ΛΕΩΝΙ∆ΑΣ ΚΑΣΤΑΝΑΣ

Η μηχανική στη

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Οριζόντια βολή Κυκλική κίνηση

Ορμή Ταλαντώσεις

ΣΕΠΤΕΜΒΡΗΣ 2012

1. Κινήσεις στο επίπεδο Ελεύθερη πτώση: Είναι η κίνηση που κάνει ένα σώμα αν αφεθεί ελεύθερο να κινηθεί κοντά στην επιφάνεια της Γης χωρίς την αντίσταση του αέρα. Επιτάχυνση της βαρύτητας,g: Κάθε σώμα όταν πέφτει ελεύθερα έχει σταθερή επιτάχυνση g, ανεξάρτητη από τη μάζα του. Η τιμή του g αυξάνεται όσο μειώνεται το υψόμετρο, και εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος. Κοντά στην επιφάνεια της Γης έχει στον ισημερινό τιμή gισ=9,78m/s2 ενώ στους πόλους gπ=9,83m/s2. Σε γεωγραφικό πλάτος 450 είναι g=9,81m/s2. Εξισώσεις ελεύθερης πτώσης: Είναι κίνηση ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με την επιτάχυνση

της βαρύτητας,g. Άρα: υ=gt και y = 12gt2

Κατακόρυφη βολή προς τα κάτω: Είναι η κίνηση που κάνει ένα σώμα που ρίχνεται με αρχική ταχύτητα υ0 κατακόρυφα με φορά προς τα κάτω, κοντά στην επιφάνεια της Γης, χωρίς την αντίσταση του αέρα. Είναι κίνηση ομαλά επιταχυνόμενη με g.

Οι εξισώσεις της κατακόρυφης βολής προς τα κάτω: υ=υ0 + gt και y=υ0t + 12gt2

Κατακόρυφη βολή προς τα πάνω: Είναι η κίνηση που κάνει ένα σώμα που ρίχνεται με αρχική ταχύτητα υ0 κατακόρυφα με φορά προς τα πάνω, κοντά στην επιφάνεια της Γης, χωρίς την αντίσταση του αέρα. Είναι κίνηση ομαλά επιβραδυνόμενη με |α|= g.

Οι εξισώσεις της κατακόρυφης βολής προς τα πάνω: υ=υ0 − gt και y=υ0t − 12

gt2

Ο χρόνος ανόδου στο μέγιστο ύψος: tαν= υ0

g Μέγιστο ύψος: ymax=

υ02

2g

Χρόνος επιστροφής στο σημείο βολής: tολ= 2υ0

g Ταχύτητα επιστροφής στο σημείο βολής: υ=−υ0

Οριζόντια βολή: Είναι η κίνηση που κάνει ένα σώμα το οποίο βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα υ0 από σημείο κοντά στην επιφάνεια της Γης και χωρίς την αντίσταση του αέρα. Η τροχιά του είναι παραβολική. Το σώμα μετέχει ταυτόχρονα δύο κινήσεων. Στον άξονα Οx: Ευθύγραμμη ομαλή με: αx=0, υx=υ0, x=υ0· t Στον άξονα Οy: Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με g με:

αy=g, υy=g·t, y = 12gt2

2 /h gΟ χρόνος για να φτάσει στο έδαφος από ύψος h: t=

2hgΒεληνεκές: η μέγιστη οριζόντια απόσταση: s=υ0·

Ταχύτητα σε σημείο της τροχιάς: υ= υx

2+υy2, εφθ=υy/υx

Εξίσωση τροχιάς: y = gx2

2υ02 (παραβολή)

2

Ομαλή κυκλική κίνηση: Είναι η κίνηση σε κυκλική τροχιά της οποίας το μέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό. Περίοδος, Τ: Είναι το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να κάνει το κινητό μια πλήρη περιφορά. Συχνότητα, f: Είναι το πηλίκο του αριθμού, Ν, των περιφορών που κάνει Το κινητό σε χρονικό διάστημα Δt προς το χρονικό διάστημα Δt.

f=Ν/Δt Σχέση συχνότητας και περιόδου: f = 1

Τ

Μονάδα μέτρησης συχνότητας στο SI είναι το 1Ηz=1κύκλος/s (Ηz=Χερτζ). Σχέση επίκεντρης γωνίας Δθ και μήκους τόξου, Δs: Δs=R·Δθ Όπου R η ακτίνα του κύκλου. Αν Δs=R τότε Δθ=1rad. Γραμμική ταχύτητα: Είναι η ταχύτητα που είναι εφαπτομένη στην τροχιά και ορίζεται σαν το πηλίκο του μήκους του τόξου που διαγράφει σε χρόνο Δt προς το χρόνο αυτό:

υ = ΔsΔt

= 2πRT

= 2πf·R

Γωνιακή ταχύτητα: Είναι διανυσματικό μέγεθος με σημείο εφαρμογής το κέντρο της τροχιάς, κατεύθυνση που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού και μέτρο που ισούται με το πηλίκο της γωνίας του τόξου, Δθ, που διαγράφει σε χρόνο Δt προς το χρόνο αυτό.

ω = ΔθΔt

= 2πT

= 2πf

Μονάδα γωνιακής ταχύτητας το 1rad/s. Σχέση γωνιακής και γραμμικής ταχύτητας: υ=ω·R Κεντρομόλος επιτάχυνση ακ: Οφείλεται στην αδιάκοπη μεταβολή της διεύθυνσης της γραμμικής ταχύτητας και όχι στη μεταβολή του μέτρου, που είναι μηδέν στην ομαλή κυκλική κίνηση. Έχει κατεύθυνση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και μέτρο, ακ:

ακ= υ2

R

Κεντρομόλος δύναμη: Είναι η δύναμη που αναγκάζει το σώμα να κάνει κυκλική κίνηση. Ισούται με τη συνισταμένη όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα και έχουν ακτινική κατεύθυνση. Έχει σημείο εφαρμογής το σώμα, κατεύθυνση προς το κέντρο του κύκλου και μέτρο:

FΚ=m·ακ=m·υ2

R

3

2. Η ορμή και η διατήρηση της ορμής

pΟρμή υλικού σημείου =m·υ: Διανυσματικό μέγεθος που ισούται με , όπου m η μάζα του υλικού σημείου και υ η ταχύτητα. Μονάδα μέτρησης στο SI το 1kgm/s.

p pΟρμή συστήματος υλικών σημείων: Αν έχουμε σύστημα υλικών σημείων με ορμές 1, 2,…. Τότε η συνολική ορμή του συστήματος είναι: →pολ=

→p1 +→p2

Αν δύο υλικά σημεία κινούνται στην ίδια κατεύθυνση τότε pολ=p1+p2. Αν δύο υλικά σημεία κινούνται σε αντίθετη κατεύθυνση τότε pολ=p1−p2. Αν δύο υλικά σημεία κινούνται σε ορθογώνιες κατευθύνσεις τότε pολ= p1

