بوم گرادیان جاذبه

‐ دانشگاه صنعتی خواجه نصيرالدين طوسی ‐ اسفند ۱۳۸۵ نيششم کنفرانس سراسری انجمن هوا فضای ايران

1

طراحي پيكربندي بوم گراديان جاذبه براي يك ماهواره كوچك مدار پايين

مجيد محمدي مقدم١ ، آرش هاشمي٢

دانشگاه تربيت مدرس ‐ دانشكده فني و مهندسي ‐ بخش مكانيك

[email protected]

چكيده

پايداري حول محورهاي پيچش و چرخش ماهوارة مورد نظر، از روش گراديان اذبهج و دهاستفا از بوم گراديان بهره برده شودمي. به منظور طراحي و محاسبات پيكربندي بوم گراديان گرانشي، ابتدا با استفاده از رضياتيف جهت مسئله، راه براي مدلسازي و استفاده از سازيشبيه نرم افزاري هموار شودمي. در ابتدا ممانهاي اينرسي گرانشي در شرايط گسترش ماهواره مورد ازني باشندمي. سپس با استفاده از برنامه كامپيوتري مقادير بهينه جهت سازيساده آيندمي و در پايان نيز به روش سازيشبيه رسيدن به دقت مورد نظر حول راستاي ندير مورد جهت يارضا پايداري تاييد قرار گيردمي. طول و جرم سر بوم بدست

واژه هاي كليدي : ماهواره ‐ بوم راديانگ گرانشي ‐ طول بوم ‐ جرم سر بوم

مقدمـه

ملزومات ارزان قيمت بودن ماهواره استفاده از روشهاي غير فعال براي پايدارسازي است كه در اين ميان، استفاده از

پايدارسازي گراديان گرانشي براي هايماهواره رو به زمين كه در ارتفاعات مداري پايين انجام تماموري كنند،مي يكي از

گزينه به شمار رودمي. در اين روش از جسمي به نسبت سنگين، كه در وكن تيركي بلند به نام بوم نصب شود،مي روش

نيروي جانب مركز دو جرم اصلي (جرم نوك و جرم ماهواره) به همراه اختالف نيروي دوراني، براي مناسبترين

يكندم. عمر طوالني، روينشانه پيوسته زمين، عتمادپذيريا باال، عدم مصرف انرژي و استفاده گرددمي. اختالف

روش ماهواره را حول محور Zيعني در حركت سمتي (yaw) مقيد كندنمي و روينشانه به سوي زمين، يجادا پايداري

فقط براي هايماهواره رو به زمين كاربرد دارد. وجود جرم متمركز قيمت پايين مزاياي اصلي اين روش است. اما اين

گرددمي. وجود عوامل و محدوديتهاي گوناگون از قبيل چون يلتما دارد ماهواره را در راستاي شعاع زمين قرار دهد،

در انتهاي بوم سبب توزيع مطلوب ممانهاي اينرسي جرمي حول ماهواره

وزن، جنس و مجح، لزوم طراحي مناسب بوم را دو چندان سازدمي.

مورد نظر يك ماهواره مدار پايين (LEO) در ارتفاع ۹۰۰ كيلومتري از سطح زمين، با جرم ۵۵ كيلوگرم و ابعاد باس هوارماه

= ZS = 50cm,YS = 35cm, XS باشدمي. ممان اينرسي باس حول سه محوره بدنه نيز به صورت زير باشدمي.

35cm

I XS = 2.231(kg.m2) , I yS = 2.531(kg.m2) , I ZS = 2.1(kg.m2)

اوليه بايد ممانهاي اينرسي بوم جمع شده با فاصله ۰,۲۵ متر از مركز باس نيز به مقادير باال اضافه شوند. در هنگام

باس ماهواره قرار گيردمي و پس از حضور در رادم، بوم شروع به گسترش خواهد كرد. در طراحي

پرتاب مكانيزم بوم داخل

خارجي وارد بر ماهواره

ايگشتاوره


2

۱‐ استاديار بخش مكانيك، دانشكده فني و مهندسي

‐ دانشجوی کارشناسی ارشد هوافضا۲

وارد بر يك جسم حول مركز جرم آن ابربر است با تغييرات زماني ممنتم ايزاويه آن. براي شروع از معادالت حركت

