Η μαθηματική εκπαίδευση στο Νηπιαγωγείο. Στρατηγικές προσέγγισηςπροβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης.Κώστας Ζαχάρος, Βασίλης Κόμης, Ζωή Μπακανδρέα, Κωνσταντίνα ΠαπαδημητρίουΤμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία,Πανεπιστήμιο Πατρώνzacharos@upatras.grΘεωρητικές επισημάνσειςΗ πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών μπορεί να αποτελέσειδιδακτικό στόχο για τους μαθητές και μαθήτριες της προσχολικής ηλικίας. Αυτόβέβαια με την προϋπόθεση ότι το διδακτικό ενδιαφέρον θα συγκεντρώνεται κύριαστις νοητικές διεργασίες των παιδιών και όχι στην τυπολογία των γραπτώναπαντήσεων με την χρήση του μαθηματικού συμβολισμού. Ο διδακτικός στόχος τωνπράξεων της πρόσθεσης και αφαίρεσης που ενδιαφέρεται για τις νοητικές λειτουργίεςτων παιδιών χαρακτηρίζεται (Kamii & Clark 1995) ως «πρόσθεση χωρίς μολύβια»,σε αντίθεση με τον προσανατολισμό στην παραγωγή γραπτών απαντήσεων σύμφωναμε την σχολική τυπολογία που, θα ονομαστεί «πρόσθεση με μολύβια».Πρώτα νοητικά σχήματα στην πρόσθεση και αφαίρεσηΗ έρευνα στη μαθηματική εκπαίδευση των μαθητών και μαθητριών της προσχολικήςεκπαίδευσης συσχετίζει την ικανότητα της πρόσθεσης και αφαίρεσης μικρώνποσοτήτων με την κατάκτηση κάποιων βασικών γνωστικών σχημάτων. Τέτοια είναι,για παράδειγμα, το «σχήμα διαδοχής» (successor schema) και το σχήμα «μέρος-μέρος-όλο» (part-part- whole schema) (Resnick 1983).Το σχήμα διαδοχής (Successor Schema)Το γνωστικό αυτό σχήμα σχετίζεται με μια νοητική αριθμητική γραμμή(mental number line) που επιτρέπει στο παιδί να δίνει απαντήσεις σε προβλήματασύγκρισης, όπως, «ποιο είναι μεγαλύτερο το 7 ή το 8;» χωρίς την ανάγκη της2προσφυγής στη συγκεκριμένη ποσότητα. Τα παιδιά στο γνωστικό σχήμα της διαδοχής«βλέπουν» τους αριθμούς από το 1 έως το 10 στη σειρά χωρίς να σκέφτονται τιςποσότητες που οι αριθμοί αυτοί αντιπροσωπεύουν.Η οικοδόμηση του σχήματος διαδοχής συμβάλλει στην επιτυχή εκτέλεση τωνπράξεων της πρόσθεσης και αφαίρεσης. Το αποτέλεσμα, για παράδειγμα, της πράξης6+2 βρίσκεται αφού «μετατοπιστούμε» στην νοητική αριθμητική γραμμή δύο βήματαδεξιά του 6. Όμοια, είναι 9-1=8, επειδή, σύμφωνα με τη νοητική αριθμητική γραμμή,το 8 είναι ένα σημείο αριστερά του 9. Επίσης, οι περισσότερες στρατηγικέςαντιμετώπισης της πρόσθεσης 8+3, βασίζονται στη «λογική» της νοητικήςαριθμητικής γραμμής, σύμφωνα με την οποία το 8 απέχει δύο βήματα από το 10 καιένα επιπλέον από το 11 (Shane 1999).Ένα πρώτο βήμα για την κατάκτηση του σχήματος διαδοχής δίνεται με τη διδακτικήπροσέγγιση της αλλαγής μιας ποσότητας προτείνοντας κάθε φορά «ένα περισσότερο»ή «ένα λιγότερο». Μπορούμε, για παράδειγμα, να προτρέπουμε παιδιά τριών ετών ναβάλουν «ένα ακόμη» βόλο στο κουτί. Η ίδια προσέγγιση μπορεί να ακολουθηθεί καιαπό παιδιά προσχολικής εκπαίδευσης όπου, για παράδειγμα, από τον αριθμό οκτώμπορούν να φτάσουν στον αριθμό δέκα με τη διαδοχική εφαρμογή της στρατηγικήςτου «ένα περισσότερο» (Shane 1999).Το σχήμα «μέρος- μέρος –όλο» (Part-part- whole Schema)Ένα δεύτερο γνωστικό σχήμα είναι αυτό που χαρακτηρίζεται ως σχήμα«μέρος-μέρος-όλο» (part-part- whole schema, Resnick 1983). Εδώ συντελείται ηνοητική αναπαράσταση του αριθμού ως σύνθεσης επιμέρους ποσοτήτων, μεποικίλους τρόπους. Η πρόσθεση και η αφαίρεση συνδέονται ουσιαστικά με τις

σχέσεις που δημιουργούνται μεταξύ ομάδων αριθμών που εμπλέκονται στις πράξειςαυτές. Για παράδειγμα, τα έξι αντικείμενα μπορούν να χωριστούν σε πέντε στο έναχέρι και ένα στο άλλο ή τέσσερα στο ένα και δύο στο άλλο, κλπ. Στην λειτουργίααυτή εντοπίζονται τα εξής σημεία: Πρώτον, σε κάθε περίπτωση η συνολική ποσότητατων αντικειμένων παραμένει ίδια. Δεύτερον, αν είναι γνωστή η ποσότητα πουβρίσκεται στο ένα χέρι, είναι πολύ πιθανό να εντοπιστεί η ποσότητα που βρίσκεταιστο άλλο. Τέλος, υπάρχει ένας καθορισμένος αριθμός πιθανών συνδυασμών τωνποσοτήτων ώστε να παραχθεί η συνολική ποσότητα.Στην οικοδόμηση του παραπάνω σχήματος μπορεί να συνεισφέρει ηδημιουργία συγκεκριμένων ποσοτήτων αντικειμένων με διάφορους συνδυασμούς3(Shane 1999). Μπορεί για παράδειγμα, να προταθεί η κατασκευή μιας ανθοδέσμηςέξι λουλουδιών με δύο διαφορετικά χρώματα με όλους τους δυνατούς τρόπους.