ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2


ΑΡΧΗ ΙΣΟ∆ΥΝΑΜΙΑΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

Τα κυκλώµατα πηγών του σχήµατος µε κατάλληλες σχέσεις µεταξύ των παραµέτρων

τους µπορεί να γίνουν « ισοδύναµα» ως προς τις σχέσεις περιγραφής

στους ακροδέκτες συνδέσεως τους Α και Β.

Τα δυο κυκλώµατα είναι ισοδύναµα αν ισχύει :

υ=ZiΖυ=⇔ i

ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ

Η αρχή της επαλληλίας είναι η σπουδαιότερη αρχή που διέπει τη λειτουργία

των γραµµικών ηλεκτρικών κυκλωµάτων. ∆ιατυπώνεται κατά τον ακόλουθο τρόπο.

Θεωρούµε ένα γραµµικό δίκτυο που διεγείρεται σε ένα ή περισσότερα

σηµεία /κλάδους από διάφορες διεγέρσεις f1,f2,…,fN.Ονοµάζουµε y(t) την απόκριση

(τάση ή ένταση ) σε ένα συγκεκριµένο κλάδο του δικτύου. Υποθέτουµε τώρα ότι οι

πηγές δρουν µεµονωµένα και ας είναι yi(t) η απόκριση στο συγκεκριµένο κλάδο

όταν δρα µόνο στο κύκλωµα η διέγερση fi(t) (fj(t)=0 για j i≠ ).

Σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας η απόκριση yολ(t) που αντιστοιχεί σ΄ ένα

γραµµικό συνδυασµό fολ=a1f1(t) + a2f2(t) +…+aNfN(t) των διεγέρσεων είναι ο

αντίστοιχος γραµµικός συνδυασµός των αποκρίσεων δηλαδή :

yολ=a1y1(t) + a2y2(t) +…+ aNyN(t)

Η απόδειξη για την αρχή της επαλληλίας στηρίζεται στη γραµµικότητα του

δικτύου και των στοιχείων του. Άλλωστε η διατύπωση της αρχής της επαλληλίας

είναι όπως φαίνεται ταυτόσηµη µε τη διατύπωση του ορισµού της γραµµικότητας

ενός δικτύου.

Z

A A

+

υ ⇔ i Z

-

B B

~

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

Παράδειγµα

Στο κύκλωµα του σχήµατος δρουν η τάση v(t) και το ρεύµα i(t).

Nα βρεθεί το ρεύµα i2(t) που διέρχεται από την αντίσταση R2.

Λύση

Τα κυκλώµατα που µετασχηµατίζεται το αρχικό κύκλωµα όταν δρα

ξεχωριστά η i(t) ή η v(t) φαίνονται στο παρακάτω σχήµα.

Για το κύκλωµα του σχήµατος (α) η ένταση t)(i2′ στο κλάδο R2 βρίσκεται από

εφαρµογή του ΝΤΚ στο µοναδικό βρόχο.

212 RR

1t)(t)(i

+υ=′

Από την άλλη πλευρά, στο σχήµα (β) η ένταση 2i ′′ (t) στον κλάδο R2 βρίσκεται

από διαίρεση εντάσεως

21

1

R

1

R

1

22

RR

Ri(t)

R

1

i(t)t)(i

21

+=

+=′′

i2(t)

i(t) R1 R2

+

v(t)

-

Εφαρµογή της αρχής της επαλληλίας

~

t)(i2′ t)(i2′′

R1 R2

R1 R2

i(t)

+

v(t)

-

α)∆ρα µόνο η πηγή v(t) β) ∆ρα µόνο η πηγή i(t)

~


Σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας,

21

222RR

i(t)Rv(t)t)(it)(it)(i

++

=′′+′=

ΘΕΩΡΗΜΑ MILLMAN

Υποθέτουµε ότι ένα κύκλωµα

αποτελείται από κλάδους µε άκρα

τα σηµεία Α,Β, χωρίς ενδιάµεσες

διακλαδώσεις ή συνδέσεις.