استفاده ميكنمي. معادالت حركت اويلر عبارتند از : گشتاور

جسم صلب

o

W bi = I−1[T −Wbi ×(I −Wbi )] (۱)

نرخ چرخش ءزااج ماهواره در دستگاه بدني و Tممان خارجي كل و I ماتريس اينرسي ماهواره باشندمي. با توجه به

Wbi گشتاور خارجي كل كه T بدنه معادالت حركت وضعي از معادله گشتاور اويلر بدست آيندمي. در معادله اويلر

سيستم مختصات

وارد بر ماهواره باشدمي كه برابر است با تغييرات ممنتم(اندازه حركت) اينرسي سيستم.

گشتاورهاي خارجي به دو دسته تقسيم شوندمي

T =Tc +Td (۲)

پايدارساز اهوارهم (براي كنترل يوضع ماهواره به كار رودمي) و Td گشتاور ناشي از اغتشاشات مختلف وارد بر

طور مثال در هاييماهواره كه از سيستم كنترلي مغناطيسي و يگرانش استفاده شود،مي گشتاور پايدارساز كه Tc گشتاور

ماهواره باشدمي. به

ماهواره عبارتند از :

Tc =Tgg +Tm T =Tgg +T m+Td (۳)

خارجي وارد بر ماهواره نيز عبارتند از: گشتاورگرانشي، اميكي،آيرودين مغناطيسي و تشعشعات خورشيدي. كه جهت

گشتاور گرانشي را به عنوان پايدارساز و ساير گشتاورهاي اعمالي به ماهواره ار اغتشاشي در ظرن گرفته گشتاورهاي

رسيدن به نتيجه مطلوب گشتاورهاي اغتشاشي را در حالت ماكزيمم در نظر خواهيم گرفت. طراحي پيكربندي بوم،

شودمي. براي

گشتاور مغناطيسي

تاثير ميدانهاي مغناطيسي ماهواره با ميدان مغناطيسي زمين بوجود آيندمي و در ارتفاعات كمتر از ۱۰۰۰ كيلومتر از

LEO) از اهميت ايويژه برخوردار است. اين گشتاور را نيز توانمي به صورت پايدارساز يا ياغتشاش در در نتيجه

از دوقطبي يمغناطيس در طول محورهاي مغناطيس بدنه تفادهاس شودمي. گشتاور مغناطيسي سطح زمين (هايماهواره

در ترينبحراني حالت از رابطه زير قابل بهمحاس است نظر گرفت. در حالت پايدارساز

Tm =M dis ×B (۴)

كه Tmگشتاور مغناطيسي وارد بر ماهواره، M dis ميزان دوقطبي اندپسم برحسب ( AM 2 ) و Bميزان ميدان مغناطيسي

تسال است. طبق هايداده اطالعاتي ناسا در معيار طراحي براي يك جسم فضايي غيرچرخشي كه ممانهاي مغناطيسي


3

هاممان رتاثي بيشتري دارند، يك ممان دوقطبي در كيلوگرم جرم ماهواره را توانمي فرض كرد. شدت ميدان برحسب

۲۵۰۰۰ تا ۶۵۰۰۰ نانوتسال متغير است كه ما مقدار ۶۵۰۰۰ نانوتسال را در محاسبات منظور خواهيم نسبت به ديگر

مغناطيسي زمين نيز نبي

كرد[1],[5].

گشتاور آيروديناميكي

مداري ينپاي هنوز جو رقيقي وجود دارد كه موجب شودمي با توجه به سرعت باالي ماهواره كه براي ماندن ماهواره

نيرو و گشتاور آيروديناميكي قابل توجهي بر ماهواره وارد شود اين گشتاور از روابط زير قابل محاسبه در ارتفاعات

باشدمي در مدار الزم است ، مقدار

Ta = F(Cap −Cg ) ,F = 0.5(ρCd Au2) (۵)

نيروي آيروديناميكي ، Cd يبضر درگ ، ρ چگالي اتمسفر ، A سطح مقابل جريان ، u سرعت ماهواره ، Cap مركز

F مركز ثقل ماهواره باشدمي. كه Cg و

فشار آيروديناميكي

درگ معموال بين (2.5 − 2) تغيير كندمي كه براي بيشينه رواتشگ، مقدار 2.5 در نظر گرفته شودمي. همچنين فاصله

فشار هوا و مركز ثقل را نيز برابر 25مترسانتي فرض شودمي. مقدار چگالي در ارتفاع مورد نظر ما برابر ضريب

بين مركز

kg 15−10×5 خواهد بود. m3

فشار تشعشعي خورشيد

گشتاور

باالي ۵۰۰ رتموليك، فشار تشعشعي، شاغتشا گرانشغير البغ محسوب شودمي. (بستگي به فعاليت خورشيد براي هايماهواره

دارد).