Επίσης, μπορεί μια ποσότητα αντικειμένων του ίδιου χρώματος να αναλυθούν σε δύοποσότητες με όλους τους δυνατούς συνδυασμούς. Σκοπός και στις δύο περιπτώσειςείναι να προταθούν όσο το δυνατόν περισσότεροι συνδυασμοί και να γίνει λεκτικήπεριγραφή της διαδικασίας. Με τα παραδείγματα που περιγράφονται ως «μέρος-μέρος-όλο» εισάγουμε ουσιαστικά τα παιδιά σε άτυπες μορφές πρόσθεσης καιαφαίρεσης μέσα σε ένα οικείο γι’ αυτά πλαίσιο συμφραζομένων.Τυπολογίες προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης.Οι πράξεις της πρόσθεσης και αφαίρεσης εμφανίζονται με ποικίλες μορφές,παρουσιάζοντας διαφορετικούς βαθμούς δυσκολίας που εξαρτάται κάθε φορά απότην συγκεκριμένη μορφή του προβλήματος. Στη συνέχεια παρατίθενται μορφέςπροβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης που απαντώνται στην προσχολική ηλικία,σύμφωνα με την τυποποίηση που προτείνει η έρευνα στη μαθηματική εκπαίδευση.Προβλήματα αλλαγής της κατάστασηςΗ απλούστερη μορφή τους είναι αυτή όπου μια ποσότητα μετασχηματίζεταιπροσθέτοντας ή αφαιρώντας σ΄ αυτή μια άλλη ποσότητα. Τα προβλήματα αυτής τηςμορφής αναφέρονται σαν προβλήματα «αλλαγής κατάστασης» (Nunes & Bryant1996) ή σαν προβλήματα «μεταβολής του μέτρου» (Vergnaud 1979 και 1983) μιαςποσότητας. Μια πρώτη, απλουστευμένη, μορφή αλλαγής κατάστασης συναντήσαμεστην περίπτωση του «σχήματος διαδοχής» που αναφέρθηκε προηγούμενα. Η γενικήμορφή αυτών των προβλημάτων παρουσιάζεται διαγραμματικά ως εξής (σχ. 1):Τυπολογία στην «αλλαγή κατάστασης»Σχήμα 1Τυπικό παράδειγμα προβλήματος αυτής της μορφής είναι το επόμενο:4Ένα λεωφορείο ξεκίνησε με α επιβάτες. Στην πρώτη στάση ανεβαίνουν (ήκατεβαίνουν) β επιβάτες. Πόσοι επιβάτες είναι τώρα στο λεωφορείο;Όμως, τα προβλήματα αλλαγής κατάστασης δεν παρουσιάζουν όλα τον ίδιο βαθμόδυσκολίας για τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας. Ας παρακολουθήσουμε το επόμενοπαράδειγμα:Ένα λεωφορείο ξεκίνησε με 5 επιβάτες. Στην πρώτη στάση ανέβηκαν κάποιοιεπιβάτες και τώρα το λεωφορείο έχει 8 επιβάτες. Πόσοι επιβάτες ανέβηκαν στηνπρώτη στάση;Στο πρόβλημα αυτό ένας από τους προσθετέους είναι άγνωστος. Αυτός είναι και ολόγος που τα προβλήματα αυτού του τύπου ονομάζονται προβλήματα του άγνωστουπροσθετέου (missing-addend) (Nunes & Bryant 1996). Ένας τρόπος διδακτικήςαντιμετώπισης των δυσκολιών των προβλημάτων της παραπάνω μορφής είναι ηπροσφυγή σε μορφές χωρικής αναπαράστασης των ποσοτήτων με τη χρήση

συγκεκριμένων αντικειμένων. Το παιδί αφού παραθέσει τα οκτώ αντικείμενα πουαντιστοιχούν στους οκτώ επιβάτες του προηγούμενου παραδείγματος, βάζουν μιαένδειξη στο πέμπτο αντικείμενο και απαριθμούν αυτά που απομένουν.Προβλήματα σύνθεσης δύο ποσοτήτωνΜια άλλη μορφή προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης είναι αυτή πουχαρακτηρίζεται από τη σύνθεση δύο ποσοτήτων. Εδώ δύο ποσότητες συντίθενται γιανα δημιουργήσουν μια καινούργια. Η σύνθεση δύο ποσοτήτων, γενικά, έχει τη μορφήτου σχήματος 2.Τυπολογία στη σύνθεση ποσοτήτωνΣχήμα 2Ένα παράδειγμα σύνθεσης δύο ποσοτήτων είναι το επόμενο:Παίρνουμε α μολύβια κόκκινου χρώματος και β πράσινου, πόσα είναι όλα ταμολύβια;5Τα προβλήματα της σύνθεσης, επίσης, δεν έχουν τον ίδιο βαθμό δυσκολίας. Ας δούμετο επόμενο παράδειγμα:Ο Κ και η Α έβαλαν μολύβια στο κουτί. Ο Κ έβαλε 3 μολύβια και το κουτί έχεισυνολικά 8 μολύβια. Πόσα έβαλε η Α;Το πρόβλημα έχει την ίδια δομή με τα προβλήματα που είδαμε προηγούμενα, τουάγνωστου προσθετέου (missing-addend) και η προτεινόμενη διδακτική αντιμετώπισήτους είναι ανάλογη με αυτά.Μια ειδική περίπτωση των προβλημάτων σύνθεσης δύο ποσοτήτων είναι αυτή τωνπροβλημάτων που χαρακτηρίζονται σαν «καταστάσεις μέρος-όλο» (part-wholesituations) (Nunes & Bryant 1996), που είναι η περίπτωση του σχήματος «μέρος-μέρος-όλο» που αναφέρθηκε προηγούμενα και πρόκειται για όλους τους δυνατούςτρόπους σύνθεσης ποσοτήτων ώστε να παραχθεί μια συγκεκριμένη ποσότητα.Καταστάσεις σύγκρισηςΜια επόμενη κατηγορία προβλημάτων περιέχει καταστάσεις σύγκρισης. Όπως καιστις προηγούμενες περιπτώσεις, ο βαθμός δυσκολίας του προβλήματος εξαρτάταιαπό το πώς τίθεται κάθε φορά η ερώτηση.