ιδιότητα ισχύει σε μια τυχαία γραμμή, τότε θα ισχύει απαραίτητα και στην επόμενη γραμμή. Από αυτό γίνεται φανερό ότι η πρόταση αληθεύει σε κάθε περίπτωση, γιατί η ιδιότητα ισχύει στη 2η γραμμή, λόγω του πρώτου λήμματος . Έτ-

Upload: nikos-apelaths

Post on 18-Dec-2015

92 views

Category:

Documents

0 download

Report

Download

Embed Size (px):

DESCRIPTION

Εδώ θα βρείτε την ύλη για τις κατατακτήριες Εξετάσεις Μαθηματικών ΑΠΘ από το βιβλίο των Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β' Ενιαίου Λυκείου. Στο συγκεκριμένο pdf έχω συμπεριλάβει μόνο την ύλη και όχι τα περιττά κεφάλαια. Για περισσότερα αλλά και για να γνωριστούμε καλύτερα επισκεφθείτε το http://katataktiriesmathimatikon.blogspot.gr/

TRANSCRIPT

4

4.1 , , : . . - ; . ( ) - Francesco Mauroliko () 1557 :

, , . [, , ])12(...531 2 .

, -, . [ ])1()12( 22 .

. Blaise Pascal, 1654, -. , Pascal :

, . , , 2 . , . , 2 , . -
136

3 , 4 ..., .

, - 19 A. de Morgan (1838) R. Dedekind (1887), .

)12(...7531 . :

1 , 11 )1( 2 2 , 431 )2( 2 3 , 9531 )3( 2 4 , 167531 )4( 2

: 2)12(...7531 . (1)

, - , (1) . (1) - 1 , - . , - 1 , 211 , 312 . , ,

2)12(...7531 , :

)12()]12(...7531[)12()12(...7531 122 2)1( .
137

- , 1 . , . : .

- , . - , : )(P . (i) 1, )1(P -, (ii) )(P )1( P )(P .

, - . , , . , , 1 2. , 412 2 41, , ( ). 10,9,8,7,6,5,4,3,2

131,113,97,83,71,61,53,47,43 , . 412 . , - 40 , 41 ,

22 41414141 , .
138

2 - 1. , , :

2 . , 2 . , 2 , 22)1(2 , 2 2. )(P - . , 122 3 , 3 , 123 0 , 0 .

1. 2

1)(...321 v. )(P . 1

2)11(11 1 1 , )1(P

. )(P , )1( P , :

2

)1(...321 , 2

)2)(1()1(...321 .

: )1()...321()1(...321

12

)1()1(2

)1(

2

)2)(1( .

, .
139

2. 2 0 1 : 1)1( .

( Bernoulli) )(P . 2 : aa 21)1( 2 , aaa 2121 2 , 0a 02 a . )2(P . )(P , )1( P , :

aa 1)1( , aa )1(1)1( 1 . : aa 1)1(

)1)(1()1()1( aaaa , 01 a 21 1)1( aaaa 21 )1(1)1( aaa aa )1(1)1( 1 , 02 a . , Bernoulli 2 .

1. (i)

6)12)(1(

...321 2222

(ii) 2

3333

2)1(...321

(iii) 3

)2)(1()1(...433221

(iv) 1)1(

1...43

132

121

1

.
140

2.

11...1 12

x

xxxx , 1x .

3. :

(i) 122 3 (ii)

34 7

(iii) 155 .

1. 4 2! , ...321! .

2.

121...

21

11

222 .

3. 3

)1(1 .

4.2 22 5. , , , :

55220 . , , , :

22-5, 22- 52 , 22- 53 , 22- 54 , 22- 55 , 22- 56 .

22 17 12 7 2 0

5555 5

-3

22-5 22 22-25 22-35 22-45 22-55

00prologos.pdf01periexomenakef1Chapter 2 Dianismata.pdfChapter 2Chapter 2aChapter 2a1Chapter 2bChapter 2b1Chapter 2c

kef2Chapter 3 Efhia.pdfChapter 3aChapter 3bChapter 3c

kef3Chapter 4 Konikes.pdfChapter 4Chapter 4aChapter 4bChapter 4c

kef4Chapter 1 Theoria.pdfChapter 1Chapter 1a Chapter 1a1Chapter 1bChapter 1b1

kef5Chapter 5 Migadikoi.pdfChapter 5aChapter 5bChapter 5c

Ypodixeis Apandiseis Askiseon