ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ И ВАН -ДЕР -ВААЛЬСОВО...

Государственное Образовательное Учревдение Высшего

Профессионального Образования «Кабардино —Балкарский

государственный университет им. Х.М. Бербекова»

На правах рукописи

04201152556

КАНАМЕТОВ АНЗОР АЗРЕТАЛИЕВИЧ

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ И ВАН -ДЕР -ВААЛЬСОВО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗОНДОВ АТОМНО -СИЛОВОГО

МИКРОСКОПА С ПОВЕРХНОСТЯМИ

Специальность: 01.04.07 - Физика конденсированного состояния

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени

кандидата физико - математических наук

Научный руководитель -

доктор физико -математических наук,

профессор Дедков Г.В.

Нальчик - 2010

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Глава 1 Контактная и бесконтактная атомно -силовая спектроскопия 9

1.1 Силовые взаимодействия в воздушном контакте зонд -поверхность 9

1.2 Теоретические модели электростатических и

ван -дер -ваальсовых сил 14

1.3 Силовые кривые подвода -отвода 25

1.4 Экспериментальные исследования электростатических и ван —дер -

ваальсовых сил методами АСМ 27

1.5 Выводы к главе 1 32

Глава 2 Численное моделирование электростатических и ван -дер -

ваальсовых сил в контакте зонд -образец 33

2.1 Константа Гамакера и аддитивное приближение для сил

Ван -дер - Вальса 33

2.2 Сила электростатического взаимодействия 37

2.3 Метод численного расчета электростатических сил 44

2.4 Электростатические силы в проводящем контакте 51

2.5 Электростатические силы в контакте зонда АСМ с проводящим

образцом, покрытым диэлектрической пленкой 52

2.6 Влияние диэлектрических пленок на силы Ван -дер -Ваальса 54


Глава 3 АСМ -измерения электростатических и


3.1 Методики измерений и набор статистики при измерениях


3.2 Статистическая обработка зависимостей фототок -перемещение 64

3.3 Калибровки и пересчет шкалы перемещений в шкалу расстояний 69

3.4 Метод определения локальной контактной разности потенциалов 72


2

Глава 4 Интерпретация электростатических и ван —дер -ваальсовых

сил по данным АСМ -спектроскопии 76

4.1 Измерения в контакте зондов CSGIO/Pt с графитом

при влажности 60% 76

4.1.1 Электростатические силы 76

4.1.2 Ван -дер -ваальсовы силы 80

4.2 Влияние балки кантилевера 83

4.3 Измерения в контакте зондов CSG10/Pt с пленкой золота

при влажности 20%

4.3.1 Электростатические силы

4.3.2 Ван -дер -ваальсовы силы

4.4 Выводы к главе 4

Выводы ко всей работе

Список литературы

Приложение 1


87

87

91

94

95

97

106

108

3

Введение

Сканирующая зондовая микроскопия (СЗМ) представляет собой семейство

методов локального зондирования свойств материалов на наномасштабном

уровне. Датой рождения СЗМ считают 1981-й год, когда впервые научной

общественности был представлен сканирующий туннельный микроскоп

(СТМ). Впоследствии общие принципы, заложенные в СТМ, были

использованы для разработки большого количества новых методик

зондирования, что обусловило бурный рост инструментария СЗМ для

исследований в области нанотехнологий. Сегодня методы СЗМ находят

широкое применение в таких областях науки и техники, как нанофизика и

физика поверхности, микро- и наноэлектроника, проектирование и

производство микроэлектромеханических систем, микробиология, медицина

и биотехнология, и т. д.

Являясь мощным средством визуализации рельефа и физических

свойств поверхностей различной природы, методы СЗМ претендуют на роль

наиболее приоритетных, а во многих случаях основных методов

качественного и количественного изучения свойств материалов на

наномасштабном уровне. В арсенале средств СЗМ важное место занимают

методы атомно -силовой микроскопии (АСМ) и силовой спектроскопии на

базе АСМ. Одним из них является метод электросиловой спектроскопии,

основанный на регистрации электрических сил, возникающих между зондом

и образцом при приложении между ними внешнего электрического

напряжения.

Для дальнейшего расширения круга прикладных задач, развития и

совершенствования методов АСМ большое значение имеет количественное

исследование электростатических и ван -дер -ваальсовых сил между зондом

и образцом в контролируемой атмосфере. Однако существенными

недостатками метода силовой спектроскопии являются ограниченность

имеющихся аналитических моделей ван дер -ваальсовых сил,

электростатических и других типов сил для различных геометрических

4

конфигураций и сочетаний материалов контактирующих тел, необходимость

учета внешних факторов, вносящих искажения в результаты измерений (в

частности, роли влажности, давления и состава атмосферы) отсутствие in

situ методов контроля формы зонда и калибровки силовых взаимодействий. В

связи с этим актуальными задачами являются разработки теоретических

моделей ван -дер -ваальсовых сил применительно к типовым формам зондов

АСМ, методов аналитического и численного расчета электростатических сил,

а также методов обработки результатов измерений ван -дер -ваальсовых и

электростатических сил, полученных в сеансах силовой спектроскопии с

применением серийных АСМ.

Цель работы

Настоящая работа направлена на совершенствование методов измерений и

интерпретации электростатических и ван -дер -ваальсовых сил, проводимых

на серийных зондовых микроскопах в атмосферных условиях, определение

геометрических параметров зондов и характеристик силовых взаимодействий

материалов. Для достижения этих целей были поставлены следующие

задачи:

1) Набор статистики измерений слабых ван -дер -ваальсовых сил на

микроскопе Solver Pro (компания НТ-МДТ, г.Зеленоград) и разработка

программ статистической обработки силовых кривых подвода -отвода

и их последующей интерпретации;

2) Разработка методов аналитического и численного расчета ван -дер -

ваальсовых и электростатических сил взаимодействия зондов АСМ с

проводящей поверхностью, покрытой произвольным числом

диэлектрических слоев;

3) Определение геометрических характеристик зондов АСМ по

результатам измерений электростатических сил и, на этой основе,

определение констант Гамакера для контактов платина -графит и

платина -золото в атмосферных условиях с различной влажностью.

5

Научная новизна работы состоит в следующем

1) Разработаны процедуры набора статистики силовых кривых подвода -

отвода в сеансах электросиловой спектроскопии и их последующей

обработки с целью устранения искажений, связанных с наличием зоны

механической нестабильности кантилевера;

2) Предложен новый метод локального измерения контактной разности

потенциалов взаимодействующих материалов, основанный на анализе

результатов спектроскопии электростатических сил;

3) Разработан метод определения геометрических параметров зондов

АСМ по бесконтактной части кривых подвода, полученных в сеансах

электросиловой спектроскопии;

4) Получены аналитические формулы для расчета сил Ван -дер -Ваальса и

разработан численный метод расчета электростатических сил между

проводящим зондом конической формы со сферическим окончанием,

и проводящим образцом, в том числе с образцом, покрытым

диэлектрической пленкой.

Практическая ценность работы

Результаты работы существенно расширяют возможности метода силовой и

электросиловой спектроскопии с применением АСМ. В частности, метод

силовой спектроскопии может быть использован для определения

характеристик тонких диэлектрических слоев: диэлектрической

проницаемости и толщины. Метод определения контактной разности

потенциалов имеет самостоятельное значение. Разработанные аналитические

и численные методы расчета ван -дер -ваальсовых и электростатических сил

могут быть использованы для корректировки и интерпретации результатов

измерений сил методами АСМ, получаемых в атмосферных условиях. Метод

контроля геометрических параметров зондов АСМ позволяет повысить

точность измерений всех видов сил в контактах зонда с образцом.

6

Основные положения, выносящиеся на защиту:

1. Наличие диэлектрических пленок на проводящем образце

уменьшает электростатические и ван -дер -Ваальсовы силы в

воздушно -вакуумном контакте зонда АСМ с образцом, причем для

каждого типа сил имеется специфическая зависимость от радиуса

кривизны зонда, толщины и диэлектрической проницаемости

пленки.

2. Измерение и анализ силовых кривых подвода при подаче на зонд

АСМ равных по модулю напряжений различной полярности

позволяет найти величину контактной разности потенциалов

материалов зонда и образца.

3. Наиболее критичным параметром при определении радиуса

кривизны зонда АСМ по данным квазистатической электросиловой

спектроскопии является жесткость балки кантилевера, а при

определении жесткости -радиус кривизны зонда.

Личный вклад автора

Автором лично созданы программы статистического усреднения силовых

кривых, получаемых в сеансах силовой спектроскопии, и их последующей

обработки с целыо получения информации о механических и геометрических

характеристиках зондов АСМ, а также программа численного решения

уравнения Лапласа для распределения электрического потенциала в системе

зонд -образец с использованием математических пакетов Mathlab и Mathcad.

Экспериментальные измерения силовых кривых выполнены совместно с

Дедковой Е.Г., а постановка задач, анализ результатов численных расчетов и

интерпретация экспериментальных данных выполнены совместно с научным

руководителем.

7

Апробация работы

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на

следующих конференциях и симпозиумах:

1) Российский симпозиум по растровой электронной микроскопии и

аналитическим методам исследования твердых тел (РЭМ- 2009). Институт

Проблем Технологии Микроэлектроники и Особочистых Материалов РАН.

г.Черноголовка. - 2009.С. 16

2) Международная научно-техническая конференция «микро- и

нанотехнологии в электронике» 21-27 сентября 2009г. Пос.Эльбрус, Россия.

3) Российский симпозиум по растровой электронной микроскопии (РЭМ-

2008). Институт Проблем Технологии Микроэлектроники и Особочистых

Материалов РАН. г.Черноголовка. — 2009.С.16

Публикации

По теме диссертации опубликовано 6 работ, в том числе 2 статьи из перечня

ВАК, одна статья в региональном научном журнале и 3 тезиса докладов на

российских и международных научных конференциях.

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Работа изложена на 109 страницах, содержит 38 рисунков, 13 таблиц. Список

литературы включает 97 наименований.

8

Глава 1 Контактная и бесконтактная атомно-силовая

спектроскопия

1.1 Силовые взаимодействия в воздушном контакте зонд —поверхность

Идею исследования и модификации локальных свойств материалов на

атомарном уровне впервые предложили и практически реализовали лауреаты

Нобелевской премии Г.Бинниг и Х.Рорер [1-2].

Рис. 1.1. Графическая иллюстрация концепции зондового сканирования и модификации поверхности

Ключевой момент выдвинутой ими идеи заключается в следующем:

для того, чтобы зондировать наномасштабные структуры, необходим

манипулятор (зонд), соизмеримый с объектом, который подвергается

изучению. В данном случае это атомы и их конгломераты. Если в качестве

зонда применяется микроскопическое тело, то атомное разрешение

утрачивается, поскольку количество атомов, участвующих в контакте, резко

возрастает и становится невозможным «почувствовать» локальные

наномасштабные изменения зондируемой структуры (рис. 1.1).

Та часть зонда, которая непосредственно взаимодействует с

исследуемым образцом, имеет размеры порядка 1..100 нм. Однако в целом

зондирующее тело представляет собой систему с несколькими уровнями

9

масштаба и сложности. Так, оконечность иглы зонда СЗМ (см. рис. 1.2)

является наноскопическим объектом, а сама игла имеет микроскопические

размеры. Наиболее же массивная часть держателя зонда (кантилевера)

относится к деталям мезоскопического масштаба. Вследствие большого

различия времен термодинамической релаксации на разных масштабных

уровнях система зонд - образец в целом является неравновесной и

нестационарной, а, процессы, протекающие в ней, в значительной мере

необратимы[4].

Рис. 1.2 а,б. Микрофотографии типичных зондов АСМ. Характерные размеры зонда: высота - 14-16 мкм, радиус закругления оконечности зонда R -50ww (а). Длина балки - 225мкм, толщина - \мкм (б) (см. [3])

10

Сложность и разнообразие явлений, происходящих в контактах СЗМ, а

также появление в литературе большого числа новых методик зондирования

приводят к постоянному расширению терминологии, используемой в данной

области. В частности, терминология АСМ обусловлена характером и

различиями между видами силовых взаимодействий, наблюдаемых в системе

зонд -образец. Их специфику можно конкретизировать следующим образом

[4].

Во -первых, как принято в физике, все силы, действующие между

зондом и образцом, следует разделять на консервативные и

неконсервативные. К консервативным относятся силы, для которых

механическая энергия системы остается постоянной. В противоположность

этому, для неконсервативных сил характерно рассеяние механической

энергии и её превращение в другие формы, т.е. диссипация.

Взаимодействия, имеющие место в СЗМ, по своей фундаментальной

природе электромагнитные. Однако, несмотря на то, что элементарные

электромагнитные силы консервативны, в контактах зонд -образец они

всегда имеют и диссипативные составляющие, что обусловлено сложностью

системы. При любом движении нанозонда вблизи поверхности происходит

частичная необратимая передача его механической энергии большому числу

атомов и электронов образца.

Во-вторых, силовые взаимодействия в АСМ подразделяются на

бесконтактные, поверхностные и контактные. К бесконтактным относят

силы, не связанные с короткодействующими межатомными

(притягивающими и отталкивающими), которые обычно называются

химическими. При бесконтактных взаимодействиях даже наиболее близко

расположенные друг к другу атомы зонда и образца' находятся на

расстояниях, заметно превышающих характерные длины химических связей

в конденсированных телах (0.2 -0.3 нм), поэтому и между отдельными

атомами зонда и образца, и между электрически нейтральными

немагнитными зондом и образцом в целом реализуется режим

11

дальнодействующего притяжения (отталкивания) с преобладанием

флуктуационных ван—дер—ваальсовых (вдВ) сил. ВдВ силы обусловлены

коррелированными квантовыми и тепловыми флуктуациями поляризации и

намагниченности взаимодействующих тел [5,6]. При наличии на зонде и

образце локализованных пятен заряда, магнитных моментов или разности

потенциалов между ними дальнодействующие бесконтактные силы вызваны

электростатическими и магнитными взаимодействиями [4].

Под общим названием «поверхностные» подразумеваются силы,

возникающие при наличии между поверхностями капиллярно -адгезионных

перемычек (пятен контакта). В этом случае между близкорасположенными

атомами зонда и образца возможно образование химических связей. Наконец,

к контактным относятся силы, появляющиеся в более жестких атомных

контактах, когда взаимодействие зонда с образцом сопровождается

значительными механическими деформациями контактирующих тел.

Существенно, что контактные силы можно описывать в рамках классической

механики сплошных сред.

По направлению, в АСМ можно выделить тангенциальные

(латеральные) силы, действующие вдоль поверхности образца, и

нормальные, действующие в перпендикулярном направлении. Нормальные

силы преимущественно консервативны, или имеют смешанный характер.

Тангенциальные же силы, напротив, чаще являются неконсервативными и

тормозящими, но при определенных условиях могут быть и ускоряющими

[4]. Неконсервативные (диссипативные) силы разной природы

обусловливают трение, износ и прочие трибологические эффекты [7].

Примечательным является тот факт, что даже консервативные ван -дер

-ваальсовы силы могут зависеть от скорости относительного движения

взаимодействующих тел [6]. Обычно даже в динамическом режиме АСМ эти

эффекты весьма малы, поскольку скорости зонда не превышают 0.1-4-1 м/с,

однако при значительном увеличении относительной скорости движения

картина может измениться. В частности, существенное кратковременное

12

увеличение скорости зонда до 100-1000 м/с может наблюдаться в

катастрофах нормального и латерального движения нанозондов [7]

Воздушные измерения в АСМ отличаются тем, что наряду с другими

типами сил, значительный вклад в результирующее взаимодействие зонда с

образцом могут вносить капиллярные эффекты. Происхождение

капиллярных сил связано с уменьшением давления насыщенных паров воды

у искривленной поверхности по сравнению с плоской. Это различие

приводит к конденсации паров воды и образованию мениска в области

контакта даже при небольшой относительной влажности. А это, в свою

очередь, приводит к появлению силы взаимодействия между выпуклым

зондом и поверхностью образца, обусловленной различием давлений в

жидкости и в окружающей газовой фазе [9].

Помимо этого, возникают силы, обусловленные поверхностным

натяжением на границе трех контактирующих сред, но их вклад достаточно

мал [9]. С приемлемой в АСМ точностью величина капиллярной силы между

сферическим зондом и плоской пластиной определяется выражением [9]:

Fcap = 2nRy{cos 0, + cos 92) (1.1)

где 6>, и в2- контактные углы смачивания поверхностей, у-

коэффициент поверхностного натяжения жидкости (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Иллюстрация водного мениска, образованного между сферой и пластиной. R -радиус закругления полусферического тела, Л, и R2 -радиусы кривизны водного мениска

13

Кроме сил «сухой» и капиллярной адгезии, к поверхностным относятся

также сольватационные силы [8-11,13], обусловленные флуктуациями

плотности молекул внутри щели, образующейся между

взаимодействующими поверхностями. Их природа в достаточной мере еще

не ясна, и они требуют более детального изучения.

В целом, многообразие силовых взаимодействий, наблюдаемых в

контактах зонд -образец, создает обширные возможности для реализации

методов СЗМ, основанных на регистрации сил различного вида [9,12].

Однако, даже при самой тщательной подготовке эксперимента и создании

специальных условий для изучения отдельных специфических

взаимодействий нельзя исключать возможность множественного отклика

зонда на воздействие сил разной природы.

1.2 Теоретические модели электростатических и ван-дер-

ваальсовых сил

Применительно к АСМ следует различать электростатические и

магнитостатические силы, обусловленные наличием на зонде и образце

свободных зарядов и мультиполей, а также силы флуктуационного характера,

обусловленные тепловыми и квантовыми флуктуациями электромагнитного

поля атомов и молекул [4]. Второй тип сил более универсален, поскольку они

наблюдаются между любыми электронейтральными атомами и

макроскопическими телами. Эти силы могут иметь разную специфику, но в

целом объединяются под общим названием «силы Ван —дер -Ваальса» (ВдВ)

[5].

Одна из первых теоретических моделей ВдВ сил между нейтральными

атомами была предложена Лондоном [14], который рассмотрел диполь -

дипольное взаимодействие атомов, находящихся в основном состоянии, на

основе квантовомеханической теории возмущений второго порядка. В этом

случае энергия взаимодействия атомов оказывается пропорциональной Я"6,

где R - расстояние между атомами. Наиболее существенные результаты в

14

теории ВдВ сил было достигнуты около середины и в начале второй

половины 20 -го века [15-19]. Уже на раннем этапе развития теории была

осознана необходимость учета эффекта запаздывания электромагнитного

поля [15,16]. Вместо зависимости потенциала парного взаимодействия

нейтральных атомов вида R'6, справедливого при малых расстояниях R, на

больших расстояниях необходимо пользоваться законом R~7 [15]. В полной

форме оба указанных потенциала записываются в виде

tf(') = -fb (1-2)

U^ = ~Y (i-з)

где С6, С7- соответствующие константы. Критерием применимости (1.2),

(1.3) является сравнение времени распространения электромагнитного

взаимодействия RI с с характерным периодом движения электронов в атомах

Л0/с, где Ау -характерная для спектров поглощения атомов длина волны [5].

Для применимости формулы (1.2) должно выполняться условие R « Л0, а для

применимости формулы (1.3) -обратное условие.

В общем случае в силу ВдВ могут давать вклад несколько механизмов :

1) взаимодействие, обусловленное вращением перманентных молекулярных

диполей (силы Кеезома); 2) взаимодействие перманентных диполей с

индуцированными ими диполями нейтральных атомов и молекул (силы

Дебая) и 3) взаимодействие Лондона (дисперсионное), обусловленное

флуктуационными дипольными моментами (см., например, [9]). Причем

последний вклад, за редкими исключениями, является преобладающим.

Наряду с диполь -дипольными взаимодействиями, существуют и вклады

мультипольных моментов, для которых характерны более высокие

показатели степени в зависимостях силы от расстояния (R~",n>6). Все

разновидности ВдВ -сил диполь -дипольного типа при отсутствии

запаздывания объединяются формулой

U^(R) = - C L + C ^ + C K (1.4)

15

где CL, CD и Ск - константы взаимодействия, соответственно, для

механизмов Лондона, Дебая и Кеезома. Аналитические выражения для них

можно найти, например, в [9]. Для сферически -симметричных изотропных

частиц и атомов константа CL (С 6) обычно выражается через

соответствующие поляризуемости ах 2 (icai) частиц на мнимых частотах :

1 °°

С 6 = —- for, (id) аг {ico)da> (1-5) п о

Формула (1.5) была впервые получена Казимиром и Полдером [16].