2+p22, εφθ=p2/p1

Εσωτερικές δυνάμεις: Οι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των μελών του συστήματος. Οι εσωτερικές δυνάμεις δρουν ως ζεύγη δράσης − αντίδρασης και συνεπώς έχουν για το σύστημα Εξωτερικές δυνάμεις: Οι δυνάμεις που ασκούνται από το περιβάλλον (όλο ή μέρος του) στα μέλη του θεωρουμένου συστήματος. Απομονωμένο σύστημα: Το σύστημα των σωμάτων στο οποίο η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν ή δεν ασκούνται καθόλου εξωτερικές δυνάμεις, ΣFεξ=0. Ο 2ος νόμος του Νewton για υλικό σημείο : Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα υλικό σημείο ισούται με το ρυθμό μεταβολής της ορμής του. (Διατύπωση με το μέγεθος της ορμής)

Σ→F= m→α = mΔ→υΔt

= m→υ2 − →υ1

Δt = m

→υ2 − m→υ1

Δt =

→p2 − →p1

Δt → Σ→F = Δ

→pΔt

Αν είναι Σ→F=0 τότε →p=σταθερό. Ο 2ος νόμoς του Νewton για σύστημα σωμάτων: Η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σύστημα υλικών σημείων ισούται με το ρυθμό μεταβολής της ορμής του συστήματος.

Σ→Fεξ = Δ→pολ

Δt

Η αρχή διατήρησης της ορμής: Αν κατά τη διάρκεια ενός φαινομένου το σύστημα των υλικών σημείων είναι απομονωμένο, δηλαδή οι εξωτερικές δυνάμεις έχουν συνισταμένη μηδέν, τότε η ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή.

Αν Σ→Fεξ =0 → Δ→pολ

Δt= 0 →Δ →pολ=0→ →p2−

→p1=0→→p1=→p2→

→p=σταθερό

Κάθε μια από τις ορμές των υλικών σημείων του απομονωμένου συστήματος μπορεί να μεταβάλλεται, αλλά η συνολική ορμή του μένει σταθερή κατά μέτρο και κατεύθυνση. Η αρχή διατήρησης ορμής ισχύει ακόμα και σε μη απομονωμένα συστήματα, αρκεί οι εξωτερικές δυνάμεις να είναι πολύ μικρότερες από τις εσωτερικές. Η κρούση δύο σωμάτων: Σε κάθε κρούση ενός απομονωμένου συστήματος σωμάτων η ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή, πριν και μετά την κρούση: →pολ,πριν=

→pολ,μετα .

4

1. Η οριζόντια βολή Ερωτήσεις 1.1 Στην οριζόντια βολή στο ομογενές πεδίο βαρύτητας από ύψος h, η τροχιά του σώματος είναι: α. Οριζόντια και ευθύγραμμη. β. Κατακόρυφη και ευθύγραμμη. γ. Τυχαία καμπύλη. δ. Παραβολική. 1.2 Η οριζόντια βολή στο ομογενές πεδίο βαρύτητας είναι κίνηση που πραγματοποιείται: α. Σε οριζόντιο άξονα. β. Σε κατακόρυφο άξονα. γ. Σε κατακόρυφο επίπεδο. δ. Σε οριζόντιο επίπεδο. 1.3 Η οριζόντια βολή στο ομογενές πεδίο βαρύτητας είναι σύνθετη κίνηση που μπορεί να αναλυθεί σε δύο κινήσεις οι οποίες είναι: α. Ομαλά επιταχυνόμενες σε κάθε άξονα. β. Ομαλή στο άξονα Οx και ελεύθερη πτώση στον άξονα Οy. γ. Ομαλή και στους δύο άξονες. δ. Ομαλή στον άξονα Οx, ομαλά επιταχυνόμενη στον Οy με αρχική ταχύτητα υ0 και επιτάχυνση g. 1.4 Σώμα βάλλεται οριζόντια από ύψος h με αρχική ταχύτητα υ0. Ο χρόνος που χρειάζεται μέχρι να φτάσεις στο έδαφος είναι: α. Ανάλογος του ύψους h. γ. Ανεξάρτητος της τιμής του g. β. Ανάλογος της υ0 δ. Ανεξάρτητος της υ0. 1.5 Σώμα βάλλεται οριζόντια από ύψος h με αρχική ταχύτητα υ0. Το βεληνεκές, s, είναι: α. Ανάλογο της υ0. γ. Ανεξάρτητο της υ0. β. Ανεξάρτητο του ύψους h. δ. Ανεξάρτητο του g. 1.6 Σώμα βάλλεται οριζόντια από ύψος h με αρχική ταχύτητα υ0 και προσγειώνεται μετά από χρόνο t. Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία προσγειώνεται στο έδαφος είναι: α. υ= υ0

2+gt β. υ= υ02+g2t2 γ. υ=υ0, δ. υ=0

1.7 Από σημείο Ο που βρίσκεται σε ύψος h πάνω από το οριζόντιο έδαφος αφήνουμε μια μικρή σφαίρα σ1 και ταυτόχρονα βάλλουμε από το ίδιο σημείο οριζόντια μια άλλη σφαίρα σ2 με αρχική ταχύτητα υ0. Οι σφαίρες πέφτουν στο έδαφος: α. Ταυτόχρονα. β. Πρώτη πέφτει η σ1. γ. Πρώτη πέφτει η σ2. Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 1.8 Από σημείο Ο που βρίσκεται σε ύψος h πάνω από το οριζόντιο έδαφος αφήνουμε μια μικρή σφαίρα σ1 και ταυτόχρονα βάλλουμε οριζόντια μια άλλη σφαίρα σ2 με αρχική ταχύτητα υ0. Με μεγαλύτερη ταχύτητα στο έδαφος φτάνει: α. Η σ1 β. Η σ2 γ. Καμία από τις δύο. Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

5

1.9 «Σε μια οριζόντια βολή με αρχική ταχύτητα υ0, χωρίς αντιστάσεις από τον αέρα, η ταχύτητα, υ με την οποία το σώμα προσγειώνεται είναι αδύνατον να είναι μικρότερη ή ίση με τη υ0.» Να δικαιολογήσετε την αλήθεια ή το ψεύδος της προηγούμενης πρότασης. 1.10 Από το ίδιο ύψος h και στον ίδιο τόπο βάλλονται ταυτόχρονα δύο σώματα σ1 και σ2, οριζόντια με ταχύτητες υ0 και 2υ0 αντίστοιχα. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Φτάνουν ταυτόχρονα στο έδαφος. β. Το σ2 έχει διπλάσιο βεληνεκές από το σ1. 1.11 Δύο σώματα σ1 και σ2 βάλλονται οριζόντια με την ίδια αρχική ταχύτητα υ0 από σημεία που απέχουν από το έδαφος ύψη h και 4h αντιστοίχως. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Το σ2 θέλει διπλάσιο χρόνο από το σ1 για να φτάσει στο έδαφος. β. Το σ2 έχει το ίδιο βεληνεκές με το σ1. γ. Και τα δύο προσγειώνονται με την ίδια οριζόντια συνιστώσα ταχύτητας. 1.12 Σώμα βάλλεται οριζόντια από ύψος h με αρχική ταχύτητα υ0. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση που δίνει την τεταγμένη y σε σχέση με την τετμημένη x,

δηλαδή την εξίσωση της τροχιάς είναι, y= gx2

2υ02.

