اقليدس هندسةتاريخية نبذه

في . نشأت األرض قياس علم هي قديما الهندسةعن اإلنسان لبحث نتيجة القديم الشرق بلدانوحساب الزوايا قياس من تمكنه عملية قواعد

كما , األشكال لبعض والحجوم مساحاتولقد . األبنية وتشييد األراضي لمسح استخدمتالناس , وتناقلها بالتجربة القواعد هذه تطورتعامة . صيغ في القواعد هذه وضعت زمن وبعدأن على تدل بابل في األلواح بعض على عثر لقدمساحة و القائم المثلث مساحة عرفوا البابليين

, أن وأدركوا فيثاغورث نظرية وعرفوا النحرف شبه . قائمة دائرة نصف في المرسومة الزاوية

المستطيالت , متوازي حجم يقيسوا أن استطاعوا , , وحجم المقطوع المخروط حجم األسطوانة حجم

. المقطوع الرباعي الهرم

بين • والعالمات الخواص بعض المصريين قدماء عرفأوراق مخطوطات من يتضح كما الهندسية األشكال

سنـ إلى ترجع التي الميالد . 1800البردي قبل ـةو المثلث مساحة لحساب تقريبية قواعد وضع واستطاعوا. , المقطوع الرباعي الهرم وحجم األسطوانة حجم لحساب

وأضافوا • والبابليين المصريين عن كثيرا اليونانيين أخذ وقد. المعرفة فروع لبعض أساسا تعتبر هامة إضافات

طاليس ) • علماء ( 546 - 640يعتبر أول الميالد قبلأطوال قياس من بالهندسة انتقلوا الذين اإلغريق

في الرياضي المنطق واستخدام التجريد إلى ومساحاتعند . قمتها بلغت حتى الهندسة تطور واستمر البرهان

الفترة ) في كتاب ( 275 - 365اقليدس وفي الميالد قبلبالهندسة المعروفة هندسته اقليدس وضع األصول

االقليدية

في كتاب األصول وضع اقليدس هندسته المعروفة •بالهندسة االقليدية الذي اعتبر نموذجا رائدا لالستقراء

) االستنتاج ( الرياضي ألكثر من ألفي عام . حيث استخدم طريقة المسلمات لبناء النظام الهندسي واثبات

نظرياتها على الرغم من وجود بعض الثغرات فيها. جزء . تناول إقليدس في 13يتكون كتاب االصول من •

الستة األولى الهندسة المستوية ، وفي الكتب الثالثة التالية بنى إقليدس نظرية األعداد أما في الكتاب العاشر فقد تناول مناقشة األعداد الصماء و النسبية و أما الثالث كتب األخيرة فقد خصصت لمعالجة الهندسة المجسمة . l وثمان اشتمل كتاب األصول على ثالثة وعشرون تعريفا

.l وأربعين فرضا بنى اقليدس نظامه على ما يسمى بالتعاريف •

والمسلمات) البديهيات ( ثم النظريات التى تستنبط من التعاريف و

المسلمات و النظريات التى سبق برهنتها .

األولية المسميات بعض إلقليدس

ابعاد النقطة• أو اجزاء له ماليس هي

عرض الخط• بال طول هو

الخط • نهايات أو نقاط حدود هي

المستقيم • مع الخط بانتظام يمتد الذي هوعليه تقع التي النقاط

فقط السطح • عرض و طول له الذي هو

السطح • خطوط حدود هي

lعلى المستوي• تماما يقع الذي السطح هوالمستقيمه .خطوطه

إقليدس تعاريف

(1تعريف )•

مختلفتين نقطتين القطعة , b , aألي المستقيمة

عناصرها التي المجموعة النقط b , aهي وكلبين والمحصورة الخط على تسمى b , aالواقعة

المستقيمة .b , aالنقطتان القطعة نهايتي

ba

ba

التطابق لها عالقة سنشيربالرمز

(2تعريف )•

النقطتان كانت فإن a , oإذا مختلفتينالنقط كل أن eمجموعة بحيث

مركزها دائرة القطع oتسمى من وكلقطر بنصف يسمى المستقيمة

الدائرة.

oaoe

oe

تعريف (3)

على الشعاع الواقعة النقط مجموعة هومنتمية النقط تلك تكون أن بشرط الخط

النقط وكل المستقيمة القطعة eإلىأن بين bبحيث يقال. e , aتكون الشعاع

النقطة من منبعث aأنه

ab

ab

ab

ab

b

a

(4تعريف )

كان :متضادةتكون , األشعة • إذاالشعاع- .1• عن يختلف الشعاعالنقطة- 2• نفس من خارجة .aاألشعة

ان- 3• أي واحد خط على واقعة األشعة

ab

ac

ab

ac

acab

تعريف (5)رأسها " • التي نقطة " aالزاوية مع aهي

متضادين غير , شعاعين

النقطة ) ( من خارجان الزاوية ضلعي aيسميان.

