УНИВЕРЗИТЕТ „ГОЦЕ ДЕЛЧЕВ“ - ШТИП

МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ – ШТИП

ПРОИЗВОДНО МАШИНСТВО

СЕМИНАРСКА РАБОТА ПО ПРЕДМЕТОТ МАТЕМАТИКА I

РАМНИНА. РАВЕНКА НА РАМНИНА

Ментор: Изработил:

Проф. Д-р. Јордан Живановиќ Виолета Крчева

Број на индекс 19275

Штип, декември 2012

Содржина:

1. Вовед.....................................................................................................................52. Рамнина................................................................................................................63. Општа равенка на рамнина.................................................................................74. Равенка на рамнина низ три неколинеарни точки.............................................95. Параметарски равенки на рамнина..................................................................106. Сегментен облик равенка на рамнина.............................................................127. Непотполни равенки на рамнина......................................................................138. Векторска равенка на рамнина.........................................................................159. Нормирана равенка на рамнина.......................................................................1610. Заклучок.............................................................................................................1711. Користена литература......................................................................................18

.

2

Апстракт

Во семинарската е даден краток опис на рамнина (од аспект на геометријата), како и начини за определување на равенка на рамнина. На почетокот е дефиниран поимот рамнина, а потоа детално се изведени и објаснети неколкуте типа равенки со кои се определува рамнина, т.н. равенки на рамнина.

Клучни зборови: рамнина, равенка, детерминанта.

3

Abstract

In this paper is given a brief description of plane (geometry) and ways to determinate plane`s equation, too. At the beginning is defined the concept plane and after that are explained the several types of plane`s equation by details.

Key words: plane, equation, determinant.

4

1. Вовед

Во математиката под рамнина се подразбира рамен, дводимензионален простор.

Слика 1. Рамнина

Figure 1. Plane

5

2. Рамнина

Рамнина претставува рамна површина која во секој правец се шири до бесконечност. Да е рамна значи низ секоја нејзина точка да можат да се повлечат бесконечно многу различни прави, која во потполност ги содржи.

Две рамнини во просторот можат да се:

паралелни, сечат, разминуваат и совпаѓаат.

Две рамнини се сечат во Три паралелни рамнини

6

тродименионален простор Three parallel planes.

Two intersecting planes in

three-dimensional space

Слика 2. Положба на рамнини

Figure 2. Plane`s position

7

3. Општа равенка на рамнина

Оxyz е декертов правоаголен координатен систем. Рамнината Σ е определена со една нејзина точка и ненулти вектор кој е нормален на неа.

Ако е дадена точка и ненулти вектор, постои рамнина која минува низ дадената точка, а воедно е и нормална на дадениот вектор.

Слика 3.

Figure 3.

M0 (X0, Y0, Z0) Σ

= (A, B, C), A2+B2+C2 0, Σ

M (x,y,z) Σ –произволна точка

Со менување на М во Σ се менува и векторот но, тој секогаш останува

нормален на (бидејќи лежи во рамнината), па според тоа важи:

=0, т.е. ( - ) = 0

( се радиус вектори на M и M0 соодветно )

8

Со овој услов се искажува својството на припадност на точките во рамнината, а тоа значи дека условот е исполнет за сите точки што лежат во рамнината Σ, а за точките што не лежат во рамнината Σ овој услов не важи.

Овој услов можеме да го земеме како равенка на рамнина Σ во векторска

форма. Изразувајќи го векторот =(x-x0, y-y0, z-z0) преку дадените координати

ја добиваме и координатната форма на равенката на рамнината Σ, која гласи:

А(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Ако се ослободиме од заградите и означиме D = −Ax0 − By0 −Cz0 добиваме:

Ax + By + Cz + D = 0 ,

Пример. Составете равенка на рамнина, која минува низ точката M0 (1,1,1) и е

нормална на векторот =(2,2,3).

Решение:2(x −1) + 2( y −1) + 3(z −1) = 0

2x + 2y + 3z − 7 = 0.

9

4. Равенка на рамнина низ три неколинеарни точки

Секоја рамнина Σ во просторот е зададена со три неколинеарни точки: A(x1, y1, z1), C(x2, y2, z2 ) и B(x3, y3, z3). (Слика 4).

Слика 4. Рамина определена со 3 точки Figure 4. Plane determined with 3 dots

Ако точката M (x, y, z) е произволна точка во рамнината Σ, тогаш векторите

, и се компланарни.