Η τάση µεταξύ των σηµείων Α, Β

είναι :

321

1

1

Z

1

Z

1

Z

1

3

3

2

2

ABZZ

++

υ−

υ−

=υΖυ

ΘΕΩΡΗΜΑ KENNELLY

Μετασχηµατισµός τριγώνου αντιστάσεων σε αστέρα και µετασχηµατισµός

αστέρα σε τρίγωνο.

c

ccbbabZ

ΖΖΖ+ΖΖ+ΖΖ

= αα αα

ααα Ζ+Ζ+Ζ

ΖΖ=Ζ

cbcb

cb

α

αα ΖΖ+ΖΖ+ΖΖ=Ζ

Zccbb

bc αα

αΖ+Ζ+Ζ

ΖΖ=Ζ

cbcb

bcbb

b

ccbbc Z

ααα

ΖΖ+ΖΖ+ΖΖ=Ζ

αα

αΖ+Ζ+Ζ

ΖΖ=Ζ

cbcb

bccc

υ1 Ζ1

+ -

υ2 Ζ2

Α - + Β

- +

Ζ3 υ3

~

~

~

Ια α Ια α

Ζαb Ζcα ⇔ Ζα

Ιb Zbc κ Zc

b c Ib Zb

Ic b c

Ic


3.1 ΘΕΩΡΗΜΑ TELLEGEN

Είναι ένα γενικό θεώρηµα που ισχύει για κάθε κύκλωµα, αρκεί να ισχύουν γι΄ αυτό οι

νόµοι του Kirchhoff. (συγκεκριµένο).

ΘΕΩΡΗΜΑ : Σε κάθε κύκλωµα µε συγκεκριµένα στοιχεία ισχύει για κάθε χρονική

στιγµή η σχέση 0ib

1

=υ∑=κ

κκ

όπου b το πλήθος των κλάδων του κυκλώµατος.

Από φυσική σκοπιά τα θεώρηµα Tellegen σηµαίνει ότι σ΄ ένα συγκεντρωµένο κύκλωµα

η ισχύς που παρέχεται από τις ανεξάρτητες πήγες απορροφάται από τους υπόλοιπους

κλάδους του κυκλώµατος, δηλαδή δεν ακτινοβολείτε ισχύς.

Βρίσκει πολλές εφαρµογές στη θεµελίωση της θεωρίας των ηλεκτρικών κυκλωµάτων

και στην απλοποίηση των υπολογισµών στην ανάλυση. Ισχύει και στο πεδίο της

συχνότητας.

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΙΣΧΥΟΣ

Τα επόµενα θεωρήµατα µεταφοράς µέγιστης ισχύος προσδιορίζουν τις τιµές των

σύνθετων αντιστάσεων φορτίων για τις οποίες η µεταφερόµενη ισχύς στους ακροδέκτες

ενός ενεργού δικτύου γίνεται µέγιστη.

Θεωρούµε ένα συνδυασµό µιας πηγής σε σειρά µε µια σταθερή σύνθετη αντίσταση

που παρέχει ισχύ σε ένα φορτίο µεταβλητής αντιστάσεως ή µεταβλητής µιγαδικής

σύνθετης αντιστάσεως.

Περίπτωση 1. Φορτίο : Μεταβλητή αντίσταση RL

Το ρεύµα στο κύκλωµα είναι :

gLg

g

jX)R(R

V

++=Ι

ο

Ι=|ο

Ι |=2g

2Lg

g

X)R(R

V

++

Η ισχύς που παρέχεται στην RL είναι :

P=I2RL =

2g

2Lg

L2g

X)R(R

RV

++

Για να βρούµε την τιµή της RL για την οποία η µεταφερόµενη στο φορτίο ισχύς

γίνεται µέγιστη θέτουµε την πρώτη παράγωγο dP/dRL ίση µε µηδέν. Έχουµε :

0]Χ)R[(R

)R(2)(RR]Χ)R[RV

Χ)R(R

RV

dR

d

dR

dP

22g

2Lg

LgL2g

2Lg2

g2g

2Lg

L2g

LL

=

++

+−++=

++=

ggg jXRZo

+= Α

Ι

g

o

V RL

B

~


ή 0R2RR2RRR2R 2LgL

2g

2LLg

2g =−−Χ+++

απ’ όπου 2L

2g

2g RR =Χ+

και τελικά RL = |Z|R g2g

2g

ο

=Χ+

Συνεπώς, αν το φορτίο είναι µεταβλητή καθαρή αντίσταση , η ισχύς που παρέχει το

ενεργό δίκτυο στο φορτίο γίνεται µέγιστη, όταν η αντίσταση του φορτίου πάρει τιµή ίση

προς την απόλυτη τιµή της σύνθετης αντιστάσεως του ενεργού δικτύου.