هذه • على للداللة سنستخدمالزاوية.

ab

ac

, ,bac a cab

تعريف (6)

مشترك ضلع لهما الزاويتان كانت إذامتضادين . شعاعين والضلعين

أن نقول مكملتان فإننا .الزاويتين لبعضهما

badcad ,

ad

ab,ac

تعريف (7)قائمة • زاوية أنها للزاوية يقال

كانت إذاللزاوية مكملة والزاوية

bad

cadbad cadbad

(8تعريف )

متوازيين • يكونان كانا الخطان إذا. متقاطعين غير

أن ) • الحظي بالرمز لهما وسنرمز) واحد مستوى في تقع الخطوط

21 , ll

21 // ll

اقليدس مسلمات

عامة • بديهيات أو مسلمات

بديهيات • أو مسلمات هندسية

عامة بديهيات أو مسلمات

تكون 1. واحد لشئ المساوية األشياءمتساوية

أخرى 2. إلى متساوية كميات اضيفت إذامتساوية النتائج تكون متساوية

أخرى 3. من متساوية كميات طرحت إذامتساوية النتائج تكون متساوية

بينها 4. فيما متساوية المتطابقة األشياء() متساوين يكونان اآلخر منهما كل يغطي اللذان الشيئان

الجزء 5. من أكبر الكل

هندسية بديهيات أو مسلمات

األولى • المسلمة

النقطتان كانت فإنه b , aإذا مختلفتينوحيد خط للخط ℓيوجد سنرمز حيث

بالنقطتين المار بالرمز b , aالوحيد

( رسم l دائما يمكن نقطتين ألي اخر باسلوبسواه ( رسم يمكن وال بها يمر مستقيم خط

ba

المسلمة الثانية

فإنه • المستقيمتان القطعتان كانت إذاوحيدة نقطة بين bبحيث eتوجد , eتقع

a متطابقة تكون المستقيمة والقطعةالمستقيمة القطعة مع

( من مدها يمكن المستقيمة القطعة اخر باسلوبمستقيم ( خط لتصبح بإستمرار طرفيها

cd,ba

cdbe

المسلمة الثالثة

مختلفتين نقطتين دائرة a , oألي يوجد فإنهقطرها oمركزها oaونصف

المسلمة الرابعة

متطابقة • تكون القائمة الزوايا كلو " قائمة زوايا وجود على تنص ال أنها نجد

متطابقة . القائمة الزوايا كل أن تحدد لكن

الخامسة مسلمة " المسلمةللتوازي " اقليدس

كان • و مستقيمين مستقيم قطع إذاالواقعتين الداخليتين الزاويتين مجموع

من أقل القاطع من واحدة جهة علىإذا يلتقيان المستقيمين فإن قائمتين

القاطع . من الجهة تلك في مدا

يحدث • لم األولى األربعة اقليدس مسلماتالمسلمة . أما الرياضيين بين خالف أي عليها

) الجدل ) أثارت فقد التوازي مسلمة الخامسةلعل . عشر الثامن القرن بداية حتى النقاش و

: أثارت لماذا أذهاننا إلى يتبادر الذي السؤالالجدل هذا كل القليدس التوازي مسلمة

والنقاش؟ التحقق • يمكن ال أنه هو السؤال هذا على وإجابة

أننا لو وذلك يتقاطعان الخطين أن من عمليامستقيمة رسمنا خطوط ) ( قطع ليست

؟ ال أم تقابلهم لرؤية رويدا رويدا بمدها وقمناإلى مدهم في االستمرار نستطيع ال ولكننا

األبد.

: واإلنعكاس اإلقليدية الحركة

هما : :– أساسيان نوعان لها اإلقليدية الحركة– ) اإلزاحة ) اإلنتقالية الحركة–. الدورانية الحركةمركبة – حركة له نجري أن الهندسي للشكل ويمكن

إزاحة, ) l مثال له نجري أي متتالية حركات عدة أيوهكذا ( دوران ثم

عدد – من مركبة حركة هي اإلقليدية الحركة إذنالدورانات من محدود وعدد اإلزاحات من محدود

نوعي من فقط واحد نوع من محدود عدد أو الحركة .

الحركة :اإلنتقالية

الشكل • نقاط من نقطة كل نزيح أننا تعنييوجد أنه أي ثابت اتجاه وفي ثابت بمقدار

بعدها و الحركة قبل الشكل بين أحادي تناظر

الحركة الدورانية

في • نقطة حول للشكل نجريه دوران هيثابتة بزاوية الدوران مركز تسمى المستوى

الدوران زاوية تسمى

في الواردة التغطية معنى وضح قد يكون بهذاتطابق( 5البديهية ) فهم يمكن الطريقة وبهذه

يلي : كما مستقبمانحركة • نجري متقاطعان المستقيمان كان إذا

تقاطعهما نقطة حول المستقيمين ألحد دورانيةوبهذا المستقيمان بين الزاوية تساوي وبزاوية

ينطبقان أي اآلخر منهما كل يغطيمتقاطعان ) ( • غير متوازيان المستقيمان كان إذا

اآلخر يغطي حتى ألحدهما انتقالية حركة نجري

االنعكاسإجراء • دون الشكل لتحويل أخرى طريقة هي

إخالل أي دون تتم الطريقة وهذه إقليدية حركةوغيرها والزوايا كاألطوال للشكل الذاتية بالعناصر

قبل, للشكل الذاتية العناصر هذه أن أياالنعكاس بعد الشكل في ونظيرتها االنعكاس

ويعرف , متساوية خط تكون االنعكاسحولالقطعة تكون بحيث للشكل تحويل عملية بأنه

التحريك قبل الشكل في نقطة أي بين المستقيمةالشكل في عمودية ونظيرتها التحويل بعد

ينصفها الخط وهذا الخط هذا ويسمى علىالمستقيم الخط االنعكاس ()هذا .محور