ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495 www.arnos.gr – e-mail : [email protected]

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ

1

ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ

Εισαγωγή – Ρεύµατα βρόχων

Η µέθοδος ρευµάτων βρόχων για την επίλυση κυκλωµάτων (ή δικτύων)

είναι ουσιαστικά εφαρµογή του νόµου τάσεων του Kirchhoff µε κατάλληλη

εκλογή κλειστών βρόχων ρεύµατος. Επίλυση του κυκλώµατος ονοµάζεται

η εύρεση των ρευµάτων ή των πτώσεων τάσεως στα στοιχεία.

Για να εφαρµόσουµε τη µέθοδο ρευµάτων

βρόχων π.χ. στο κύκλωµα του

διπλανού σχήµατος :

α) εκλέγουµε κλειστούς βρόχους

ρευµάτων που λέγονται ρεύµατα

βρόχων

β) γράφουµε τρεις (3) εξισώσεις, όσες

δηλαδή οι βρόχοι, µε αγνώστους τα

Ι1 ,Ι2 και Ι3

γ) λύνουµε το σύστηµα.

Το ρεύµα κάθε κλάδου προκύπτει αµέσως από ένα από τα ρεύµατα

βρόχων ή από κατάλληλο γραµµικό συνδυασµό τους. Το ρεύµα π.χ. στη ZA

είναι Ι1, ενώ το ρεύµα στη ΖΒ είναι Ι1-Ι2 µε θετική φορά προς τα κάτω.

Έτσι βρίσκουµε το ρεύµα για κάθε κλάδο του κυκλώµατος (δίκτυου).

Η πτώση τάσεως σε κάθε στοιχείο του κυκλώµατος είναι το γινόµενο του

ρεύµατος που διαρρέει το στοιχείο επί τη µιγαδική του σύνθετη αντίσταση.

Εκλογή του ρεύµατος βρόχων

Η λύση ενός προβλήµατος είναι δυνατό να

απλοποιηθεί µε κατάλληλη εκλογή των

βρόχων στο κύκλωµα.

Αν στο κύκλωµα του σχήµατος 1

ζητείται να καθοριστεί µόνο το ρεύµα

του κλάδου που περιέχει την ΖΒ , τότε

είναι βολικό η ΖΒ να ανήκει σε ένα µόνο

βρόχο. Με µια τέτοια εκλογή, όπως του

σχήµατος αρκεί να λύσουµε µόνο ως

προς το ρεύµα Ι1 του πρώτου βρόχου.

Τονίζεται ότι για οποιαδήποτε

εκλογή ρευµάτων βρόχων, κάθε στοιχείο

κυκλώµατος πρέπει να έχει τουλάχιστον ένα ρεύµα και δύο κλάδοι

δεν πρέπει να έχουν το ίδιο ρεύµα ή τον ίδιο συνδυασµό ρευµάτων.

ΖΑ ΖΓ ΖΕ

+ Ι1 Ι2 Ι3 +

ΖΒ Ζ∆

VA VB

- -

~ ~

ΖΑ ΖΓ ΖΕ

+ +

Ι1 ΖΒ Ι2 Ζ∆ Ι3

VA VB

- -

~ ~




2

Σηµείωση : Στη γενική περίπτωση τα ρεύµατα και οι τάσεις είναι µιγαδικοί

αριθµοί, δηλαδή της µορφής Ιο

φΙ=Ι jme και v

oj

meVVφ=

αντίστοιχα. Η µέθοδος ρευµάτων βρόχων όπως και οι µέθοδος

τάσεων κόµβων ισχύουν συνεπώς και για αc µεγέθη (σύµβολα i,υ)

και για dc µεγέθη (σύµβολα V,I).

Πλήθος απαιτούµενων ρευµάτων βρόχων

Το πλήθος των ρευµάτων βρόχων που απαιτούνται για την επίλυση ενός

κυκλώµατος δεν είναι πάντα φανερό. Μια µέθοδος που δίνει τον απαιτούµενο

πλήθος ρευµάτων και συνεπώς τον απαιτούµενο αριθµό εξισώσεων, βασίζεται

στη µέτρηση των κλάδων και κόµβων του κυκλώµατος (ή δικτύου). Είναι :

πλήθος εξισώσεων = πλήθος κλάδων - [(πλήθος κόµβων)-1]

Στο κύκλωµα του σχήµατος 3 υπάρχουν

επτά (7) κλάδοι και τέσσερις (4) κοµβόι.

Το απαιτούµενο πλήθος ρευµάτων βρόχων

είναι 7-(4-1)=4.

Εξισώσεις βρόχων µε απλή εποπτεία του κυκλώµατος

Έστω ένα κύκλωµα τριών βρόχων. Οι εξισώσεις σε κανονική µορφή είναι :

1313212111 V=ΙΖ±ΙΖ±ΙΖ

2323222121 V=ΙΖ±ΙΖ+ΙΖ±

3333232131 V=ΙΖ+ΙΖ±ΙΖ±

Η Ζ11 λέγεται ιδία σύνθετη αντίσταση του βρόχου 1 και ισούται µε το

άθροισµα όλων των σύνθετων αντιστάσεων από τις οποίες περνάει το Ι1.