1.13. Σώμα βάλλεται οριζόντια από σημείο Ο που βρίσκεται σε ύψος h με αρχική ταχύτητα υ0 μέσα στο ομογενές πεδίο βαρύτητας στο οποίο η επιτάχυνση είναι g. Θεωρούμε ότι η κίνηση γίνεται σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων (xΟy). Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας είναι συνεχώς ίση με υ0. β. Η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας είναι ανάλογη του χρόνου πτήσης t. γ. Η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει κατεύθυνση εφαπτομένη της τροχιάς του σώματος. δ. Η ταχύτητα αυξάνεται μόνο κατά το άξονα Οy. 1.14 Σώμα βάλλεται οριζόντια από σημείο Ο που βρίσκεται σε ύψος h με αρχική ταχύτητα υ0 μέσα στο πεδίο βαρύτητας στο οποίο η επιτάχυνση είναι g. Θεωρούμε ότι η κίνηση γίνεται σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων (xΟy). Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Η οριζόντια απομάκρυνση x είναι ανάλογη του χρόνου t. β. Η κατακόρυφη απομάκρυνση y είναι ανάλογη του χρόνου t. γ. Το βεληνεκές είναι ανάλογο της υ0. δ. Η κατεύθυνση της ταχύτητα υ είναι συνεχώς σταθερή. 1.15 Σώμα βάλλεται οριζόντια από ύψος h με αρχική ταχύτητα υ0 και προσγειώνεται μετά από χρόνο t. Το διάνυσμα της ταχύτητας με την οποία προσγειώνεται σχηματίζει γωνία θ με το οριζόντιο έδαφος. Για τη γωνία θ, ισχύει ότι: α. Είναι ορθή σε κάθε οριζόντια βολή. β. Έχει τιμή ανεξάρτητη της αρχικής ταχύτητας υ0.

γ. Δίνεται από τη σχέση: εφθ = g 2h/gυ0

δ. Αν είναι 450 τότε ισχύει ότι, υy=υx=υ0. Να δικαιολογήσετε την αλήθεια ή το ψεύδος των προτάσεων.

6

Ασκήσεις 1.16 Σώμα βάλλεται από ύψος h=20m με οριζόντια αρχική ταχύτητα υ0= 20m/s. Να υπολογιστούν: α. Η χρονική στιγμή που το σώμα φτάνει στο έδαφος. β. Το βεληνεκές. γ. Η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας όταν φτάνει στο έδαφος. δ. Το μέτρο της ταχύτητας όταν φτάνει στο έδαφος. Δίνεται g=10m/s2. α. 2s, β. 40m, γ. 20m/s, 20m/s, δ. 20 2m/s 1.17 Πέτρα βάλλεται από ύψος h με οριζόντια αρχική ταχύτητα υ0 = 10m/s. Να υπολογιστούν τη χρονική στιγμή t=1s: α. Οι συντεταγμένες (x,y). β. Το μέτρο της ταχύτητας. γ. Η κατεύθυνση της ταχύτητας ως προς τον ορίζοντα. Δίνεται g=10m/s2. α. x=10m, y=5m, β. 10 2m/s, γ. θ=450 1.18 Βλήμα βάλλεται από ύψος h με οριζόντια αρχική ταχύτητα υο. Κάποια χρονική στιγμή t1 περνάει από το σημείο Α με συντεταγμένες xΑ=100m και yΑ=125m. Να βρεθούν: α. Η χρονική στιγμή t1. β. Η αρχική ταχύτητα υ0. γ. Η ταχύτητα του σώματος όταν περνάει από το Α. Δίνεται g=10m/s2. α. t=5s, β. 20m/s, γ. υ=10 29m/s, εφθ=2,5 1.19 Μπαλάκι του τένις βάλλεται στο κενό οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ0=30m/s και προσγειώνεται σε οριζόντια απόσταση s=20m από τα πόδια του τενίστα που το εκτόξευσε. Δίνεται g=10m/s2. Να βρεθούν: α. Το ύψος h από το οποίο βλήθηκε. β. Το μέτρο της ταχύτητας που προσγειώνεται. α. 20/9m, β. 30,7m/s 1.20 Μπάλα βάλλεται από ύψος h με οριζόντια αρχική ταχύτητα υο=10 3m/s. και προσγειώνεται με ταχύτητα μέτρου υ=20m/s. Δίνεται g=10m/s2. Να βρεθούν: α. Ο χρόνος πτήσης. β. Το βεληνεκές. γ. Το ύψος h. α. 1s, β. s10 3m, γ. h=5m 1.21 Βέλος βάλλεται από σημείο Ο που θεωρείται αρχή του ορθογωνίου συστήματος αξόνων xΟy, με αρχική ταχύτητα υ0=20m/s. Σε κάποιο σημείο Α της τροχιάς του η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας υx γίνεται ίση με την κατακόρυφη συνιστώσα, υy. Δίνεται g=10m/s2. Να βρεθούν: α. Η χρονική στιγμή που περνάει από το Α. β. Οι συντεταγμένες του σημείου Α. γ. Η ταχύτητα υ στο σημείο Α. α. 2s, β. x=40m, y=20m, γ. 20 2m/s, θ=450

7

1.22 Πέτρα βάλλεται από σημείο Ο οριζόντια με ταχύτητα υ0=5m/s και μετά από χρόνο Δt=2s περνάει από ένα σημείο Ρ της τροχιάς της. α. Πόση είναι η απόσταση ΟΡ;