Обобщение теории сил ВдВ между отдельными атомами и молекулами

на случай макроскопических систем (теория для атомов и молекул следует из

нее как частный случай) было сделано Лифшицем [19]. Теория Лифшица с

самого начала основывается на флуктуационно -электромагнитном

происхождении сил ВдВ и позволяет учесть коллективные эффекты,

эффекты запаздывания и материальные свойства взаимодействующих тел в

рамках единого феноменологического подхода. Материальные свойства

определяются конкретным видом диэлектрических (магнитных)

поляризуемостей и диэлектрических (магнитных) проницаемостей.

Основополагающим результатом теории Лифшица является выражение

для силы притяжения двух покоящихся толстых плоскопараллельных

пластин в условиях теплового равновесия с температурой Т, разделенных

вакуумным промежутком с шириной d (частный случай этой формулы

приведен в разделе 2.1). Формула Лифшица обобщает результат Казимира

[16], полученный в приближении идеально проводящих пластин при Т=0. По

этой причине флуктуационно -электромагнитные силы в геометрии плоских

пластин часто называются силами Казимира -Лифшица, хотя их в равной

мере можно считать ВдВ силами. Дальнейшее развитие теории Лифшица

было выполнено Дзялошинским и Питаевским на основе квантовополевых

методов теории многих тел [18].

Обзоры современного состояния теории и экспериментальных

измерений сил Казимира -Лифшица можно найти в обзорных статьях

16

[6,20,21]. Однако, несмотря на все достижения теории, точный расчет

зависимостей от расстояния и вычисление констант ВдВ сил для конкретных

тел в заданной геометрии до сих пор возможны только в случае простейших

геометрических конфигураций, поэтому дальнейшие экспериментально -

теоретические исследования в этой области имеют высокое фундаментальное

и прикладное значение.

В применении к АСМ имеется несколько расчетных формул для сил

ВдВ в случае простых геометрических конфигураций [9]. Они суммированы

в таблице 1. Как видно из таблицы, основным параметром формул (кроме

геометрических характеристик) является константа Гамакера А. Для

потенциала ВдВ взаимодействия атомов вида (1.2) между А и Сб имеется

простая зависимость А = л2С6п1п2 , где пх и п2 -плотности атомов

взаимодействующих пластин (имеется в виду конфигурация «пластина-

пластина»), являющаяся следствием аддитивного приближения (см. далее п.

2.1). Несмотря на то, что аддитивное приближение в теории ВдВ сил не

является вполне адекватным, получаемая с его помощью зависимость сил от

расстояния во многих случаях является правильной. Поэтому сопоставление

констант А и С6, вычисленных или измеренных разными методами,

позволяет оценить как точность применяемых методов, так и меру

неаддитивности сил ВдВ в конкретных ситуациях.

Расчеты ВдВ сил для протяженных зондов, использующихся в АСМ,

проводились несколькими авторами [22-24]. В этих работах форма зонда

моделировалась усеченным конусом со сферическим окончанием. Такая

модель является одной из основных, применяющихся при интерпретации

результатов, получаемых методом силовой АСМ -спектроскопии.

Подробный анализ соответствующих теоретических выражений будет сделан

во второй главе.

17

Таблица 1. ВдВ силы для простейших конфигураций. RU2- радиусы

сфер, z- ширина щели, А -константа Гамакера.

Конфигурация

Сфера -сфера

Сфера —пластина

Пластина -пластина

Сила взаимодействия

6z2 R,+R2

AR F ~ 6z>

A

F/S = Ylnz1

В отличие от ван —дер -ваальсовых, электростатические силы в АСМ

обусловлены наличием некомпенсированных зарядов, находящихся в

объеме и на поверхности зонда и образца. При отсутствии внешнего

электрического напряжения между ними электрические силы могут также

создаваться дипольными слоями адсорбированных молекул (например, Н20 ),

контактной разностью потенциалов из -за различия работ выхода материалов

зонда и образца, а также локальными полями, обусловленными анизотропией

работы выхода электронов на поверхности из -за наличия ступеней и других

неоднородностей рельефа [25,26]. В литературе силы подобного рода носят

название «patch charge forces» [27,28]. Они демонстрируют сложное

поведение в зависимости от вида неоднородностей (пленок адсорбата,

микротрещин, рельефа поверхности и т.д.), а также от расстояния между

взаимодействующими поверхностями. При приложении внешнего поля в

общую электростатическую силу входят вклады, обусловленные

поляризуемостью атомов.

Изучение электростатических сил имеет большое значение для

развития электросиловой зондовои микроскопии и микроскопии зонда

Кельвина. Эти методы основаны на приложении внешнего напряжения

между зондом и образцом и весьма чувствительны к электрическим и

геометрическим характеристикам зондов. Наиболее простым является

18

взаимодействие металлических зондов с металлическими поверхностями,

поскольку вблизи проводящих тел эквипотенциальные линии поля

повторяют форму тела. Для типичных значений внешних напряжений

(единицы вольт) необходимо учитывать также контактную разность

потенциалов. Общее выражение для силы взаимодействия зонда с образцом в

этом случае имеет вид [29,30]

F(2) = Uv-Vcf^l (1.6) 2 oz

где V - внешнее напряжение, Vc - контактная разность потенциалов

материалов, C(z)-емкость системы зонд -образец [30]. Как видно из (1.6),

при фиксированной величине внешнего напряжения сила определяется

производной емкости 6C(z)/dz. Определение зависимости C(z) для зондов

различной геометрии представляет сложную задачу. В литературе известны

аналитические выражения для сферы [31], параболоида (см. ссылки [55-56] в

статье [32]), конуса (см. ссылку [58] в статье [32]), и конуса со сферическим

окончанием (КС) [29]. Однако часто форма зонда отличается от идеальной и

получить точный вид C(z) представляется невозможным.

Приближенное аналитическое выражение для силы взаимодействия в

модели КС было получено Хадлетом с соавторами [29], а затем уточнялось

авторами [28]. Метод расчета, развитый в [29], заключается в следующем.

Величина напряженности поля у поверхности зонда выражается в виде

где /(М)-длина силовой линии, соединяющей выбранную точку М на

поверхности зонда с точкой поверхности образца. Силовая линия

электростатического поля подходит перпендикулярно к поверхности зонда в

точке М и перпендикулярно к поверхности образца в точке пересечения с

ним, и аппроксимируется дугой окружности. Приближенная формула (1.7),

очевидно, является следствием уравнения E = -gra<^ в случае локально

однородного электрического поля. С учетом геометрии КС и формы силовой

19

линии величина /(М) выражается аналитически, и далее, учитывая связь

между поверхностной плотностью заряда и величиной электрического поля у

поверхности (см. далее п.2.2), сила взаимодействия вычисляется

интегрированием по поверхности зонда. В итоге авторами [23,28] было

получено следующее выражение для производной емкости контакта:

(1.8) -~- = 2яе0 [gapex (z) + gcone (z) + gcant (z)]

bapex\ ) i?2(l-sin#)

z(z + R(1- sin 0))

&cone \ J

gcan,XZ)

1 In2 (tan 9/2)

1 Lw

( In

H Л л R(cos26lsme) -1 + —̂ '-

z + R(l-sin0) yz + R(l-sm0)

1

(1.9)

(1.10)

(1.11) 2л- (z + Hf (1 + (L/(z + H))tg3)

где функции gapex(z), gcone(z) и gcant(z) соответствуют вкладам апекса,

конической части зонда и плоской части балки кантилевера, соответственно,

Я-высота зонда, R -радиус кривизны сферической части зонда, в -угол

полураствора конической части и .9-угол наклона балки кантилевера к

горизонтали (см. рис. 1.4.).

Рис. 1.4. Схематическое изображение зонда АСМ на расстоянии D от плоской поверхности. Я-радиус закругления апекса зонда, Я-высота зонда, 0 -угол полураствора конической части и 3 - постоянный наклон балки кантилевера к поверхности бразца

20

С учетом (1.8) —(1.11), сила взаимодействия зонда с образцом

определяется выражением

F(z) = 7re0(V-Vcf[gapex(z) + gconc(z) + gcanl(Z)\ (1.12)

Формула (1.12) успешно апробировалась при интерпретации

экспериментальных измерений электростатических сил в работах [28,33].

Причем у разных авторов сложилось различное мнение в оценке роли

плоской части балки. Так, в отличие от авторов [23], авторы [28] считают, что

учет члена (1.11) в выражении для силы взаимодействия является

принципиально необходимым. К обсуждению этого вопроса мы вернемся

при анализе результатов наших измерений [34].

На рисунке 1.5 показаны зависимости от расстояния для различных

вкладов в электростатическую силу и в градиент этой силы от разных частей

зонда в модели КС [9]. Видно, что вклад плоской балки кантилевера

существенно не изменяется почти во всем диапазоне рассмотренных

расстояний, в диапазоне средних расстояний наклон кривых обусловлен

влиянием конической части зонда, а вклад сферической части проявляется

только на расстояниях менее 100 нм.

0.35J Ч * , 0.3G-

i 0.25 g 0.20

б 0 . 1 5 ; - - ^ 0.104 0.05 0.00

(а)

Апекс - - Кон. часть --• Кантилевер

•—— Итог

•Апекс

**«.

---;»,

10 ч""*-?"»"

100 1000 Расстояние, нм

0.01 .. - - - Кон.часть Кантилевер

— — Итог

i • • 1 I I I 1 |

100 Расстояние, нм

Рис. 1.5. Относительные вклады сферической и конической части зонда, а также балки кантилевера в суммарную электростатическую силу (а) и градиент силы (б). Радиус закругления зонда R я 30 нм, высота зонда Я«10нм, угол полураствора конической части <9 = 17°и площадь балки кантилевераS « 2 • 103 (по работе [9])

21

Расчеты электростатических сил для диэлектрических образцов

выполнить значительно сложнее, поскольку в этом случае граничное условие

постоянства потенциала на поверхности образца не выполняется. Однако

решение данной задачи имеет большое значение, поскольку на практике, при

проведении измерений в воздухе, металлические образцы всегда покрыты

пленкой воды и (или) окисной пленкой. Кроме того, эта задача представляет

самостоятельный интерес, поскольку электросиловая микроскопия дает

возможность определения диэлектрических характеристик поверхности с

высоким локальным разрешением.

Приближенная формула для силы взаимодействия зонда с проводящим

образцом, покрытым диэлектрической пленкой с толщиной h и

диэлектрической проницаемостью е, получена авторами [36] и имеет вид:

F~Fmacro-7ce0V2—4— (1.13)

z + h/s

где Fmacro - вклад в силу взаимодействия от протяженной части зонда и

кантилевера. Из (1.13) следует, что наличие пленки уменьшает вклад

сферической части зонда по сравнению с чистым образцом, причем это

уменьшение сильнее проявляется при меньших значениях е.

Численные методы расчета электростатических сил развивались

авторами [36,39]. В частности, в работах [36-39] предложен обобщенный

метод зарядов -изображений, суть которого заключается в том, что

распределение заряда на поверхности зонда заменяется совокупностью

фиктивных точечных зарядов и заряженных отрезков, расположенных на оси

симметрии зонда. Заряженные элементы должны подбираться и

располагаться так, чтобы поверхность зонда оставалась эквипотенциальной.

В этом случае наличие фиктивных заряженных отрезков внутри проводящего

зонда не существенно для расчета потенциала во внешнем пространстве,

который определяется выражением [36]

У(г) = 4я^ор(г,гГ,Ц) (1.14)

22

где N = NC+NS, Nc и Ns обозначают число зарядов и заряженных

отрезков, Lt - половина длины заряженного отрезка, г, - радиальная

координата точечного заряда, Q, -заряд /-го элемента (q, для точечных

зарядов и Л, для сегментов), G = G,+GP функция Грина, зависящая от

геометрии распределения зарядов. В свободном пространстве

электростатическая функция Грина точечного заряда равна

G,=\l\r-r\, (1.15)

а вклад GP описывает поляризационный отклик образца в форме

потенциалов зарядов —изображений. Электростатический потенциал в

некоторой точке поверхности зонда гк, с учетом сделанных определений,

имеет вид

F(rt) = 4^flrlGC*.l) + 4^i;(2^ l)G(rJk,r l,Z l) (1.16)

где функция Грина линейного отрезка равна

Gir^L,)^ \G{rk,z)dz (1.17) z,-L,

Так как функция GP представляется суммой потенциалов зарядов -

изображений, то граничные условия на поверхности проводящего образца

выполняются автоматически. Для полного решения электростатической

задачи необходимо найти величины я,Д,г,,1,. Авторы [36] фиксировали

параметры г, и L, жестким образом, а д,,Я, находили методом наименьших

квадратов, минимизируя величину

X2 =tlnrk)-V0f (1.18)

где V0 - потенциал на поверхности зонда, a NT - количество выбранных

точек на зонде, заданных координатами гк. Точечные фиктивные заряды

размещались внутри сферической части зонда (на оси симметрии) и имели

координаты z (

c, а центры линейных отрезков имели координаты z/', причем

длина заряженных отрезков возрастала с удалением от апекса зонда по оси z.

23

В работе [36] приведены рассчитанные значения qnlt (в пересчете на

напряжение 1 В) а также координаты z (

c и zt

L в единицах радиуса R

сферической части зонда в случае Nc = 3, Ns = 8.

Для диэлектрической пленки с толщиной h и диэлектрической

проницаемостью е на металлическом электроде функция Грина уравнения

Пуассона представляется в виде [36]

1 °° G(p, z;z,) = G, (р, z;z,) + — jg(£; z, )J0 (kp) cxp(-kz)dk (1-19)

<\п 0

g ( ^ , , ) = e x p ( - f a y 1 - e X P ( - 2 M » - C ' ( 1 + e ^ - 2 № » (1.20) 5 V ' ' FV '̂ (1-ехр(-2Ай)) + С,(1 + ехр(-2Ай)) V J

s -1 где J0(л:)-функция Бесселя, Ct = , z, -расстояние единичного

точечного заряда от поверхности, {p,z)~цилиндрические координаты точки,

в которой вычисляется потенциал.

Авторы [36] утверждают, что полученное ими решение

электростатической задачи справедливо для различных форм зонда,

обладающего цилиндрической симметрией, при z/R = {0.1-1} и

L/R = {10-1000}. Однако при электросиловой спектроскопии с помощью АСМ

диапазон расстояний, в котором необходимо рассчитывать силы

взаимодействия, в десятки -сотни раз больше радиуса зонда, поэтому

полученное численное решение не обеспечивает всех потребностей. Кроме

того, вызывает критические возражения формула (1.20), дробная часть в

которой фактически определяет величину заряда -изображения единичного

пробного заряда в образце. В самом деле, в предельном случае, когда пленка

диэлектрика исчезает (/г = 0), из (1.20) следует g(k;zl) = -exp(-bl), т. е.

индуцированный в металлическом электроде заряд -изображение равен - 1 ,

как и должно быть [40], однако в другом предельном случае, когда /г->оо

(для толстой пластины диэлектрика), из (1.20) для заряда -изображения

получим -1 /е, тогда как должно быть - (е -1) 1{е +1) [40]. Недостатком работы

[36] является также отсутствие обоснования выбора координат Z,CH z,1 и

24

количества фиктивных зарядов. Поэтому, на наш взгляд, последующее

применение данной модели к расчетам градиентов электростатических сил

для диэлектрических образцов является недостаточно корректным [82,83,37],

а для металлических она также имеет весьма ограниченную область

применимости.

1.3. Силовые кривые подвода -отвода

Силовая спектроскопия образцов с применением АСМ позволяет

изучать механизмы бесконтактного и контактного взаимодействия микро- и

наноскопических тел с высоким локальным разрешением [9,32]. В режиме

силовой спектроскопии балка кантилевера микроскопа, расположенного на

фиксированном контролируемом расстоянии от поверхности образца,

испытывает упругую деформацию под действием различных сил,

приложенных к зонду. Система оптического слежения регистрирует

деформации балки dc в зависимости от перемещения сканера z,

приближающего или удаляющего образец к зонду, в результате чего

формируется массив значений фототока /,0,)> пропорциональных

деформациям dc.

<

Перемещение сканера Е

И о м

а о н о

А

Сила отрыва

о Н

Рис. 1.6. Силовые кривые подвода-отвода.

25

Зависимости / (z), полученные при пошаговом приближении зонда к

образцу, называются силовыми кривыми подвода, а при удалении - кривыми

отвода (см. рис. 1.6) [32,41]. Для каждой из них, кроме того, регистрируются

координаты (х,у) зонда в плоскости образца, отвечающие выбранным точкам

спектроскопии.

При известной величине коэффициента жесткости кантилевера кс и

калибровочной постоянной для перевода фототока в деформацию dc силовые

кривые «фототок -перемещение» пересчитываются в зависимости «сила —

перемещение».

Точки A,B,C,D,E,F на рис. 1.6 обозначают момент отсутствия

взаимодействия между зондом и образцом (А), бесконтактный режим

притяжения зонда к образцу (В), момент вхождения в контакт (С), режим

контактного (отталкивательного) взаимодействия (точка D на линии

подвода), режим удаления зонда от образца на контактном участке (точка Е)

и момент выхода из контакта (F) . В точках В и С балка кантилевера

обращена выпуклостью вверх, т. к. зонд увлекается по направлению к

поверхности силами притяжения, а в точках D и Е -выпуклостью вниз,

поскольку образец находится в жестком контакте с зондом при близких к

максимальным удлинениях сканера. В этом случае взаимодействие является

отталкивательным. В точке С градиент притягивающей силы поверхности

превышает жесткость балки кантилевера, поэтому происходит потеря

механического равновесия, в результате чего зонд резко «прилипает» к

поверхности. Линия EF на рис. 1.6 описывает режим адгезионно -

капиллярного гистерезиса, когда зонд остается «приклеенным» к образцу при

сокращении длины сканера (на линии отвода). При этом трансляция сканера

Az целиком превращается в деформацию Adc кантилевера, как и на линейном

участке кривой подвода (точка D). В точке F контакт разрывается, поскольку

сила адгезии больше не в состоянии уравновесить упругую силу балки

кантилевера. Скачок фототока в точке F пропорционален максимальной силе

адгезии.

26

Вид силовых кривых подвода -отвода зависит от механических и

физических характеристик материала образцов (и зондов), жесткости

кантилеверов и геометрической формы зондов, влажности и других внешних

условий. Для жестких кантилеверов характерно отсутствие чувствительности

к бесконтактным силам, поэтому линия ABC практически совпадает с линией

нулевой силы. Такие кантилеверы целесообразно применять для измерения

механических свойств образцов [42-45]. Напротив, для измерений слабых

вдВ и электростатических сил требуются мягкие кантилеверы. В наших

работах [42,44,33], в частности, применялись кантилеверы с жесткостями

0.1 + 0.2 Н/м.

Несовпадение наклонных участков линий подвода и отвода

объясняется гистерезисом пьезокерамики сканера и пластическими

деформациями материалов зонда и образца. В микроскопах серии Solver Pro,

с помощью которых проводились измерения в диссертации, основную роль

играет гистерезис пьезокерамики, причем линия отвода оказывается

смещенной вправо от линии подвода.

1.4 Экспериментальные исследования электростатических и ван -дер -

ваальсовых сил методами АСМ

Сканирующая зондовая микроскопия электростатических сил основывается

на измерении сил электростатического взаимодействия между зондом АСМ и

образцом при подаче напряжения V между ними. В отсутствие этого

напряжения, если зонд и образец электронейтральны и немагнитны, в

воздушно -вакуумном контакте между ними существуют только силы

флуктуационно -электромагнитного происхождения -силы ВдВ и Казимира.

Измерение электростатических сил имеет большое значение не только

для прикладных задач, связанных с АСМ [41], но также широко применяется

для калибровочных целей при измерениях слабых сил Казимира [46] и ВдВ

[34] методами АСМ.

27

Диапазон приложений, связанных с флуктуационно —

электромагнитными взаимодействиями, проявлением которых являются

консервативные силы ВдВ и Казимира, простирается от физики

элементарных частиц и атомной физики до астрофизики и космологии

[6,47,49]. Измерение сил Казимира, в частности, позволяет изучать структуру

квантового вакуума и получать ограничения на величину гипотетических

дальнодействующих сил, отличных от ньютоновских гравитационных сил

[20,50]. В настоящее время исследование сил ВдВ и Казимира стимулируется

также развитием нанотехнологии, поскольку на микро —и наноскопическом

масштабах контроль этих сил между узлами микромашин является

принципиально необходимым [51,52].

