Υδροστατική πίεση
DESCRIPTION
Μηχανικη των ρευστωβTRANSCRIPT
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ2. Υ∆ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ
2.1 ΠΙΕΣΗ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ
F=mα⇒Py=Ps -Η πίεση σ’ ένα σηµείο του ρευστού είναιPz=Ps ανεξάρτητη της διεύθυνσης
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ2.2 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ
-Επιφανειακές δυνάµεις(λόγω πίεσης)
-∆υνάµεις σώµατος(π.χ. βάρος)
γ−=
γ−=∂∂
=∂∂
=∂∂
ρευστνητοακιαΓ
dzdp
zp,0
yp,0
xp:όί
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ
ΑΠΟΛΥΤΗ ή ΣΧΕΤΙΚΗ(GAGE) ΠΙΕΣΗ
2.3 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ
Μέτρηση Ατµοσφαιρικής ΠίεσηςPatm=γh+Pvapor
0.000023 lb/in2
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ
ΠΙΕΖΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΩΛΗΝΑΣP=γh+P0PA=γ1h1 (P0=0,σχετική πίεση)
PA =P1
Μειονεκτήµαταα) PA > Patmβ) Σχετικά µεγάλη πίεση για
την ακριβή µέτρηση του h1
2.4 ΜΑΝΟΜΕΤΡΑ
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ
ΜΑΝΟΜΕΤΡΟ ΤΥΠΟΥ U
PA+γ1h1- γ2h2=0 ⇒ PA=γ2h2- γ1h1
Το ρευστό του µανοµέτρουδιαφορετικό από το ρευστόµέτρησης
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 1
Ένα κλειστό δοχείο περιέχει αέρα υπό πίεση και υγρό µε πυκνότητα 900kg/m3.Ένα υδραργυρικό µανόµετρο τύπου U συνδέεται στο δοχείο όπως φαίνεται στοσχήµα.Για h1=0.914m, h2=0.152m και h3=0.228m, να προσδιορισθεί η ένδειξη στοπιεσόµετρο.
ΛύσηΑκολουθώντας τη γενική µεθοδολογία τωνµανοµέτρων, αρχίζουµε από την διεπιφάνειααέρα-υγρού και καταλήγουµε στο ανοικτόάκρο του µανοµέτρου.
)Pa(m/N21007P
0228.0*81.9*13600)152.0914.0(*81.9*900P
0gh)hh(gP
0h)hh(P
2έ
έ
3.21ύέ
3.21ύέ
=
=−++
=ρ−+ρ+
=γ−+γ+
ραα
ραα
υδραρυγροραα
υδραρυγροραα
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ
Μέτρηση διαφοράς πίεσης
σκουίµηντουδρασηίεπ*
hγhγhγPPPhγhγhγP
113322BA
B332211A
−+=−
=−−+
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 2
Σε ένα σωλήνα η παροχή όγκου Q(m3/s)µπορεί να προσδιορισθεί µέσω ενόςακροφυσίου όπως φαίνεται στο σχήµα. Το ακροφύσιο δηµιουργεί µία πτώσηπίεσης στο σωλήνα PA-PB και η παροχή µπορεί να υπολογισθεί από τη σχέσηQ=Κ√PA-PB (Κ=σταθερά). Η µέτρηση της πτώσης πίεσης γίνεται µέσω ενόςµανοµέτρου τύπου U.
Nα προσδιορισθεί η εξίσωση για την PA-PB σαν συνάρτηση των γ1,γ2και h2.
ΛύσηΞεκινώντας από το σηµείο Α καταλήγουµε στο σηµείο Β
*όπως φαίνεται η πτώση πίεσης εξαρτάται µόνο από το ύψος h2 και όχι από το h1. Όσο ψηλά και να τοποθετήσουµε το µανόµετρο (h1=0.5m ή h1=5m) η ένδειξη h2 παραµένει η ίδια
)(hPPP)hh(hhP
122BA
B2112211A
γ−γ=−=+γ+γ−γ−
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ
ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΜΑΝΟΜΕΤΡΟ
θκαττουξησηα
θγ−
=
θγ=−ριααιαΓ
γ−γ+θγ=−
=γ−θγ−γ+
sin1άlύ,
sinPPl
sinlPPέ
hhsinlPPPhsinlhP
22
BA2
22BA
113322BA
B332211A
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ2.5 Υ∆ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ∆ΥΝΑΜΗ ΣΕ ΕΠΙΠΕ∆Η ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ
cR
cR
c
cA
A
AAAR
AhγFθsinAyγF
φεταιάγρ)1(Hρουςάβντρουέκτουνηέσυντεταγµyy
AyydA
χπροςωςνειαςάεπιφ
τηςήροπτηώπρηναιίεydAρωµαήολοκλοΤ
)1(ydAθsinγdAθsinyγhdAγF
=
=
=
=
===
∫
∫
∫∫∫
• Υπολογισµός της δύναµης (µέγεθος,διεύθυνση,σηµείο εφαρµογής)
• Για δεδοµένο h η δύναµη που ασκείται σε dA είναι dF=γhdA
• Η συνολική δύναµη είναι:
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ
Προσδιορισµός του σηµείου εφαρµογής της FR (κέντρο πίεσης)Η ροπή της συνισταµένης δύναµης είναι ίση µε τη ροπή των επιµέρους δυνάµεων.