2β. Ποιο είναι το μέτρο και η διεύθυνση της ταχύτητας στο σημείο Ρ. Δίνεται g=10m/s . α. ΟΡ=10 2m, β.20,6m/s, εφθ=4 1.23 Σώμα βάλλεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ0 από την αρχή Ο ορθογωνίου συστήματος αξόνων xΟy. Μετά χρόνο t=1s η ταχύτητά του υ σχηματίζει γωνία 600 με την κατακόρυφο που διέρχεται από τη θέση, Α, του σώματος εκείνη τη στιγμή. Να υπολογιστούν: α. Η αρχική ταχύτητα υ0. β. Οι συντεταγμένες x,y του σημείου Α. Δίνεται g=10m/s2. 10 3m/s, β. (x,y)=(10 3m, 5m) 1.24 Από την ταράτσα κτιρίου ύψους h βάλλεται οριζόντια μια πέτρα με ταχύτητα υ0. Μετά πόσο χρόνο το μέτρο της ταχύτητας του σώματος θα γίνει ίσο με 2υ0. Δίνεται το g. Δt=υ0 3/g 1.25 Με πόσο αρχική ταχύτητα υ0 πρέπει να φύγει από την οριζόντια εξέδρα ένα σκιέρ ώστε να προσγειωθεί σε απόσταση 24m, αν το ύψος της εξέδρας είναι h=2m. Δίνεται g=10m/s2. υ0=38m/s 1.26 Ένα παιδί που βρίσκεται στην ταράτσα ενός κτιρίου ύψους h=48m εκτοξεύει οριζόντια μια μπάλα με στόχο να ευστοχήσει σε ένα καλάθι που βρίσκεται σε οριζόντια απόσταση 24m από το κτίριο και σε ύψος 3m από το έδαφος. Με ποια ταχύτητα πρέπει να εκτοξεύσει τη μπάλα ώστε να πετύχει το καλάθι; Δίνεται g=10m/s2. υ0=8m/s 1.27 Αεροπλάνο πετάει σε οριζόντιο ύψος h=1445m από το έδαφος με σταθερή ταχύτητα υ0, όταν ο πιλότο αφήνει να πέσει μια βόμβα. Πόσος χρόνος περνάει από τη στιγμή που ο πιλότος αφήνει τη βόμβα μέχρι να φτάσει ο ήχος της έκρηξης στα αυτιά του. Δίνεται g=10m/s2 και ταχύτητα ήχου στον αέρα υη=340m/s. t=21,25s 1.28 Από σημείο Ο που βρίσκεται σε ύψος h=125m από το οριζόντιο έδαφος εκτοξεύονται ταυτόχρονα οριζόντια δύο σώματα με ταχύτητες υ1=6m/s και υ2=10m/s σε αντίθετες κατευθύνσεις. Πόσο θα απέχουν μεταξύ τους όταν θα φτάσουν στο έδαφος; d=80m 1.29 Ελικόπτερο κινείται οριζόντια σε ύψος h=125m με σταθερή ταχύτητα υ0=100m/s. Όχημα κινείται στο έδαφος στην ίδια κατεύθυνση με το ελικόπτερο και με ταχύτητα υ1.Τη χρονική στιγμή t0=0 που το ελικόπτερο βρίσκεται πάνω από το όχημα, αφήνει μια βόμβα. Με πόση ταχύτητα πρέπει να κινείται το όχημα ώστε το βλήμα να πέσει στο έδαφος σε απόσταση s=400m μπροστά του. Δίνεται g=10m/s2. υ1=20m/s

8

1.30 Ελικόπτερο κινείται οριζόντια σε ύψος h με σταθερή ταχύτητα υ0=100m/s. Όχημα κινείται στο έδαφος αντίθετα από το ελικόπτερο και με σταθερή ταχύτητα υ1=20m/s. Δίνεται g=10m/s2. α. Σε ποιο ύψος, h, πρέπει να βρίσκεται το ελικόπτερο, ώστε αν αφήσει τη βόμβα του τη στιγμή που η οριζόντια απόστασή του από το όχημα είναι s=1200m, να είναι δυνατόν να το χτυπήσει. β. Αν το ελικόπτερο συνεχίσει την κίνησή του με την ίδια ταχύτητα που θα βρίσκεται σε σχέση με το όχημα όταν το βλήμα πέφτει πάνω του; α. h=500m, β. από πάνω του 1.31 Δύο σώματα βρίσκονται στο ίδιο ύψος h=10m και απέχουν μεταξύ τους οριζόντια απόσταση d=30m. Τα δύο σώματα εκτοξεύονται ταυτόχρονα με οριζόντιες αρχικές ταχύτητες υ0=10m/s και υ0⁄=20m/s σε αντίθετη κατεύθυνση. Να βρεθούν μετά πόσο χρόνο και σε ποιο ύψος από το έδαφος τα δύο σώματα θα συναντηθούν. Δίνεται g=10m/s2. t=1s, d=5m 1.32 Στόχος, σ, και βλήμα, β, βρίσκονται στο ίδιο ύψος h=100m και απέχουν μεταξύ τους οριζόντια απόσταση d=60m. Ο στόχος αφήνεται ελεύθερος να πέσει ελεύθερα στο κενό, ενώ την ίδια στιγμή το βλήμα εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα και υ0=20m/s. Να βρεθούν: α. Το ύψος d από το έδαφος στο οποίο το βλήμα θα συναντήσει το στόχο. β. Τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο σωμάτων τη στιγμή της συνάντησης. Δίνεται g=10m/s2. α. 55m, β. υσ=30m/s , υβ=10 13 m/s 1.33 Τα σημεία Κ και Λ βρίσκόνται στις άκρες των ταρατσών δύο κτιρίων και απέχουν οριζόντια απόσταση d=90m. Το σημείο Κ βρίσκεται όμως Δy=30m ψηλότερα από το Λ. Τη χρονική στιγμή t0=0 από το Κ εκτοξεύεται οριζόντια ένα μήλο με αρχική ταχύτητα υ0=10m/s. Μετά από χρόνο, Δt=2s από την εκτόξευση του μήλου εκτοξεύεται από το σημείο Λ, μια σφαίρα έτσι ώστε να κινούνται και τα δύο στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο χωρίς τριβές με τον αέρα. Να βρεθούν: α. Η χρονική στιγμή που το βλήμα καρφώνεται στο μήλο. β. Η αρχική ταχύτητα υ0⁄ του βλήματος. γ. Η κατακόρυφη απόσταση του σημείου σύγκρουσης από το σημείο Κ. Δίνεται g=10m/s2. α. t=3s, β. 20m/s, γ. 45m

9

2. Η δυναμική της κυκλικής κίνησης Ερωτήσεις 2.1 Στην ομαλή κυκλική κίνηση, α. Το μέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό. β. Η ταχύτητα διατηρείται σταθερή. γ. Το διάνυσμα της ταχύτητας ⎩υ έχει την κατεύθυνση της ακτίνας της τροχιάς. δ. Το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται. 2.2 Η περίοδος Τ στην ομαλή κυκλική κίνηση εκφράζει: α. Το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας. β. Τον αριθμό των περιστροφών που κάνει σε 1s. γ. Το χρονικό διάστημα που χρειάζεται το κινητό για να κάνει ένα κύκλο. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. 2.3 Η συχνότητα f στην ομαλή κυκλική κίνηση είναι: α. Το αντίστροφο της περιόδου. β. Το πλήθος των κύκλων που κάνει σε 1s. γ. Το χρονικό διάστημα που χρειάζεται το κινητό για να κάνει ένα κύκλο. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. 2.4 Η συχνότητα 1Ηz σημαίνει ότι το κινητό χρειάζεται: α. 1s για να κάνει 1 κύκλο ακτίνας 1m. β. 1s για να κάνει 1 κύκλο. γ. 1s για να κάνει 10 κύκλους. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. 2.5 H γραμμική ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση εκφράζει: α. Το πόσο γρήγορα διαγράφει το κινητό τα τόξα. β. Το πόσο γρήγορα διαγράφει η επιβατική ακτίνα του κινητού τις επίκεντρες γωνίες. γ. Το τόξο που διαγράφει το κινητό. 2.6 H γραμμική ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση εκφράζει: α. Το πόσο γρήγορα διαγράφει το κινητό τα τόξα. β. Το πόσο γρήγορα διαγράφει η επιβατική ακτίνα του κινητού τις επίκεντρες γωνίες. γ. Τις επίκεντρες γωνίες που διαγράφει η επιβατική ακτίνα του κινητού. 2.7 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις που αναφέρονται στη γραμμική ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση είναι σωστές; α. Είναι εφαπτομένη της τροχιάς. β. Διατηρείται σταθερή κατά μέτρο. γ. Έχει ως μονάδα μέτρησης το 1rad/s. δ. Ισούται με το πηλίκο του μήκους του τόξου που διαγράφει το κινητό σε χρόνο Δt προς το χρόνο αυτό. 2.8 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις που αναφέρονται στη γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση είναι σωστές;