Αν η αντίδραση της σύνθετης αντιστάσεων ο

Ζ g είναι µηδέν, δηλ. αν Xg =0, τότε η

µεταφερόµενη ισχύς γίνεται µέγιστη, όταν οι αντιστάσεις φορτίου και πηγής γίνουν ίσες,

δηλ. όταν RL=Rg.

Περίπτωση 2. Φορτίο : Σύνθετη αντίσταση ο

Ζ L µε µεταβλητή αντίσταση και µεταβλητή

αντίδραση

Το ρεύµα του κυκλώµατος είναι :

)j(X)R(R

V

LgLg

g

Χ+++=Ι

οο

Ι= 2

Lg2

Lg

g

)X(X)R(R

V||

+++=Ι

ο

Η ισχύς που δίνει η πηγή στην ο

ΖL είναι :

P = I2RL =

2Lg

2Lg

L2g

)X(X)R(R

RV

+++ (1)

Αν η RL στην (1) µένει σταθερή, η P γίνεται µέγιστη, όταν Xg = - XL. Με την προϋπόθεση

αυτή η (1) γίνεται :

P = 2

Lg

L2g

)R(R

RV

+

Έστω τώρα ότι η RL είναι µεταβλητή. Όπως είδαµε στην περίπτωση 1, η µέγιστη ισχύς

παρέχεται στο φορτίο, όταν RL = Rg. Αν RL = Rg και XL = - Xg , τότε

ο

= *gL ZZ

o

.

ggg jXRZo

+= Α

Ι

g

o

V LLL jXRZo

+=

B

~


Συνεπώς, αν το φορτίο αποτελείται από µεταβλητή αντίσταση και µεταβλητή

αντίδραση, η ισχύς που παρέχει το ενεργό δίκτυο στο φορτίο γίνεται µέγιστη, όταν η

σύνθετη αντίσταση ο

Ζ L του φορτίου γίνει ίση µε το συζυγή µιγαδικό της σύνθετης

αντιστάσεως ο

Ζ g του δικτύου.

Περίπτωση 3. Φορτίο : Σύνθετη αντίσταση L

o

Z µε µεταβλητή αντίσταση και σταθερή

αντίδραση

Θα έχουµε τις ίδιες εξισώσεις µε την περίπτωση 2 για το ρεύµα Ι και την ισχύ P,

µόνο που τώρα το ΧL είναι σταθερό. Αν θέσουµε την πρώτη παράγωγο της P ως προς RL

ίση µε µηδέν, βρίσκουµε ότι :

2Lg

2g

2L )(RR Χ+Χ+= και

|jZ|R LgL Χ+=ο

Επειδή τα ο

gZ και XL είναι σταθερές

ποσότητες, θα µπορούσαν να

συνδυαστούν σε µια σύνθετη

αντίσταση. Τότε, η περίπτωση 3

γίνεται ίδια µε την περίπτωση 1 (αφού

µόνο η RL είναι µεταβλητή) και η ισχύς γίνεται µέγιστη, όταν η RL γίνει ίση µε την

απόλυτη τιµή της σύνθετης αντιστάσεως του δικτύου.

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

Η συµµετρία ενός κυκλώµατος διευκολύνει σε µεγάλο βαθµό τη λύση ενός προβλήµατος

αν γίνει η χρήση της µε κατάλληλο τρόπο . ∆ιακρίνουµε τις περιπτώσεις :

1. Το κύκλωµα Κ έχει άξονα συµµετρίας µε τη µορφή του σχήµατος όπου τα

κυκλώµατα Κ/2 είναι παθητικά και οι πηγές απολύτως συµµετρικές ως προς τον άξονα

συµµετρίας του Κ. Είναι προφανές , ότι αν διπλώσουµε το σχήµα περί τον άξονα

συµµετρίας , πρέπει τα παθητικά Κ/2 και οι πηγές να συµπίπτουν . Στην περίπτωση αυτή

δεν υπάρχει ρεύµα στους κλάδους του κυκλώµατος Κ που τέµνουν τον άξονα συµµετρίας.

Έτσι το κύκλωµα µπορεί να χωρισθεί σε δύο ανεξάρτητα κυκλώµατα

«ανοικτοκυκλώνοντας» στα σηµεία που κόβει ο άξονας συµµετρίας το κύκλωµα .

ggg jXRZo

+= Α

Ι jXL

g

o

V

RL

B

~

⇔

υπ + + υπ υπ + + υπ

- - - -

Κ/2

Κ/2

Κ/2

Κ/2


Παρατήρηση 1. Αντί για πηγές τάσης θα µπορούσαµε να έχουµε, φυσικά, πηγές έντασης .