R cF Ay sin= γ ϑΑφού έχουµε2
A xR
c c
y dAIy
y A y A= =∫
όπου
=xI ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα x.
2x xc cI I Ay= +
όπου
=xI δεύτερη ροπή της επιφάνειας ως προς άξονα που διέρχεταιαπό το κέντρο βάρους και παράλληλο στον άξονα x
Παρόµοια η συντεταγµένη Rx προσδιορίζεται από την εξίσωση
R RA
F x sin xydA= γ ϑ∫και τελικά καταλήγουµε στη σχέση
xycR c
c
Ix x
y A= + όπου =xycI
γινόµενο αδράνειας ως προς ορθογώνιο σύστηµασυντεταγµένων που διέρχεται από το κέντρο βάρους.
Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα των παράλληλων αξόνων
2R R
A
F y ydF sin y dAΑ
= = γ θ∫ ∫Η συντεταγµένη yR προσδιορίζεται απο το αθροισµα ροπών ως προς τον αξονα x.
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3
Η δεξαµενή του σχήµατος περιέχει θαλασσινό νερό (ρ=1025kg/m3) σε ένα βάθος3.0m. Χρειάζεται να αντικατασταθεί το τριγωνικό κοµµάτι στη µία γωνία.Να προσδιορισθεί το µέγεθος και το σηµείο εφαρµογής της δύναµης που ασκεί τονερό στην τριγωνική επιφάνεια.
ΛύσηΟι διάφορες αποστάσεις φαίνονται στο σχήµα (b)yc=hc=2.7mκαι FR=γhcA=9.81*1025*2.7(0.9)2/2=10995NΗ δύναµη αυτή είναι ανεξάρτητη του µήκουςτης δεξαµενής.Η συντεταγµένη y του κέντρου πίεσης βρίσκε-ται από τη σχέση
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ
m0083.0x
m0091.09.072
)9.0(9.0I,xAy
Ix
:ό
m716.27.2
2)9.0*9.0(7.2
018.0y
m018.036
)9.0(9.0I,yAy
Iy
R
42
xyccc
xycR
R
43
xccc
xcR
=
==+=
µοιααρΠ
=+=
==+=
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ2.6 ΠΡΙΣΜΑ ΠΙΕΣΗΣ
A2hγ)bh)(hγ(
21γκοςόF
A2hγApF
R
ανR
===
==
R 1 2
R R 1 1 2 2 R
F F FF y F y F y y
= +
= + ⇒ =…
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ
2.7 Υ∆ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ∆ΥΝΑΜΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ
•Επιλογή όγκου ελέγχου που περιλαµβάνει την επιφάνεια
•Ισορροπία δυνάµεων στον όγκο ελέγχου
•Οριζόντια διεύθυνση F2=FH α=tan-1(FV/ FH) ως προς το οριζόντιο επίπεδο
•Κατακόρυφη διεύθυνση F1+W=FV
•FR=√F2H+F2
V
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4
Ο αποχετευτικός σωλήνας του σχήµατος έχει διάµετρο 1.8 m και είναι µισο-γεµάτος µε νερό.Να υπολογισθεί το µέγεθος και η διεύθυνση της δύναµης πουασκεί το νερό στο τµήµα BC του σωλήνα, µήκους 0.3 m (κάθετα στη διατοµή).
Λύση• Επιλογή όγκου ελέγχου που περιλαµβάνει την επιφάνεια BC
• Προσδιορισµός των δυνάµεων που δρουν στον όγκο ελέγχου F1: η δύναµη πουδρα στην επιφάνεια AC, W: Tο βάρος του νερού στον όγκο ελέγχου
• FH,FV:Οι αντιδράσεις από το τοίχωµα στο νερό
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ• Ισορροπία δυνάµεων
( )
Ν=+=⇒=⇒
=
π⇒=γ⇒=
=⇒
=⇒=γ⇒=
ολ 4.2219FFFN2.1872F
F3.0*49.0*9810FVFW
N9.1191F
F3.0*9.029.0*9810FAhFF
2V
2HV
V
2
VV
H
HHcH1
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 5
Μία σφαιρική σηµαδούρα έχει διάµετρο 1.5m, ζυγίζει 8.5kΝ και είναι αγκυρωµέ-νη στον πυθµένα της θάλασσας µε ένα καλώδιο.Σε κανονικές συνθήκες η σηµα-δούρα επιπλέει στην επιφάνεια του νερού. Για κάποιες συνθήκες η σηµαδούραείναι βυθισµένη όπως φαίνεται στο σχήµα. Να υπολογισθεί η τάση στο καλώδιο.