10

α. Είναι εφαπτομένη της τροχιάς. β. Διατηρείται σταθερή κατά μέτρο. γ. Έχει ως μονάδα μέτρησης το 1rad/s. δ. Ισούται με το πηλίκο της μεταβολής της επίκεντρης γωνίας Δθ που διαγράφει η επιβατική ακτίνα του κινητό σε χρόνο Δt προς το χρόνο αυτό. ε. Έχει διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς. 2.9 Η κεντρομόλος επιτάχυνση στην ομαλή κυκλική κίνηση εκφράζει: α. Πόσο γρήγορα διαγράφει το κινητό τα τόξα. β. Πόσο γρήγορα μεταβάλλεται το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας. γ. Πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η διεύθυνση της γραμμικής ταχύτητας δ. Πόσες περιστροφές κάνει στη μονάδα του χρόνου. 2.10 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις που αναφέρονται στην κεντρομόλο επιτάχυνση στην ομαλή κυκλική κίνηση είναι σωστές; α. Έχει σταθερή διεύθυνση. β. Είναι πάντοτε κάθετη στην ταχύτητα υ. γ. Ισούται με υ2/R, όπου R η ακτίνα της τροχιάς. δ. Έχει κατεύθυνση προς το κέντρο της τροχιάς. ε. Οφείλεται στη συνεχή μεταβολή της διεύθυνσης της γωνιακής ταχύτητας. 2.11 Ένα υλικό σημείο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. Να σχεδιάσετε τα διανύσματα της γραμμικής ταχύτητας, της γωνιακής ταχύτητας και της κεντρομόλου επιτάχυνσης του υλικού σημείου σε ένα τυχαίο σημείο της τροχιάς. 2.12 Ο δευτερολεπτοδείκτης του ρολογιού έχει περίοδο: α. 1s β. 60s γ. 1h Ποια είναι η σωστή απάντηση; 2.13 Ο λεπτοδείκτης του ρολογιού έχει περίοδο: α. 1s β. 60s γ. 1h Ποια είναι η σωστή απάντηση; 2.14 Ο ωροδείκτης του ρολογιού έχει περίοδο: α. 24h β. 1h γ. 12h Ποια είναι η σωστή απάντηση; 2.15 Σε μια ομαλή κυκλική κίνηση η συχνότητα είναι 10Ηz. Αυτό σημαίνει ότι το κινητό κάνει: α. 1 κύκλο κάθε 10s. γ. 20 κύκλους κάθε 2s β. 10 κύκλους κάθε 10s δ. 10m κάθε 1s. 2.16 Σε μια ομαλή κυκλική κίνηση η συχνότητα είναι 2Ηz. Αυτό σημαίνει ότι το κινητό κάνει σε χρόνο 1min: α. 1 κύκλο γ. 120 κύκλους β. 60 κύκλους δ. Το 1/30 του κύκλου 2.17 Δίσκος του πικάπ διαγράφει ομαλή κυκλική κίνηση. Όλα του τα σημεία έχουν την ίδια: α. Περίοδο, Τ. γ. Γραμμική ταχύτητα, υ. ε. Κεντρομόλο επιτάχυνση, ακ. β. Συχνότητα, f. δ. Γωνιακή ταχύτητα, ω. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

11

2.18 Υλικό σημείο κάνει ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R. Να αποδειχθούν οι εκφράσεις που συνδέουν: α. Συχνότητα με περίοδο. β. Γραμμική ταχύτητα με περίοδο. γ. Γωνιακή ταχύτητα με περίοδο. δ. Γραμμική ταχύτητα με συχνότητα. ε. Γωνιακή ταχύτητα με συχνότητα. στ. Γραμμική με γωνιακή ταχύτητα. 2.19 Στο σύστημα των δύο τροχών με ακτίνες R1 και R2 που συνδέονται με ιμάντα, ο λόγος των γωνιακών ταχυτήτων ω1/ω2 είναι ίσος με:

α. 1 β. R1/R2 γ. R2/R1 Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 2.20 Δίσκος του πικάπ κάνει ομαλή κυκλική κίνηση. Δύο σημεία Α και Β του δίσκου απέχουν από το κέντρο αποστάσεις r1, r2 με r1>r2. Ποιες από τις σχέσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί;

α. ω1=ω2 β. υ1>υ2 γ. Τ1=Τ2 δ. ακ1<ακ2 2.21 Αυτοκίνητο κινείται προς το βορρά. Η γωνιακή ταχύτητα των τροχών του έχει κατεύθυνση προς: α. Τη δύση β. Την ανατολή γ. Το βορρά δ. Το νότο. 2.22 Μικρή σφαίρα κάνει ομαλή κυκλική κίνηση. Η κεντρομόλος δύναμη είναι: α. Μια εκ των δυνάμεων που ασκούνται στη σφαίρα, με κατεύθυνση προς το κέντρο της τροχιάς. β. Η συνολική συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στη σφαίρα. γ. Η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στη σφαίρα στη διεύθυνση της ακτίνας της τροχιάς. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. 2.23 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις που αναφέρονται στην κεντρομόλο δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που κάνει ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας, R, είναι σωστές; α. Έχει σταθερή διεύθυνση. β. Είναι πάντοτε κάθετη στην ταχύτητα υ. γ. Ισούται με mυ2/R2. δ. Έχει κατεύθυνση προς το κέντρο της τροχιάς. ε. Έχει σημείο εφαρμογής το κέντρο της τροχιάς. 2.24 Όταν ένα υλικό σημείο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση: α. Μεταβάλλεται το μέτρο της ταχύτητας του. β. Δεν έχει επιτάχυνση. γ. Διαγράφει κάθε μια πλήρη περιστροφή στον ίδιο χρόνο. δ. Ασκούνται σ΄ αυτό δυνάμεις μηδενικής συνισταμένης. ε. Ο ρυθμός της γωνιακής μετατόπισης είναι σταθερός. στ. Δεν ισχύει ο 2ος νόμος του Νewton.