Παρατήρηση 2. Συµµετρικά ρεύµατα και τάσεις ως προς τον άξονα συµµετρίας είναι ίσα.

Παρατήρηση 3. Οι πηγές µπορεί να είναι συνεχούς ή εναλλασόµενης τάσης ή ρεύµατος.

Στη γενική δε περίπτωση µπορεί να είναι µιγαδικοί αριθµοί της µορφής

Αe jφ.

2. Οι πηγές είναι αντίθετου προσήµου αλλά ίσες κατά µέτρο , ώστε το ( + ) της µίας να

είναι συµµετρικό του ( - ) της άλλης ως προς άξονα συµµετρίας , του παθητικού Κ. Εδώ θα

λέµε ότι έχουµε κύκλωµα µε άξονα συµµετρίας αλλά αντισυµµετρικές πηγές. Στην

περίπτωση αυτή , αποδεικνύεται ότι τα σηµεία τοµής του άξονα συµµετρίας µε το κύκλωµα

έχουν το ίδιο δυναµικό . Άρα αυτά µπορούν να ενωθούν σ’ ένα σηµείο και τελικά έχουµε

δύο κυκλώµατα µε ένα κοινό σηµείο , δηλαδή δύο ανεξάρτητα κυκλώµατα .

Εργαζόµαστε σε ένα από τα δύο κυκλώµατα που προέκυψαν. Πρέπει να γνωρίζουµε

εδώ ότι ρεύµατα και τάσεις που έχουν σηµειωθεί ώστε να είναι συµµετρικά ως προς τον

άξονα συµµετρίας στο αρχικό κύκλωµα έχουν αντίθετες τιµές .

⇔

υπ + - υπ + -

- + υπ - + υπ

Κ/2

Κ/2

Κ/2

Κ/2

υπ + -

⇔

- + υπ

Κ/2

Κ/2


3. Είναι πιο γενική της περίπτωσης 1 . Το κύκλωµα έχει δύο άξονες συµµετρίας µε πηγές

συµµετρικές ως προς ένα άξονα π. χ. τον κατακόρυφο .

Εδώ µπορεί να υπάρχουν και κλάδοι που διασταυρώνονται. Για την επίλυση του

κυκλώµατος πρέπει να γνωρίζουµε ότι οι κλάδοι που τέµνουν κάθετα τον ( κατακόρυφο )

άξονα συµµετρίας των πηγών δεν διαρρέονται από ρεύµα , ενώ τα σηµεία τοµής των

κλάδων που διασταυρώνονται µε τον κατακόρυφο άξονα έχουν το ίδιο δυναµικό.

Μπορούµε λοιπόν να θεωρήσουµε το ένα από τα δύο µισά κυκλώµατα µε

ανοικτοκυκλωµένους τους κλάδους που τέµνουν κάθετα τον άξονα συµµετρίας των πηγών

και βραχυκυκλωµένους τους διασταυρούµενους , όπως φαίνεται στο σχήµα

Είναι προφανές ότι τα ρεύµατα και τάσεις που είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα

συµµετρίας των πηγών πρέπει να είναι ίσα. Έτσι , αρκεί να εργασθούµε στο µισό κύκλωµα.

4. Έχουµε πάλι δύο άξονες συµµετρίας αλλά οι πηγές είναι αντισυµµετρικές ως προς ένα

από τους άξονες (π.χ. τον κατακόρυφο), δηλ. έχουν ίσα µέτρο αλλά το ( +) της µίας είναι

συµµετρικό ως προς το ( -) της άλλης .

υπ + + υπ

- -

Κ/2

Κ/2

υπ +

-

Κ/2

υπ + + υπ ⇔

- -

Κ/2

Κ/2


Εδώ κάνουµε τα αντίθετα από ότι στην περίπτωση 3. ∆ηλαδή βρακυκυκλώνουµε τους

κλάδους που τέµνουν κάθετα τον κατακόρυφο άξονα συµµετρίας και ανοίγουµε

(ανοικτοκυκλώνουµε) τους διασταυρούµενους στα σηµεία τοµής µε τον κατακόρυφο άξονα

συµµετρίας.