Παράδειγμα εύκολης ερώτησης:Ο Νίκος έχει οκτώ βόλους και ο Κώστας πέντε. Ποιος έχει περισσότερουςβόλους;Παράδειγμα δύσκολης ερώτησης:Ο Νίκος έχει οκτώ βόλους και ο Κώστας πέντε. Πόσους περισσότερους βόλουςέχει ο Νίκος από τον Κώστα;Ένας μεγάλος αριθμός παιδιών προσχολικής και της πρώτης σχολικής ηλικίαςαποτυγχάνει σε προβλήματα σύγκρισης συνόλων όταν οι ερωτήσεις τίθενται όπωςστα προηγούμενα παραδείγματα. Μια ερμηνευτική προσέγγιση που βασίζεται στοέργο του Piaget ισχυρίζεται ότι στις περιπτώσεις της αποτυχίας τα παιδιά δεν είναιικανά για κατάλληλες μια-προς-μια αντιστοιχήσεις μεταξύ δεδομένων συνόλων.Όμως, σύμφωνα με άλλες προσεγγίσεις (πχ. Hudson 1983) η αποτυχία συνήθωςοφείλεται στην ελλιπή κατανόηση των ερωτήσεων αυτής της μορφής. Η εναλλακτικήεδώ προσέγγιση βασίζεται στη λεκτική αναδιατύπωση του προβλήματος πουπαράλληλα με τη χωρική αναπαράσταση των ποσοτήτων συνεισφέρουν στηδιδακτική αντιμετώπιση των προβλημάτων αυτής της μορφής.6Για τη διδακτική αντιμετώπιση των προβλημάτων σύγκρισης προτείνονται (Hudson1983, Nunes & Bryant 1996) οι διαδικασίες της χωρικής αναπαράστασης τωνποσοτήτων, όπως αυτή της ένα-προς-ένα αντιστοίχησης. Ας δούμε αυτή την

προσέγγιση μέσα από το επόμενο πρόβλημα (Hudson 1983):Έχουμε πέντε παιδιά και τρία μπαλόνια. Πόσα περισσότερα είναι τα παιδιά απότα μπαλόνια;Εδώ προτείνεται (Hudson 1983) μια λεκτική αναδιατύπωση του προβλήματος που«οδηγεί» στη χωρική του αναπαράσταση:Πόσα παιδιά θα μείνουν χωρίς μπαλόνια;Το πρόβλημα με τη νέα του διατύπωση εντάσσεται στην κατηγορία προβλημάτωνπου χαρακτηρίζονται ως προβλήματα «πόσα…μένουν χωρίς ένα…» («howmany…won’t get a…?», Hudson 1983) ή «μένω χωρίς» («won’t get», Nunes &Bryant 1996, σ. 131) και μια χωρική του αναπαράσταση είναι αυτή του σχήματος 2.Πόσα παιδιά θα μείνουν χωρίς μπαλόνι;Σχήμα 2Η ερώτηση, γιατί τα παιδιά κάνουν λάθη στα προβλήματα σύγκρισης, έχει ένασημαντικό εκπαιδευτικό ενδιαφέρον. Αποτελέσματα ερευνών δείχνουν (Hudson1983, Nunes & Bryant 1996) ότι οι δυσκολίες των παιδιών να ανταποκριθούν σεπροβλήματα όπου η ερώτηση έχει τη μορφή «πόσα περισσότερα…είναι, απ’ ότι…;»δεν σημαίνει απαραίτητα αδυναμία αντιστοίχησης, αλλά, όπως ήδη σημειώσαμε, μιαελλιπή κατανόηση της ερώτησης. Ο παραπάνω ισχυρισμός βασίζεται στην7παρατηρούμενη επιτυχία των παιδιών στις λεκτικές αναδιατυπώσεις των ερωτήσεωντης μορφής, «πόσα…μένουν χωρίς…;», γεγονός που δείχνει ότι τα παιδιά πράγματιέχουν οικοδομήσει τις αναγκαίες για την αντιστοίχηση γνωστικές ικανότητες.Οι μαθητές και οι μαθήτριες του Νηπιαγωγείου ανεξάρτητα από την ικανότηταανταπόκρισης στα προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης, αναπτύσσουν μιαικανότητα κατανόησης της ισότητας που σχετίζεται με τη μια-προς-μια αντιστοίχηση,γεγονός που τους επιτρέπει να ανταποκρίνονται στα προβλήματα της μορφής «μένωχωρίς». Τα προβλήματα σύγκρισης γίνονται δύσκολα στην αντιμετώπισή τους όταν ηδιαδικασία της πρόσθεσης και της αφαίρεσης από τη μια και της ένα-προς-ένααντιστοίχησης από την άλλη, δεν συνδυαστούν. Αντίθετα, στις περιπτώσειςσυνδυασμού και ενοποίησής τους σε μια διαδικασία παρατηρούνται επιτυχείςαπαντήσεις των μαθητών. Τα ερευνητικά αποτελέσματα της προηγούμενηςπροσέγγισης είναι ενθαρρυντικά, τόσο από θεωρητική, όσο και από παιδαγωγικήσκοπιά. Θεωρητικά στηρίζεται η άποψη για τη θετική συνεισφορά της αντιμετώπισηςτης πρόσθεσης και της αφαίρεσης μέσα από διαδικασίες χωρικής αντιστοίχησης. Ηδιδακτική προοπτική προκύπτει άμεσα από την θεωρητική μας επισήμανση και εκείπρέπει να κατατείνει η διδασκαλία της πρόσθεσης και της αφαίρεσης στηνπροσχολική ηλικία και την πρώτη σχολική ηλικία.Ειδικότερος σκοπός της έρευνας, που στοιχεία της θα παρουσιαστούνεδώ, είναι η παρακολούθηση και καταγραφή των αυθόρμητων στρατηγικών παιδιώνπροσχολικής εκπαίδευσης σε προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης. Τα προβλημάταεντάσσεται στην κατηγορία των προβλημάτων «αλλαγής κατάστασης» (changesituation), όπου τα παιδιά καλούνται να μεταβάλλουν θετικά ή αρνητικά μιαποσότητα προσθέτοντας ή αφαιρώντας απ’ αυτή μια άλλη ποσότητα. Το μαθηματικόπεριεχόμενο των προβλημάτων που θα μας απασχολήσουν έχει τη μορφή Α+Β=Γ καιαπαντάται σε τρεις διαφορετικές εκδοχές:(Ι) Είναι τα προβλήματα που οι δύο προσθετέοι είναι γνωστοί και είναι άγνωστο τοαποτέλεσμα (σχηματικά: Α+Β=Χ)(ΙΙ) Τα προβλήματα με άγνωστο το δεύτερο προσθετέο (Α+Χ=Γ)(ΙΙΙ) Τέλος, έχουμε μια παραλλαγή της δεύτερης περίπτωσης με άγνωστο εδώ τονπρώτο προσθετέο (Χ+Β=Γ).