ος νόμος του Newton. ζ. Ισχύει ο 1 Ποιες από τις προτάσεις αυτές είναι σωστές;

12

2.25 Χαρακτηρίστε ως σωστές ή ως λανθασμένες τις μαθηματικές εκφράσεις που ακολουθούν και δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας. α. υ=2πf β. ακ=ω

2R γ. ω=2π/Τ δ. Fk=mω2R ε. f=1/Τα στ. ακ=4π2R/T2 ε. FK=4mπ2Rf2 2.26 Σφαίρα είναι δεμένη σε νήμα και εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Αν κοπεί το νήμα η σφαίρα θα: α. Κινηθεί προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς λόγω αδράνειας, β. Διαγράψει καμπύλη τροχιά, όχι κυκλική, γ. Κινηθεί στη διεύθυνση της εφαπτομένης της κυκλικής τροχιάς, στο σημείο που κόπηκε το νήμα, δ. Σταματήσει να κινείται ακαριαία. Ποια από τις εκδοχές αυτές είναι η σωστή; 2.27 Το μέτρο της κεντρομόλου δύναμης που ασκείται σε υλικό σημείο σταθερής μάζας m που διαγράφει ομαλή κυκλική κίνηση σταθερής ακτίνας R είναι: α. Ανάλογο της μάζας, β. Αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου της γωνιακής ταχύτητας, γ. Ανάλογο του τετραγώνου της συχνότητας f, δ. Ανάλογο του τετραγώνου της περιόδου Τ, ε. Ανεξάρτητο της ακτίνας της τροχιάς R. Ποιες από τις προτάσεις αυτές είναι σωστές; 2.28 «Σφαίρα δεμένη από νήμα διαγράφει κατακόρυφο κύκλο με ταχύτητα σταθερού μέτρου και πάνω της ασκούνται, η δύναμη του νήματος, το βάρος και η κεντρομόλος δύναμη.» Είναι η πρόταση αυτή σωστή; Αν υπάρχει λάθος που βρίσκεται; 2.29 Για να μπορέσει αυτοκίνητο να πάρει στροφή σε οριζόντιο οδόστρωμα θα πρέπει: α. Το οδόστρωμα να είναι τελείως λείο. β. Το βάρος του να λειτουργεί ως κεντρομόλος. γ. Η στατική τριβή που αναπτύσσεται ανάμεσα στα ελαστικά και το οδόστρωμα να δρα ως κεντρομόλος. δ. Η συνισταμένη του βάρους και της κάθετης δύναμης να δρα ως κεντρομόλος. 2.30 Το σώμα μάζας m κάνει ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R με σταθερή κατά μέτρο ταχύτητα, υ σε κατακόρυφο επίπεδο. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Σε κάθε σημείο της τροχιάς του το βάρος δρα ως κεντρομόλος. β. Στην κατώτερο σημείο της τροχιάς ισχύει: |FK|=mg −T. γ. Στο ανώτερο σημείο της τροχιάς ισχύει: |FK|=mg+T δ. Στο σημείο Β η κεντρομόλος ισούται με την τάση του νήματος. ε. Η κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας είναι κάθετη στη σελίδα με φορά από αυτή προς τον αναγνώστη. στ. Σε κάθε θέση της τροχιάς η τάση του νήματος είναι η ίδια κατά μέτρο.

13

Ασκήσεις 2.31 Υλικό σημείο διαγράφει κύκλο ακτίνας R=10m με ταχύτητα μέτρου υ=3,14m/s. α. Πόση είναι η περίοδος και η συχνότητα; β. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα; α. Τ=20s, f=0,05Ηz, β. ω=π/10rad/s 2.32 α. Πόση συχνότητα f έχει ένα κινητό που κάνει ομαλή κυκλική κίνηση με ω=628rad/s; β. Πόσους κύκλους διαγράφει σε 10s; α. f=100Ηz, β. Ν=1000 2.33 α. Πόσο χρόνο θέλει μια σφαίρα για να διαγράψει κύκλο ακτίνας R=5m με ταχύτητα υ=62,8m/s; β. Πόσους κύκλους θα κάνει σε 100s; α. Τ=0,5s. β. Ν=200 2.34 Με πόση ταχύτητα κινείται ένα σωματίδιο που διαγράφει κύκλο ακτίνας R=2m με συχνότητα f=10Ηz, και πόση είναι η γωνιακή του ταχύτητα; υ=125,6m/s, ω=62,8rad/s 2.35 Τροχός με ακτίνα R=1m περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του και κάνει Ν=600 περιστροφές κάθε 1min. α. Πόση είναι η συχνότητα και η περίοδος του τροχού. β. Πόσο είναι το μέτρο της γραμμικής και της γωνιακή ταχύτητας όλων των σημείων του τροχού που βρίσκονται στην περιφέρεια του. γ. Πόσο είναι το μέτρο της γραμμικής και της γωνιακής ταχύτητας σημείων του τροχού που απέχουν r=0,5m από τον άξονα περιστροφής. α. 10Ηz, 1/10s, β. 20π m/s, 20πrad/s, γ. 10π m/s, 20π rad/s 2.36 Δίσκος κοπής έχει ακτίνα R=10cm και περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του έτσι ώστε το σημείο Μ της περιφέρειας του δίσκου να κινείται με ταχύτητα 10cm/s. Σημείο Λ απέχει απόσταση r=4cm από τον άξονα περιστροφής του δίσκου. Να βρεθούν: α. Συχνότητα και περίοδος. β. Η γραμμική ταχύτητα του σημείου Λ. γ. Η κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου Λ. α. f= 1/2πHz, Τ=2π s, β. υ=4cm/s, γ. 4cm/s2 2.37 Μονοθέσιο, F1 εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με συχνότητα f=1κύκλο/min, σε κυκλική πίστα ακτίνας R=600m. α. Πόσους κύκλους κάνει σε μια ώρα; β. Πόση είναι η γραμμική του ταχύτητα; γ. Πόσα km έχει διανύσει σε μια ώρα. α. 60κύκλους, β. 62,8m/s γ. 226,08km 2.38 Η ακτίνα των τροχών ενός ποδηλάτου είναι r=0,5m και η ακτίνα κυκλικού στίβου R=50m. Ο ποδηλάτης διανύει ομαλά κυκλικά όλο το στίβο και η συχνότητα περιστροφής των τροχών είναι 5Hz. Σε πόσο χρόνο διανύει το στίβο; t= 20s

