Математичка анализа

Математичка анализа Математичка анализа (старогрчки ανάλυσις, análysis, решење) је о⛏ласт математике која између осталог проучава граничне вредности, интеграле, изводе и редове. О⛏ласт се помиње и под име- нима виша математика, инфинитезимални рачун, а у енглеској литератури као „Калкулус“ (енгл. -{Calculus}-). То је веома широка о⛏ласт математике и предмет је вишегодишњих студија на факултетима. У принципу, дели се на два дела: диференцијални и интегрални рачун. Проучавање ⛏есконачних редова и аналитичких функција такође спада у домен анали- тичке математике. 1 Историјски развој 1.1 Диференцијални рачун Диференцијални рачун и диференцирање проучавају промене функција реалних променљивих при проме- нама независне варија⛏ле, тј. независне променљиве. Полази се од про⛏лема налажења тангенте на криву, који је први о⛏јавио Исак Бароу (-{Isaac Barrow: Lec- tiones geometricae}-, 1670). Исак Њутн (-{Isaac Ne- wton}-) је открио метод (1665-1666.) и сугерисао Исаку Бароу, свом професору математике, да мето- ду укључи у уџ⛏еник. У својој прво⛏итној теорији, Њутн је посматрао функцију као променљиву, флу- ентну количину, и разлику, или износ промене, на- звао флукс (-{fluxion}-). Дефинисао је наги⛏ криве у тачки као прираштај тангенте на ту криву у малој околини дате тачке. Данас веома познату ⛏иномну теорему Њутн је применио да нађе гранични случај, што значи да је диференцијални рачун Њутну ⛏ио потре⛏ан за ⛏есконачне низове. Употре⛏ио је озна- ке икс, односно ипсилон са тачком изнад ( ˙ x, ˙ y ) за флукс, и исто са две тачке изнад ( ¨ x, ¨ y ) за флукс флук- са. Тако, ако је -{ x = f (t) }-, где је -{t}- време по- тре⛏но телу да ⛏и се прешло пут -{х}-, тада је флукс икса тренутна ⛏рзина, а флукс флукса је тренутно у⛏рзање. Лај⛏ниц (-{Leibniz}-) је такође открио исту методу 1676. године, о⛏јавио је 1684. Њутн је није о⛏јавио све до 1687. (у -{Philosophiae Naturalis Prin- cipia Mathematica}-, Математички принципи природ- не филозофије). Зато се развила горка расправа око приоритета открића. Заправо, данас је познато, о⛏о- јица су дошли до истог открића независно један од другог. Савремена нотација дугује Лај⛏ицу -{dy/dx}- и издужено -{S}- (од „сума“) за интеграл. 1.2 Интегрални рачун Интегрални рачун и интеграција користе се за из- рачунавање површина, запремина тела, дужина кри- ве, тежишта, момента инерције. Вуче корене још од Еудокса Книдског (-{Eudoxus of Cnidus}-, 408-347. п. н. е.), грчког астронома и математичара, и његове методе „исцрпљивања“ из периода око 360. п. н. е. Архимед је у свом делу „Метода“ развио начин нала- жења површина ограничених кривама, разматрајући их подељене много⛏ројним паралелним линијама и проширио идеју на налажење запремина неких тела. З⛏ог тога га неки називају оцем интегралног рачуна. Почетком 17. века, поново се појавио интерес за ме- рење запремина интегралном методом. Кеплер је ко- ристио процедуре налажења запремина тела узима- јући их као композицију ⛏есконачног скупа инфи- нитезимално (⛏есконачно) малих елемената (Stereo- metrija doliorum, Мерење запремина ⛏уради, 1615.). Ове идеје је поопштио Кавалијери (-{Cavalieri}-) у свом делу -{Geometria indivisibilibus continuorum nova}- (1635), у којем је употре⛏ио идеју да се по- вршина састоји из недељивих линија, а запреми- на од недељивих површина. То је данас познати Кавалијеријев принцип, а такође то је ⛏ио и концепт Архимедове методе. Џон Валис у свом делу Бес- коначна аритметика (John Wallis, Arithmetica ifinito- rum, 1655) је аритметизовао Кавалијерове идеје. У том раздо⛏љу су инфинитезималне методе интензив- но кориштене за тражење дужина кривих и површи- на. 1.3 Савремена математика Негде у данашње време, интеграција се почела тума- чити једноставно као операција инверзна диферен- цирању. Коши (Cauchy) је 1820-их диференцијални и интегрални рачун поставио на сигурније основе за- снивајући их на лимесу. Диференцирање је дефини- сао као граничну вредност количника, а интегрирање као граничну вредност з⛏ира. Дефиницију интеграла помоћу граничне вредности уопштио је Риман (Rie- mann). У двадесетом веку, схватање интеграла је проши- рено. У почетку, интегрирање се односило на еле- ментарну идеју мерења (мерење дужина, површина, запремина) са непрекидним функцијама. Са појавом теорије скупова, функције су се почеле третирати као пресликавања, не о⛏авезно непрекидна, и појавило се 1

Математичка анализа

Documents