(x − x1, y − y1, z − z1)

(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

(x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1)

=0 равенка на рамнината Σ

која минува низ точките A,B и C .

Рамнината Σ , која ги содржи точките , A B и C е нормална на векторот

10

= ( , ). Значи, равенката на рамнината која минува низ точките А, B и C

можеме да ја добиеме ако прво го најдеме векторот , а потоа ќе најдеме равенка

на рамнина која минува низ точката A (x1, y1, z1) и е нормална на .

Пример. Најдете ја равенката на рамнината Σ, определена со точките A(1,1,0), B(2,0,2) и C(0,1,1) .

Со замена во претходната равенка добиваме:

=0 т.е. x + 3y + z − 4 = 0

5. Параметарски равенки на рамнина

Нека е дадена рамнината Σ која ја содржи точката M0 (x0, y0, z0 ) и е пара-

лелна со векторите: = (p1, p2, p3) и = (q1,q2,q3).

Слика 5. Рамнина Σ паралелна со векторите и .

Figure 5. Plane Σ parallel with vectors and

Тогаш, рамнината Σ е нормална на векторот = ( , ), па затоа нејзината

равенка е дадена со ( , )= 0, т.е. ( , , ) = 0, каде M(x, y, z) е произволна

точка од рамнината. Од = (x − x0, y − y0, z − z0) со замена се добива дека

11

рамнината која минува низ точката M0 и е паралелна со векторите и и има

равенка:

=0.

Ако рамнината Σ минува низ точката M0 (x0, y0, z0 ) и е паралелна со

векторите = (p1, p2, p3) и = (q1, q2, q3) тогаш за секоја точка M (x, y, z) од Σ

векторите , и се компланарни. Според тоа, постојат α и β така што:

=α + β

т.е.(x − x0, y − y0, z − z0) = α(p1, p2, p3)+ β (q1,q2,q3)

односно

и ова се параметарски равенки на рамнината Σ.

12

Пример. Најдете ја равенката на рамнината Σ која минува низ точката

A(1,1,1) и е паралелна со векторите = (1,2,3) и = (3,2,1). Напишете ги

параметарските равенки на Σ.

Со замена добиваме:

=0

т.е.x − 2 y + z = 0

Со замена за параметарските равенки на Σ имаме:

13

6. Сегментен облик на равенка на рамнина

Нека е дадена равенката на рамнина:

Ax + By + Cz + D = 0

каде A2 + B2 + C2 + D2 ≠ 0. Ако слободниот член го префрлиме на десната страна на равенката добиваме:

Ax + By +Cz = −D

Понатаму, равенката ја делиме со −D ≠ 0 и наоѓаме:

т.е.

Ги воведуваме ознаките а = , b = , c = и со замена добиваме:

Ќе ги определиме пресеците на рамнината со кординатните оски. За пресекот со оската Ox имаме y = z = 0 и ако замениме добиваме x = a , па затоа должината на отсечката која рамнината ја отсекува на оската Ox , сметајќи од координатниот почеток е еднаква на a . Аналогно наоѓаме, дека отсечките кои рамнината ги отсекува на координатните оски Oy и Oz , сметајќи од координатниот почеток, имаат должини b и c , соодветно.

Имајќи го предвид претходно изнесеното, равенката од видот

ја нарекуваме сегментен вид на равенка на рамнина.

Пример:. Составете равенка на рамнина, која на координатните оски отсекува отсечки a = −3, b = 2, c = 4 .

Решение. Со замена наоѓаме:

14

т.е.4x − 6y − 3z +12 = 0.

7. Непотполни равенки на рамнина

Во Декартов правоаголен координатен систем секоја равенка од прв степен

Ax + By + Cz = D

каде A2 + B2 + C2 ≠ 0 определува рамнина. Во овој дел ќе разгледаме некои парцијални случаи на равенка од прв степен, т.е. ќе ги разгледаме случаите кога некои од коефициентите A, B, C, D се еднакви на нула.

Ако D = 0 , тогаш равенката има вид Ax + By + Cz = 0 и определува рамнина која минува низ координатниот почеток.

Броевите x = 0, y = 0, z = 0 ја задоволуваат равенката

Ax + By + Cz = 0

па затоа координатниот почеток припаѓа на рамнината определена со оваа равенка.