Несмотря на кажущуюся простоту экспериментальной ситуации,

корректное измерение электростатических и флуктуационно -

электромагнитных сил между телами малых размеров до сих пор сопряжено

с большими трудностями. Эти трудности особенно велики при измерениях

сил ВдВ -Казимира, поскольку их точный расчет, как уже отмечалось в п. 1.2,

возможен только для простейших геометрических конфигураций [6]. По этой

причине в прецизионных измерениях сил Казимира в [53-55] обычно

используются металлизированные сферические зонды, прикрепляемые к

балке кантилевера. Именно простота геометрической конфигурации «сфера —

плоскость» обеспечивает возможность аналитического расчета

электростатических сил и сил ВдВ -Казимира и, соответственно,

сопоставления с экспериментом. Довольно большой диаметр сферических

зондов (200 мкм [53-55]) позволяет проводить измерения в диапазоне

расстояний от нескольких нм до 10мкм.

Статус теории и эксперимента в новейших исследованиях сил

Казимира подробно освещен в работах [56-59]. Сравнение теории с

экспериментами проводилось с учетом влияния вида диэлектрических

функций материалов, шероховатости поверхностей, температурных и

геометрических факторов. Наибольший успех в теоретической

28

интерпретации результатов измерений достигнут авторами [20,46,60-63,56].

В частности, на основании статистики данных наиболее точных измерений

сил Казимира в [64,65] делается вывод в пользу плазменной модели

диэлектрической проницаемости металлических пластин, а не модели Друде.

Тем не менее, вопрос этот еще далек от ясности, поскольку существуют

альтернативные мнения [58].

Измерения сил ВдВ со сферическими зондами значительно меньшего

радиуса, применяющимися в стандартных (коммерческих) АСМ,

проводились в работах [24,85], а в работах [42-44] -с протяженными зондами

компании НТ -МДТ. Для зондов с радиусом кривизны менее 100 нм диапазон

расстояний, в котором могут быть измерены силы ВдВ, сужается и

составляет несколько десятков нм, а роль шероховатостей, поверхностных

загрязнений (пленок) и геометрических факторов существенно возрастает.

В качестве промежуточной среды между зондом и поверхностью

обычно рассматривается воздух (вакуум) и вода [9,24,83,84,89], реже —

органические жидкости (этанол, циклогексан). Если зонд и поверхность

металлические, то во всех подобных случаях силы ВдВ имеют

притягивающий характер. Если же образец заменяется диэлектриком с

диэлектрической проницаемостью меньшей, чем у промежуточной среды, то

силы ВдВ, как известно из теории [5,9,90], могут стать отталкивающими. О

недавних измерениях отталкивающих сил с помощью АСМ сообщалось в

работе [67]. Интерес к отталкивательным силам ВдВ вызван возможностью

эффекта левитирования пробного тела, находящегося в жидкости над

поверхностью другого. В такой ситуации могут быть значительно

уменьшены и диссипативные силы, тормозящие движение пробного тела

[67].

Сравнение численных значений теоретически вычисленных и

экспериментально измеренных констант Гамакера для сочетаний различных

материалов показывает (см. [9]) , что между ними имеются достаточно

большие расхождения: обычно на уровне 30 -50% , но иногда и в несколько

29

раз. В целом можно констатировать, что количественные измерения констант

сил ВдВ -Казимира существенно зависят не только от внешних условий и

типа контактирующих материалов, но также от характеристик зондов и

кантилеверов, статистики измерений, методов их обработки и т. д. [45].

Точные расчеты электростатических сил для произвольной геометрии

зонд -образец можно сделать численными методами, но использование

сложных конфигураций нецелесообразно, поскольку это затрудняет

интерпретацию силовых кривых. Хотя в АСМ основной целью является

получение информации об образце, сам зонд и его форма также становятся

объектом изучения: их необходимо контролировать с такой степенью

точности, чтобы не искажались результаты измерений характеристик

образцов и других взаимодействий.

В работе [38] был предложен метод определения эффективного

радиуса зонда по начальному наклону экспериментальной зависимости тока

фотодиода АСМ от величины обратного расстояния (l/z ) между зондом и

образцом при измерениях электростатических сил, причем сделан вывод о

том, что независимо от реальной формы зонда электростатические силы

можно описывать так, как если бы зонд имел сферическую форму. В этих

экспериментах применялись жесткие кантилеверы (кс=3 + 9 Н/м) и

прикладывались напряжения 4-г 10 В. Оценки эффективных радиусов из

измерений электростатических сил достаточно хорошо совпадали с

измерениями изображений зондов в растровом электронном микроскопе.

Теоретическое обоснование метода [38] заключается в том, что

начальный ход зависимости силы от расстояния z до поверхности (при

небольших z ) можно аппроксимировать в виде

F = Fmacro~nSoV2Refflz (1.20)

где первое слагаемое описывает вклад протяженной части зонда, а

второе -вклад сферического окончания. Из (1.20) очевидно, что при

Fmacro = c o n s t будем иметь

ReJf=\AF/A(l/z)\/7re0V2 (1.21)

30

В наших измерениях применялись значительно более мягкие

кантилеверы (кс = О.1 * 0.25 Н/м), поэтому зависимости F(z) были

существенно нелинейны на всем протяжении силовых кривых. В этом случае

условие Fmacro = const не выполняется. Более детальный анализ работы [38]

показывает, что коэффициенты наклона AF/A(l/z) определялись по участкам

кривых фототока не вблизи, а вдали от поверхности образцов, поэтому

хорошее совпадение величин эффективных радиусов с данными

электронографии не является убедительным обоснованием метода [38].

В работах [34,44,45] было показано, что измерение электростатических

сил в режиме зондовой спектроскопии позволяет контролировать жесткость

и геометрические характеристики протяженных зондов в проводящих

контактах, если для интерпретации результатов используется теоретическая

модель [29], описанная в п. 1.2. В настоящей работе, как и в [34,44,45],

рассматривается та же модель (конус со сферическим окончанием), однако

круг рассматриваемых задач расширен: модель тестируется теоретически и

экспериментально, причем наряду с проводящими контактами

рассматриваются и контакты с наличием диэлектрических пленок на образце.

В отличие от [34,44,45], используется более обширная статистика данных, а

сами измерения выполняются при различной величине относительной

влажности.

31


В работах [91-94] теоретически изучалось влияние электростатических и ван

-дер -ваальсовых сил на механические свойства пробных тел (зондов АСМ),

но экспериментальные данные, связанные, например, с изменением

жесткости кантилеверов под влиянием электростатических сил, в литературе

отсутствуют. Из обзора литературы так же следует, что имеется

существенный пробел в теоретическом описании и интерпретации измерений

электростатических и ван -дер -ваальсовых сил между зондами АСМ

реалистичной формы и поверхностями различных материалов, в том числе с

пленочными и окисными слоями на поверхности. Точные расчеты

зависимостей от расстояния и констант ван —дер —ваальсовых сил между

протяженными телами возможны только в случае простейших

геометрических конфигураций, поэтому дальнейшие экспериментально —

теоретические исследования в этой области имеют высокое фундаментальное

и прикладное значение.

Количественные измерения сил Ван —дер —Ваальса в воздушных

условиях с применением АСМ серийного типа немногочисленны, а

имеющиеся в литературе аналитические зависимости электростатических и

ван -дер -ваальсовых сил от расстояния, характеризующие взаимодействие

протяженных зондов АСМ с образцами, апробированы и тестированы

недостаточно полно. Отсутствует анализ точности этих зависимостей, слабо

изучено влияние характеристик зондов на результаты силовой

спектроскопии, в частности, вклад плоской части кантилевера в

электростатические силы и влияние конической части зонда на силы Ван -

дер -Ваальса. Практически не исследована степень влияния влажности и

величины внешнего электрического напряжения на жесткость кантилевера.

32

Глава 2 Численное моделирование электростатических и ван -

дер -ваальсовых сил в контакте зонд -образец

2.1. Константа Гамакера и аддитивное приближение для сил Ван —дер —

Ваальса

Корректные расчеты силовых взаимодействий между зондом АСМ и

образцом необходимы для интерпретации измерений в статических и

динамических режимах АСМ [95-97]. Для взаимодействия между

коническим зондом со сферическим окончанием и толстой пластиной разные

авторы приводят различающиеся между собой выражения для сил ВдВ [22-

24], поэтому мы сочли необходимым рассмотреть этот вопрос более

детально. Известно, что расчет сил Ван-дер-Ваальса — Казимира между

протяженными телами сложной формы, обладающими произвольными

материальными свойствами, практически трудноосуществим, поэтому к

настоящему времени точное решение этой задачи было получено лишь в

двух крайних случаях: в геометрии плоскопараллельных пластин с

вакуумной щелью [19] или с щелью, заполненной третьим веществом [18], и

в случае малой сферической частицы над пластиной [6]:

Формула (2.1) также вытекает из формулы Лифшица для

взаимодействия пластин, если применяется локально -плоское приближение

Дерягина [13]:

F%ar = l7tRu{z) (2.2)

где u{z)- плотность свободной энергии флуктуационного

электромагнитного поля в вакуумной щели между пластинами, отнесенная к

единице площади, R- радиус сферического тела. С достаточной для АСМ

точностью u(z) представляется в виде [68]

и 0 0 = !L.]£iMzi.£iMzl r f f l, = __A_ (2.3) \6n2z2 Je,(iu)) + 1 s2(ito) + l Ylnz2 K

33

где £г12(/ш)- диэлектрические проницаемости материалов пластин (на

мнимых частотах), А- константа Гамакера. Комбинируя (2.2) и; (2.3),

приходим к (2.1). Более простым способом к этой формуле* можно придти с

помощью; метода, суммирования энергии парных межатомных

взаимодействий« между атомами пластин, м0(г) = -С/г 6 . Так, в случае

геометрии плоских пластин получаем [7]:

где: щ и щ- - плотность атомов материалов пластин Г и 2. Из сравнения

(213) и (2.4)1 следует, что А = п2щщСь. Полученное соотношение применяется;

для перенормировки расчетов ВдВ сил, производящихся в: аддитивном:

приближении [20]. Для геометрии сфера -плоскость при малой ширине

, зазорам; аналогичным образом^ получается результат (2.1) [Г1].

Рассмотрим ВдВ, взаимодействие с:пластиной в.случае протяженного

конического зонда АСМ; оканчивающегося-; сферической? выпуклостью; ( см.

рис. Г.4); Авторы .[22-24], ссылаясь на- метод аддитивного: суммирования

парных потенциалов1, приводят, тем не: менее, различные выражения; для:

силы вдВ; Так, авторы [23]- исходя из запаздывающего потенциала

щ{г).= -А*/г7, получили: выражение' для*; энергии- взаимодействия: зонда.: с

образцом; вида

77 - ^ЩЩ^* и «"•-'••• 30,

l + tg2e R-z (2:5): z + ЩЬ-sinO) z2.

Сила-•'F-vdW далее находится дифференцированием; FYdiV=-dUvdw /dz.

Нетрудно видеть, что получаемая при этом: зависимость Fv^(z)

принципиально отличаетсяют (2.1?);и выражения [22]

F '—А 6

R tg2e :, Щ-sine) Т + (2.6) /•; z + .K(l-sin0) z(z + £(r-sin0)>

Однако, как легко убедиться, скобочные выражения в (2.11) и (216) (см.

далее) тождественно фавны друг другу. Таким образом, формально формула

(2.6) получается из (2.11) при выполнении замены А+я2щп2 /5'->А, хотя (2.6)

•'•.' •••'-.• ' ":>'-' '•">. •• ... :.'••.'• 34•••' •

описывает не силу, а энергию взаимодействия зонда с пластиной. Авторы

[22], приводя формулу (2.6), ссылаются на работу [24], в которой в не

запаздывающем приближении для FvdW было получено выражение

„ AR2{\-sm9){Rsme-zsin9-R-z) Htg9(z smO+RsmG+Rcos29) vdW

•+- (2.7) 6z2 6cos0(z+i?(l-sin0))2

Нетрудно видеть, что в пределе z « R (2.7) и (2.6) согласуются с (2.1).

Кажущееся внешнее различие формул (2.6) и (2.7) побуждает нас выполнить

независимый расчет. Наши вычисления в итоге подтверждают как формулу

(2.5), если используется парный потенциал щ(г) = -А+/г7, так и формулу

(2.6), если применяется не запаздывающий потенциал щ(г) = -С6/г6.

Рассмотрим второй случай подробнее.

Сначала найдем взаимодействие одного атома с бесконечной тонкой

пластиной, характеризующейся однородной поверхностной плотностью

атомов, ns (рис. 2.1)

Рис 2.1. Схематическое изображение атома над бесконечно тонкой плоскостью, z - расстояние между атомом и плоскостью, г - расстояние между атомом и текущей точкой на плоскости, р- радиус текущего кольца л dp- бесконечно малое приращение радиуса текущего кольца

и,00 = -С 6 J-о(-

2nns рdp _ 2nC6ns 2\3

Г+РЛ) (2.8)

35

Используя (2.8), легко также найти энергию взаимодействия атома с

толстой пластиной, характеризующейся объемной плотностью атомов п2,

разбивая ее на тонкие слои с поверхностной концентрацией ns. Для этого

полагаем ns -> n2dz' и интегрируем щ (z') в пределах от z до <х> :

u2{z) = n2 Ji/,(z')«fe' = —:— С6п2 — = — * (2.9) 15 z" z~

На следующем этапе расчета заменяем атом протяженным зондом,

характеризующимся однородным распределением атомов с плотностью пх. В

случае аксиально -симметричного зонда в форме усеченного конуса со

сферической оконечностью (рис. 2.2) результирующий потенциал ВдВ

взаимодействия зонда с пластиной будет выражаться однократным

интегралом по высоте z' зонда:

т \ 7

Рис. 2.2. Схематическое изображение конического зонда со сферическим окончанием. z'- текущее значение переменной интегрирования (формула 2.10), dz'- соответствующее бесконечно малое приращение . Параметры R, Н, в, z, z1? p){z') используются

далее по тексту

36

U^{z) = C2n2)^^dz' + C3n2

H]'^p-dz' (2.10) Z " z

где z, = z + i?(l-sin#), R- радиус закругления сферической части зонда,

в- угол полураствора конуса, Я - высота зонда (рис. 2.2). Смысл

подынтегральных функций в (2.10) очевиден: 7rpsc

2(z')dz' представляет

элементарный объем зонда, все атомы которого удалены на одинаковое

расстояние z' от поверхности пластины. Для сферической и конической

частей зонда, соответственно, можно записать p2(z') = R2 ~(R + z-z')2 и

Рс 0О = № c o s 0 + (z'- z, )tg9f. Сила взаимодействия находится

дифференцированием (2.10): FvdW(z) = -dUvdW Idz. После элементарного

интегрирования и последующего дифференцирования по переменной z

выражений в правой части (2.10), переходя к пределу Я-»оо, окончательно

находим

R , tg\9) R(\-sxn6) 1 ( 2 U )

z2 z + i?(l-sin^) z(z +R(l-sin 0))\ ' }

Делая в (2.11) замену тсгпхпгСь -+ А, приходим к формуле (2.6). Таким

образом, формула (2.6), действительно, соответствует силе вдВ в аддитивном

не запаздывающем приближении. В свою очередь, в идентичности (2.7) и

(2.6) можно убедиться аналитически или путем численного сравнения обеих

формул.

2.2 Сила электростатического взаимодействия

В общем случае проводящего зонда некоторой формы, находящегося в

вакууме (воздухе) над проводящим образцом, при подаче между ними

напряжения V заряды растекаются по поверхности зонда и образца. Величина

пондеромоторной силы, действующей на единицу поверхности заряженного

проводящего тела, как известно, равна [40],

/ = 2тта2 (2.12)

Fvdw(z) = 7Г2ПхПгС6

37

где и-локальная поверхностная плотность заряда. Результирующая

пондеромоторная сила находится интегрированием (2.12) по поверхности

проводника и проектированием на заданное направление (в нашем случае на

вертикальную ось z )

Fz= \27ra\n-ez)dS (2.13) s

где интегрирование ведется по поверхности зонда, п - единичный

вектор нормали к поверхности зонда в заданной точке поверхности, e z -

единичный вектор оси z. Таким образом, для вычисления силы,

действующей на проводящий зонд, нужно знать распределение

поверхностной плотности заряда ст(А) в различных точках его поверхности,

или величину нормальной компоненты напряженности поля, связанной с

а(А) соотношением Е = Атс<у. В свою очередь, вектор напряженности

электрического поля выражается из уравнения E = -V^ через потенциал

ф{х,у,г), который находится из решения уравнения Лапласа

Аф(х,у,г) = 0 (2.14)

с необходимыми граничными условиями на поверхностях.

В дальнейшем нас будут интересовать два случая, соответствующие

проводящим зонду и пластине, и проводящему зонду вблизи проводящей

подложки, покрытой тонкой диэлектрической пленкой толщины d. В

стандартной для СЗМ ситуации напряжение V подается на зонд, а подложка

заземляется, поэтому на зонде и подложке граничными условиями для ф

будут ф = V и ф = 0. Кроме того, при наличии диэлектрической пленки на ее

границе с вакуумом и с металлом должны быть непрерывны ф и нормальная

компонента электрической индукции Dn=sEn, где е-диэлектрическая

проницаемость. Для вакуума и металла следует считать s = 1 и е = со.

При численных расчетах электростатической силы взаимодействия

зонда с образцом удобнее, однако, исходить не из формулы (2.13), а

использовать определение емкости системы зонд -образец,

38

C(z) = -jcr(A)dS (2.15) " s

В правой части (2.15) интеграл выражает полный заряд зонда Q(z) как

функцию расстояния z, в соответствии с определением емкости. Учитывая

(2.15), величина силы F, будет равна

F=L?£V2 (2.16) 2 dz

Заметим, что правая часть (2.16) является производной от энергии

CV2

системы зонд -образец в форме W = , взятой с положительным знаком, в

отличие от обычного определения силы в механике, F, = . Это связано с dz

тем, что механическая работа, выполняемая силой F, при изменении

расстояния между зондом и образцом, совершается при фиксированном

напряжении V. В результате происходит дозарядка конденсатора от

источника тока, изменяющая величину электрической энергии системы в

совокупности с механической работой, производимой силой F. [69]. В

соответствии с (2.15), (2.16), для вычисления силы достаточно найти

зависимость суммарного заряда зонда Q от расстояния z. Этим мы и

воспользуемся в п. 2.3 при изложении метода численного расчета Q(z)n

силы F,.

В п.2.3 нам также понадобится выражение для индуцированного

потенциала точечного заряда д, находящегося на расстоянии zQ от

проводящей пластины, покрытой диэлектрической пленкой с толщиной d.

Для этой цели применим общий метод решения данной и родственных ей

задач [21]

Запишем уравнение Пуассона для электрического потенциала в

системе заряд -образец, помещая заряд в точке (0,0,z0)

^ = -AnqS{x)d{y)S{z~zu) (2.17)

39

Переходя к двумерному Фурье -представлению входящих в (2.17)

функций с волновым вектором к = (кх,ку), лежащим в плоскости пластины,

преобразуем уравнение (2.17) к обыкновенному дифференциальному

уравнению для Фурье -образа потенциала

№"~ е г{z)=~Ап qS{z ~Zo) (2'18)

Общее решение этого уравнения, как известно [70] определяется

суммой общего решения однородного уравнения и частного решения

неоднородного. Сначала получим частное решение неоднородного уравнения

(2.18). Оно выражается с помощью функции Грина данной задачи,

удовлетворяющей уравнению

'd' , ; Л

.2 -к'

\ d z J G(z,z') = S(z-z') (2.19)

Решением (2.19), как нетрудно показать, является [21]

G{z,z') = -^\QXVf^Z:/))dK =-^-exp(-*|z-z'|) (2.20)-£я _ш к: + к ^ft

Частное решение неоднородного уравнения (2.18), в соответствии с

методом функций Грина [86], запишется в виде [21]

+0° 1тг п ФМ= \G(z,z'i-47rqS(z'-z0)]dz' = —^exp(-£|z-z0|) (2.21)

/с —со

Для построения решения (2.17) во всем пространстве рассмотрим

области z>0, -d<z<0,z<-d. Во второй и третьей областях источников

заряда нет, поэтому решение конструируется с помощью общего решения

однородного уравнения (с учетом асимптотики при z = -со ). В первой области

решение содержит сумму общего решения однородного уравнения (с учетом

асимптотики при z = oo) и решения (2.21). Затем выписываем условия

непрерывности потенциала и нормальной компоненты индукции на границах

выделенных областей. В случае Фурье -компонент это функции фк(г) и

ефк (z) при z = 0 и z = -d. Пусть, для общности, пленка имеет

40

диэлектрическую проницаемость sf, а толстый плоский субстрат -ss. В

результате записи граничных условий получим систему уравнений

С, + exp(-fc0 ) = С2+СЪ

к -кСх +^-exp(-fc 0) = ksf(rC2 + С3) (2.22)

С2 ехр(Ы) + С3 ехр(-Ы) = С4 ехр(-Ы)

kef (- С2 ехр(М) + С3 ехр(-М)) = kss ехр(-Ы)С4

где коэффициенты С,_4 относятся к областям z>0 (С,), -d<z<0

( С2, С3) и z < -d ( С4). Из решения системы находим

С ^ - ^ - О Д е х р Н Ц , ) (2.23) А:

^ ) = Д , - Д 2 е х р ( - 2 Ы ) l-A]A2exp(-2M)

При переходе к металлическому субстрату следует положить ss = оо,

тогда Д2 = -1 и функция D{k) запишется в виде

^ ) = Д 1 + е х р ( - 2 Ы ) 1 + Д, ехр(-2М)

С учетом (2.23) и (2.26) выражение для Фурье -образа решения

уравнения (2.17) в вакуумной области, которая представляет интерес в

дальнейшем, имеет вид

А 00 = ̂ е х р ( - % - z0|) - ^ D ( * ) e x p ( - * ( z + z0)) (2.27)

Первое слагаемое в правой части (2.27) отвечает потенциалу «голого»

заряда д, а второе описывает индуцированную часть, образованную

поляризационными зарядами образца. Нетрудно видеть, что в предельных

случаях заряда над металлической пластиной (d = 0) и заряда над пластиной

диэлектрика (d = с») формула (2.27) сводится к выражениям для потенциала в

известных задачах [40]. Величину -qD(k) во втором слагаемом (2.27) можно

трактовать как эффективный «заряд -изображение», расположенный в

41

области z < О симметрично исходному заряду q, находящемуся в точке z = z0

(ср. с формулой (1.20)). Очевидно, что аналогичным образом решается задача

и для произвольного числа диэлектрических слоев на подложке.