8Μεθοδολογική προσέγγισηΗ έρευνά μας είναι μια μελέτη περίπτωσης με τα χαρακτηριστικά της συμμετοχικήςπαρατήρησης (Cohen & Manion 1994). Οι ερευνητές εμπλέκονται στιςδραστηριότητες που ερευνούν και παρατηρούν τις στρατηγικές που χρησιμοποιούνταιαπό τα παιδιά ενός Νηπιαγωγείου στην αντιμετώπιση προβλημάτων πρόσθεσης καιαφαίρεσης.Το δείγμα της έρευνας είναι οι δεκατέσσερις μαθητές και μαθήτριες ενός δημόσιουΝηπιαγωγείου επαρχιακής πόλης εκ των οποίων τα οκτώ είναι νήπια και τα υπόλοιπαέξι προνήπια. Η νηπιαγωγός που συγκεκριμένου Νηπιαγωγείου συμμετείχε σεσεμινάριο σχετικό με τους τρόπους διδακτικής προσέγγισης της πρόσθεσης καιαφαίρεσης στην προσχολική εκπαίδευση. Ιδέες που άντλησε από το σεμινάριοπροσπάθησε υλοποιήσει στην τάξη της.Για τη διασφάλιση της τεχνικής αρτιότητας και λειτουργικότητας του έργου, η τελικήτου μορφή διαμορφώθηκε μετά την υλοποίησή τους από δύο νήπια, που δενσυμπεριλήφθηκαν στο δείγμα της έρευνας.Η διαδικασία συλλογής των ερευνητικών δεδομένωνΟι μαθητές και μαθήτριες του δείγματός μας χωρίζονται σε δύο ομάδες, καθεμίααποτελούμενη από νήπια και προνήπια. Οι απαντήσεις των παιδιών καταγράφονταισε βίντεο που μας δίνει τη δυνατότητα για μια ποιοτική προσέγγιση τηςσυμπεριφοράς των παιδιών.Το έργοΤα υλικά:- Ένα κουτί κυλινδρικού σχήματος (εικόνα 1), χωρισμένο σε τρία διαμερίσματαδιαφορετικών χρωμάτων (πορτοκαλί, πράσινο, μπλε). Κάθε διαμέρισμα καλύπτεταιώστε να μην είναι ορατό το περιεχόμενό του.- Σε κάθε διαμέρισμα της κυλινδρικής κατασκευής είναι τοποθετημένα πέντε όμοιααντικείμενα. Τα αντικείμενα αυτά είναι βόλοι, καραμέλες και γόμες-μοτοσικλέτες(γόμες σε σχήμα μοτοσικλέτας). Επιπλέον τα ίδια αντικείμενα σε ικανή, για τιςανάγκες της έρευνας, ποσότητα βρίσκονται σε ένα καλάθι.- Κάρτες με χρώματα αντίστοιχα των διαμερισμάτων της κατασκευής που στη μιαπλευρά τους υπάρχουν απεικονίσεις των αντικειμένων που βρίσκονται στο αντίστοιχο9διαμέρισμα, ενώ στην άλλη υπάρχουν εντολές που σχετίζονται με προβλήματαπρόσθεσης και αφαίρεσης.- Ένα λούτρινο αρκουδάκι, ο Γουίνι, που δίνει εντολές για την πρόσθεση ή αφαίρεσηαντικειμένων.- Αριθμοκάρτες ροζ χρώματος από το 1 έως το 9 που βοηθούν τα παιδιά να θυμούνταιτις ποσότητες που χειρίζονται κάθε φορά.Εικόνα 1: Τα υλικά της δραστηριότηταςΑνάπτυξη της δραστηριότητας:Τα παιδιά χωρίζονται σε δύο ομάδες και σκοπός τους είναι να κερδίσουν όσοτο δυνατόν περισσότερες κάρτες. Το παιχνίδι τελειώνει όταν κάθε ομάδα απαντήσειαπό έξι ερωτήσεις. Η δραστηριότητα αναπτύσσεται ως εξής: Η νηπιαγωγός επιλέγειδιαδοχικά κάρτες διαφορετικού χρώματος. Κάθε κάρτα περιέχει μια εντολή πουκαλείται να εκτελέσει ο Γουίνι. Στην περίπτωση που ο παίκτης δυσκολεύεται ναδώσει απάντηση, η ομάδα του βοηθάει και αν η απάντηση είναι σωστή η ομάδακερδίζει την κάρτα που απεικονίζει το μικροαντικείμενο που βρίσκεται στοαντίστοιχο διαμέρισμα.Οι κάρτες των εντολών περιέχουν προβλήματα αλλαγής κατάστασης. Οι πορτοκαλί