Αντιστοίχως ορίζονται οι Ζ22 και Ζ33.

Η Ζ12 λέγεται αµοιβαία σύνθετη αντίσταση των βρόχων 1 και 2 και είναι

άθροισµα όλων των σύνθετων αντιστάσεων που ανήκουν και στους δυο βρόχους.

Ισχύει Ζ12=Ζ21.

Οι σύνθετες αντιστάσεις Ζ13 ,Ζ31,Ζ23,Ζ32 είναι τα αθροίσµατα των

σύνθετων αντιστάσεων των κοινών για τα ρεύµατα βρόχων που δείχνουν οι

δείκτες τους. Το θετικό πρόσηµο χρησιµοποιείται όταν τα ρεύµατα βρόχων

περνάνε από την αµοιβαία σύνθετη αντίσταση µε την ίδια φορά και το αρνητικό

πρόσηµο όταν περνάνε µε αντίθετες φορές.




3

Παράδειγµα : ∆ίνεται το κύκλωµα του σχήµατος. Ζητούνται οι εξισώσεις

ρευµάτων βρόχων.

Λύση

Οι αντιστάσεις προσδιορίζονται από

τον ορισµό τους.

Η ο

Ζ 11 είναι π.χ. ο

Ζ 11=2-j2+j5+5=7+j3

Η ο

Ζ 23 είναι η αντίσταση του κλάδου

ΑΒ, που διαρρέεται από τα ρεύµατα ο

Ι 2 και ο

Ι 3 µε αντίθετες φορές. Συνεπώς η αντίσταση 2-j2 του

κλάδου ΑΒ θα εµφανιστεί µε

αρνητικό πρόσηµο στην εξίσωση.

∆ηλαδή ο

Ζ 23=-(2-j2).

Έχουµε λοιπόν :

ο∠=Ι−−+ο

010)5(Ij5)(Ij3)7( 321

oo

)305()j22(Ij3)12(Ij5)( 321

ooο∠−=Ι−−++−

ο

)9010()j217(Ij2)2(I5)( 321

ooο∠−=Ι−+−−−

ο

Σε µορφή πινάκων γράφεται:

∠−

∠−

∠

=

Ι

Ι

Ι

⋅

+

+

ο

ο

ο

ο

ο

ο

)9010(

)305(

010

j2-17j2)-(2-5-

j2)-(2-j312j5-

5-j5-j37

3

2

1

2 -j2 5 ο∠30

+ -

+

10 ο∠0

οΙ 1 j5

οΙ 2 10

Α Β

5 2 -j2

οΙ 3

- + 10

10 ο∠90

~

~

~




4

ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΟΜΒΩΝ

Εισαγωγή – Τάσεις Κόµβων

Η µέθοδος τάσεων κόµβων για την επίλυση κυκλωµάτων (ή δικτύων)

είναι ουσιαστικά εφαρµογή του νόµου ρεύµατος του Kirchhoff.

Σε κάθε κόµβο κυκλώµατος µπορούµε να αντιστοιχίσουµε έναν αριθµό ή

ένα γράµµα, π.χ. στο κύκλωµα του σχήµατος 1, τα 1,2,3 είναι (κύριοι) κόµβοι.

Τάση κόµβου είναι η τάση ενός

δεδοµένου κόµβου ως προς ένα

ιδιαίτερο κόµβο, που εκλέγεται

αυθαίρετα και ονοµάζεται κόµβος

αναφοράς. Οπότε V13 είναι η

τάση

µεταξύ των 1 και 3 και V23 η

τάση

µεταξύ των 2 και 3.

Επειδή η τάση ενός

κόµβου ορίζεται πάντα ως προς τον κόµβο αναφοράς χρησιµοποιούµε τους

συµβολισµούς V1, V2 αντί των V13, V23 αντίστοιχα.

Παράδειγµα :

Στη µέθοδο τάσεων κόµβων βρίσκουµε τις τάσεις των κόµβων ως προς τον

κόµβο αναφοράς. Για το κύκλωµα του σχ. 1 εφαρµόζουµε το νόµο ρευµάτων του

Kirchhoff στους δύο κόµβους 1 και 2 και παίρνουµε δύο εξισώσεις µε αγνώστους

τα V1 και V2. Ας υποθέσουµε ότι όλα τα ρεύµατα των κλάδων που συνδέονται στον

κόµβο 1, εξέρχονται από αυτόν. Επειδή το άθροισµα τους είναι µηδέν έχουµε :

0Z

VV

Z

V

Z

VV 21

B

1

A

A1 =−

++−

Γ (1)

Οι φορές των ρευµάτων εκλέγονται αυθαίρετα.