Представляет интерес рассмотреть типичные для сканирующей

зондовой микроскопии и полупроводниковой микроэлектроники структуры,

такие как: Я2О - металл, Si02 - металл, Si - металл, H20-Si, Н2О - Si02,

,Si02-Si, Si-Si02. Для проведения расчетов воспользуемся формулой (2.27)

для Фурье -образа индуцированного потенциала (второе слагаемое).

Фурье-образ индуцированной компоненты Е, электрического поля,

действующего на заряд, очевидно, равен

Ек: = -2л qD{k) ехр(-2& z) (2.28)

Величина силы, действующей на заряд, равна

2

F. = -^УГ_ ^d2kD(k) ехр(-2£ z) (2.29)

Записывая D(k) в виде

D(k) = (Д, - Д2 ехр(-2Ы))]Г(-Д^)" ехр(-2Ы«), (2.30) л=0

и подставляя затем ( 2.30 ) в ( 2.29 ), после интегрирования получим

F:=-£t(-*A2y ^ п=0

д, д2 (2.31) _{z + dnf (z + d(n + l)f

где Д]2 определяются формулами (2.25). Для иллюстрации влияния

пленок на величину электрической силы удобно рассматривать отношение

силы F,, определяемой формулой (2.31), к величине силы, действующей на

одиночный заряд вблизи проводящей поверхности, F. =-q2 IAz2.

Результаты расчета показаны на рис. 2.3 -2.5 для сочетания различных

материалов. Из рисунков следует, что наличие диэлектрических пленок воды

на металлической поверхности или на поверхности другого материала с

' более низкой диэлектрической проницаемостью приводит к уменьшению

силы взаимодействия по сравнению со случаем взаимодействия точечного

заряда с проводящей поверхностью. Уменьшение силы наблюдается также

42

для всех других рассмотренных случаев, кроме случая Si02-Si, когда

диэлектрическая пленка имеет более низкую проницаемость по сравнению с

диэлектрической проницаемостью подложки. В этом случае сила

взаимодействия может возрастать приблизительно на 30% при больших

расстояниях заряда от поверхности, однако при малых расстояниях

соотношение Az2FJq2 <1 остается в силе.

г<1 СГ1

С* N

0.8

0.6

- j

/

У

\ /

/

/

U I

Н.О -металл z

Si -металл

— Si О 2 -металл

0 5 10 15 20 z/cl

Рис.2.3. Зависимость отношения электростатической силы Fz к величине -q2/4z2 для заряда q вблизи металлической пластины с пленкой диэлектрического материала толщиной d

N

1.5

10

Si — S i 0 2

SiO^ ~ Si

15 20

Рис.2.4. Зависимость отношения электростатической силы F2

величине -q2IAz2 для систем Si-Si02 и Si02-Si к

43

1

H 2 0 - S i 0 2

Щ О - Si

J l l I 5 10 15 20

•zJil

Рис.2.5. Зависимость отношения электростатической силы F, к величине -q2/4z2для систем H20-Si02 и H20-Si

2.3 Метод численного расчета электростатических сил

Рассмотрим развитый нами метод, следуя нашей работе [33]. Он основан на

модификации метода зарядовой плотности [71], согласно которому решение

уравнения Лапласа в вакуумной области, в которой находится зонд,

представляется в виде суммы потенциалов, создаваемых неизвестными

дискретными распределениями зарядов на поверхностях всех тел

(электродов). Затем выписывается система уравнений для заданных значений

потенциалов - электродов, выражаемых в виде суммы потенциалов от

дискретизированных зарядовых распределений.

В случае, когда поверхности покрыты диэлектрическими слоями,

граничные условия на поверхностях усложняются, и метод [36] становится

неэффективным. В нашем методе [33] неизвестными являются только

дискретные заряды на зонде, а реакция образца определяется путем точного

решения уравнения Пуассона с известным расположением дискретных

зарядов зонда. Таким образом, индуцированные поля образца выражаются

линейным образом через заряды зонда. При этом автоматически

учитываются граничные условия на поверхности образца при любом

44

количестве слоев диэлектрических покрытий. На последнем этапе

вычислительной процедуры заряды зонда подбираются таким образом, чтобы

потенциал принимал заданное значение V во всех точках поверхности зонда.

1 X 7

Рис 2.6. Схема разбиения зонда АСМ в модели КС используемая для численного расчета электростатических сил

Ввиду аксиальной симметрии зонда (рис. 2.6) поверхностную

плотность заряда на нем удобно представить в виде суммы элементарных

кольцевых распределений с зарядами колец qm и радиусами rm = r(zm),

центры которых располагаются на оси симметрии зонда в точках zm > О.

Потенциал одного кольца в точке (r,z) в вакуумной (воздушной) области

z > О, как нетрудно показать, равен

V(z,zm,r,rm) = 2?„ 1

я- {{z-zmy+(r + rmY) 2\1/2

К 4гг„

,1/2

{z-Zm?+(r + rm)2j (2.32)

где К{х) -эллиптический интеграл первого рода [72]

45

т/2

вд= JTT-

n (1-Х

dy

0 (1-х sin y)

Для функции K(x) мы применяли полиномиальное разложение вида [72]

(2.33)

KW^iarf-brflntj), ?j = l-x2 (2.34) n=0

Коэффициенты этой аппроксимации приведены в таблице 2, а ее

ошибка не превышает 2 • Ю-8.

Таблица 2. Коэффициенты аппроксимации в формуле (2.34)

п

0

1

2

3

4

ап

1.38629436112

0.09666344259

0.03590092383

0.03742563713

0.01451196212

К

0.5

0.12498593597

0.06880248576

0.03328355346

0.00441787012

При выводе формулы (2.27), определяющей электрический потенциал

в системе, включающей одиночный точечный заряд q и поляризующуюся

пластину, заряд помещался в точке с цилиндрическими координатами (z0;0).

Совершенно аналогично решается задача о вьгаислении поляризационного

потенциала, создаваемого системой п фиксированных точечных зарядов

{qmn)c координатами {zm;гт], находящихся над пластиной. В этом случае

Фурье -образ индуцированного потенциала одного кольца, состоящего из

дискретных зарядов qmn, запишется в виде

^ ( M ) = -^DieMJYjImn е х Р ( - Kz + z 0))exp(-/krm n), Л и

(2.35)

где сумма берется по зарядам кольца с номером т. Тогда результирующий

индуцированный потенциал одного кольца в точке (г, z) будет определяться

обратным преобразованием Фурье вида

46

* . ~ W ) = -^gmnD(s,kd) Я ^ е х р ( - k(z + zj)exp(/k(r - rmn)) (2.36)

Заметим, что формулу (2.35) легко переписать и для произвольного

расположения зарядов (т.е. для зонда более сложной формы). В этом случае в

(2.35) нужно сделать замены qmn -> qn,zm -> zn,rmn -> r„.

При наличии осевой симметрии линейная плотность зарядов в

пределах одного кольца должна быть постоянна, поэтому суммирование по

п в (2.36) заменяется интегрированием по угловой переменной ср, согласно

2 -

правилу YuQm»(•••)->— \dq>(...). В возникающем интеграле от угла ср будет 2я о

зависеть скалярное произведение krffln =krm cos <р. При интегрировании по

волновым векторам в (2.36) используем полярную систему координат,

записывая d2k = kdkd(p', где (р'-угол. между векторами к и г . В результате,

учитывая соотношения (J0(x)-функция Бесселя)

ч 2,т 2,т

— Jrf^exp(-ikrm) = J0(krm), |^ехр(/кг) = 2лг/0(Ь-), (2.37)

для индуцированного в образце потенциала кольца с номером т

получим

со

<fim

md(r,z) = -qm JdfcZ)(s,feOJ0(ArV0(Aril)exp(-*(z + ^ ) ) (2.38) о

где qm -заряд кольца. Очевидно, что сумма потенциалов (2.32) и (2.36)

удовлетворяет уравнению Пуассона в зазоре и автоматически обеспечивает

выполнение граничных условий при z = 0 и z = -d, поскольку этим условиям

удовлетворяет решение (2.27) для каждого точечного заряда.

Более удобное для проведения численных расчетов представление

формулы (2.38) получается при использовании табличного интеграла [73]

2 1 f dkJ0 (he) J0 (ky) exp(-fe) = - j - -^j К о * [z2+(x + y)2\

Axy (2.39) z1 +(x + yy

Для упрощения формулы (2.38) с помощью (2.39) представим функцию

D(s,kd) в виде

47

D(s, kd) = A + 6 X p ( 1M) = (A + ехр(-2Ы)Х1 - А exp(-2M) + А2 ехр(-4Ы) +...) (2.40) 1 + Дехр(-2Ы)

С учетом разложения (2.40) все интегралы в (2.38) приводятся к виду

(2.39), после чего формула (2.38) принимает вид

^ ( z , z m , r , r J = -£(-A)*[A.F(z,-(zm + 2dk),r,rm)+V(z,-(<zm + 2dk + 2d),r,rm] (2.41)

где V{z,zm,r,rm) определяется из (2.32).

Для чистой металлической поверхности d = 0, и из (2.40) следует, что

D(s,kd) = \. В этом случае формула (2.38), с учетом (2.39), сводится к

формуле, аналогичной (2.32), и описывает потенциал «зарядов -изображений

» кольца с центром на оси симметрии системы в точке - zm, расположенной

симметрично точке zm относительно плоскости z = 0, как и следует ожидать.

Результирующий потенциал ф(г,г) системы зонд -поверхность,

удовлетворяющий уравнению Лапласа (2.14) и граничным условиям на

образце, представляется в виде суммы (2.32), (2.41) по всем кольцевым

зарядам qm :

<f>{r,z) = Yy{z,zm,r,rm) + <l>l"d{z,zm,r,rm)\ (2.42) m

Сами заряды qm определяются граничным условием для потенциала на

поверхности зонда : ф(г,г)\<. -V. Для решения этой части задачи вводилась

дискретная сетка (r(zn),zn) по координатам (r,z) на поверхности зонда,

причем узлы ее выбирались посередине между узлами исходной сетки

(f(zm),zm). При этом уравнение (2.38) превращается в систему линейных

алгебраических уравнений относительно зарядов дт. Решение данной

системы находилось с помощью стандартной процедуры для решения

системы линейных алгебраических уравнений в программном пакете

MATHCAD-2000.

В наших численных расчетах общее количество разбиений варьировало

от 400 до 1000 в зависимости от величины аспектного отношения HIR,

причем шаг сеток возрастал с увеличением zm. При уменьшении числа узлов

48

погрешность в определении распределения зарядов быстро возрастает с

ростом zm.

Изложенный метод расчета принципиально отличается от метода,

использовавшегося авторами [36] тем, что мы находим реальные, а не

фиктивные заряды на зонде, которые в работах [36-39] располагались вдоль

оси симметрии зонда и моделировались точечными зарядами и заряженными

отрезками. Тем самым является необходимым предположение об осевой

симметрии [36]. В отличие от этого, полученная нами формула (2.32) для

индуцированного потенциала образца носит общий характер и может

применяться для зондов произвольной формы (после указанной

модификации обозначений). Кроме того, как показано в п. 1.2, выражение для

индуцированного потенциала, полученное в [36] для случая диэлектрической

пленки на металлическом электроде, не является вполне корректным.

Результаты расчета силы F(z) представлялись в виде универсальных

зависимостей dC/dz = 2F(z)/V2, соответствующих величинам HIR ив (при

заданных s и d). Программа расчета тестировалась путем сравнения с

точной аналитической формулой для силы взаимодействия заряженной

металлической сферы с заземленной проводящей плоскостью [74]

у2 °° F(z) = ^csch(na)(cotha ~~ ncoth(na)), cosha = 1 + z/R (2.43)

2 n=i

Учитывая (2.43), емкость системы сфера -плоскость равна

со

C(z)IR = \- JY(x)dx (2.44) z/R

где Y(x) = 2F(z)/V2, x = z/R . В таблице 3 приводится сравнение

рассчитанных численным методом величин относительной емкости C(z)/R и

вычисленных по формулам (2.43) (2.44). В последней колонке таблицы 3

приводится относительное расхождение наших расчетных значений

C(z)/R-\ от значений, найденных по формулам (2.43), (2.44). Как видно из

результатов, ошибка численного метода в широком диапазоне расстояний не

превышает долей процента и несколько увеличивается при z/R<0.l и

49

zlR> 10. При z / i ? » l , как показывают результаты расчета, величина C(z)IR

асимптотически стремится к единице, как и должно быть для уединенной

сферы. Заметим, что при стандартных значениях радиуса кривизны зондов

{R = 35 нм), использовавшихся в наших измерениях (см. гл. 3,4),

относительному расстоянию zIR = 0.05 соответствует z = 1.75 нм, что близко к

величине шага спектроскопии (1-И.З/ш) и значительно меньше

минимального расстояния зонда от поверхности в точке вхождения в контакт

(обычно 10-30 нм) в зависимости от величины приложенного напряжения.

Таблица 3. Сравнение результатов численного и аналитического расчета электрической емкости сфера -плоскость

zIR

0.05

0.1

0.2

0.5

1.0

2.0

5.0

10.0

20.0

C(z)/R,

числ. расчет

2.4560

2.1488

1.8636

1.5354

1.3414

1.2015

1.09129

1.04793

1.02469

С(г)/Д,ф. 2.36

2.4675

2.1551

1.8652

1.5354

1.3411

1.2012

1.09097

1.04762

1.02439

Отн. расхождение

величин C(z)/i?-l, %

-0.8

-0.5

-0.2

0.0

+0.1

+0.15

+0.4

+0.7

+1.2

50

2.4 Электростатические силы в проводящем контакте

Численные расчеты электростатических сил в проводящем контакте между

протяженным зондом, моделируемым конусом со сферическим окончанием и

металлической пластиной были сделаны в нашей работе [33].

В таблице 4 сравниваются результаты расчета dCldz с результатами

расчета по формуле (1.12) для проводящего контакта зонд -образец при

различной величине отношения HIR и конических углах (9 = 0°, 11°, 22°.

Случай в = 0 соответствует зонду цилиндрической формы с

полусферическим концом, а <9 = 11° -типичным зондам компании НТ -МДТ

[75]. Абсолютные значения электростатических сил, выраженных в нН,

получаются умножением данных таблицы 4 (а также рис. 2.7, 2.8) на V2 /18,

где напряжение V выражено в вольтах.

В верхних строках приведенных в таблице значений dCldz при

фиксированных значениях zIR указаны результаты нашего расчета, а в

нижних -результаты расчета по формуле (1.12). Как следует из сравнения

этих данных, формула (1.12) в целом хорошо описывает силу

электростатического взаимодействия в диапазоне расстояний 0.05<z/R<20 с

относительной погрешностью не более 3% (в большую сторону). Однако при

zIR < 0.05 погрешность возрастает, достигая 42% при zIR = 0.01. При z/R > 20

погрешность также растет (ср. данные последних четырех столбцов). В этом

случае формула (1.12) занижает величину силы взаимодействия. Более

заметное расхождение результатов во втором столбце таблицы объясняется

логарифмической особенностью (1.12) при 0 = 0. Соответствующие

результаты во второй колонке таблицы были получены при в = 1°.

51

Таблица 4. Результаты расчета dCldz в контактах проводящего зонда с проводящей поверхностью.

z/R

0.01

0.02

0.05

0.1

0.2

0.5

1.0

2.0

5.0

10.0

20.0

H/R=200 0 = 0

33.65 50.79 20.26 25.78 9.093 10.76 4.587 5.728 2.243 3.172 0.870 1.55

0.442 0.928 0.238 0.553 0.114 0.273

0.0662 0.157

0.0376 0.0869

#/К=400

0 = 11° 35.03 50.43 21.32 25.42 9.864 10.42 5.292 5.421 2.892 2.916 1.41 1.40

0.882 0.880 0.588 0.597 0.375 0.388 0.274 0.285 0.196 0.202

Я/Я =200

0 = 11° 35.03 50.36 21.31 25.36 9.847 10.36 5.269 5.358 2.860 2.853 1.362 1.338 0.822 0.817 0.524 0.534 0.311 0.325 0.213 0.221 0.140 0.138

H/R=100

0 = 11° 34.98 50.30 21.27 25.30 9.80 10.30 5.218 5.295 2.805 2.79 1.30

1.275 0.758 0.753 0.459 0.471 0.249 0.262 0.156 0.158

0.0916 0.0751

H/R=50

0 = 11° 34.93 50.24 21.21 25.24 9.74 10.23 5.16 5.23 2.74 2.73 1.23 1.21

0.691 0.690 0.394 0.408 0.191 0.198 0.106 0.095

0.0536 0.0119

tf/ff=200 0 = 22° 36.62 50.77 22.31 25.77 10.49 10.77 5.85 5.76 3.40 3.25 1.83 1.71 1.23 1.17

0.865 0.843 0.568 0.566 0.409 0.404 0.279 0.259

H/R=100

9 = 22° 36.56 50.64 22.25 25.64 10.42 10.64 5.76 5.63 3.30 3.12 1.72 1.59 1.10 1.04

0.738 0.714 0.446 0.437 0.296 0.275 0.181 0.129

2.5 Электростатические силы в контакте зонда АСМ с проводящим

образцом, покрытым диэлектрической пленкой

На рис. 2.7 показаны результаты нашего расчета dC/dz при наличии на

заземленной подложке тонкой диэлектрической пленки воды (s = 81, рис. 2.7)

или диоксида кремния (£- = 3.8, рис. 2.8) с толщиной d [33]. Сплошными

линиями показаны результаты расчета по формуле (1.12), не учитывающей

наличие пленки.

52

50

•3 40

w 30

20

10

0

-Л — к Y

- ^ \

4*SN

1 1

8=81,H7R=200, 0=11°

• • rt=0.02R

++ (1=0.1R

K | V

1 ^S^ '- 'T l r^ rn---

-

-

-

-

0.01 0.1 z/R 10

Рис.2.7. Зависимость dCldz от z/R при электростатическом взаимодействии зонда АСМ с металлической подложкой, покрытой субмонослойной пленкой воды различной толщины d. Сплошная и пунктирная линии -расчет в приближении (1.12) для конического зонда со сферическим концом и в модели параболического зонда без учета пленки

50

^ 40 U •в

30

20

10

о

1

-\

> \

] \

°\ • \

1

1 1

g=3.8,H/R=200 ; 0=11°

ODD (1=0.05R

+++ cl=0.2R

ooo e = oo

* ^ — 8 3 m-~ m 4з m

0.01 0.1 10 z/R

Рис.2.8. To же, что на рис.2.7 для подложки с пленкой диоксида кремния различной толщины. Кружками и сплошной линией показаны наши результаты и расчет по модели (1.12) без учета пленки. Во всех случаях имеется в виду конический зонд со сферическим окончанием

53

Из рис.2.7, 2.8 следует, что даже тонкие диэлектрические слои

существенно уменьшают величину сил взаимодействия при z < d. При z > d

эффект нивелируется, и величина электростатических сил становится близка

к ожидаемым величинам в отсутствие пленок. Меньший эффект водной

пленки (рис.2.8) обусловлен большой величиной диэлектрической

проницаемости. Влияние формы зонда на рис. 2.7 демонстрирует пунктирная

линия, показывающая результаты расчета dC/dz, выполненные для зонда

параболической формы с аспектным отношением H/R = 200 и уравнением

поверхности z - z0 + r2 I2R, где z0 и i? - минимальное расстояние апекса зонда

от поверхности образца и радиус кривизны зонда в нижней оконечности,

соответственно. В этом случае пленка воды не учитывалась, поэтому

необходимо сравнивать между собой сплошную (формула (1.12) для

конического зонда со сферическим окончанием) и пунктирную линии. Из

сравнения этих линий видно, что модель параболического зонда приводит к

меньшим значениям сил при z/R <0.03 и к более высоким при z/R>0.03, а в

целом характеризуется более низкими значениями градиента силы. Заметим,

что в АСМ градиент силы взаимодействия оказывает влияние на сдвиг

частоты осцилляции зонда в динамических модах, поэтому может быть

непосредственно измерен.