κάρτες περιέχουν προβλήματα με άγνωστο το αποτέλεσμα, οι πράσινες προβλήματαμε άγνωστο το δεύτερο προσθετέο και οι μπλε προβλήματα με άγνωστο τον πρώτο10προσθετέο. Στη συνέχεια παρατίθενται παραδείγματα ερωτήσεων που περιέχουν οικάρτες.Παράδειγμα εντολής πορτοκαλί κάρτας: «Ο Γουίνι να βάλει άλλες δύο καραμέλες στοκουτί. Πόσες είναι τώρα οι καραμέλες που βρίσκονται μέσα στο κουτί;»Το παιδί τοποθετεί τις δύο καραμέλες στο πορτοκαλί διαμέρισμα, το καπάκι τουδιαμερίσματος κλείνει και ζητείται να βρεθεί ο αριθμός των καραμελών πουπεριέχονται τώρα στο πορτοκαλί διαμέρισμα.Παράδειγμα εντολής πράσινης κάρτας: «Ο Γουΐνι να βάλει όσες μηχανές θέλει στοκουτί. Πόσες έβαλε;»Τοποθετούνται στο πράσινο διαμέρισμα, για παράδειγμα τρεις γόμες. Ζητείται απότον παίκτη να μετρήσει ξανά τις γόμες που περιέχει το κουτί και να βρει πόσεςτοποθέτησε ο Γουίνι στο κουτί.Παράδειγμα ετνολής μπλε κάρτας: «Ο Γουίνι να βγάλει 4 βόλους απ’ το κουτί. Πόσοιβόλοι ήταν στην αρχή μέσα στο κουτί;»Σε αυτή την περίπτωση ο παίκτης δεν μετράει τον αρχικό αριθμό των βόλων πουπεριέχονται στο κουτί. Καλείται, μετά την τοποθέτηση των τεσσάρων βόλων, ναμετρήσει το συνολικό αριθμό βόλων και να προσδιορίσει τον αρχικό αριθμό τους.Τα ευρήματα και η αξιολόγησή τους(Ι) Προβλήματα της μορφής Α+Β=Χ (πορτοκαλί χρώμα)Στην περίπτωση προβλημάτων με άγνωστο το αποτέλεσμα του αθροίσματοςπαρατηρήθηκαν οι εξής στρατηγικές:Η κύρια επιτυχής στρατηγική είναι αυτή που αντιστοιχεί στο «σχήμα διαδοχής» πουαναφέρθηκε στο θεωρητικό μας πλαίσιο. Για παράδειγμα:Ε (Ερευνήτρια): Μέτρησε τις καραμέλες στο κουτί.Ν (Νήπιο): Είναι τέσσερις καραμέλες μέσα(Ε): Ο Γουίνι πρέπει να βάλλει τέσσερις καραμέλες στο κουτί. Βάλ’ τες εσύ.Πόσες καραμέλες είναι τώρα μέσα στο κουτί;Ν: Οκτώ.(Ε): Πως το ξέρεις; Μπορείς να μας εξηγήσεις;Ν: Ήταν τέσσερις (δείχνει με τα δάχτυλα), μέσα βάλαμε άλλες τέσσερις(δείχνει άλλα τέσσερα δάχτυλα), όλες μαζί μια, δύο τρεις,..., οκτώ.Τα προνήπια γενικά δυσκολεύονται να ανταποκριθούν στο έργο και ζητείται ηστήριξη της ομάδας τους. Ας παρακολουθήσουμε την επόμενη περίπτωση:11Ε: Ωραία, πορτοκαλί. Άνοιξε το κουτί να δούμε πόσες καραμέλες είναι μέσα.Προνήπιο: (μετράει) Μια, δύο, τρεις, τέσσερεις, πέντε.Ε: Ας δούμε τώρα τι πρέπει να κάνει ο Γουίνι.Η ερευνήτρια διαβάζει:Ε: Πάρε από το καλάθι δύο καραμέλες και βάλ’ τες στο κουτί.Το καπάκι του πορτοκαλί διαμερίσματος μετά την τοποθέτηση των δύο καραμελώνκαλύπτεται.Ε: Πόσες καραμέλες υπάρχουν τώρα μέσα στο κουτί; Υπήρχαν πέντε καραμέλεςκαι έβαλες και άλλες δύο. Πόσες λες να υπάρχουν τώρα μέσα στο κουτί ;Το προνήπιο κοιτάζει επίμονα το κουτί χωρίς να δίνει απάντηση.Ε: Μήπως με τα δάχτυλά σου μπορείς να το βρεις;Μετράει με τα δάχτυλά του χωρίς να ακούγεται.Προνήπιο: Είναι πέντε.