چهار منبع اصلي تشعشعي وجود دارد كه عبارتند از :

• تشعشع مستقيم خورشيد

زمين • بازتابش تشعشعي آلبدو ( albedo ) نيمكره روشن زمين

• تشعشع ساطع شده يكنواخت از سر تا سر

• تشعشع مستقيم مادون قرمز ساطع شده از ماهواره ( بدليل تراست حرارتي )[6].

رابطه بيشترين مقدار اين گشتاور به صورت زير است :

F s Ag (1+ q)cosi (۶) Ts = f (Cap −Cg ) , f =

C


4

3

q ، 3×108 m رفاكتو انعكاس است و بين 0 تا 1 تغيير مي-s سرعت نور C 1367 و

Wm 2 ثابت خورشيدي و برابر Fs

مقدار 0.6 را براي آن لحاظ كنيممي و در نهايت i زاويه تمايل خورشيدي است كه مقدار صفر را براي آن در نظر كه

گيريممي. كند كه ما

گراديان جاذبه

گشتاور

ماهواره اين گشتاور به عنوان گشتاور سازپايدار در نظر گرفته ودشمي . اين گشتاور از ايپديده كه « تاثير دمبل روي براي

باريك و بلند » ناميده يمدوش، نشات گيردمي.

بر اين گشتاور بصورت زير است : يجسم

روابط حاكم

Gx = 3µ

3 (Iz −Iy)sin(2ϕ)cos2 (θ)

2R0

Gy = 3µ

3 (Iz − Ix )sin(2θ)cos(ϕ) (۷)

2R0

Gz = 3µ

3 (I x − I y )sin(2θ)sin(ϕ) 2R0

radm 1014×3.986005 وθوϕ زواياي اويلر كه معادل با بيشترين انحراف محور z از گرانش زمين برابر 2

sec كه µ ثابت

راستاي ندير برحسب راديان باشندمي.

فرضيات و يسازيهاساده مسئله

براي انجام محاسبات نياز به يكسري سازيخطي و سازيساده داريم كه عبارتند از :

• باس ماهواره به شكل مكعب مستطيل و ضلع طولي آن در راستاي محور z . همچنين جرم سر بوم به شكل مكعب

باشدمي.

• يكسان بودن جنس و پوشش سطوح ماهواره (كه در همحاسب گشتاور تشعشعات شيديخور حائز اهميت است). فرض شده است كه توزيع جرم در ماهواره حول محور z متقارن است به ايگونه كه مركز جرم در راستاي محورهاي•

.( ycg , xcg = 0 ) ،واقع است و جايي كه بوم دشاب z در وسط ماهواره بر روي محور y و x

• بوم از نقطه وسط زيرين ماهواره منطبق برمحور z بيرون آيدمي و در دو حالت جمع و باز مكان xcg و ycg تغيير


5

كندنمي.

• نرخ گردش و زواياي لراوي را به عنوان شرايط اوليه، صفر در نظر گرفته شودمي [5],[8] .

محاسبات بر اساس شكل (۶) مطابق زير خواهد بود:

d

z(m s +mb +mt ) =mb × 2

+mt ×d (۸)

d مركز مختصات (بر مركز باس ماهواره رقرا گرفته شده) از مركز ثقل ماهواره در حالت گسترش باشدمي و

بين مركز ثقل باس و جرم سر بوم است . ms جرم باس ، mt جرم سر بوم (tip mass) و mb جرم كه z فاصله

جرم بوم صرفنظر شودمي اما ما براي بوم جرمي معادل0.01 جرم كل ماهواره در نظر طول بوم كه برابر فاصله

بوم هستند. در اكثر مقاالت و مراجع از

خواهيم گرفت.