2.6 Влияние диэлектрических пленок на силы Ван -дер -Ваальса

При измерениях в воздухе при нормальных условиях или в атмосфере

буферного газа, как и при измерении электростатических сил, на

поверхности образца всегда имеется небольшая водная пленка с толщиной

около 1 нм. Кроме того, поверхность может быть покрыта пленкой окисла

(кремний, оксиды металлов). Поэтому сила Ван -дер -Ваальса между зондом

и поверхностью также должна отличаться от таковой в случае контакта

чистых материалов Для оценки этого влияния воспользуемся методом,

применявшимся в работе [45] и результатами п.2.2. Запишем общее

выражение для силы ВдВ между сферической частицей радиуса R и плоской

54

поверхностью, ограничивающей однородную поляризующуюся среду

(толстую пластину) [6]

Oh °° '" F = -—fekk* ехр(- 2к z)jdco a(ia>)A(iu>) (2.45)

71 о о

sx(ico) + 2 V У

А(-) = ̂ Н (2-47) где £12(/<у)- диэлектрические функции (от мнимой частоты) материалов

зонда и пластины, aid) -поляризуемость частицы. Формула (2.45)

предполагает наличие вакуумной (воздушной) щели между частицей и

плоскостью справедлива при условии R/z«\, где z-расстояние центра

частицы от поверхности. После очевидного интегрирования по волновым

векторам из (2.45) вытекает хорошо известный результат [5]

F = — ^ _ jdtoa(i ю)ДО" а) (2.48) 4л-z о

Не зависящая от расстояния z константа взаимодействия в (2.48)

аналогична константе вдВ взаимодействия двух сферических частиц в (1.5).

Формулу (2.48) нетрудно согласовать с (2.6), (2.1) при соответствующей

модификации константы взаимодействия. Для того, чтобы перейти к

конфигурации зонд -пластина, (2.48) рассматривается как локальное

соотношение для малого объема вещества зонда dV, а величина суммарной

силы вдВ находится интегрированием по объему зонда (в аддитивном

приближении). В частности, для сферического зонда с радиусом R,

отделенного узкой щелью z от пластины (z представляет минимальное

расстояние апекса зонда от поверхности), в (2.48) нужно сделать замену

,з 3 „г 3 i r - > — dV =—2nR{z'-z)dz и выполнить интегрирование по z в пределах 47г An

(z,z + 2R). Тогда, полагая R » z, из (2.48) получим

F = _Jn* UM£?lzl£iMzI (2.49) \6nz * ЕХ(ico) + 2 е2(ica) +1

55

Сравнивая правую часть (2.49) с пропорциональным радиусу R вкладом

в силу вдВ в формуле (1.12), мы видим, что они совпадают при условии

2 п 9 т 1 Ъ *i("»)-l e2(ia))-\ (

п щщС, = -— \асо—^ (2.50) 1 2 6 8л- J el(ico) + 2e2(ico) + l v }

При наличии на образце адсорбированной пленки с толщиной d, как

было показано в [82], формула (2.45) модифицируется заменой

4 ( ^ D W ) = ^ b ^ (2.51) 1 - А, (со)А2 (со)е

£ 1 £ — £•

где А,= —!—-, А2 = — — - , sl2=el2(co). Формула (2.51), как нетрудно

видеть, полностью аналогична формуле (2.24) с той лишь разницей, что в

(2.22) диэлектрические проницаемости берутся в частотном пределе со -> 0.

Подставляя (2.51) в (2.45), используем разложение (2.30) для того, чтобы

выполнить интегрирование по к, а затем делаем замену

3 3

i?3 ->—dV = — 2nR{z' -z)dz и интегрируем полученное выражение по объему An An

сферического зонда. В результате получим

F M = _Mf(_A_^ 4* ) (2.52) 16я &{(z + dn)2 (z + d(n + \))2)

Ah, =)da,\№^A2№'$¥^ (2.53) о sx(ico) + 2

A2n = )dco A, {icoY A2 (far1 ^ ^ (2.54) 0 S1(lCO) + 2

Интересно сравнить (2.49) и (2.52) для пленок различных материалов с

разной толщиной d. Для диэлектрической функции металла воспользуемся

приближением Друде

g(uo) = l+ "S (2.55) СО + С0/Т

где сор и т - плазменная частота и время релаксации электронов.

Примем (для золота) сор = 1.37 * 1016 рад /с и г = 1.88-Ю-14 с. Для прослойки воды

используем аппроксимацию [13] (со0 =3.3-1015 рад/с)

56

s{ico) = V (о)

(2.56)

а для диоксида кремния, соответственно,

2.513 e{ia>) = \ + - • + -

3.727 (2.57)

0.775 + {со I сох У + 0.522(ю / сох) 5.845 + {со I сох у + 0.75 \{со I сох)

где сох =8.5-1013 рад/с. Формула (2.56) применялась в работе [87] и

аппроксимирует экспериментальные данные для диоксида кремния [88].

На рис. 2.9, 2.10 показаны результаты расчета отношения сил вдВ,

вычисленных по формулам (2.51) и (2.48) для пленок воды на золоте и

пленок диоксида кремния на золоте в зависимости от величины отношения

z I d. Как видно из рисунков, наличие диэлектрических пленок существенно

уменьшает силу взаимодействия зонда с образцом, причем этот эффект

выражен значительно сильнее, чем в случае электростатических сил в

аналогичных ситуациях (ср. рис. 2.3 -2.5). Влияние пленки воды, в отличие

от влияния пленки диоксида кремния, менее значительно, поскольку вода

обладает более высокой диэлектрической проницаемостью, что делает ее

свойства ближе к свойствам чистой металлической поверхности .

Рис. 2.9. Относительная величина силы вдВ между сферическим зондом и образцом золота, покрытым пленкой воды разной толщины. R{zl d) = 1 при отсутствии пленки

57

О 5 10 15 20 z/d

Рис. 2.10. То же, что на рис.2.9 для золота с пленкой диоксида кремния

58


В рамках аддитивного приближения для парных межатомных потенциалов с

дополнительной перенормировкой константы взаимодействия получено

выражение для силы Ван -дер -Ваальса между зондом АСМ в форме конуса,

оканчивающегося сферической выпуклостью, и пластиной. В

незапаздывающем приближении флуктуационно -электромагнитной теории

рассмотрено влияние оксидных и водных пленок на константу Гамакера.

Показано, что в случае золотого зонда и образца золота, покрытого пленкой

диоксида кремния, сила Ван —дер -Ваальса уменьшается в 3-10 раз. В случае

водной пленки уменьшение составляет несколько десятков процентов.

Разработан метод и создана программа численного расчета силы

электростатического взаимодействия между проводящим зондом и образцом

(в том числе с наличием пленочного покрытия). Конкретные расчеты

выполнены для зондов в форме конуса со сферическим окончанием и

параболоида вращения. В результате расчетов установлено, что в случае

проводящих зонда и образца ошибка формул (1.8)-(1.11) при вычислении

производной емкости контакта зонд -поверхность не превышает 3%. в

диапазоне расстояний 0.05<z/#<20, однако за его пределами погрешность

может возрастать до 42%. Наличие пленок уменьшает силу

электростатического взаимодействия, причем имеется специфическая

зависимость от радиуса кривизны зонда, толщины и диэлектрической

проницаемости пленки.

59

Глава 3 ACM -измерения электростатических и ван -дер -

ваальсовых сил

3.1 Методика измерений и набор статистики при измерениях ВдВ сил

Как уже отмечалось, прецизионные измерения вдВ и электростатических сил

имеют высокое фундаментальное и прикладное значение. Наряду с

измерениями в особых условиях (в контролируемых газовых средах и

жидкостях), большое значение имеют измерения в атмосферных условиях,

что подтверждается растущим интересом исследователей [36-39,44,45].

Силовые взаимодействия в атмосферных условиях характерны для элементов

микроэлектромеханических систем (МЭМС) [91-95]. В свою очередь,

изучение влияния диэлектрических слоев (окисных, водных пленок и т.д.) на

силу вдВ и электростатического взаимодействия является важной

самостоятельной задачей.

Наши эксперименты проводились на серийном зондовом микроскопе

Solver Pro компании НТ-МДТ, г.Зеленоград (рис. 3.1).

Рис 3.1. Общий вид СЗМ Solver Pro 47. 1-измерительная головка, 2- блок подвода и сканирования, 3-блок коммутации, 4-виброизолирующая платформа и 5- СЗМ-контроллер

60

Возможность предварительного сканирования поверхности образца и

выбора наиболее ровного участка поверхности для проведения

спектроскопии позволяет значительно снизить погрешности измерений,

обусловленные перепадом высот в точках контакта зонда и образца.

Диапазон перемещений сканера в режиме спектроскопии составлял 1 * 2 мкм,

а количество точек на силовых кривых составляло 1000, следовательно, шаг

сканера по оси z был в пределах 1 •* 2 им.

Образцы высокоориентированного пиролитического графита (ВОПГ) и

пленок золота на кремнии закреплялись на стандартных проводящих

поликоровых подложках с возможностью подключения внешнего

электрического напряжения. Средняя шероховатость поверхности графита по

данным контактной и полуконтактной АСМ была в пределах 3-ИО/ш [44,45],

поверхности пленок золота 10^40/ш. Диапазоны температур и влажностей

воздуха при проведении измерений составляли 20^-23 °С и 55 ч-65% при

измерениях на ВОПГ и 20н-22 °С, 20% на пленках золота. Выбор графита

обусловлен стабильно хорошим качеством рельефа поверхности и

доступностью данного материала, что делает его удобным тестовым

объектом. Золото и платина находят широкое применение в МЭМС и

микроэлектронике. Типичные сканы поверхности исследуемых образцов

графита и золота в топографической моде АСМ показаны на рис. 3.2а,б

Применявшиеся стандартные зонды типа CSG10/Pt обычно имеют

следующие паспортные характеристики: R = 35 нм, Н = 10 - 20 мкм, 0 «1 Г,

жесткость балки кантилевера kc = 0.03 - 0.2 Я/л*, фундаментальная

резонансная частота /0 =14-27 кГц, размеры прямоугольной балки:

L = 250 мкм, w = 35 мкм, t = 0.7-1.Змкм. Жесткости зондов дополнительно

контролировались в соответствии с алгоритмом [76], согласно которому

жесткость определяется по характеристикам резонансной кривой колебаний

кантилевера (см. рис. 3.2).

61

О»

to

П)

см

2,0 3,0 мкм

а

и> «о

о

см

о см

ю

ю

б

Рис. 3.2а,б. Топографические сканы поверхности графита (а) и золота (б)

62

Выборочный контроль геометрических параметров кантилеверов. на

просвечивающем электронном микроскопе, показал [44,45], что высота и

конический угол зондов обычно были близки к 11-И 5 мкм и 11°. Для каждого

участка поверхности силовая спектроскопия выполнялась при подаче

напряжений 0,+ 3 5, ±5 5,±7 В,±10 В на образец при заземленном зонде или

заземленной поверхности. ,

21,5 22,0 22,5 23,0 24,032 кГц ' ; •

23,5 '24,0 24,5 25,0 25,5 26,0 Частота, кГц

Рис. 3.2. Типичная амплитудно-частотная зависимость колебаний свободного кантилевера. Параметры резонансной кривой используются для определения жесткости кантилевера по алгоритму [76],

При выборе кантилеверов необходимо учитывать их чувствительность,к

различным типам сил. Так, достаточно жесткие кантилеверы

нечувствительны к ВдВ силам, и, в то же время, вероятность модификации

формы оконечности зонда для мягких кантилеверов, в; процессе

спектроскопии,, достаточно высока [45]. Оптимальное число точек

спектроскопии подбиралось эмпирическим путем. В отличие от работ [77,42-

• . 63 ' • '

45], в которых число точек в пределах кадра спектроскопии составляло 25, в

наших работах [34, 77-80] мы стремились к увеличению статистики данных.

Мы проводили спектроскопию в 25-36 точках спектроскопии, а количество

кадров спектроскопии для заданного значения напряжения варьировало от 3

до 4. При измерениях вдВ сил число кадров равнялось 6. Непригодные для

анализа кадры отбрасывались.

Существенное увеличение статистики данных достигалось благодаря

тому, что вариация сигналов Set Point и DFL микроскопа позволяет изменять

шаг AZ спектроскопии в незначительных пределах [34]. Для слабых и быстро

убывающих вдВ сил это имеет решающее значение, т.к. число

экспериментальных значений фототока 7, в области ненулевых

бесконтактных взаимодействий находится в пределах 10, а в

непосредственной близости к поверхности, где вдВ силы наиболее

интенсивны, на отдельных кривых подвода наблюдается всего лишь 3-4

точки. Это обстоятельство связано с ограниченными возможностями нашего

прибора: относительно большим шагом спектроскопии (ср., например, с

[24]). В измерениях ван -дер -ваальсовых сил нам удалось варьировать AZ в

пределах 0.78-И .3 нм, а в измерениях электростатических сил -в пределах

1.3^2 нм.

3.2 Статистическая обработка зависимостей фототок -перемещение

Прямое усреднение кривых фототока по кадру без предварительной

обработки приводит к потере информативности (рис. 3.3), так как теряются

особенности бесконтактного участка кривой фототока. Это связано с

различием в положениях точек контакта на оси абсцисс и несовпадением

уровней нулевой силы различных кривых (рис. 3.4). Причиной тому служит,

как уже отмечалось, перепад высот в точках контакта, а также гистерезис

пьезокерамики.

64

-0.6

-0.8-

-1 I i I I I I 120 140 160 180 200 220

Перемещение, нм 240 260 280

Рис. 3.3. Усредненная без предварительной обработки экспериментальная зависимость фототок -перемещение. Кривая получена при нулевом смещении на зонде и заземленном образце

-0.4-

-0.5-

% -0.6-

р

О-0.7-

-0.8-

-0.9-

I I 160 170 180 190 200 210

Перемещение, нм

i I I

220 230 240

Рис 3.4. Взаимное расположение кривых подвода, соответствующих одному кадру. Напряжение смещения равно нулю. Отчетливо видно несовпадение точек вхождения в контакт (минимальные значения фототока) и различие в расположении линий нулевой силы (прямолинейные участки в правой части рисунка)

65

-0.4-

-0.5-

^ -0.6-

о -0.7

-0.8-

-0.9-

150 I i I I

160 170 180 190 200 210 Перемещение, нм

220 230

Рис 3.5. To же после совмещения по точкам вхождения в контакт. Вертикальная сплошная линия показывает условную позицию соответствующую нулевому расстоянию между зондом и образцом

Первоначально полученный в формате "xls" массив данных

преобразовывался в формат "dat", удобный для обработки в программных

средах Matlab и Mathcad. Каждый массив соответствует одному кадру и

содержит значения фототока /,(Z,), соответствующие различным точкам

спектроскопии, число которых равно N (N = 25 + 36). Последующая

предварительная обработка заключается в вычитании постоянного вклада на

участках линий нулевой силы и приведения точек вхождения в контакт к

одной позиции сканера, соответствующей условному нулевому расстоянию

между зондом и образцом (рис. 3.5). При этом вычитание постоянного вклада

осуществлялось на участке, соответствующем наиболее удаленному

положению зонда от поверхности образца с целью уменьшения

искусственных искажений в значениях фототока. За точку контакта

выбирались точки минимального значения фототока /min, получаемые после

процедуры вычитания постоянного вклада 10.

66

Среди кривых подвода, соответствующих определенной точке

спектроскопии, встречаются такие, в которых характерный «носик»,

определяющий точку вхождения в контакт, отсутствует (рис 3.6.)- Это можно

связать с разными факторами (например, с загрязнениями), но

статистический вес таких кривых пренебрежимо мал, поэтому при обработке

результатов «дефектные» кривые исключались из рассмотрения.

о — \ ; \ \ I р 1 j-

-0.2 -А j-V \ J 1 : ! ; ;• • < I \ \ ' 1

I -0.4 —\ I \ I ! \ \ !••• О I I : \ -

6- j i ; j ; ' i i :

-0.6 —•; ) rr\ \ ; ; \ ! ;•••

r 0 . 8 — t н i i i 1 1 i-140 160 180 200 220 240 260 280

Перемещение, нм

Рис. 3.6. Кривая подвода без характерного носика

Дальнейшая процедура обработки заключалась в совмещении кривых

фототока по точкам вхождения в контакт в пределах одного кадра. Шаг

спектроскопии для одного кадра остается неизменным, хотя и может быть

изменен (см. п.3.1) Это позволяет провести статистическое усреднение по

кадру (рис. 3.7.). Далее производится процедура совмещения усредненных

кривых фототока, полученных от разных кадров. Для вдВ и

электростатических сил процедуры усреднения несколько различались. Так

при обработке измерений вдВ сил, каждая точка на итоговой зависимости

фототок-перемещение получалась усреднением по 150 значениям,

соответствующим различным точкам спектроскопии, при этом шаг

спектроскопии для разных кадров варьировался.

67

-0.4-

-0.6 i i i i i i i i

120 140 160 180 200 220 240 260 Перемещение, нм

Рис. 3.7. Усредненная в соответствии с нашим алгоритмом кривая. В сравнении с рис. 3.3 значительно лучше сохранены характерные особенности кривых подвода

Для совмещения кривых фототок-перемещение, полученных из

измерений электростатических сил, требуются дополнительные операции. В

частности, кривые фототока в этом случае предварительно нормируются на

величину единичного внешнего электрического напряжения (1 В). Затем

производится стандартная процедура обработки, описанная для вдВ сил.

По сравнению с работами [42-45], в работе [34] нам удалось

значительно улучшить статистику данных, что особенно важно для

измерений вдВ сил. Полная процедура статистической обработки кривых

фототока была реализована в программных средах Matlab и Mathcad (см.

Приложение 1).

68

3.3 Калибровки и пересчет шкалы перемещений в шкалу расстояний

В сеансах электросиловой спектроскопии силовые кривые, полученные при

различных значениях приложенных напряжений, нельзя рассматривать

вместе, так как в этом случае мы имеем дело с результатами измерений в

различных условиях. Это не позволяет рассматривать данные, полученные

при различных полярностях напряжений, ± V, в совокупности. В отличие от

этого, в измерениях вдВ сил существует возможность совокупного

рассмотрения результатов измерений по всей серии кадров .

Типичные исходные экспериментальные зависимости I(Z),

усредненные по точкам спектроскопии в пределах одного кадра, и

приведенные к одной точке контакта, показаны на рис. 3.8. Различие кривых,

соответствующих полярностям напряжения ±5В и ±ЮВ, обусловлено

вкладом контактной разности потенциалов Vc.

Для пересчета шкалы перемещений сканера Z в шкалу абсолютных

расстояний D апекса зонда от поверхности образца использовалось

стандартное соотношение [9,32]

Д =Z, +I(Z,)fm + Z0 (3.1)

где m = AI/AZ калибровочная постоянная для перевода величины фототока в

деформацию балки кантилевера, a Z0 - произвольная постоянная. Величина

т находилась усреднением наклонов линейно возрастающих от точки

контакта участков линий подвода (на рис. 3.8 они не показаны и находятся

слева от точки контакта, как на рис. 3.5, 3.6).

69

0.05

100 200 300 400

Перемещение, нм 500 600

Рис.3.8. Измеренные зависимости тока фотодиода от перемещения сканера при различных напряжениях на образце ВОПГ (при заземленном зонде)

При этом учитывалось то, что линейный характер контактного участка

при значительньк выдвижениях пьезосканера не сохраняется. По этой

причине вычисление коэффициента т проводилось на первоначальных,

более близких к точкам вхождения в контакт, участках. Средняя по всем

измеренным зависимостям величина т для ВОПГ оказалась равной

0.01117нА/нм при V^0 и 0.01076нА/нм при Г = 0. Соответствующие

значения для Аи составляли 0ЖЗ$нА/нм и 0.0136нЛ/;ш Близость полученных

значений т при наличии и отсутствии поля для данного образца означает,,

что протекание тока через контакт не вызывает существенных изменений

жесткости кантилевера кс.