Ε: Πέντε ήταν στην αρχή και έβαλες και άλλες δύο. Για δες λίγο, μια, δύο, τρεις,τέσσερις, πέντε (δείχνει τις ροζ κάρτες) και βάλαμε και άλλες δύο.Το προνήπιο δεν απαντάει και η ερευνήτρια απευθύνεται στην ομάδα:Ε: Να ζητήσουμε βοήθεια απ’ την ομάδα μας; Ποιος μπορεί να μας βοηθήσει; ΗΆλκηστης;Ν: Επτά.Ε: Για πες μας πώς το βρήκες.Ν: Γιατί ήταν πέντε και άμα βάζαμε ένα θα γινόταν έξι και άμα βάζαμε και άλλοένα θα γινόταν επτά.Ε: Πολύ σωστά, μπράβο, κέρδισε αυτή η ομάδα μια κάρτα.Σε παρόμοια με την προηγούμενη κατάσταση ένα προνήπιο της άλλης ομάδαςχρησιμοποιεί τη μέθοδο της δοκιμής και του λάθους και δίνει σωστό αποτέλεσμα.Ε: Και πώς το βρήκες;Ν: Άμα έβαζε (ο Γουίνι) έναν, θα ήταν έξι, άμα έβαζε δύο θα ήταν επτά.Το επίπεδο κατανόησης των αριθμητικών πράξεων σε αυτή την εκπαιδευτικήβαθμίδα, δεν επιτρέπει την ολική αποδέσμευση από την ανάγκη προσφυγής σεσυγκεκριμένα αντικείμενα. Η βοηθητική χρήση των δακτύλων είναι πολύ συχνή(εικόνα 2). Ας παρακολουθήσουμε τη χρήση των δακτύλων σε ένα παράδειγμααφαίρεσης. Ένα υποκείμενο αφού απαριθμήσει επτά καραμέλες καλείται,σύμφωνα με την εντολή, να βγάλει τρεις καραμέλες.Ε: Πόσες καραμέλες έμειναν;12Ν: Τέσσερις.Ε: Πώς το βρήκες;Ν: Ήταν επτά (δείχνει επτά δάχτυλα), βγάλαμε τρία (κλείνει τρία δάχτυλα) καιμείνανε τέσσερα.Ε: Πολύ σωστά.Εικόνα 2: Η χρήση δακτύλων στην αφαίρεση(ΙΙ) Προβλήματα της μορφής Α+Χ=Γ (πράσινο χρώμα)Εδώ, στις επιτυχείς απαντήσεις χρησιμοποιείται συνήθως η αντιστροφή των πράξεων:Η πράξη της αφαίρεσης μετασχηματίζεται σε πράξη πρόσθεσης με τη διαδικασία τηςδοκιμής και του λάθους. Ας παρακολουθήσουμε στο επόμενο παράδειγμα:Ε: Για δες πόσες μηχανές (γόμες) υπάρχουν στο κουτί;Ν: 1,2,3,4,5. Πέντε.Ε: Η εντολή λέει: «Ο Γουίνι να βάλει κρυφά όσες μηχανές θέλει μέσα στο κουτί».Η ερευνήτρια βάζει δύο μηχανές.Ε: Πόσες μηχανές έβαλε;Ν:…Ε: Για μέτρησέ τες να δούμε πόσες είναι όλες.Το νήπιο μετράει επτά αντικείμενα.Ε: Μπορείς να βρεις πόσες έβαλε ο Γουίνι;13Μετά από την αποτυχημένη προσπάθεια του συγκεκριμένου νηπίου, η ερευνήτριακαταφεύγει στη βοήθεια της ομάδας.Ε: Να μας βοηθήσει η ομάδα; Τι λέει ο Κώστας;Ν(Κώστας): Δύο.Ε: Ναι. Πώς το βρήκες;Ν: Άμα έβαζε 1, θα ήταν 6, άμα έβαζε 2 θα ήταν 7.Ε: Πολύ σωστά.Και εδώ η ανάγκη προσφυγής σε συγκεκριμένα αντικείμενα οδηγεί τα παιδιά στη

χρήση των δακτύλων:Ένα νήπιο μετράει επτά μηχανές που βρίσκονται μέσα στο κουτί.Ε: «Ο Γουίνι να βγάλει κρυφά όσες μηχανές θέλει απ’ το κουτί». Πόσες μηχανέςέβγαλε; («Έβγαλε» τρεις μηχανές)Το νήπιο μετράει τις μηχανές που απέμειναν στο κουτί και διαπιστώνει ότι απέμειναντέσσερις.Ε: Πόσες μηχανές λοιπόν έβγαλε ο Γουίνι;Το νήπιο μετράει με τα δάχτυλαΝ: (Μετράει με τα δάχτυλα) τρεις.Ε: Πώς το βρήκες;Το νήπιο δείχνει επτά δάχτυλα, κλείνει τα 3 και δείχνει τα τέσσερα που απομένουν.Ε: Πολύ Σωστά!(ΙΙΙ) Προβλήματα της μορφής Χ+Β=Γ (μπλε χρώμα)Μια επιτυχής στρατηγική που χρησιμοποιείται εδώ είναι αυτή της αντιστροφής τηςπράξης της αφαίρεσης σε πράξη πρόσθεσης. Ας παρακολουθήσουμε τη στρατηγικήαυτή στο επόμενο παράδειγμα:Ε: Βγάλε ένα βόλο απ’ το κουτί. Μέτρησε, πόσοι είναι τώρα μέσα;Ν: Έξι.Ε: Πόσοι ήταν στην αρχή;Παρεμβαίνει ένα άλλο νήπιο.Ν: Στην αρχή ήταν επτά. Είναι έξι (μας δείχνει τους βόλους που είναι ήδη στοκουτί), βάζουμε ένα μέσα (τοποθετεί τον βόλο μέσα) και τώρα είναι επτά.Τα προνήπια κατανοούν τις θετικές και αρνητικές αλλαγές των ποσοτήτων,διαθέτοντας μια αναπτυγμένη ικανότητα πρόβλεψης, που θεωρείται μια σημαντική14γνωστική λειτουργία για την επίλυση προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης (Zur &Gelman 2004):Ε: Βγάλε 3 βόλους απ’ το κουτί. Πόσοι ήταν στην αρχή μέσα στο κουτί;Μέτρησε τους βόλους που είναι μέσα.Προνήπιο: (Μετράει) Είναι τέσσερις. Ένας, δύο, τρεις, τέσσερις.Ε: Πριν ήταν περισσότεροι ή λιγότεροι, αφού έβγαλες τρεις;Ν: Περισσότεροι.Ε: Πόσοι ήταν;Κ: Επτά.