اينكه مركز مختصات بر مركز ثقل باس قرار گيرد (در مركز باس) و با تفادهاس از قضيه محورهاي موازي در سائلم

داريم :[3] با فرض بر

ممان اينرسي

2 2 d 2 I x = I1 +ms z +mt (d − z) +mb ( − z) (۹) 2

I1 = ms (ys2 + zs

2) + mt (yt2 + zt

2)

(۱۰)

ys و zs ابعاد باس و yt ، zt ابعاد جرم سر بوم در راستاي محورهاي مختصات هستند.

= I z كه ms (xs2 + ys

2)+ mt (xt2 +

yt2) (۱۲)

اينيازه پايداري

برآوردن

براي پايداري گراديان گرانش را توانمي برطبق معادالت همگن خطي شده اويلر براي اهوارهم در مدار دايروي بدست شرايط

آورد كه به سه شرط پايداري گراديان گرانش منتهي شودمي.

3σx +σxσz +1⟩4 σxσz

σxσz ⟩0 (۱۳)

Ix⟩I y


6

كه σiها عبارتند از :

σX = I Y − I Z و σY = IX − IZ و σZ =

IY − IX

IX IY I Z

عالوه بر شرايط باال معيارهاي ديگري براي طراحي بوم سازپايدار بايد در سباتامح لحاظ شوند كه عبارتند از :

• ممانهاي پايدارساز در محاسبات، بايد حداقل چندين برابر ممانهاي اغتشاشي محيطي باشند.

• بوم بايد طوري به ماهواره متصل شده باشد كه جهت ظاهري (nominal direction) و محور اصلي مينور در يك

امتداد قرار گيرند.

• فركانسهاي آزادي نبايد مساوي يا ًتقريبا برابر سفركان مداري باشند. براي اينكه از اثر متقابل ديناميكي

جلوگيري شود. مقادير تقريبي فركانسهاي آزادي سمتي، چشيپي و چرخشي عبارتند از :

(۱۴)

طراحي بنديپيكر (محاسبات طول و جرم سر بوم)

لحاظ تئوري با توجه به معادالت (۷)، روابط بين خصوصيات اينرسي ماهواره و ممانهاي گراديان گرانشي ايدارسازپ

در محاسبات ممانهاي پايدارساز Gx,Gy,Gz را مساوي با سه برابر ممانهاي اغتشاشي با عالمت منفي ابعاد بوم به

ممانهاي اغتشاشي) در نظر گيريممي كه فرض اوليه براي يدنرس به دقت ۵ درجه پايداري حول راستاي نتيجه دهندمي.

(يعني در خالف جهت

ندير، باشدمي.

Gx,Gy ,Gz =−3×Tmax (۱۵) θ,ϕ=

5o(the pointing accuracy)

و با جاگذاري در معادالت (۷) وصياتخص اينرسي به شكل زير آيندمي :

(Iy − Iz )= 34.889 (kg.m2)

(Ix − Iz )= 34.589 (kg.m2) (۱۶)

(Iy − Ix )= 0.3 (kg.m2)

ممان اينرسي در روابط باال در حالت گسترش بوم و شرط الزم براي ارضاي معيار پايداري باشندمي. يعني مبناي مقادير

( )

( )

( ) z

x y n

y z x

n

x

z y n

I

I I w W

I I I w

W

I

I I w W

− =

− =

− =

2 0

2 0

2 0

3

4

ψ

θ

ϕ


7

محاسبات هيلوا، مقادير روابط (۱۶) در نظر گرفته شودمي.