Λύση• Από ισορροπία δυνάµεων έχουµε T=FB-W
N10*65.910*85.0N10*785.1TkN5.8W
N10*785.16
5.181.9*1025gVVF
344
4ύ.ύ.B
=−=
=
=π
==ρ=γ= νεροθαλνεροθαλ
Από την (1) έχουµε
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ
2.8 ΑΝΩΣΗ-ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ
µατοςσγκος
γ=
−−γ−−γ=
−γ=−
επιφνηςµγραµροςβ
−−=
ώό:VVF
VA)hh(A)hh(F
A)hh(FF
.έ/ά:WWFFF
B
1212B
1212
12B
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ2.9 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΣΕ ΡΕΥΣΤΟ
ΜΕ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ-ΣΩΜΑΤΟΣ,
zp,
yp,
xp
zyx ρα+γ=∂∂
−ρα=∂∂
−ρα=∂∂
−
0dzdpg
))g(dzdp,έ..0,0(
gdydz
0dpίήή*
dz)g(dydp
dzzpdy
ypdp*
)g(zp*
yp*
0xp0*
ίή)
z
zzy
z
y
zy
z
y
x
=⇒−=αιαΓ
α+ρ−=ρασανσχπ≠α=αιαΓ
α+
α−=⇒
⇒=εσηςπςσταθεργραµµιαΓ
α+ρ−ρα−=
⇒∂∂
+∂∂
=
α+ρ−=∂∂
ρα−=∂∂
=∂∂
−⇒=α
νησηΚραµµικΓα
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ
zάάίίέάίίή
άz2
rp
dzrdrdp
ί
)άέ(άgrz
gr
drdz
0dpdzdrrdp
dzzpdr
rpdp
zp
0p
rrp
ώύή)
22
2
22
2
2
2
στουδροστατικλλεταιµεταβεσηπηναακτνηδεδοµγιααλλναακττηνµεεσηςπτηςµεταβολ
σταθερ+γ−ρω
=⇒
γ−ρω=
εσηπτηνιαΓ
νειεςεπιφςπαραβολικσταθερ+ω
=
ω=
=ιαΓγ−ωρ=
⇒∂∂
+∂∂
=
γ−=∂∂
=θ∂∂
ωρ=∂∂
µατοςσστερεοεριστροφΠβ
∫∫∫
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 6
Η δεξαµενή του σχήµατος κινείται µε σταθερή γραµµική επιτάχυνση.(α)Να προσδιοριστεί η σχέση µεταξύ της επιτάχυνσης και της πίεσης στον αισθητήρα
για υγρό µε πυκνότητα 650 kg/m3.(β)Ποια είναι η µέγιστη επιτάχυνση για την οποία η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού
αγγίζει τον αισθητήρα;
Λύση(α) •Για σταθερή οριζόντια επιτάχυνση η κλίση της ελεύθερης επιφάνειας
προσδιορίζεται από τη σχέση
)0α(gα
dydz
zy =−=
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ
• Για επιτάχυνση ay η µεταβολή του βάθους z1 δίνεται από τη σχέση
• Η πίεση θα είναι υδροστατική (αz=0) και εποµένως
(β)Από την εξίσωση έχουµε
α=⇒
α−=−
g75.0z
g75.0z y
1y1
y
y
5.4872.3188pg
75.005.0*81.9*650pghphp
α−=⇒
α−=⇒ρ=⇒γ=
g75.0z y1 α
−=−
2max,y
max,y s/m54.6g75.0
5.0=α⇒
α−=
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 7
Η γωνιακή ταχύτητα ω ενός σώµατος ή ενός εµβόλου µπορεί να µετρηθεί µε τηδιάταξη του σχήµατος µετρώντας µε ένα σταθµήµετρο τη διαφορά στάθµης(Η-h0). Να προσδιορισθεί η σχέση µεταξύ ω και (Η-h0).
Λύση• Το ύψος h της ελεύθερης επιφάνειας µπορεί να προσδιορισθεί από τη σχέση
0
22
hg2rωh +=
ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ
• Ο αρχικός όγκος του ρευστού στη δεξαµενή είναι
• Ο τελικός όγκος του ρευστού υπολογίζεται µε βάση τον στοιχειώδη όγκο του σχήµατος
• Από Vαρχ = V τελ (χωρίς υπερχείλιση) έχουµε
HRπV 2αρχ =
02
42R
00
22
τελ hRπg4Rπωdrh
g2rωrπ2V +=
+= ∫
g4RωhHhRπ
g4RπωHRπ
22
002
422 =−⇒+=