Επαναλαµβάνοντας την ίδια διαδικασία για τον κόµβο 2 παίρνουµε :

0Z

VV

Z

V

Z

VV 2212 =+

++−

Ε

Β

∆Γ (2)

Οι (1) και (2) µπορούν να γραφούν ως εξής :

AA

21BA

VZ

1V

1V

Z

1

Z

1

Z

1

=

Ζ

−

++ΓΓ

(3α)

B21 V1

VZ

1

Z

1

Z

1V

Z

1

Ζ

−=

+++

−ΕΕ∆ΓΓ

(3β)

ZA 1 ZΓ 2 ZE

+ -

VA VB

ZB Z∆

- +

3

~~




5

Σηµείωση : Στη γενική περίπτωση τα ρεύµατα και οι τάσεις είναι µιγαδικοί

αριθµοί όπως και στην περίπτωση της µεθόδου των ρευµάτων

βρόχων δηλαδή ο

Ι και o

V .

Το σύστηµα των (3) µπορεί να γράφει µε τη χρήση των µιγαδικών

αγωγιµοτήτων αν ληφθεί υπόψη ότι 1/Ζ=Y.

Είναι :

(YA+YB+YΓ)V1-YΓV2=YAVA (4α)

-YΓV1+(YΓ+Y∆+YΕ)V2=-YΕVΒ (4β)

Πλήθος εξισώσεων τάσεων κόµβων

Το απαραίτητο πλήθος εξισώσεων τάσεων κόµβων ισούται µε το πλήθος

των (κύριων) κόµβων πλην ένα, αφού µπορούµε να γράψουµε µια εξίσωση για

κάθε κόµβο εκτός από τον κόµβο αναφοράς.

πλήθος εξισώσεων = πλήθος κόµβων – 1

Επιλογή µεθόδου

Η επιλογή µεθόδου, µεταξύ τάσεων κόµβων και ρευµάτων βρόχων, για την

επίλυση ενός δεδοµένου κυκλώµατος εξαρτάται από τη µορφή του κυκλώµατος,

εκτός αν η µέθοδος καθορίζεται στην εκφώνηση του προβλήµατος.

Ένα κύκλωµα µε µερικούς παράλληλους κλάδους έχει συνήθως περισσότερους

βρόχους από ότι κόµβους και συνεπώς χρειάζεται λιγότερες εξισώσεις κόµβων για την

επίλυση του. Γενικά συµφέρει η χρήση της µεθόδου που οδηγεί σε λιγότερες εξισώσεις.

Εξισώσεις κόµβων µε απλή εποπτεία του κυκλώµατος.

Έστω ένα κύκλωµα µε 4 κόµβους. Απαιτεί 3 εξισώσεις κόµβων για να επιλυθεί.

Οι εξισώσεις αυτές σε κανονική µορφή είναι :

Y11V1+Y12V2+Y13V3=I1

Y21V1+Y22V2+Y23V3=I2 (5)

Y31V1+Y32V2+Y33V3=I3




6

Η Y11 λέγεται ιδία µιγαδική αγωγιµότητα του κόµβου 1 και ισούται µε

το άθροισµα όλων των µιγαδικών αγωγιµοτήτων που συνδέονται στον κόµβο 1.

Αντιστοίχως ορίζονται οι Y22 και Y33. Η Y12 λέγεται αµοιβαία µιγαδική

αγωγιµότητα µεταξύ των κόµβων 1 και 2 και ισούται µε το άθροισµα των µεταξύ

των κόµβων 1 και 2 µιγαδικών αγωγιµοτήτων αλλά µε αρνητικό πρόσηµο, όπως

φαίνεται στην (4α). Όµοια Y23 και Y13 είναι οι αµοιβαίες µιγαδικές αγωγιµότητες

µεταξύ των κόµβων 2,3 και 1,3 αντίστοιχα. Είναι ίσες µε τα αθροίσµατα των

µιγαδικών αγωγιµοτήτων των στοιχείων που συνδέουν τους αντίστοιχους κόµβους,

επίσης µε αρνητικό πρόσηµο.

Είναι Y13=Y31 , Y23=Y32.

To Ι1 είναι το άθροισµα όλων των ρευµάτων πηγών που συνδέονται στον

κόµβο 1. Ρεύµα που εισέρχεται στον κόµβο έχει θετικό πρόσηµο, ενώ ρεύµα που

εξέρχεται από τον κόµβο παίρνει αρνητικό πρόσηµο.

Αντίστοιχα ορίζονται τα Ι2, Ι3.

Το σύστηµα των εξισώσεων (5) µπορεί να γράφει σε µορφή πινάκων.

Ι

Ι

Ι

=

⋅

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

V

V

V

YYY

YYY

YYY

Συγγραφέας : Βουδούκης Νικόλαος

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

Documents