بدليل اينكه محور ZB+ بايد همراستاي امتداد ندير باشد، بوم در راستاي محور ZB− گسترده شودمي و از آنجايي كه

محور Z ، محور تقارن بوم است، با گسترش بوم ، Iy,Ix را به يك اندازه افزايش دهدمي. با توجه به اين مشاهدات مشخص

شودمي كه ( Ix −Iy) تواندنمي با گسترش بوم غييرت يابد و بنابراين پايداري سمتي به درجه مقبول نخواهد رسيد. اما با اين

حال پايداري حول محورهاي چرخش و پيچش براي ۵ درجه دقت حول راستاي ندير تواندمي بدست آيد. با استفاده از

(۹) و (۱۲) و در نظر گرفتن شرايط پايداري و فركانس آزادي با فرض جرم سر بوم ۲,۵ كيلوگرم طول بوم ۳,۸ متر

مورد نظر بدست آيدمي. در ادامه با بيهسازيش و استفاده از نرم افزار MATLAB، (همانطور كه در شكل (۱) معادالت

گرددمي كه گرچه حركت حول محور پيچش پايدار است، اما دامنه نوسان از دقت مورد نظر ۵ درجه براي ماهواره

۱۰ درجه). دليل اين نوسان بيش از حد، با توجه به كوپلينگ ژايروسكوپيك بين سمت ناپايدار و ديده شودمي) مشاهده

پايدارساز گرانشي پيچش و حركت يشخرچ، قابل بررسي است [4]. شتربي شودمي (حدود

افزايش Iy,Ix جهت ارضا شرايط

توجه به اينكه مشخصات بوم پيشنهاد شده در قسمت قبل براي يارضا دقت مورد نظر كافي باشد،نمي بوم بزرگتري نياز

رابطه با طول بوم و جرم نوك آن بايد اشاره كرد كه با مشاهده ميزان ثيرپذيريًتا ممان اينرسي از اين دو توانمي با

تاثير تغيير طول بوم نسبت به تغيير جرم انتهايي بيشتر است. اما كاهش جرم و افزايش طول مبو نيز داراي است. در

اننميتو جرم انتهايي را مالحظهبي كم كرد، چون هر مقدار طول بوم بيشتر باشد، مشكالت ايسازه ناشي از دريافت كه

افزايش يافته و در كنار آن فرايند فشرده كردن و گسترش بوم ترپيچيده شده و بوم فشرده، فضاي محدوديت است.

بنابراين در نهايت ممانهاي اينرسي ماهواره بايد در بازه مطلوب بيان شده باشند تا بتوان بر آن نظير انعطافپذيري،

بيشتري را اشغال كندمي.

گشتاورهاي غتشاشيا غلبه كرد.[5]

تكرار فرايند كه مشتمل بر تعداد زيادي سازيشبيه و انجام محاسبات سعي و خطا باشد،مي مجموعه ويژگيهاي اينرسي با

بدست آورده شودمي كه تضمين ندهكن دقت مورد نظر است و ساير شرايط را نيز ارضا كندمي. نتايج عبارتند از :

(Iy −Iz )= 46.63 (kg.m2) mt = 2.5 (kg)

(Ix −Iz )= 46.33 (kg.m2) m b = 0.55 (kg) (۱۷)

(Iy −Ix )= 0.3 (kg.m2) md s==452.4 .4273 ((kgm) )

همانطور كه در شكل (۲) ديده شودمي با خابانت مشخصات نهايي بوم، دقت ۵ درجه راستاي ندير برآورده شودمي.

و (۴) و (۵) هب ترتيب تاثير ارتفاع بر طول بوم، فاصله مركز ثقل از مركز باس ماهواره و ممان اينرسي حول محور

همانطور كه مشاهده شودمي با افزايش ارتفاع و ثابت بودن گردي پارامترها، جرم سر بوم ثابت ماندمي شكلهاي (۳)

روند نزولي را پيمايدمي. در پايان بايد به اين نكته اشاره شود كه پيكربندي بدست آمده، يك x بدنه را نشان دهندمي.


8

از فضاي لداخ جرم سر بوم براي نصب سنسورها، دوربين و ... ادهاستف شودمي و اما طول بوم با افزايش ارتفاع،

تيم طراحي لحاظ شود در نتيجه با توجه به جرم سر بوم محاسبات انجام پيكربندي بهينه است. در برخي از هاماهواره

بنابراين ممكن است جرم خاصي براي سر بوم از طرف

گيردمي. اما بايد توجه داشت كه اين محدوديت تاثيري بر روند محاسبات نخواهد داشت.

بحث و گيرينتيجه

به بررسيهاي صورت گرفته و سازيهايهشبي انجام شده نتايج زير حاصل شوندمي :

مطلوب ممان اينرسي حول محورهاي پيچش و چرخش با طراحي بومي به طول ۴,۴ متر و جرم سر بوم ۲,۵ با توجه

• توزيع

كيلوگرم حاصل شودمي.