Αρκεί να εξετάσουµε ένα από τα µισά που προκύπτουν γιατί προφανώς εδώ ισχύει ότι

ρεύµατα ή τάσεις που έχουν σηµειωθεί συµµετρικά ως προς τον κατακόρυφο άξονα έχουν

αντίθετες τιµές .

ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ THEVENIN ΚΑΙ NORTON

Τα θεωρήµατα αυτά απλοποιούν σηµαντικά την ανάλυση πολλών γραµµικών

κυκλωµάτων. Είναι δυαδικά µεταξύ τους και θα µπορούσαν να ονοµασθούν από κοινού ως

θεώρηµα της ισοδύναµης πηγής.

Σύµφωνα µε το θεώρηµα Thevenin κάθε γραµµικό κύκλωµα µε εξωτερικούς

ακροδέκτες Α και Β που περιέχει πηγές τάσης, πηγές έντασης και στοιχεία R, L, C

µπορεί να αντικατασταθεί από µια πηγή τάσης υTh σε σειρά µε µια (σύνθετη) αντίσταση

ΖTh µεταξύ των ακροδεκτών Α, Β.

Σύµφωνα µε το θεώρηµα Norton κάθε γραµµικό κύκλωµα µε εξωτερικούς

αποδέκτες Α και Β που περιέχει πηγές τάσης, πηγές έντασης και στοιχεία R, L, C

µπορεί να αντικατασταθεί από µια πηγή έντασης ρεύµατος iN συνδεδεµένη παράλληλα µε

µια σύνθετη αντίσταση ΖΝ µεταξύ των ακροδεκτών Α και Β.

Αναλυτική παρουσίαση των θεωρηµάτων Thevenin και Norton µε παραδείγµατα

και µεθοδολογία υπολογισµού των υTh, ZTh, iN, ZN γίνεται στο βιβλίο ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ

Ι, ΚΕΦ. 2, Ν. Βουδούκη Εκδόσεις ΑΡΝΟΣ .

Επιπλέον στο παράρτηµα Ε του ίδιου βιβλίου παρατίθεται η µεθοδολογία επίλυσης µε

παραδείγµατα, στην περίπτωση ύπαρξης εξαρτηµένων πηγών, γιατί στο ΚΕΦ 2 αναφέρεται

η περίπτωση εφαρµογής των θεωρηµάτων όταν υπάρχουν µόνο ανεξάρτητες πηγές στο

κύκλωµα.

Εφαρµόζοντας στο ίδιο κύκλωµα (ή δίκτυο) τα θεωρήµατα Thevenin και Norton

παίρνουµε τα ίδια αποτελέσµατα. Εποµένως τα κυκλώµατα Thevenin και Norton είναι

ισοδύναµα µεταξύ τους.

υπ +

-

Κ/2

Z΄=Z Th

A Α

+

υΤh iN Ζ΄=ΖΝ

-

Β Β


Η σύνθετη αντίσταση Ζ′ αριστερά των Α, Β είναι η ίδια και για τα δύο κυκλώµατα του σχήµατος. Αν βραχυκυκλώσουµε το κάθε κύκλωµα τότε το ρεύµα στο

βραχυκυκλωµένο κύκλωµα Thevenin είναι Z/ Th ′υ , ενώ το ρεύµα στο βραχυκυκλωµένο

κύκλωµα Norton είναι Ni . Επειδή τα δύο ρεύµατα είναι ίσα, προκύπτει η σχέση

Z/ i ThN ′υ= µεταξύ του ρεύµατος στο κύκλωµα Norton και της τάσης στο κύκλωµα

Thevenin. Iσχύει ΖTh= ZN =Ζ′ .

H ίδια σχέση θα προκύψει, αν θεωρήσουµε την τάση ανοικτού κυκλώµατος για το

καθένα. Για το κύκλωµα Thevenin είναι Thυ και για το κύκλωµα Norton είναι ZiTh ′ . Άρα Z iNh ′=υΤ .

Τα κυκλώµατα Thevenin και Norton είναι ισοδύναµα για µια µόνο συχνότητα.