Ε: Πώς το βρήκες αυτό;Ν:…Η κατανόηση του γεγονότος ότι οι πράξεις της πρόσθεσης και αφαίρεσης είναι η μιααντίστροφη της άλλης, δεν είναι πάντα κατακτημένες νοητικές λειτουργίες σε αυτήτην εκπαιδευτική βαθμίδα. Αυτό έχει σαν συνέπεια τη λανθασμένη επιλογή πράξεων:Ε: Βγάλε ένα βόλο απ’ το κουτί. Πόσοι είναι τώρα μέσα;Ν: Έξι.Ε: Πόσοι βόλοι ήταν στην αρχή μέσα στο κουτί;Ν: Πέντε.Η χωρική αναπαράσταση των ποσοτήτων αποδεικνύεται μια επιτυχής στρατηγικήαντιμετώπισης προβλημάτων αυτής της μορφής. Εδώ στη χωρική αναπαράστασηδιευκολύνουν οι αριθμοκάρτες. Το παιδί σημειώνοντας τις κάρτες που αντιστοιχούνστα αντικείμενα που μπαίνουν στο κουτί, προσδιορίζει τον αριθμό αυτών πουαπομένουν και που δείχνουν τον αριθμό των αντικειμένων που υπήρχαν αρχικά στοκουτί. Ας παρακολουθήσουμε πως υλοποιείται η παραπάνω στρατηγική στο επόμενοπαράδειγμα:

Το παιδί αφού βάλει για λογαριασμό του Γουίνι δύο βόλους στο κουτί, απαριθμείσυνολικά επτά βόλους.Ε: Πόσοι βόλοι ήταν στην αρχή μέσα στο κουτί;Ν: Ε,… ξέρω γω;Ε: Λοιπόν ήταν κάποιοι, βάλαμε 2 και τώρα είναι 1,2,3,4,5,6,7. Πόσοι ήταν στηναρχή;Ν:…15Ε: Αυτές εδώ οι κάρτες με τους αριθμούς μήπως σε βοηθάνε (δείχνει τις ροζκάρτες); Είναι επτά μέχρι εδώ, αυτοί πες ότι είναι οι βόλοι, και ο Γουίνι έβαλεδύο.Ν: Ξέρω πόσοι ήταν, πέντε;Ε: Για έλα εδώ να μας το δείξεις πως το βρήκες.Ν: Επειδή έβαλε δύο (δείχνει τις κάρτες με τους αριθμούς 6 και 7, σχήμα 1), ήτανένας, δύο, τρεις, τέσσερις. Άμα έβαζε έναν θα ήταν ένας, δύο, τρεις, τέσσερις,πέντε, έξι.Χωρική αναπαράσταση των ποσοτήτωνΣχήμα 1Σε μια παραλλαγή της προηγούμενης χωρικής αναπαράστασης των ποσοτήτων, μετάαπό καθοδήγηση της ερευνήτριας, χρησιμοποιούνται οι ίδιοι οι βόλοι. Το νήπιο βάζειτέσσερις βόλους στο κουτί και μετράει σύνολο οκτώ βόλους.Ε: Πόσοι βόλοι ήταν στην αρχή μέσα στο κουτί;Ν:…Ε: Βγάλε όλους τους βόλους από το κουτί και άπλωσε τους.Ε: Εσύ έβαλες τέσσερις βόλους στο κουτί. Τώρα είναι όλοι αυτοί (δείχνει τουςοκτώ βόλους). Πόσοι ήταν στην αρχή;Ν: Τέσσερις είναι!Ε: Γιατί;Ν: Εδώ ήταν τέσσερις (ξεχωρίζει τέσσερις βόλους, σχήμα 2) και βάλαμε εμείςαυτούς τους τέσσερις και τώρα είναι οκτώ.Μια άλλη μορφή της χωρικής αναπαράστασηςΣχήμα 216Η διδακτική αυτή παρέμβαση της ερευνήτριας συνεισφέρει στην αντιμετώπιση αυτήςτης μορφής του έργο, αφού και άλλα νήπια χρησιμοποιούν επιτυχώς τη στρατηγικήαυτή.Σύνοψη-συζήτησηΣτην παρούσα εργασία επιχειρήθηκε μια σύντομη και σχηματική παρουσίαση τηςέρευνας της μαθηματικής εκπαίδευσης στην προσχολική ηλικία και αναφερθήκαμεειδικότερα σε πορίσματα ερευνητικών εργασιών σχετικά με τις δυσκολίες τωνμαθητών και μαθητριών προσχολικής εκπαίδευσης στην αντιμετώπιση προβλημάτωνπρόσθεσης και αφαίρεσης. Η ικανότητα ανταπόκρισης σε προβλήματα πρόσθεσης καιαφαίρεσης είναι συνυφασμένη με την κατάκτηση κάποιων βασικών γνωστικώνσχημάτων όπως το «σχήμα διαδοχής» (successor schema) και το σχήμα «μέρος-μέρος-όλο» (part-part- whole schema) (Resnick 1983) που επισημάνθηκε στοθεωρητικό μέρος. Η οικειοποίηση των παραπάνω γνωστικών σχημάτωναποδεικνύεται ουσιώδης για την αντιμετώπιση των προβλημάτων πρόσθεσης καιαφαίρεσης που απαντώνται στην προσχολική ηλικία. Τα προβλήματα αυτάσχηματοποιήθηκαν στις τυπολογίες που εμφανίστηκαν στο θεωρητικό μας μέρος,όπου επίσης έγιναν νύξεις για πιθανές διδακτικές παρεμβάσεις. Τέλος, η πιλοτική μας

έρευνα ανέδειξε στρατηγικές που απαντώνται στην επίλυση προβλημάτων πρόσθεσηςκαι αφαίρεσης, που εντοπίζονται και στη σχετική βιβλιογραφία.Οφείλουμε να παραδεχτούμε ότι οι παρατηρούμενες συμπεριφορές αντιμετώπισηςτων προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης που παρουσιάστηκαν εδώ δε μπορεί ναεξαντληθούν στο μικρό δείγμα της έρευνας, ούτε επίσης και προσφέρεται ηδυνατότητα για γενικεύσεις με φιλοδοξία αξιοπιστίας. Μπορούμε εν τούτοις νασκιαγραφήσουμε τα χαρακτηριστικά μιας συστηματικής μελλοντικής έρευνας, καθώςκαι το περίγραμμα πιθανών διδακτικών παρεμβάσεων.