• استفاده از بوم گراديان گرانشي، پايداري حول محور سمتي را مقيد كندنمي و ما براي پايداري سه محوره نياز به

استفاده از يك سيستم پايدارساز ديگر داريم.

• براي ارتفاعات پايين ماهواره نيازمند استفاده از يك بوم با طول ًنسبتا زياد باشدمي.

• با افزايش ارتفاع طول بهينه بوم كاهش ديابمي.

تغيير فاصله بين مركز فشار و مركز ثقل ماهواره ثيرًتا چنداني بر طول و جرم سر بوم ندارد، به نحوي كه با افزايش

فاصله يك متري بين اين دو مركز در محاسبات، جرم ثابت ماندمي و طول بوم تنها به اندازه ۴ سانتيمتر افزايش مي- •

يابد.

نمودار طول بوم بر حسب عافترا، بعد از ۷۰۰ كيلومتر با شيب كمي شروع به باال رفتن كندمي كه دهنشاندهن كاهش

•

اثر درگ رياتمسف و افزايش اثر اغتشاشات فشار خورشيدي و ميدان مغناطيسي زمين است.

نسبت گشتاور رانشيگ زمين به گشتاور اغتشاشات خارجي جهت پايداري وضعي براي ماهواره مورد نظر برابر ۳,۵۴ •

باشدمي


9

Time (sec) x 104

Time (sec) x 10

4

Time (sec) x 10

4

شكل(١) ييرتغ زوايای توضعي حتت تاثير اغتشاش خارجي براي طراحي هاولي

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -10

-5

0

5

10


10

Time (sec) x 10

4


11

Time (sec) x 104

Time (sec) x 10

4

شكل (٢) تغيير ایوضعيتيواز تحت تاثير اغتشاش خارجي براي طراحي نهايي

‐ طول بوم نمودار ارتفاع

0

5

10

15

20

25

600 300 400 500 700 800 900 1000 1100

کيلومتر )) ارتفاع

m=1.5 (kg) m=2.5 (kg) m=3.5 (kg)

ارتفاع به تغييرات طول بوم گراديان گرانشی ماهواره ) ۳ ( شكل


12


13

كلش (۶) موقعيت مركز جرم كل ماهواره و هر يك از دو جرم متمركز باس و جرم نوك بوم

مراجع

1- Larson, W. J. and Wertz, J.R., eds., “Space Mission Analysis and Design”, 2nd., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Holland, 1992.

2- Sidi, M. J., “Spacecraft Dynamics and Control”, Cambridge University Press,Cambridge, UK, 1997.

3- M. S. Hodgart, “Gravity Gradient and Magnetorquing Attitude Control for Low-Cost Low-Earth Orbit Satellite, The U-SAT Experience”,P. h. D. Thesis, Department of Electronic and Electerical Enginering, University of Surrey, 1989..

4- W. Mark Ried, “The Implementation of Satellite Attitude Control System Software Using Object Oriented Design”, Proceedings of the 12th Annual AIAA/USU Conference on Small Satellites, Septamber 1998.

5- W.G. Kalis, Q.P. Chu , J.A. Mulder, “Low Cost Attitude Stabilisation For The Delfi University Micro Satellite” IAF Astrodynamics Conference Rio de Janero Brazil, October 2-6, 2000.

6- H. klinkrad and B. Fritsche”Orbit and Attitude Perturbations Due to Aerodynamics and Radiation Pressure” IEEE Conference on Small Satellites, 2002. Germany.

7- K. Daneshjou, A.Alasty, S. Rezaei, "Control Boom Design of z-sat", Proceeding of Modeling and Simulation Technologies Conference and Exhibit, 14-17 August 2000,pp. 233-236.

"طراحي پيکربندي ماهواره کوچک براي تثبيت حالت وضعي هوارهما به سمت زمين از طريق روش گراديان گرانشي"، دانشگاه دانشکده مهندسي اضفاوه، نامهپايان کارشناسي، شهريور ۸۳ ۸‐ سليمي، ابوالحسن، صنعتي اميرکبير(تکنيکپلي تهران)،

بوم گرادیان جاذبه

Documents