70

На рис 3.9 показаны нормированные на величину (V~VC)2 зависимости

«фототок-расстояние», соответствующие напряжениям ±105 для одного из

кадров поверхности.

-0.004 200 400 600

Расстояние, нм 800

Рис. 3.9. Нормированные на величину (V-Vc)2зависимости

тока фотодиода от расстояния, полученные на ВОПГ. Сплошная кривая - V = 102?, пунктирная кривая - V = -105

При известных значениях т и кс калибровочная постоянная для

перевода фототока в силу взаимодействия зонда с образцом равна BF =кс/т,

а пересчет значений фототока в силу выполняется умножением I(z,) на BF.

Для интерпретации результатов измерений проводилось сопоставление

вычисленных по формуле (1.12) значений сил F'heor(z) с экспериментальными

силами Fexp(z) = BF-I(z) (см. далее гл. 4). При этом в нашей работе [34] в

отличие от [28], вклад балки кантилевера не учитывался.

В приближении плоского конденсатора вклад плоской части

кантилевера (1.11) в общее выражение для электростатической силы вдВ

(1.12) можно представить в виде:

Fc *-e0S(V/H)2(l-2z/H) (3.2)

На кривых фототока вклад балки вызывает постоянный сдвиг линии

нулевой силы относительно оси абсцисс (первое слагаемое) и линейно

71

возрастающий с приближением зонда к образцу вклад (второе слагаемое).

Рассчитанные нами по формуле (3.2) значения сил оказались в 50-70 раз

больше соответствующих экспериментальных значений независимо от

напряжения [34]. Возможно, что существенное расхождение вычисленных и

измеренных значений было связано с тем, что площадь балки, эффективно

накапливающей заряд, в наших измерениях была значительно меньше общей

геометрической площади. В работах авторов [28], выполненных на других

микроскопах, эффекты влияния плоской части балки, напротив, оказывались

весьма заметны. Дальнейшее обсуждение этого вопроса проводится в п. 4

3.4 Метод определения локальной контактной разности потенциалов

Известно, что между электрически нейтральными телами, изготовленными из

разных материалов, в области соприкосновения возникает контактная

разность потенциалов (КРП) - Vc, обусловленная различием работы выхода

электронов с поверхности образца. Как показали наши измерения, наличие

КРП необходимо учитывать при проведении процедуры совмещения кривых

подвода, соответствующих кадрам с различной полярностью приложенного

напряжения. В качестве примера см. рис. 3.8. Несовпадение кривых

объясняется влиянием КРП.

Известно, что величина КРП может испытывать значительные вариации

на поверхности контактирующих тел. Это может быть вызвано различными

неоднородностями в структуре (дефектами), фазовом составе поверхности,

наличием тонких водных пленок (толщиной около монослоя), которые всегда

имеют место при измерениях проводимых на воздухе. Поэтому возникает

необходимость учета КРП для каждой конкретной точки спектроскопии.

Нами была разработана процедура вычисления Vc непосредственно из

данных, полученных в ходе измерений. Алгоритм основан на сравнении

нормированных на величину (V~VC)2 кривых фототока, полученных при

72

подаче напряжений разной полярности. Параметром, по которому

производится минимизация, является Vc:

г- V

z2=Y и=1

/ „ +

(V-Vcf (V + Vc)2 = min (3.3)

где 7„+ и /„ -значения фототока, измеренные при полярности внешнего

напряжения +V и -V, соответственно. Пример такой минимизации при

напряжениях ±10 В для двух участков поверхности графита показан на рис.

3.10, из которого следует, что величина контактной разности потенциалов в

этих случаях близка к 0.11 и 0.14 В, соответственно.

0.3

0.27

0.24

0.21

0.18

0.15

V ч

, \ \ Ч

\ N

—

ч *-. V

/

^ ^

0.07 0.09 0.11 0.13 Vc,B

0.15 0.17

Рис.3.10. Определение контактной разности потенциалов из измерений электростатических сил путем минимизации (1) по параметру Vc на разных

участках. Сплошная кривая - V = 10 В, пунктирная кривая - V = -10 В

При измерениях с меньшим внешним напряжением величина Vc

оказывалась больше. При напряжениях ±5 В, в частности, мы получали

Vc и 0.3 вольт.

Проведение большого числа спектроскопических измерений в пределах

одного кадра позволяет построить карту распределения КРП по поверхности

образца. Пример такого построения показан на (рис. 3.11) для контакта зонда

CSG10/Pt с пленкой золота.

73

Полученные значения Vc хорошо согласуются с разностью табличных

значений работ выхода платины (5.32 эВ) и золота (5.1 эВ) по данным [81]

Рис. 3.11. Карта распределения КРП для контакта зонда CSG10/Pt с пленкой золота, полученная в результате обработки данных электросиловой спектроскопии, полученных в результате наших измерений

74


Показано, что прямое усреднение силовых кривых подвода по кадру

приводит к потере информативности. Это связано с различием в положениях

точек контакта на оси абсцисс и несовпадением уровней нулевой силы

различных кривых. В связи с этим разработан метод и создана программа

статистической обработки совокупности всех силовых кривых, получаемых

в кадрах спектроскопии.

Разработан метод локальной спектроскопии контактной разности

потенциалов, основанный на измерении и анализе силовых кривых подвода

при подаче на зонд АСМ равных по модулю напряжений различной

полярности.

75

Глава 4 Интерпретация электростатических и ВдВ сил по

данным АСМ -спектроскопии

4.1 Измерения в контакте зонда CSG10/Pt с графитом


Данные, получаемые в сеансах электросиловой спектроскопии на участке

подвода зонда, представляют собой сумму силы ВдВ FVdw{z) и силы Fe{z)

электростатического взаимодействия

F(z) = Fe(z) + Fmv(z) (4.1)

Так как ВдВ силы имеют значительно меньший радиус действия по

сравнению с электростатическими, то существенный вклад в результаты

измерений они могут давать только в самых ближайших к поверхности

образца точках спектроскопии. При этом нужно учесть, что вклад

конической части зонда обычно в десятки раз меньше вклада сферической

части [45]. Поэтому при анализе электростатических сил с достаточной

степенью точности выражение для силы FVdW{z) можно брать в упрощенном

виде (2.1), учитывающем только вклад сферической оконечности. Константа

C = AR/6 этой формулы находилась в результате аппроксимации силовых

кривых, измеренных при нулевом напряжении на контакте V = О (см. далее

п.4.1.2). Для расчета Fe(z) применялись формулы (1.6) и (1.8)-(1.10),

учитывающие вклады сферической и конической части зонда. Учет вклада

плоской части балки (1.11) катастрофически ухудшал соотношение между

вычисленными и экспериментальными значениями сил [34], поэтому мы его

в итоге не принимали во внимание. Анализ возможного влияния плоской

части рассматривается далее в п.4.2

Согласование теоретической зависимости (4.1) с экспериментальными

кривыми выполнялось следующим образом. Путем подбора параметра Z0 в

формуле

Z/=Z,.+/(Z,)/m + Z0 , (4.2)

76

связывающей отсчет сканера Z, с фактическим расстоянием z, апекса зонда

от поверхности (/-номер шага спектроскопии), экспериментальная

зависимость Fexp(z) сдвигалась по шкале расстояний таким образом, чтобы

точке контакта соответствовало расстояние z = 0. При сравнении с функцией

Fexp(z) аргументом теоретической зависимости F,lu:or(z) в этом случае должно

быть расстояние (z + z0), где z0 - истинное расстояние апекса зонда от

поверхности в ближайшей к ней точке спектроскопии перед точкой потери

механической устойчивости кантилевера, определяемой из условия

dF'heor /dz>kc. Таким образом, величине F"'cor(z0) должно отвечать Fexp(0) при

необходимом условии dF'hcor /dz\:=:0 > кс.

Очевидно, что начало потери устойчивости кантилевера на

экспериментальных зависимостях фототока (на рис.3.8 приведена типичная

зависимость) приходится либо на вторую точку спектроскопии, считая

вправо от точки контакта, либо происходит в промежутке между первой и

второй точками. В любом из этих вариантов измерение фототока во второй

точке еще относится к стабильному положению зонда, поэтому сравнение

теоретической и экспериментальной зависимостей целесообразно начинать с

нее. В связи с этим в наших расчетах [34] величина z0 определялась как

сумма фактического расстояния d между первой и второй

экспериментальными точками спектроскопии на оси абсцисс (по шкале

расстояний) и шагового перемещения AZ сканера. В самом деле, пусть во

второй точке спектроскопии перед контактом истинное расстояние апекса

зонда от поверхности оказалось равно z0. Тогда, к моменту фиксации

фототока в первой точке, зонд, теряя устойчивость, «падает» на поверхность

образца, придвигаемую сканером навстречу на расстояние AZ. Таким

образом, d = z0-AZ, где d и AZ известны.

Так как усреднение экспериментальных линий подвода вызывает сдвиг

положения нулевой линии фототока, это приводит также к относительному

смещению зависимостей F"'cor(z)H Fexp(z) по оси ординат. Для устранения

77

этого смещения вводился дополнительный параметр F0i корректирующий

положение зависимости F",cor(z) на оси ординат. Затем минимизировалась

величина суммы квадратов невязок

Z2=t(F"'C°r(zo+zn)-Fexp(z»)-Fo)2 (43)

по параметрам входящих функций. В наиболее общем случае набор

неизвестных параметров включал H,R,0,BF и F0. Минимизация выполнялась

методом градиентного спуска с применением математического пакета

MathCad. Результаты расчета для наиболее оптимальных по критерию %2

результатов анализа суммированы в таблице 5. Как следует из приведенных

данных, наименьшая погрешность получается в серии измерений,

соответствующей данным второй строки. Эти результаты получены с шагом

спектроскопии AZ = 1.283 нм при напряжениях ±105. Поскольку ВР и кс

связаны соотношением Вг=кс/т (где т - коэффициент наклона линейной

части кривой подвода), определение константы Вг в результате

минимизации (4.3) позволяет найти жесткость кантилевера по результатам

силовой спектроскопии. Величина жесткости кс, приведенная в пятом

столбце таблицы 5, полностью согласуется с предварительным измерением

жесткости кантилевера по алгоритму [75] -0.25Н/м.

Мы также рассматривали другой вариант расчета, используя

стандартные значения геометрических характеристик кантилеверов серии

CSGIO/Pt, и считая в (4.3) неизвестными только параметры BF и FQ.

Соответствующие данные, а также значения жесткости кс приведены в

таблице 6. На рис. 4.1 показаны результаты теоретического расчета

электростатических сил в сравнении с экспериментальными данными для

серии измерений, соответствующей второй строке таблицы 5.

Заметное расхождение данных таблиц 5 и 6 по величине кс показывает,

насколько критично наличие точной информации о геометрических

характеристиках кантилеверов при калибровке жесткости и наоборот -

78

наличие информации о величине радиуса зонда при независимой калибровке

жесткости кантилевера по результатам электросиловой спектроскопии.

Более низкие значения радиуса зондов по сравнению с паспортными могут

быть следствием модификации формы зонда электрическим током в

моменты жесткого контакта, но этот вопрос требует специального

рассмотрения.

В нашей работе [34] рассматривалась также другая возможность для

объяснения полученного расхождения. Из рис.3.8 и таблицы 5 следует, что

величина электростатической силы в наиболее близких к контакту точках

спектроскопии оказывается меньше, чем предсказывается формулой (4.1) при

заданной величине радиуса R, если на образце имеется водная пленка. Это

может приводить к занижению экспериментальных данных, в результате чего

согласование расчетных (без учета пленки) и измеренных сил в соответствии

с критерием (4.3) может достигаться за счет уменьшения величины R. С

другой стороны, как следует из рис.3.8, более низкие значения сил могут

быть вызваны также и тем, что в своей нижней части зонд имеет

параболическую, а не сферическую форму.

Таблица 5. Характеристики кантилевера, полученные из измерений электростатических сил для контакта CSG10/Pt -графит

Voltage, В

±10

±10

±5

FQ,HH

0.0109

0.0090

0.0103

ZQ, им

16.78

17.67

8.54

BF,HHIHA

21.9

21.82

25.07

кс,Н 1 м

0.253

0.252

0.289

R, нм

18.9

19.7

16.8

Н,нм

11120

10980

10980

9, рад

0.190

0.190

0.199

х2

1.2-10"5

2.5-10-5

3-Ю-4

Таблица 6. Калибровка жесткости кантилевера из измерений электростатических сил при паспортных размерах зондов

Voltage, В

±10

±10

±5

AZ,HM,

1.2983

1.6836

1.2983

BF,HHIHA

30.99

29.08

33.93

кс,Н 1 м

0.358

0.336

0.392

х2

2.2-10-4

2-Ю-4

8.5-Ю-4

79

200 400 Расстояние z, нм

600

Рис. 4.1. Нормированные на величину (V-Vc)2 измеренная

(квадраты) и расчетная (сплошная линия) зависимости электростатических сил от расстояния апекса зонда CSG10/Pt от поверхности графита (V = ±10B). Параметры зонда соответствуют данным второй строки табл. 1

4.1.2 Ван-дер-Ваальсовы силы

В отличие от измерений электростатических сил, когда увеличение

напряжения V приводит к удалению точки потери устойчивости от

поверхности (ср. значения z0 в таблице 5 в строках 1,2 и 3), а измерения сил в

кадрах с разной величиной V приходится интерпретировать независимо

друг от друга, при измерении сил Ван -дер -Ваальса (при К = 0), напротив,

имеется возможность анализировать всю совокупность данных после

усреднения по отдельным кадрам и приведения силовых линий к одинаковой

точке контакта. Потеря устойчивости зонда происходит также между первой

и второй точками спектроскопии, считая первой точку контакта, поэтому

измеренная величина фототока в этой точке не может считаться корректной.

Однако учет ее с необходимой модификацией величины фототока играет

роль при последующей интерпретации данных на основе формул (2.1) и (2.6),

поскольку оказывает существенное влияние на величину получаемой

константы Гамакера.

Процедура обработки измерений ВдВ сил состояла из нескольких

этапов. На первом из них все точки экспериментальной зависимости

80

фототока I(z) принимались за достоверные, а сила ВдВ аппроксимировалась

формулой (2.1) в виде F,ulK(z) = -C7(z + z 0 ) 2 , причем на экспериментальной

зависимости I(z) точке контакта соответствовало начало отсчета расстояний,

2 = 0. Поэтому Fmv(0) = -Clz2 и, в силу калибровки фототока,

BF -I(0) = -C/z0

2. Это соотношение связывает z0 с С. Затем, на основе

критерия х2> находилась величина С, считая величину константы BF

известной. Она связана с величиной наклона m = AI/AZ контактной линии,

определяемой после усреднения силовых кривых, и жесткостью кс

кантилевера соотношением BF-kclm, причем для кс принималось

паспортное значение. Полученная из расчета величина С использовалась

далее на первом этапе интерпретации электростатических сил.

На втором этапе из условия потери устойчивости 2C7(zc + z0)3 =кс ( в

режиме ВдВ притяжения) находилась точка потери устойчивости zc.

Соответствующая ей скорректированная величина фототока, с учетом

приведенных соотношений, определяется соотношением

I(zc) = -Mckc

2/4f3 =-т{С1АксГ (4.4)

BF

Полученные значения I{zc) и расстояния zc подставлялись в массив

/,(z() взамен значений, соответствующих первой точке на исходной

экспериментальной зависимости, а начало отсчета расстояний z

перемещалось в точку zc. Далее процедура, соответствующая первому этапу,

повторялась до тех пор, пока параметр С не переставал изменяться. В итоге

вычислений величина С слабо возрастала от 1.55нН-им1 после первого этапа

согласования до 1.895нН-нм2 в конце. Контрольным тестом являлась

проверка точки zc по критерию механической устойчивости.

На заключительном этапе аппроксимации применялась полная формула

(2.6) с параметрами BF R и в, полученными из измерений

электростатических сил. В этом случае единственным неизвестным

81

параметром являлась постоянная Гамакера А. /Для нее, используя данные ,

приведенные в строке 2 таблицы 5 (радиус зонда 18.9 нм), мы получили

значение А = 6.0Л0~19 Дж Сравнение соответствующих теоретической и

экспериментальной зависимостей сил ВдВ от расстояния демонстрирует

рис.4.2. Экспериментальные точки показаны символами, соответствующими

различному шагу спектроскопии (см. вставку), причем значения фототока в

каждой точке получены усреднением 144 значений (4 кадра поверхности и 36

точек спектроскопии в каждом кадре).

Заметим, что в работе [44] для данного типа контакта было получено

А = 3.2 -1049 Дэ1с, но это значение константы Гамакера соответствовало

радиусу зонда К-Ъ1нм. Поскольку величина силы ВдВ практически

полностью определяется константой C = A-R/6, то можно сделать вывод о

том, что в [44] и в настоящей работе результаты измерений находятся в

близком согласии : С = 2.0кЯ • нм2 и С = 1.9 w# • нм2, соответственно.

О

х-0.1 а." я

б

-0.2

0 40 80 120 Расстояние z, нм

Рис. 4.2. Измеренные (символы) и вычисленные (сплошная линия) силы Ван-дер-Ваальса между зондом CSG10/Pt и поверхностью графита. Параметры зонда соответствуют второй строке табл. 1, константа Гамакера А = 6 • 10~19 Дж. На вставке показаны значения шага спектроскопии, соответствующие разным символам

82

" j&&§(

ж

-

1

*sr 0<

&*$ 11111

i

® о

1 1

о-1.1471 х-0.8822 п-1.2983 о - 0.7782

'

4.2 Исследование вклада плоской части балки кантилевера

На больших расстояниях зонда от поверхности образца можно ожидать, что

доминирующий вклад в силу электростатического взаимодействия между

зондом и образцом вносит прямоугольная балка кантилевера (рис. 1.5). Если

это предположение оправдывается, то появляется возможность оценки

площади балки или высоты зонда по бесконтактной части силовой кривой

подвода. Обсудим этот вопрос, следуя нашей работе [78].

Если плоскость балки параллельна поверхности, то соответствующий

вклад в емкость зонд -поверхность определяется формулой

C(z) = —s-^~, (4.5) (H + z) v J

а в силу взаимодействия, соответственно,

Р = 1Ку*.- °°SV\ (4.6) 2 dz 2(Я + zf

где V— напряжение, подаваемое между зондом и образцом.

Поскольку сила распределена по всей длине балки, то в пересчете на

эквивалентную силу деформации, приложенную к ее свободному концу (в

точке расположения зонда), величина F должна быть взята с добавочным

коэффициентом 1/2. С учетом этого и в силу соотношения z«H из (4.6)

вытекает

s0SV2 _ s0SV2 2z,

4(H + z)2 ~ AH2 H' i r = _ _ i ^ _ . _ ^ _ ( 1 _ f i ) ( 4 . 7 )

Постоянный вклад в силу F (первое слагаемое) изменяет общее

положение линии нулевой силы, и его можно исключить из результатов

измерений приведением всех экспериментальных зависимостей фототока

от расстояния к нулевым значениям фототока при z = zmax, где zmax -

максимальное удаление зонда от образца. Заметим, что в данном случае

рассматриваются расстояния микронного диапазона, поэтому различием

между приращением истинного расстояния зонда от образца, Az, и

83

перемещением сканера AZ(B силу соотношения (4.2)) можно пренебречь.

С учетом (4.7), для участка линейного возрастания на «хвосте» силы

получим (учитывая также влияние контактной разности потенциалов Vc)

AF=s0S(V-Vc)2 ^

2Я3 v '

Кроме того, вследствие закона Гука,

AF = kcAz , (4.9)

а в результате обработки экспериментальных зависимостей фототока

I(z) получается соотношение,

AI = a(V-VcfAz (4.10)

где коэффициент а находится с помощью линейной аппроксимации

«хвостовой» части силовой кривой подвода. Предполагая неизменной

величину коэффициента калибровки m = Al/Az, который определяется по

наклонному участку контактной линии, из (4.8)-(4.10) следует

s ={sC\.L (4.11) Я3

Из этой формулы можно найти высоту Я или одну из сторон

прямоугольного кантилевера, считая другую сторону и Я известными.

Обсудим на этой основе результаты электросиловой спектроскопии,

полученные нами в контактах CSGIO/Pt- золото. Соответствующие

измерения выполнялись при нормальном давлении, температуре 22 °С и

влажности 20%. Образец заземлялся, а к зонду прикладывались

напряжения ± 3, ± 5, ± 7, ± 10 В.