Οι µιγαδικές σύνθετες αντιστάσεις του ενεργού δικτύου µετατρέπονται στην ισοδύναµη

σύνθετη αντίσταση ο

Ζ′ . Η ισοδύναµη τάση hVΤο

και το ισοδύναµο ρεύµα ο

Ι N υπολογίζεται

µε την χρήση των µιγαδικών σύνθετων αντιστάσεων του ενεργού δικτύου. Επειδή γενικά

σε κάθε σύνθετη αντίδραση στο ενεργό δίκτυο είναι συνάρτηση της συχνότητας, έπεται ότι

το κύκλωµα Thevenin και Norton είναι ισοδύναµα (προς το αρχικό κύκλωµα και µεταξύ

τους) µόνο στη συχνότητα που υπολογίστηκαν.

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ THEVENIN ΚΑΙ NORTON ΜΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΕΣ ΠΗΓΕΣ

∆εν µηδενίζουµε τις εξαρτηµένες πηγές. ∆εν µπορούµε να εφαρµόσουµε τη µέθοδο του

µεσχηµατισµού πηγών.

1. Θεώρηµα Thevenin – Παράδειγµα

Ζητείται το ισοδύναµο Thevenin του

διπλανού κυκλώµατος.

Βήµα 1 : Υπολογισµός υTh.

Εφαρµόζουµε κανόνα Krchhoff

τάσεων (ΚΚΤ ή KVL) στο δεξιό µέρος

του κυκλώµατος

1ΑΒTh µυυυανοικτάΒΑ,

−== (1)

Όµως είναι υ1= iR1 (2)

O κανόνας Kirchhoff για τάσεις στο βρόχο

εισόδου δίνει :

υS= iRS + iR1 ⇒ i=υS/(RS + R1) (3)

Συνεπώς (1) )3()2( ∧

⇒ υTh = -µυSR1/(RS + R1)

~

RA

A

i + - +

RS µυ1

R

+

υ1

RB

+

υS

- - -

B B

~

~


Βήµα 2: Υπολογισµός ΖΤh.

Εφαρµόζουµε µια εικονική πηγή τάσης υ ο µεταξύ των Α,Β υπολογίζουµε το

ρεύµα io που βγαίνει από την πηγή τάσης υο , οπότε ZTh = uo / io ( άρα θα βρούµε το

ρεύµα iο συναρτήσει του υο ώστε να πάρουµε τη ΖTh ανεξάρτητη της υο ).

Μηδενίζουµε λοιπόν τις ανεξάρτητες πηγές , αφήνουµε τις εξαρτηµένες και εφαρµόζουµε

την µέθοδο που αναφέραµε παραπάνω .

Στο βρόχο εισόδου έχουµε τώρα :

iRS + iR1 = 0⇒ i = 0

οπότε υ1 = iR1 = 0

Στο βρόχο εξόδου είναι :

υο+µυ1=IoRA+ioRB⇒

υο=io(RA+RB) ⇒ io=υο/(RA+RB)

Εποµένως ΖTh=υο/io⇒

ZTh = BAhBA

RR)RR/(

+=Ζ⇒+υ

υΤ

ο

ο

Άρα το ισοδύναµο Thevenin έχει ως εξής:

2. Θεώρηµα Norton - Παράδειγµα

Ζητείται το ισοδύναµο Norton

του κυκλώµατος.

Βήµα 1: Υπολογισµός iN.

Βραχυκυκλώνουµε τα σηµεία Α,Β.

Οπότε παραλείπεται η RC. Έχουµε :

Κόµβος Α: iN+βi=0⇒ iN= -βi (1)

Βρόχος αριστερά : υS = iRS + iRB +

ieRE⇒

⇒ i=(υS-IeRE)/(RS + RB) (2)

Κόµβος Κ : i+βi=ie⇒ ie=(1+β)i (3)

Oπότε:

(2) ⇒+β+−υ=⇒ )RR/(]iR)1([i BSES

)3(

]R)1(RR/[i ESBS β+++υ=⇒ (4)

Άρα (1) )R)1(R/[Ri ESBSN

)4(

β+++βυ−=⇒

(5)

RA A

i - io +

+ R1 µυ1 υο

RS υ1 + -

- RB

B

~

ZTh = RA+RB

A

+

υTh= -1S

1S

RR

R

+⋅µυ

-

B

~

RS RB A

i βi

+

US RE RC

-

B

~

RS RB Κ A

i βi

+

US RE

- ie iN

B

~


Βήµα 2: Υπολογισµός ΖΝ

Θέτουµε υS=0. Έχουµε λοιπόν :

Κόµβος Μ : io=iC+βi (6)

Βρόχος δεξιά :

υο=iCRC⇒ IC=υο/RC (7)