14

2.39 Αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα και ομαλά και διανύει διάστημα s=7000m σε χρόνο t=35min. Ο κάθε τροχός του κάνει συνολικά 3500 στροφές. Να βρεθούν: α. Η γωνιακή ταχύτητα του κάθε τροχού. β. Η ακτίνα R. γ. Η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας. α. ω=10,46rad/s, β. 0,32m, γ. 34,9m/s 2.40 Μοτοσικλέτα κινείται με σταθερό μέτρο ταχύτητας σε κυκλικό στίβο ακτίνας R=96m και διαγράφει το στίβο σε χρόνο t=20s. H διάμετρος των τροχών της μοτοσικλέτας είναι d=0,6m. Ποια είναι η συχνότητα περιστροφής των τροχών; f=16Ηz 2.41 Kινητό κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο ακτίνας R και σε χρόνο t=1min, εκτελεί 18 στροφές. Πόσες περιστροφές θα κάνει το κινητό σε χρόνο t'=2min, αν κινείται σε κύκλο τριπλάσιας ακτίνας με την ίδια γραμμική ταχύτητα; Ν=12 2.42 Δύο τροχοί με λόγο ακτίνων R1/R2=3/4 συνδέονται με ιμάντα και περιστρέφονται με συχνότητες f1=200Hz και f2. α. Να βρεθεί η συχνότητα f2. β. Να βρεθεί ο λόγος των κεντρομόλων επιταχύνσεων των σημείων της περιφέρειας των τροχών, ακ1/ακ2. α. f2=150Ηz, β. 4/3 2.43 Δίσκος περιστρέφεται με σταθερή συχνότητα f. Δύο σημεία Α και Β απέχουν από το κέντρο του αποστάσεις r1=2cm και r2=8cm αντιστοίχως. Να βρεθούν οι λόγοι: α. Των γραμμικών ταχυτήτων, υ1/υ2 των δύο σημείων. β. Των κεντρομόλων επιταχύνσεων, α1/α2 των δύο σημείων. α. ¼ , β. ¼ 2.44 Δύο σωματίδια κινούνται ομαλά πάνω στην ίδια περιφέρεια κύκλου με συχνότητες f1=200Ηz και f2=300Hz. Κάποια στιγμή τα δύο σωματίδια περνάνε από το ίδιο σημείο της περιφέρειας. Μετά πόσο χρόνο θα συναντηθούν και πάλι, αν κινούνται: α) ομόρροπα, β) αντίρροπα. α. 10-2 s, β. 2·10−3s 2.45 Δύο δρομείς κινούνται ομαλά στην ίδια περιφέρεια κύκλου ακτίνας R=300m με γραμμικές ταχύτητες μέτρων υ1=2π m/s και υ2=π m/s αντιστοίχως. Τη χρονική στιγμή t0=0 οι δύο δρομείς περνάνε από το ίδιο σημείο Α. Μετά πόσο χρόνο θα συναντηθούν και πάλι αν κινούνται: α) ομόρροπα, β) αντίρροπα. α. 600s, β. 200s 2.46 Δύο κινητά Α και Β κινούνται ομαλά και αντίρροπα πάνω σε μια περιφέρεια κύκλου. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του κινητού Α είναι ω1=π/8 rad/s και του κινητού Β, ω2=π/12 rad/s. Κάποια χρονική στιγμή τα δύο κινητά διέρχονται από αντιδιαμετρικά σημεία. Βρείτε μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν, (α) για πρώτη φορά (β) για τρίτη φορά. α. 4,8s β. 24s

15

2.47 Δύο κινητά τρέχουν σε δύο περιφέρειες κύκλων που έχουν ακτίνες R1=8cm και R2=4cm αντιστοίχως και εφάπτονται εξωτερικά. Οι γραμμικές ταχύτητες των κινητών είναι υ1=9cm/s και υ2=2cm/s. Πόσες περιστροφές κάνει κάθε κινητό μεταξύ δύο διαδοχικών συναντήσεων; 4 και 9 2.48 Σε ποδήλατο η αλυσίδα γυρίζει γύρω από δύο δίσκους. Ο μπροστινός δίσκος είναι ακτίνας R1=9cm ενώ ο πίσω δίσκος ακτίνας R2=3cm. Οι ρόδες έχουν ακτίνας R=20cm και το πεντάλ περιστρέφεται με συχνότητα 3Hz. Να βρεθούν α. Η περίοδος περιστροφής των τροχών. β. Η ταχύτητα του ποδηλάτου. α. 1/9s β. 3,6π m/s 2.49 Σ’ ένα τρακτέρ οι μπροστινοί τροχοί έχουν ακτίνα 0,4m ενώ οι πίσω 0,8m. Πόσες στροφές θα έχουν κάνει οι πίσω τροχοί, όταν οι μπροστινοί έχουν κάνει 500 στροφές και πόση απόσταση θα έχει διανύσει το τρακτέρ; 250 στροφές, 400π m 2.50 Να βρείτε το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών συμπτώσεων του ωροδείκτη και του λεπτοδείκτη ενός ρολογιού. (12/11)h 2.51 Σε μια ομαλή κυκλική κίνηση σώματος μάζας m=2kg ακτίνας R=0,5m η κεντρομόλος δύναμη έχει μέτρο 100Ν. Να βρεθούν γωνιακή ταχύτητα, συχνότητα και γραμμική ταχύτητα του σώματος. υ=5m/s, ω=10rad/s, f=1,592Ηz 2.52 Σφύρα μάζας m=2,5kg περιστρέφεται με ω=40rad/s δεμένη με νήμα ακτίνας R=2m. Nα βρεθούν, γραμμική ταχύτητα, περίοδος, κεντρομόλος δύναμη. υ=80m/s, Τ=π/20s, F=8000N 2.53 Όχημα μάζας m=1kg διαγράφει κυκλική τροχιά με σταθερή περίοδο Τ=2s και υ=100πm/s. Να βρεθούν η ακτίνα της τροχιάς και η κεντρομόλος δύναμη. Δίνεται π2=10. R=100m, F=103N 2.54 Μικρή μπάλα διαγράφει κύκλο ακτίνας R=2,5m με συχνότητα f=10/πΗz ενώ δέχεται κεντρομόλο δύναμη F=100N. Να βρεθούν η γωνιακή και γραμμική ταχύτητα περιστροφής και η μάζα της μπάλας. ω=20rad/s, υ=50m/s, m=0,1kg 2.55 Σφαίρα μάζας m=1kg διαγράφει οριζόντιο κύκλο ακτίνας r=1m, δεμένη με νήμα. Η τάση του νήματος είναι 16Ν. Να βρεθούν η γραμμική ταχύτητα η κεντρομόλος επιτάχυνση και η συχνότητα. υ=4m/s, α=16m/s2, f=2/πΗz 2.56 Αυτοκίνητο μάζας m μπαίνει σε οριζόντια κυκλική στροφή ακτίνας R=100m. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ του δρόμου και των ελαστικών του είναι μ=0,4. Πόση πρέπει να είναι η μέγιστη επιτρεπόμενη ταχύτητα ώστε το αυτοκίνητο να διατηρηθεί σε κυκλική τροχιά σε όλη τη διάρκεια της στροφής; Δίνεται g=10m/s2. 20m/s