На рис.4.3 и 4.4 показаны «хвостовые» участки кривых подвода,

соответствующие наиболее удаленным от образца точкам спектроскопии,

полученные статистическим усреднением всех линий в кадре (по методу

п.3.2) при напряжениях -5В (рис.4.3) и +5В (рис.4.4). Сплошными

линиями показаны линейные аппроксимации этих зависимостей.

84

Коэффициенты наклона прямых, рассчитанные методом наименьших

квадратов, составляют 3-Ю"5 нА/нм и 2.5$-10~5 нА/нм.

% -0.002 -

о о

5 -0.004 -

-0.006 600 650 700 750 800

Позиция сканера zp, нм 850

Рис. 4.3. Наиболее удаленный от точки контакта линейный участок силовых кривых подвода для контакта CSGW/Pt- золото при напряжении -5 В . Сплошная линия — аппроксимация

<

as О

О •в-

-0.01 500 550 600 650 700 750 800 850

Позиция сканера zy1 нм

Рис. 4.4. То же, что на рис. 4.3 при напряжении +5 В

Средняя по всем точкам спектроскопии в пределах кадра величина

контактной разности потенциалов вычислялась методом, изложенным в п.

3.4, и оказалась равной 0.3 5 . В силу (4.10) коэффициенты а находятся

85

делением коэффициентов наклона на 5.32 = 28.09 и 4.72 = 22.09. В итоге

получим значения а = \.07Л0~ь нА/нм-В2 и а = 1.17-W'6 нА/им-В2. Далее, в

предварительных измерениях жесткости свободного кантилевера по

алгоритму [76] было получено кс = 0.167 Н/м, а для коэффициента наклона

измеренных контактных линий (после усреднения), соответственно,

т = 0.0134 нА/нм. Принимая геометрические размеры балки равными

паспортным значениям длины (Z = 250мкм ) и ширины (w = 25 мкм), по

формуле (4.11) получим оценки высоты зонда Я = 12.75мкм и Я = 12.37мкм,

весьма близкие к средней паспортной величине 10мкм. Средняя по всем

измерениям с различными напряжениями величина высоты зонда равна

Я = 12.53 нм.

Несмотря на оптимизм, который вызывает этот результат, добавление

поправки (4.7) в правой части формулы (4.1), как уже отмечалось, и как

далее показано в п.4.3.1, приводит к катастрофическому ухудшению

результатов согласования экспериментальных и расчетных зависимостей

электростатических сил от расстояния.' Это связано с тем, что протяженность

бесконтактного участка силовых кривых (см. рис. 4.3 и 4.4) в наших

измерениях не выходит за пределы одного микрона, между тем, как видно из

рис. 1.5, на таких расстояниях от поверхности коническая часть зонда вносит

линейный вклад в силу взаимодействия, крутизна которого значительно

выше, чем крутизна линейного вклада (4.7). Таким образом, неправомерность

применения (4.7) в качестве дополнительного вклада возникает вследствие

недостаточно широкого диапазона перемещений сканера микроскопа Solver

Pro, не позволяющего регистрировать силовую кривую на расстояниях в

несколько микрон от образца.

86

4.3 Измерения в контакте зонда CSG10/Pt с пленкой золота


В отличие от измерений на пиролитическом графите, в данном случае

атмосфера была более сухой (влажность 20%), а большой объем статистики

достигался за счет увеличения общего числа кадров. Применявшаяся

процедура оптимизации %2 отличалась от п.4.1.1 тем, что в число

варьируемых параметров входил параметр z0, а параметр F0 был излишним.

Это достигалось смещением усредненных линий подвода по оси ординат,

таким образом, чтобы в наиболее удаленной от контакта точке

спектроскопии величина фототока равнялась нулю. В итоге минимизация %2

выполнялась по параметрам zo,kc,R,H,0.

В таблицах 1-4 Приложения 2 приведены результаты минимизации

(4.3), соответствующие четырем различным кадрам поверхности, а ниже в

таблице 7 -средние значения параметров кс,Я,Н,9,в соответствии с данными

таблиц 1-4 Приложения 2, полученными при напряжениях ±5,±7,±10В, для

которых величина ошибки х2 <Ю~*. Во второй строке таблицы 7 приводится

измеренное перед началом спектроскопии значение жесткости свободного

кантилевера, паспортные геометрические характеристики и ожидаемая

контактная разность потенциалов Pt - An. Результаты минимизации,

соответствующие более низким напряжениям ±3 5, как следует из таблиц 1-4

Приложения 2, приводят к более высоким значениям ошибки хг •> причем

подтверждается общая тенденция, отмечавшаяся в п. 4.1.1: более низким

значениям жесткости кантилевера кс, получаемым в результате минимизации

X2, всегда соответствуют более высокие значения радиуса зонда R.

Оценивая результаты таблицы 7, отметим хорошее согласие величины

радиуса R и высоты Я зонда со средними паспортными и несколько худшее

- параметров 0 и кс. Величину контактной разности потенциалов (0.325)

можно считать удовлетворительной, поскольку вариация абсолютных

87

значений работ выхода на поверхности даже одинаковых материалов по

данным АСМ достигает 0.2В.

Чтобы лучше понять роль различных параметров при минимизации

невязок х2' •> м ы также рассмотрели иные варианты расчета, фиксируя одни

параметры, и варьируя другие.

Таблица 7. Средние значения характеристик зонда и поверхности

№

1

2

%

кс,Н1м

0.11

0.167

-34

R,HM

Ъ1А

35

+6.7

Н, мкм

11.09

10

+10.8

в, рад

0.155

0.189

-18

VC,B

0.32

0.23

+39

В таблице 8 приведены результаты таких расчетов для образца 3 при

напряжениях на зонде ±10 В. В отдельных строках таблицы значения

параметров, которые не варьировались, приводятся в скобках. Таким

образом, например, в строках 2-4 помещены результаты, полученные с

фиксированным значением жесткости 0Л67Н/м. В строке 5 приведены

результаты, полученные при фиксированных (паспортных) значениях

геометрических характеристик кантилевера.

Для иллюстрации возможного влияния плоской части кантилевера мы

провели ряд расчетов, включая (4.7) в общую формулу электростатической

силы с добавочным весовым множителем р. Это сразу же резко ухудшало

результаты, как видно из рис. 4.5(а,б), на которых показаны силовые кривые,

полученные в итоге минимизации (4.3) при р = 0 и р = 0Л в сравнении с

экспериментальными. В первом случае %г = 4.6-10"5, а во втором 1.75-Ю-3.

88

(О с; х о о; <о х X СО ш о о. S

2 о

54

I

-0.02 -

-0.04

-0.06

1 1

<ф ф

ф

ь

>

1 ^ ^ ^ — Щ Г Т ^ "

+++

ООО

i i i

экспер.

теор.

i

-

100 200 300 400 500 Расстояние z, нм

а

600 700

га п; s о OS (О X X ГО ' со о Q-

S г • а. о X

54

и

-0.01

-0.02

-0.03

-0.04

i i

- S

+ +

F

1 1

1 i^^^^yi-^

+++

ООО

1 1 1

экспер.

теор.

i

-

-

-

100 200 300 400 500 Расстояние z, нм

б

600 700

Рис. 4.5а,б. Сравнение теоретических (кружки) и экспериментальных (крестики) зависимостей электростатических сил, нормированных на величину (V-Vc)

2 для контакта

CSG10 IPt- золото по критерию %2. а- без учета вклада плоской части балки, б - с учетом плоской части с весовым коэффициентом /7 = 0.1

89

Таблица 8. Различные варианты оптимизации параметров зонда №

1

2

3

4

5

V,B

+ 10

-10

+ 10

-10

+ 10

-10

+ 10

-10

+ 10

-10

кс,Н1м

0.119

0.116

(0.167)

(0.167)

(0.167)

(0.167)

(0.167)

(0.167)

0.132

0.140

Z0,HM

24.36

26.04

20.0

20.0

21.0

18

19.24

22.0

19.92

18.97

R,HM

35.01

34.12

46.44

42.69

(35)

(35)

49.03

40.54

(35)

(35)

Н,мкм

10.4

11.0

10.0

10.0

10.0

10.0

(10.0)

(10.0)

(10.0)

(10.0)

в, рад

0.15

0.15

0.23

0.212

0.17

0.25

(0.189)

(0.189)

(0.189)

(0.189)

%2ЖЪ

1.17

3.76

12.2

73.5

119.4

58.07

49.4

205.4

5.04

23

Как можно судить по величине х2 Д л я разных вариантов расчета,

наилучшее согласие экспериментальных силовых кривых с расчетными

наблюдается при вариации всех параметров (строка 1 таблицы 8) и для

напряжения +105 в строке 5, когда варьируется kc, a H,R,6 принимаются

равными средним паспортным значениям. Все варианты с фиксированной

жесткостью Лгс =0.167НIМ приводят к большим погрешностям. Это

свидетельствует о том, что более низкая величина жесткости, полученная из

анализа данных силовой спектроскопии, не является случайным фактом.

Так как в рассматриваемом эксперименте влияние водной пленки на

результаты измерений значительно ослаблено (по крайней мере, на кривой

подвода), можно предположить, что кажущееся различие жесткостей связано

с тем, что форма зонда изначально отличалась от сферической. Она могла бы

изменяться и в процессе спектроскопии, но, как следует из результатов

таблиц 1-4 (см.Приложение 2), величина радиуса от образца к образцу

возрастает не слишком заметно.

Величина R может также контролироваться по величине адгезионных

сил отрыва, поскольку, в силу (1.1), Fad~R. Мы проанализировали средние

90

значения фототока в моменты отрыва зонда. Они оказались равны

0.17,0.17,0.19 и 0.25 нА (на образце 4). Таким образом, тенденция увеличения

радиуса зонда заметна только в последнем случае. Однако поскольку средние

расчетные значения жесткости для всех образцов близки между собой (см.

данные таблиц 1-4), изменение R в процессе спектроскопии, в итоге,

представляется маловероятным.

4.3.2 Ван-дер-Ваальсовы силы

Анализ ВдВ сил проводился, как и в п.4.1.2 в два этапа : сначала по

упрощенной формуле (2.1), а затем -по формуле (2.6) с учетом полученных в

п.4.3.1 значений R и в. Шаг спектроскопии в рассматриваемом случае не

удавалось варьировать так заметно, как при измерениях на графите, поэтому

обработка результатов для каждого кадра поверхности выполнялась

отдельно. Кроме того, в отличие от п.4.1.2, нам не удалось выполнить

процедуру коррекции фототока для точек контакта. Это обусловлено

слишком большими расстояниями между точкой контакта и следующей за

ней (на шкале расстояний), поскольку жесткость кантилевера была невелика.

Поэтому процедура минимизации (4.3), как и при анализе

электростатических сил, начиналась со второй точки спектроскопии, считая

ее стабильной. После нахождения параметра C = AR/6 в формуле (2.1),

проводилась повторная минимизация величины %2с подстановкой в (4.3)

силы ВдВ в форме, учитывающей вклад конической части зонда

С F = 1 VdiV (z + zQy

(z + zoy tan'(в) (z + zo)(l-sin(0)) i + • (4.12)

R(z + z0+ R(\ - sin(0))) z + z0 + R(l - sin(0))

Затем выполнялась повторная минимизация по параметрам z0 и С,

после чего находилась константа Гамакера A = 6C/R. Результаты

минимизации для разных образцов приведены в таблице 9 с указанием всех

вспомогательных параметров. В предпоследнем столбце, в частности,

приведены средние значения коэффициентов калибровки на линейных

контактных участках подвода, а значения жесткостей кс соответствуют

91

средним значениям таблиц 1-4 для рассматриваемых образцов. Заметим, что

повторная минимизация х2 практически не влияла на значения z0 и С, но

общая величина дг2при этом изменялась. Эти значения х2 приведены во

второй строке вариантов в последнем столбце таблицы 9.

Таблица 9. Характеристики зондов и сил Ван —дер —Вальса для контакта CSG10/Pt-Au №

1

2

3

4

С,нН -нмг

1.96

2.65

1.34

0.85

Z0,HM

2.08

3.55

2.67

2.66

Л,1(Г19 Дж

3.38

3.58

2.39

1.25

кс,Н1м

0.114

0.102

0.102

0.106

R,HM

34.8

36.26

36.26

39.13

в, pad

0.156

0.15

0.15

0.15

т, иА 1 пм

0.01261

0.01271

0.1266

0.01344

Z2,HH2

0.0099 0.0110 0.0120 0.0129 0.0340 0.0250 0.0570 0.0250

Средняя величина константы Гамакера по результатам таблицы 9

составляет 2.9-10~]9Дж. На рис. 4.6(а,б) показаны результаты расчета

(пунктирные линии) и экспериментальные значения (крестики) сил ВдВ для

вариантов 1 и 2.

0.02

0 х *• -0.02 ев

б -0-04

-0.06

-0.08

7 /

- 4

10 100 1-10" Расстояниег, нм

а

92

0.02

0 х :r Й -0.02 S

О

-0.04

-0.06 1 10 100 1-Ю"3

Расстояние z, нм

б

Рис. 4.6а,б. Измеренные (символы) и вычисленные (сплошная линия) силы Ван-дер-Ваальса между зондом CSGIO/Pt и поверхностью золота для образцов 1- а и 2 - б

Сравнивая между собой результаты анализа сил ВдВ в контактах

CSG10/Pt -графит и CSG10/Pt -Au, можно отметить более низкое качество

экспериментальных данных во втором случае. Это связано с более низкой

величиной жесткости кантилевера (~0.11Я/л* вместо 0.25Н/м) и

невозможностью уменьшения шага спектроскопии. Методика изменения

соотношения между сигналами Set Point и DFL микроскопа в этом случае

оказалась малоэффективной, причем вполне вероятно, что это связано с

более низкой жесткостью кантилевера. При ее уменьшении точка потери

устойчивости оказывается слишком далеко от поверхности, а величина силы

ВдВ в ближайших к контакту точках оказывается настолько малой, что плохо

регистрируется следящей системой микроскопа, несмотря на то, что при

меньшей жесткости чувствительность зонда к малым силам возрастает. Более

оптимальным представляется использование несколько более жестких зондов

с большим радиусом кривизны, как это и реализуется при измерениях сил

Казимира [55, 60].

93


Разработаны программы для анализа данных электросиловой спектроскопии,

позволяющие найти геометрические характеристики и жесткость

кантилеверов, а также константы Гамакера сил Ван -дер -Ваальса при

взаимодействии зондов АСМ с различными поверхностями.

Численными расчетами установлено, что геометрические параметры

кантилеверов, получаемые в результате анализа силовых кривых,

измеренных с приложением различных напряжений между проводящими

зондом и образцом, хорошо согласуются между собой и с паспортными

значениями для зондов типа CSG10/Pt, причем наиболее критичным

параметром при определении радиуса кривизны зонда является жесткость

балки кантилевера, а при определении жесткости -радиус кривизны зонда.

Учет вклада плоской части балки кантилевера при обработке

результатов электросиловой спектроскопии катастрофически ухудшает

согласие измеренных и расчетных зависимостей электростатических сил от

расстояния между зондом и образцом.

Расхождение между ожидаемыми и рассчитанными в результате

анализа данных спектроскопии значениями радиуса кривизны зонда (в

случае контакта CSG10/Pt -графит) и жесткости кантилевера (в случае

контакта CSG10/Pt -Au может быть связано с погрешностью аналитической

модели электростатических сил или с другими факторами, требующими

дополнительного изучения. В случае контакта CSG10/Pt -Au модификация

радиуса кривизны зонда в процессе спектроскопии представляется

маловероятной. Повышение точности определения константы Гамакера (в

случае корректного определения радиуса кривизны зонда) возможно при

уменьшении шага спектроскопии, увеличении величины жесткости

кантилевера и радиуса кривизны зонда.

94

Выводы ко всей работе

1. Разработаны программы статистической обработки и анализа данных

электросиловой спектроскопии, позволяющие найти геометрические

характеристики и жесткость кантилеверов, а также константы Гамакера

сил Ван -дер -Ваальса при взаимодействии зондов АСМ с различными

поверхностями. Показано, что повышение точности определения

константы Гамакера в случае корректного определения радиуса

кривизны зонда возможно при уменьшении шага спектроскопии,

увеличении величины жесткости кантилевера и радиуса кривизны

зонда.

2. Численными расчетами установлено, что геометрические параметры

кантилеверов, получаемые в результате анализа силовых кривых,

измеренных с приложением разнополярных напряжений между

проводящими зондом и образцом, хорошо согласуются между собой и

с паспортными значениями для зондов типа CSGIO/Pt, причем

наиболее критичным параметром при определении радиуса кривизны

зонда является жесткость балки кантилевера, а при определении

жесткости -радиус кривизны зонда.

3. Получены аналитические формулы для расчета ван -дер -ваальсовых

сил и разработан численный метод расчета электростатических сил

между проводящим зондом конической формы со сферическим

окончанием, и проводящим образцом, в том числе с образцом,

покрытым диэлектрической пленкой. Показано, что наличие

диэлектрических пленок на проводящем образце уменьшает

электростатические и ван -дер -Ваальсовы силы в воздушно —

вакуумном контакте зонда АСМ с образцом, причем для каждого типа

сил имеется специфическая зависимость от радиуса кривизны зонда,

толщины и диэлектрической проницаемости пленки. Это дает

95

возможность определения локальной толщины и диэлектрической

проницаемости тонких покрытий.

4. Разработан метод локальной спектроскопии контактной разности

потенциалов, основанный на измерении и анализе силовых кривых

подвода при подаче на зонд АСМ равных по модулю напряжений

различной полярности.

96

Список литературы

[I] Binnig G., Quate С, Gerber С. Atomic force microscope // Phys. Rev. Lett. -

1986. -V. 56. -P. 930-933

[2] Binnig G., Rohrer H. In touch with atoms // Rev. Mod. Phys. -1999. -V.71. -

№2. -P.324-330.

[3] Каталог продукции компании НТ-МДТ cantilevers.pdf, веб-страница

www.ntmdt-tips.com

[4] Дедков Г.В. Физические аспекты взаимодействий зонд— поверхность в

сканирующей зондовой микроскопии. Часть 1. //Нано- и микросистемная

техника. -2006. -№8. -С.2; Часть 2 // Нано- и микросистемная техника. -

2006.-№9.-С.11.

[5] Бараш Ю.С. Силы Ван -дер -Ваальса. -М: Наука. -1988. -С.344

[6] Дедков Г.В., Кясов А.А. Флуктуационно-электромагнитное

взаимодействие движущихся тел // Наноструктуры. Математическая

физика и моделирование. -2009. -Т. 1. -№ 2. -С.5-59

[7] Дедков Г.В. Нанотрибология: экспериментальные факты и теоретические

модели // УФН. -2000. -Т.170. -№6. -С.585-618.

[8] Неволин В.К. Зондовые нанотехнологии в электронике // -М:

Техносфера. -2005. -С. 152.

[9] Butt Н., Cappella В., Kappl М. Force measurements with the atomic force

microscope: Technique, interpretation and applications // Surf. Science Rep. -

2005.-V.59.-P.1-152.

[10] Carpick R., Salmeron M. Scratching the surface: fundamental investigations

of tribology with atomic force microscopy // Chemical Reviews. -1997.-V.97.

-№4. -P.l 163-1194.

[II] J.N. Israelachvili, Intermolecular and Surface Forces, Academic Press,

London 1992

[12] Нанотехнология. Физика. Процессы. Диагностика. Приборы. Под ред.

В.В.Лучинина// -Москва. Физматлит. -2006. -552 С.

97

http://www.ntmdt-tips.com

[13] Дерягин Б.В., Чураев Н.В., Муллер В.М. Поверхностные силы, -М:

Наука. -1985. -С.34.

[14] F. London, Zur Theorie und Systematik der Molekularkrafte // Z. Phys. -1930.

-V.63. 245

[15] Casimir H. B. G. On the attraction of two perfectly conducting plates // Proc.

K. Ned. Akad. Wet. -1948. -V.51. 793.

[16] Casimir H. B. G., Polder D. // The influence of retardation on the London-van

der Waals Forces Phys. Rev. -1948. -V.73. -360.

[17] Рытов C M . Теория электрических флуктуации и теплового излучения

(М.: Изд. АН СССР, 1935), 213 С.

[18] И.Е. Дзялошинский, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский Общая теория ван-

дер-ваальсовых сил // УФН-март 1961. -TLXXII, вып. 3

[19] Лифшиц Е.М. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми

телами // ЖЭТФ. -1955. -Т.29. -Вып. 1(7).