Κόµβος Κ :

i+βi=ie⇒ ie=(1+β)i (8)

Βρόχος αριστερά :

i(RS+RB)+IeRE=0)8(

⇒

0i0]R)1(Ri[R EBS

)8(

=⇒=β+++⇒ (9)

Συνεπώς (6) Co

)9(

ii =⇒ (10)

και (7) ⇒υ=⇒υ=⇒ οο oCCo

)10(

i/RR/i

CR=Ζ⇒ Ν (11)

Άρα το ισοδύναµο Norton έχει ως εξής :

Μεθοδολογία επίλυσης κυκλωµάτων µε το θεώρηµα Thevenin

α) Ανεξάρτητες πηγές

(4) Αντίσταση ΖTh : Ανοικτοκυκλώνουµε τους ακροδέκτες . Μηδενίζουµε τις ανεξάρτητες

πηγές και υπολογίζουµε την αντίσταση µεταξύ των ακροδεκτών.

Αυτή είναι η ΖTh

(2) Τάση VTh : Ανοικτοκυκλώνουµε τους ακροδέκτες και υπολογίζουµε την τάση

µεταξύ τους . ∆ηλαδή VTh = VAB µε Α,Β ανοικτοκυκλωµένα .

(Εναλλακτικός τρόπος : διαδοχικοί µετασχηµατισµοί πηγών)

β) Εξαρτηµένες πηγές

(1) Τάση VTh : Ότι και προηγουµένως. ∆ηλαδή VTh = VAB µε Α, Β ανοικτοκυκλωµένα

(2) Αντίσταση Ζ Th : Εφαρµόζουµε µια ( εικονική ) πηγή τάσης Vo µεταξύ των ακροδεκτών

και υπολογίζουµε το ρεύµα ΙΟ που βγαίνει από τον θετικό πόλο,

συναρτήσει του Vo . Τότε θα είναι Ζ Th = Vo / Ι ο. Σε αυτή την µέθοδο

µηδενίζουµε όλες τις ανεξάρτητες πηγές όχι όµως τις εξαρτηµένες .

RS RB βi

Κ Μ Α

i

RC +

RE ie iC υo

-

B

~

A

iN ZN

B


Μεθοδολογία επίλυσης κυκλωµάτων µε το θεώρηµα Norton

α) Ανεξάρτητες πηγές

(1) Αντίσταση Ζ Ν= ΖTh : Κάνουµε ότι και στην περίπτωση α (1) υπολογισµού της Ζ Th .

(2) Ρεύµα ΙΝ : Αφαιρούµε την Ζο και βραχυκυκλώνουµε τους ακροδέκτες Α,Β.

Το ρεύµα βραχυκυκλώσεως δια των ακροδεκτών Α, Β είναι το ΙΝ.

∆ηλαδή ΙΝ= ΙΑΒ

(Εναλλακτικός τρόπος : διαδοχικοί µετασχηµατισµοί πηγών).

β) Εξαρτηµένες πηγές .

(1) Ρεύµα Ι Ν : Ότι και προηγουµένως . ∆ηλαδή ΙΝ= ΙΑΒ µε Α, Β

βραχυκυκλωµένα

(2) Αντίσταση ΖΝ : Μηδενίζουµε τις ανεξάρτητες πηγές. Κρατάµε τις εξαρτηµένες

και τοποθετούµε µια ( εικονική ) πηγή Vo µεταξύ των

ακροδεκτών Α,Β. Υπολογίζουµε το ρεύµα της πηγής Ιο ως

Ιο = f ( Vo) Τελικά ZN = Vo / Io

Σηµείωση : Χρησιµοποιούµε τα σύµβολά V Th , Vo , Io , IN , όταν οι πηγές του

κυκλώµατος είναι συνεχείς . Στην περίπτωση αύτή που οι πηγές είναι

εναλλασσόµενου ρεύµατος ή τάσης χρησιµοποιούµε τα σύµβολα υTh, υo , io

iN. Επίσης όταν η αντίσταση Thevenin είναι ωµική χρησιµοποιούµε το

σύµβολο RTh ή RN αντίστοιχα . Στην περίπτωση όµως που είναι µιγαδική

χρησιµοποιούµε το σύµβολο ZTh για την αντίσταση Thevenin και για ZN για

αντίσταση Norton.

Συγγραφέας : Βουδούκης Νικόλαος

ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

Documents