Ένα πρώτο σημείο σύγκλισης της σύγχρονης έρευνας στη μαθηματική εκπαίδευσηείναι ο ισχυρισμός ότι τα προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης, στις μορφές που ταπραγματευτήκαμε εδώ, μπορεί να αποτελέσουν αντικείμενο διδασκαλίας στηνπροσχολική Εκπαίδευση. Παράλληλα, όμως, τονίζεται και ο ουσιώδης ρόλος μιαςδεύτερης παραδοχής: Η προσέγγιση των μαθηματικών εννοιών σε ένα πλαίσιοσυμφραζομένων (contextualised), τέτοιο που να είναι πλούσια νοηματοδοτημένο γιατα παιδιά και να σχετίζεται με τις εμπειρίες τους. Η άποψη αυτή απαντάται σε πολλέςσύγχρονες διδακτικές προσεγγίσεις. Αναφέρουμε ενδεικτικά την αυτοαποκαλούμενη17«ρεαλιστική μαθηματική εκπαίδευση» (realistic mathematics education) (Brink 2000,Wubbels, et. al. 1997), όπου το κύριο διδακτικό ενδιαφέρον εστιάζεται στηνδιαδικασία της οικοδόμησης, από τα ίδια τα παιδιά, της επιδιωκόμενης γνώσης. Ηάποψη αυτή αντανακλά μια μετατόπιση του ενδιαφέροντος της μαθηματικήςεκπαίδευσης, από τα μαθηματικά ως ένα σώμα δημιουργημένων από τουςμαθηματικούς γνώσεων που οφείλουμε να τα οικειοποιηθούμε ως έχουν, σταμαθηματικά σαν ένα αντικείμενο που πρέπει να δημιουργηθεί με την ενεργή εμπλοκήτων παιδιών. Η προσέγγιση αυτή δεν ενδιαφέρεται ιδιαίτερα για την εργαλειακήπλευρά της γνώσης και δίνει έμφαση στο πλαίσιο εντός του οποίου διαδραματίζεται ημάθηση. Όμως, κάθε πρόβλημα που παρουσιάζεται σε ένα πλαίσιο αναγνωρίσιμωνσυμφραζομένων δεν αποτελεί πάντα και ένα ρεαλιστικό πρόβλημα. Κριτήριο για ναθεωρηθεί ως τέτοιο είναι να μπορεί να βρίσκεται στις πιθανές εμπειρίες του μαθητήκαι στα προσωπικά του ενδιαφέροντα. Τέτοιες είναι συχνά οι περιπτώσειςπροβλημάτων που προκύπτουν από την ενασχόληση των παιδιών με χειροτεχνικέςεργασίες ή με παιγνίδια αντίστοιχα με αυτό της έρευνάς μας. Η διδασκαλία λοιπόντων μαθηματικών εννοιών στην προσχολική Εκπαίδευσης οφείλει να κατατείνει στηδημιουργία διδακτικών καταστάσεων αυτής της μορφής.ΒιβλιογραφίαBrink, F., J., Van den (2000), Η ρεαλιστική αριθμητική στην εκπαίδευση για τα μικράπαιδιά, στο Ε. Κολέζα (επιμ.), Ρεαλιστικά Μαθηματικά στην ΠρωτοβάθμιαΕκπαίδευση, Leader Books, Αθήνα, σ. 83-100.Cohen, L. & Manion, L. (1994), Μεθοδολογία εκπαιδευτικής έρευνας, Μεταίχμιο,Αθήνα.Hudson, T. (1983), Correspondences and numerical differences between sets, ChildDevelopment, 54, 84-90Hughes, M. (1996), Τα παιδιά και η έννοια των αριθμών. Δυσκολίες στην εκμάθησητων μαθηματικών, στο Σ. Βοσνιάδου (επιμ.), Gutenberg, Αθήνα.Kamii, C. (1982), Number in Preschool & Kindergarten, National Association for theEducation of Young Children, Washington, D.C.Kamii, C., & Clark, G. (1995), Τα Παιδιά Ξαναεφευρίσκουν την Αριθμητική, Πατάκης,Αθήνα.18Kamii, C., & Devries, R. (1980), Group Games in Early Education. Implications of

Piaget's Theory, National Association for the Education of Young Children,Washington, D.C.Νunes, T. & Bryant, P. (1996), Children Doing Mathematics, Blackwell Publishers.Piaget, J. (1965), The child’s conception of number, Routledge and Kegan Paul,London.Piaget, J. (1965), The child's conception of Number, Routledge and Kegan Paul,London.Shane, R. (1999), Making Connections: A “Number Curriculum” for Preschoolers,Applied Image.Van den Brink, F. J. (2000), Η ρεαλιστική αριθμητική στην εκπαίδευση για τα μικράπαιδιά, στο Ε. Κολέζα (επιμ.), Leader Books, Αθήνα..Vergnaud, G. (1979), Didactics and acquisition of "multiplicative structures" insecondary schools, In Archenhold W., et. al (Eds.), Cognitive Development Researchin Science and Mathematics, pp. 190- 201.Vergnaud, G. (1983), Multiplicative Structures. In Richard Lesh & Marsha Landau(eds.), Acquisition of Mathematics concepts and processes, Academic Press, Inc. pp.127-174.Wubbels, T., Korthagen, F., and Broeman, H. (1997), Preparing Teachers for RealisticMathematics Education, Educational Studies in Mathematics, 32, pp. 1-28.Zur, O. & Gelman, R. (2004), Young children can add and subtract by predicting andchecking, Early Childhood Research Quarterly, 19, 121-137.Κόμης, Β. (2005), Εισαγωγή στη Διδακτική της Πληροφορικής, Κλειδάριθμος, Αθήνα.Ζαχάρος, Κ. (2005) Η Διδασκαλία των Μαθηματικών Εννοιών στο Νηπιαγωγείο,Εκδόσεις του Πανεπιστημίου Πατρών, Πανεπιστημιακές σημειώσεις.__