[20] Bordag М., Mohideen U., Mostepanenko V.M. The developments in the

Casimir effect// Phys. Rep. -2001. -V.353. -P.l.

[21] Дедков Г.В., Кясов А.А. Электромагнитное и флуктуационно -

электромагнитное взаимодействие движущихся частиц и нанозондов с

поверхностями. Нерелятивистское рассмотрение (Обзор) // Физика

твердого тела. -2002. -Т. 44. -№ 10. -С. 1729.

[22] Guggisberg М., Bammerlin М., Loppacher Ch., et. al. Separation of

interactions by noncontact force microscopy // Phys. Rev. -2000. -V.B61. -

№16.-P.11151.

[23] Saint Jean M., Hudlet S., Guthmann C , Berger J. Van der Waals and

capacitive forces in atomic force microscopy // J. Appl. Phys. -1999. -V.86. -

№ 9. -P.5245.

[24] Argento С and French R.H. Parametric tip model and force-distance relation

for Hamaker constant determination from atomic force microscopy // Appl.

Phys. -Dec. 1996. -V.80 -P.6081.5

98

[25] Burnham N.A., Colton R.J., Pollock H.M. Work-Function Anisotropics as an

Origin of Long-Range Surface Forces // Phys. Rev. Lett. -1992. -V.69. -№1 -

P.144

[26] Burnham N.A., Behrend O.P., Oulevey F. How does a tip tap? //

Nanotechnology. -1997. -V.8. -P.67-75.

[27] Анкудинов A.B., Титков A.H., Козлов В.А. Исследование распределений

потенциала в прямо смещенном кремниевом диоде методом

электростатической силовой микроскопии // ФТП. -2002. -Т. 36. -№9. -С.

1138-1143.

[28] Law В.М., Reutford F. Electrostatic forces in atomic force microscopy //

Phys. Rev. B. -2002. -V.66. - P . 35402.

[29] Hudlet S., Saint Jean M., Guthmann С Berger J. Evaluation of the capacitive

force between an atomic force microscopy tip and a metallic surface // Eur.

Phys. J. -1998. -V.B2. -P.5.

[30] Girard P. Electrostatic force microscopy: principles and some applications to

semiconductors//Nanotechnology. -2001. -V.12. -P.485.

[31] B.D. Terris, J.E. Stern, D. Rugar, H. J. Mamin, Contact Electrification Using

Force Microscopy // Phys. Rev. Lett. 63, 2669 (1989).

[32] Cappella В., Dietler G. Force-distance curve by atomic force microscopy //

Surf. Sci. Rep. -1999. -V.34. -P.l.

[33] Г.В.Дедков, А.А.Канаметов Электросиловое взаимодействие зонда

атомно-силового микроскопа с поверхностью // ПЖТФ, -2010, том 36,

вып. 6 С. 1-7

[34] Г.В.Дедков А.А.Канаметов, Е.Г.Дедкова Электростатические и ван-дер-

ваальсовы силы в воздушном контакте зонда атомно-силового

микроскопа с проводящей поверхностью // ЖТФ -2009. -Т. 79, -вып. 12

С.79-85

[36] G. М. Sacha, Е. Sahagun, JJ . Saenz A method for calculating capacitance and

electrostatic force in atomic force microscopy // J. of Appl. Phys. -2007. -

V.101.P.024310(l-4)

99

[37] G. M. Sacha, J.J. Saenz Cantilever effects on electrostatic force gradient

microscopy // Appl. Phys. Lett. -27 Sept. 2004. -V.85. -№13

[38] G. M. Sacha, A.Verdaguer, J. Martinez, J J . Saenz, D.F. Ogletree, M.

Salmeron Effective tip radius in electrostatic force microscopy // Appl. Phys.

Lett. -2005. -V.86. P. 123101 (1-3)

[39] G. M. Sacha, С Gomez-Navarro, J.J. Saenz, J. Gomez-Herrero Quantitative

theory of the imaging of conducting objects in electrostatic force microscopy

// Appl. Phys. Lett. -2006. -V.89. P. 123122(1-3).

[40] Тамм И.Е. Основы теории электричества. - 1989г. Москва, изд. Наука.

[41] Миронов В.Л., Основы сканирующей зондовой микроскопии // Москва: -

Техносфера. -2004. -С.8-110.

[42] Дедков Г.В., Дедкова Е.Г., Карамурзов Б.С., Хоконов Х.Б., Тегаев Р.И.,

Коков З.А. Исследование силовых взаимодействий зонда сканирующего

микроскопа с проводящими и непроводящими образцами в атмосферных

условиях // Поверхность. Рентгеновские и синхротронные исследования.

-2007.-№ 6.-С. 1-6.

[43] Дедков Г.В., Тегаев Р.И., Дедкова Е.Г. Контактная силовая

спектроскопия проводящих и не проводящих образцов в атмосферных

условиях и водной среде // Нано- и микросистемная техника. -2007. -№2.

-С.8-15.

[44] Дедков Г.В., Дедкова Е.Г., Тегаев Р.И., Хоконов Х.Б. Измерения ван -

дер -ваальсовых и электростатических сил в контактах зонда

сканирующего микроскопа с металлическими поверхностями // Письма в

ЖТФ. -2008. -Т.34. -№1. -С.38-47.

[45] Дедкова Е.Г. Контактная атомно-силовая спектроскопия металлических

пленок и диэлектрических материалов // Дис. канд. физ. мат. наук, 2008

[46] Roy A., Mohideen U. Demonstration of the nontrivial boundary dependence

of the Casimir force //Phys. Rev. Lett. 1999, 82, 4380

[47] Peebles P.J.E. Principles of Physical Cosmology // 1993, Princeton, NY,

Princeton Univ. Press

100

[48] Рыков С.А. Сканирующая зондовая микроскопия полупроводниковых

материалов и наноструктур // СПБ: -Наука. -2001. -53 С.

[49] Рорре Т., Blum J., Henning Т. New experiments on collisions of solid grains

related to the preplanetary dust aggregations //Adv. Space Res. 1999, 23, 1197

[50] Decca R.S., Fischbach E., Klimchitskaya G.L. et. al. Improved tests of extra -

dimensional physics and thermal quantum field theory from new Casimir

force measurements // Phys.Rev. 2003, D68,l 16003

[51] Chan H.B., Aksyuk V.A., Kleiman R.N. et.al. Quantum mechanical actuation

of microelectromechanical systems by the Casimir force Science, 2001,

291,1941; Phys. Rev. Lett. 2001, 87, 211801

[52] Buks E, Roukes M.L. Casimir forces changes sign Europhys. Lett. 2001, 54,

220; Phys. Rev. 2001, B63, 033402

[53] Harris B.W., Chen F., Mohideen U. Precision measurements of the Casimir

force using gold surfaces Phys. Rev. 2000, A62, 052109

[54] Chen F., Mohideen U., Klimchitskaya G.L., Mostepanenko V.M.

Investigation of the Casimir force between metal and semicionductor test

bodies // Phys. Rev. Lett. 2002, 88,101801; Phys. Rev. 2005, A72, 020101

[55] Chen F., Mohideen U. Recent experimental advances in precision Casimir

force measurements with the atomic force microscope // J.Phys.A: Math. Gen.

2006, 39,6223

[56] Klimchitskaya G.L. and Mostepanenko V.M. Experiment and theory in the

Casimir effect // Contemp. Phys. 2006, 47, 131

[57] Maia Neto P.A., Lambrecht A., Reynaud S. Roughness correction to the

Casimir force: beyond the proximity force approximation //Eur. Phys. Lett.

2005, 69,924; Phys. Rev. 2005, A72, 0605005 .

[58] Lamoreaux S.K. Demonstration of the Casimir effect in the 0.6 to 6 jum II

Phys. Rev. Lett. 1997, 78, 5; Phys.Rev. 1999, A59, R3149; Rep. Progr. Phys.

2005, 68, 201

[59] Дедков Г.В., Кясов A.A Флуктуационно -электромагнитное

взаимодействие нейтральной движущейся частицы с поверхностью

101

конденсированной среды: релятивистское рассмотрение // ФТТ 2009, 51,

№1,1

[60] Mohideen U., Roy A. Precision measurements of the Casimir force from 0.1

to 0.9 /m //Phys. Rev. Lett. 1998, 81,4549

[61] Harris B.W., Chen F., Mohideen U. Precision measurements of the Casimir

force using gold surfaces Phys. Rev. 2000, A62, 052109

[62] Chen F., Mohideen U., Klimchitskaya G.L., Mostepanenko V.M.

Investigation of the Casimir force between metal and semicionductor test

bodies //Phys. Rev. Lett. 2002, 88,101801; Phys. Rev. 2005, A72, 020101

[63] Chen F., Mohideen U. Recent experimental advances in precision Casimir

force measurements with the atomic force microscope // J.Phys.A: Math. Gen.

2006, 39,6223

[64] Decca R.S., Lopez E., Fischbach E. et. al. Tests of new physics from precise

measurements of the Casimir pressure between two gold -coated surfaces //

Phys. Rev. 2007, D75, 077101

[65] Decca R.S., Lopez E., Fischbach E. et. al. Novel constraints on light

elementary particles and extra dimensional physics from the Casimir effect //

Eur. Phys. J. 2007, C51, 963

[67] J.N.Munday, F.Capasso, A.Parsegian Казимировское отталкивание //

Nature 457(8), 170(2009)

[68] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 2 // 2001,М.,

Физматлит

[69] Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. // Фейнмановские лекции по физике . -

1977. -Т.5. —Электричество и магнетизм. -С.65.

[70] Dedkov G.V., Kyasov АЛ. Fluctuation electromagnetic slowing down and

heating of a small neutral particle moving in the field of equilibrium

background radiation // Phys. Lett. 2005,A339, 212

[71] М.Силадьи, Электронная и ионная оптика, М.: Мир, 1990, С.638

[72] Abramovitz М., Stegun I.A.eds. // Handbook of Mathematical Functions. New

York: Dover, 1972.

102

[73] Градштейн И.С, Рыжик И.М. // Таблицы интегралов сумм рядов и

произведений. М.: Физматгиз, 1963.

[74] Смайт В.Р.// Электростатика и электродинамика. М.: ИЛ, 1954.

[75] Быков В.А.// Микросистемная техника. 2000. Вып.1. С.21.

[76] Sader J.E. Frequency response of cantilever beams immersed in viscous fluids

with applications to the atomic force microscope // Journal of applied physics.

-1998. -V.84. -№1. -P.64-76.

[77] Дедков Г.В., Канаметов А.А., Дедкова Е.Г. Тегаев Р.И. Калибровка

механических и геометрических характеристик зондов АСМ по

измерениям контактных и электростатических сил // Труды XIV

Российского симпозиума по растровой электронной микроскопии (РЭМ-

2008). Институт Проблем Технологии Микроэлектроники и

Особочистых Материалов РАН. г. Черноголовка. - 2009.С. 16-27

[78] Дедков Г.В., Канаметов А.А., Дедкова Е.Г. Определение геометрических

характеристик зондов АСМ по измерениям электростатических сил.

Материалы международной научно-технической конференции «микро- и

нанотехнологии в электронике» 21-27 сентября 2009г. Пос.Эльбрус,

Россия. С.35-39

[79] Дедков Г.В., Канаметов А.А., Дедкова Е.Г. Ван-дер-Ваальсовы силы в

воздушном контакте зонда АСМ с поверхностью графита // Труды XV

Российского симпозиума по растровой электронной микроскопии и

аналитическим методам исследования твердых тел (РЭМ- 2009).

Институт Проблем Технологии Микроэлектроники и Особочистых

Материалов РАН. г. Черноголовка. - 2009.С. 16-22

[80] Дедков Г.В., Канаметов А.А. Измерение ван-дер-ваальсовых сил в

воздушном контакте зонда АСМ с поверхностью графита // «Вестник

КБГУ» с. Физ. Вып. 12 Нальчик 2009. С.36-38

[81] Физические величины. Справочник под редакцией И.С. Григорьева, Е.З.

Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991.

103

[82] Дедков Г.В., Кясов А.А., Дедкова Е.Г. О бесконтактном трении и

теплообмене в наноструктурах // Нано- и микросистемная техника. -

2005. -№2. -С.2-9.

[83] Sacha G.M., Verdaguer A., Salmeron М. S Induced water condensation and

bridge formation by electric fields in atomic force microscopy // J. Phys.

Chem. Bl 10, 2006, P.14870-14873

[84] Verdaguer A., Sacha G.M., Bluhm H., Salmeron M. Molecular structure of

water at interfaces: wetting at the nanometer scale // Chem. Rev. V.106(4),

2006,P.1478-1510

[85] Biggs S., Mulvaney P. Measurement of the forces between gold surfaces on

the water by atomic force microscopy // J. Chem. Phys. V.100, N11, P.8501-

8505

[86] Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики // М.:

Наука, 1965, С.31

[87] Дедков Г.В., Кясов А.А. Радиационный теплообмен сферической

частицы с пластиной // Письма в ЖТФ, 36, вып. 18 С.32, 2010

[88] Palik Е. // Handbook of Optical Constant of Solids. New York, Academic

Sci., 1985.

[89] Бухараев A.A., Овчинников Д.В., Бухараева А.А. Диагностика

поверхности с помощью сканирующей силовой микроскопии

//Заводская лаборатория.-1997. -№5. -С. 10.

[90] Buhmann S.Y., Welsch D.-G. Dispersion forces in macroscopic quantum

electrodynamics // Prog. Quant. Electr., 2007, 31, 51 ; arXiv: 0608118v2

[quant-ph] 12Jun2007

[91] R.C. Batra, M. Porfifi, D.Spinello Vibrations of narrow microbeams

predeformed by an electric field // J. of Sound and Vibration -2008. -V.309. -

P600.

[92] R.C. Batra, M. Porfifi, D.Spinello Review of modeling electrostatically

actuated microelectromechanical systems // Smart Mater. Struct. -2007. -

V.16.R23-R31

104

[93] R.C. Batra, M. Porfifi, D.Spinello Effects of van der Waals Force and thermal

Stresses on Pull-in Instability of Clamped Rectangular Microplates -2008. —

V.8 -1048-1069.

[94] R.C. Batra, M. Porfifi, D.Spinello Electromechanical model of Electrically

Actuated Narrow Microbeams // J. of Microelctromech. System -Oct. 2006. -

V.15.-№.5.

[95] Garcia R., Perez R. Dynamic atomic force microscopy methods // Surface Sci.

Rep. -2002. -V .47. -P .197.

[96] Hofer W.A., Foster A.S., Schluger A.L. Theories of scanning probe

microscopes at the atomic scale // Rev. Mod. Phys. -2003. -V.75. -P. 1287.

[97] Drakowa D. Theoretical modeling of scanning tunneling microscopy,

scanning tunneling spectroscopy and atomic force microscopy // Rep. Prog.

Phys. -2002. -V.64.-P. 205.

105


Среда программирования Matlab ориентирована на работу с большими

массивами числовых данных, поэтому позволяет быстро и надежно

проводить необходимые вычисления. Для удобства чтения и ориентировки в

тексте программы каждая строка пронумерована. Вспомогательные

операции, а также процедуры обработки ошибок и исключений, в тексте

программы не указаны для экономии места.

На начальном этапе анализируются бесконтактные участки силовых

кривых, значения данных для которых хранятся в массиве ARR .Затем путем

сдвига по вертикальной оси силовые кривые подводятся к нулевому уровню.

Данная операция выполняется в подфункции operating (строка 2 в основном

тексте и строки 26-31). Далее в подфункции VdW_elastic (строка 18 в

основном тексте и строки 32-34) проводится экстракция контактного и

бесконтактного участков силовых кривых в отдельные массивы данных (19-

20). Точки контакта, которые характеризуются максимальным

отрицательным значением фототока, находятся с помощью встроенной

функции поиска минимального элемента массива (строки 8 и 9). Процедура

усреднения значений фототока сводится к делению суммированных значений

фототока от отдельных точек снятия силовых кривых на количество точек.

Полученные таким путем значения хранятся в массивах (24,25), которые

затем могут быть использованы для последующей обработки и анализа.

1 while m<=s_pag 2 [ARR,midl(m)]=operating(ARR,symb); 3 while ARR(k,1,m)>=0 4 k=k+1; 5 end 6 ind_delta(1,m)=k-1 7 k=1 8 [min_force,ind_min_force]=min(ARR(:,1,m)) 9 mf(1,m)=ind_min_force 10 m=m+1 11 end; 12 [rm'm'm_z,ind_minim_z]=min(mf) 13 m=m+1 14p=1;

106

15VdW=0; 16 elastic=0; 17 while p<=s_pag 18 [e,V]=VdW_elastic(ARR(:,:,p),mf,minim_z,symb_name); 19 elastic=elastic+e; 20 VdW=VdW+V; 21 p=p+1 22 end; 23 clear p; 24 elastic=elastic./s_pag; 25VdW=VdW./s_pag

26 function [res,mid]=operating(A1) 27 num_cur_line=size(A1 (70:1000,1)); 28cur_mid=sum(A1(70:1000,2))/num_cur_line(1,1) 29 mid=cur_mid; 30 A1 (:,2)=A1 (:,2)+cur_mid; 31 res=A1;

32 function [elast,VdWf]=VdW_elastic(A11 ,index,min_ind,symbol) 33 elast=A11 (index-min_ind:index,2); 34 VdWf=A11 (index_curmin:index_curmin-400,2);

107


Геометрические и механические характеристики зонда ACM CSGIO/ Pt рассчитанные из измерений электростатических сил взаимодействия с поверхностью золота. Расчеты проведены в соответствии с процедурой изложенной в п.4.1.1 для образцов 1,2,3>4

Таблица 1. Образец 1

V, в +3

-3

+5

-5

+7

-7

+10

-10

ъ 0.34

0.397

0.409

0.463

0.464

0.467

-

0.514

z0, ни

13.4

12

17.99

20.88

21.623

21.97

-

26.012

R,HM

30

30

31.15

42.11

31.267

31.59

-

36.101

Н, им

10340

12000

10350

10400

11950

12000

-

12360

в, рад 0.168

0.22

0.157

0.152

0.171

0.15

-

0.15

х2

1.65-Ю-4

1.5-10-4

4.63-Ю-5

2.73-10"5

8.6-Ю-6

3.35-10-s

-

3.82-Ю-5

К, в 0.015

0.015

0.145

0.145

0.2

0.2 -

0.2

Таблица 2. Образец 2 V, в +3

-3

+5

-5

+7

-7 +10 -10

ъ 0.3

0.34

0.434

0.367

0.436

0.436

-

-

z0, ИМ

17.48

18.03

18.9

21.33

21.67

22.57

-

-

R,HM

43.68

41.2

45.37

37.48

34.48

34.28

-

-

Н,нм

12000

12000

12000

12000

12000

12000

-

-

9, рад

0.158

0.228

0.17

0.15

0.15

0.15

-

-

х2

3.88-10"4

1.565-Ю-4

5.65-Ю-5

6.66-Ю-5

9.37-10-5

3.65-Ю-5

-

-

К, в 0.123

0.123

0.069

0.069

0.266

0.266

-

-


V, в +3

-3

+5

-5

+7

-7

+10

-10

Ъ

0.303

0.316

0.43

0.4

0.463

0.456

0.49

0.511

z0, нм

16

19.9

17.087

20.297

22.86

20.508

24.35

25.28

R,HM

30

34.83

36.72

37.111

37.301

38.87

35.8

37.47

Н,нм

10270

10060

10490

10350

10340

10350

10520

10000

в, рад 0.158

0.16

0.159

0.15

0.157

0.15

0.16

0.173

х2

1.216-10"3

1.436-10"4

1.353-10"4

6.9-Ю-5

3.59-10^5

4.4-10"5

1.447-10'5

5.33-Ю-5

К, в 0.184

0.184

0.297

0.297

0.33

0.33

0.338

0.338

108


V, в +3

-3

+5

-5

+7

-7

+10

-10

Ъ

0.3

0.325

0.382

0.398

0.424

0.41

0.45

0.467

ZQ,HM

16.004

13.415

16.827

20.075

20.45 _^

19.285

21.18

23.66

R,HM

42.47

35

42.87

45.86

36.96

35.395

35.5

38.212

Н,нм

10000

12000

10000

11300

12000

10340

10350

10350

в, рад 0.15

0.21

0.151

0.151

0.15

0.15

0.15

0.15

х2

1.427- КГ*

3.5-10-4

4.65-10"5

5.17-10"5

3.8-Ю-5

7.16-Ю-5

3.53-Ю-5

5.82-Ю-5

К, в 0.028

0.028

0.076

0.076

0.186

0.186

0.382

0.382

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ И ВАН -ДЕР -ВААЛЬСОВО...

Documents