Ако C = 0 , тогаш равенката има вид:

Ax + By + D = 0

и определува рамнина паралелна со оската Oz или ја содржи оската Oz.

Нека C = 0, тогаш проекцијата на нормалниот вектор на оската Oz е

еднаква на нула, т.е. = (A,B,C) = (A,B,0). Според тоа па затоа рамнината

определена со равенката Ax + By + D = 0 е паралелна со оската Oz или ја содржи оската Oz .

Ако B = C = 0 , тогаш равенката има вид Ax + D = 0 и определува рамнина паралелна со координатната рамнина Oyz или се совпаѓа со неа.

15

Нека B=C =0, тогаш проекциите на нормалниот вектор на оските Oz и Oy

се еднакви на нула, т.е. = (A,B,C) = (A,0,0). Според тоа, и , па затоа

рамнината определена со Ax + D = 0 е паралелна со оските Oz и Oy или минува низ секоја од нив. Но, тоа, значи, дека рамнината определена со равенката Ax + D= 0 е паралелна со рамнината Oyz или се совпаѓа со неа.

Аналогно може да се докаже дека:

равенката од видот Ax +Cz + D = 0 определува рамнина паралелнасо оската Oy или ја содржи оваа оска, а равенката од видот By + Cz + D = 0определува рамнина паралелна со оската Ox или ја содржи оваа оска, и

равенката од видот By + D = 0 определува рамнина паралелна сорамнината Oxz или се совпаѓа со неа, а равенката од видот Cz + D = 0определува рамнина паралелна со рамнината Oxy или се совпаѓа со неа.

16

8. Векторска равенка на рамнина

Нека рамнината Σ ја содржи точката M0 со радиус вектор и е нормална

на векторот = (A,B,C). A2 +B2 + C2 ≠ 0. Ако е радиус векторот на произволна

точка M од рамнината Σ , тогаш т.е. ( – ) .

( – ) = 0

е равенката на рамнината Σ зададена во векторски вид.

17

9. Нормирана равенка на рамнина

Претпоставувајќи дека во векторската равенка ( - )=0 на рамнината Σ е

единичен вектор. Во тој случај:

= ( , , ) каде што , и се аглите меѓу и оските Ox, Oy и Oz.

Тогаш:

- = 0 т.е.

, =

За оваа равенка се вели дека е нормирана равенка на рамнината Σ.

Геометриско толкување на скаларот p

Ако Σ минува низ 0, тогаш = = 0, па да претопоставиме дека 0

(т.е. Σ не минува низ координатиот почеток). Нека = ( , )

18

= = = -растојание од

координатниот почеток до рамнината Σ. Значи , при што p = - , ако и

имаат спротивни насоки.

Имајќи предвид дека на нормалата од една рамнина постојат два меѓусебно

спротивни ортови = ( , , ) и = (( , , ))

добиваме дека постојат две форми на нормирана равенка на рамнина, при што множејќи со (-1) се преминува од едната во другата. Така, ако Σ е определена со својата општа равенка Ax + By + Cz + D = 0, тогаш нејзината нормирана равенка е дадена со:

затоа што е вектор на нормалата со должина . Тогаш

е растојанието од координатниот почеток до рамнината.

Последново може да го искористиме за пресметување на растојанието од точка T1 (x1, y1, z1) до рамнината Σ, така што на местата на x, y и z соодветно ќе се заменат со x1, y1 и z1 и ќе се земе апсолутната вредност на добиениот број:

Пример: Да се запише равенката на рамнината 2x + y- 2z – 8 = 0 во нормиран вид и да се најдат растојанијата на координатниот почеток и точка со координати (3,4,-5) до неа.

т.е.

19

О(0,0,0)

T (3,A,-5)

10. Заклучок

За разлика од почетните тврдења за рамнина и нејзиното дефинирање како рамна површина од вода, мазна плоча и сл. понатамошното изучување на геометријата ја дефинира рамнината преку неколку аксиоми, како што се:

Ако две точки од права и припаѓаат на рамнина, тогаш сите точки од правата и припаѓаат на рамнината

Три точки кои не лежат на една права припаѓаат само на една рамнина ...

а воедно и најразлични равенки преку кои може да се одреди рамнината.

20

11. Користена литература

Ристо Малчески, (2007), Предавања по векторска и линеарна алгебра http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD

21