16

2.57 Σφαίρα μάζας m=0,2kg είναι δεμένη στο ένα άκρο νήματος μήκους λ=1,5m το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σημείο λείου οριζόντιου δαπέδου. Το νήμα σπάει αν η δύναμη που το τεντώνει ξεπεράσει την τιμή των 30Ν, (όριο θραύσης). Η σφαίρα κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός στροφών που μπορεί να διαγράψει η σφαίρα σε Δt=60π s ώστε το νήμα να μη σπάσει; Ν=300 2.58 Μικρό σώμα μάζας m=1kg διαγράφει κύκλο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο από το ελεύθερο άκρο ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους λ0=0,3m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι συνδεδεμένο με ακλόνητο σημείο του επιπέδου που λειτουργεί και ως κέντρο της κυκλική τροχιάς. Κατά την περιστροφή το ελατήριο επιμηκύνεται έτσι ώστε να έχει τώρα σταθερό μήκος λ1=0,4m. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σώματος; ω=5rad/s 2.59 Πάνω σε δίσκο πικάπ που περιστρέφεται με σταθερή συχνότητα f=1Ηz τοποθετείται μια γομολάστιχα σε απόσταση r=0,1m από τον άξονα περιστροφής. Μεταξύ της επιφάνειας του δίσκου και της γόμας ο μέγιστος συντελεστής στατικής τριβής είναι μ. Για ποιες τιμές του μ, η γόμα δεν γλιστράει πάνω στο δίσκο. Δίνεται g=10m/s2. μ>0,4 2.60 Οριζόντια κυκλική στροφή δρόμου έχει ακτίνα καμπυλότητας R=200m . α. Ποιος πρέπει να είναι ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ οδοστρώματος και ελαστικών ώστε ένα αυτοκίνητο να διαγράφει τη στροφή με ταχύτητα 72km/h; β. Πόση γωνία κλίσεως, φ, ως προς το οριζόντιο επίπεδο έπρεπε να είχε ο δρόμος, ώστε το αυτοκίνητο να διέγραφε τη στροφή με ασφάλεια και με την ίδια ταχύτητα, ακόμα κι’ αν ο συντελεστής στατικής τριβής ήταν μηδέν (παγωμένο οδόστρωμα). Δίνεται g=10m/s2. α. μ=0,2, β. εφφ=0,2 2.61 Κατακόρυφος κύλινδρος ακτίνας R=1m περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του yy⁄ ώστε μια σταγόνα λαδιού που εφάπτεται πάνω στο κυλινδρικό τοίχωμα αυτού να κρατιέται πάνω σ’ αυτό, χωρίς να γλιστράει προς τα κάτω. Μεταξύ σταγόνας και επιφανείας του κυλίνδρου ο συντελεστής μέγιστης στατικής τριβής είναι μσ=0,4. Ποια είναι η μέγιστη περίοδος περιστροφής, ώστε η σταγόνα να μη γλιστράει από το τοίχωμα; Δίνεται το g=10m/s2. Τ=0,4πs 2.62 Μοτοσικλέτα αγώνων κινείται σε οριζόντιο δρόμο με ταχύτητα 288km/h και εισέρχεται σε στροφή ακτίνας καμπυλότητας R=200m. Πόση κλίση φ, πρέπει να δώσει ο οδηγός στη μοτοσικλέτα ως προς τον κατακόρυφο άξονα ώστε να μη φύγει από το δρόμο. Τριβές δεν υπάρχουν και δίνεται το g=10m/s2. εφφ=3,2

17

2.63 Σφαίρα μάζας m=1kg δεμένη από το άκρο νήματος μήκους λ διαγράφει κατακόρυφο κύκλο ακτίνας λ=1m με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ=6m/s. Να υπολογιστεί η τάση του νήματος: α. Στο κατώτερο σημείο της τροχιάς, Α. β. Στο ανώτερο, Γ. γ. Όταν το νήμα είναι οριζόντιο (θέση Β). Δίνεται g=10m/s2. α. 46Ν, β. 26Ν, 36Ν 2.64 Σφαίρα μάζας m=1kg διαγράφει κατακόρυφο κύκλο ακτίνας R=1m δεμένη από ανθεκτικό και αβαρές νήμα. Το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό και ίσο με υ=10m/s. Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα στη σφαίρα, όταν η σφαίρα περνάει: α. Από το σημείο Ρ στο οποίο η επιβατική ακτίνα σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία θ=450. β. Από το σημείο Σ στο οποίο η επιβατική ακτίνα σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία φ=600. Δίνονται το g=10m/s2, 2=1,4. α. 107Ν, β. 95Ν 2.65 Αεροπλάνο διαγράφει κατακόρυφη κυκλική τροχιά ακτίνας R=800m (ανακύκλωση) με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ=720km/h. Πόση είναι η δύναμη που δέχεται ο πιλότος από το κάθισμα τη στιγμή που το αεροπλάνο βρίσκεται στο κατώτερο, (Α) και στο ανώτερο, (Γ), σημείο της τροχιάς του. Δίνεται η μάζα του πιλότου m=70kg και το g=10m/s2. FA=4200N, FΓ=175Ν 2.66 Όχημα κινείται σε γέφυρα ακτίνας καμπυλότητας R. Για να μη χάνουν οι τροχοί του την επαφή τους με το έδαφος θα πρέπει η ταχύτητα του οχήματος να μην υπερβαίνει κάποιο όριο που σχετίζεται τόσο με την ακτίνα καμπυλότητας, R, όσο και με τη γωνία φ που σχηματίζει η επιβατική ακτίνα του κινητού με την κατακόρυφο. Ποια είναι η σχέση που δίνει τη μέγιστη ταχύτητα που μπορεί να έχει το όχημα; Δίνεται το g. υ< Rgσυνφ 2.67 Κουβάς με νερό περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο δεμένος μ’ ένα αβαρές αλλά ανθεκτικό σχοινί. Μέσα στον κουβά υπάρχει μικρή ποσότητα νερού μάζας m=1kg η οποία συμπεριφέρεται σαν υλικό σημείο. Θεωρούμε ότι η κυκλική κίνηση της μάζας νερού γίνεται με ακτίνα r=0,9m Αν η ακτίνα του κύκλου που διαγράφει είναι 0,9m. α. Πόση πρέπει να είναι η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας, υ, στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς, ώστε να μη χυθεί το νερό; β. Αν ο κουβάς περνάει με την ταχύτητα του (α) ερωτήματος από το κατώτερο σημείο της τροχιάς του, πόση δύναμη θα δέχεται η μάζα του νερού από τον πάτο του κουβά; Δίνεται g=10m/s2. α. 3m/s, β. 20Ν

18

2.68 Ο ακροβάτης του "γύρου του θανάτου" εκτελεί το νούμερό του μπροστά στα έκπληκτα μάτια των θεατών του. Με τη μοτοσικλέτα του διαγράφει κατακόρυφο κύκλο ακτίνας R=40m στο εσωτερικό μιας σφαίρας που είναι φτιαγμένη από μεταλλικό πλέγμα. Όλοι απορούν πως δεν πέφτει όταν φτάνει στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς του. Υπολογίστε την ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει ο ακροβάτης στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς του ώστε η μοτοσικλέτα να μη χάνει την επαφή της με την επιφάνεια της σφαίρας. Δίνεται g = 10m/s2. υmin=20m/s 2.69 Σφαίρα μάζας m=0,2 kg δένεται από το άκρο νήματος μήκους L=2,4m το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο, το σώμα διαγράφει οριζόντιο κύκλο με σταθερή ταχύτητα έτσι ώστε το νήμα να σχηματίζει γωνία φ = 600 με την κατακόρυφο που περνάει από το σημείο εξαρτήσεως. Να υπολογιστεί η γραμμική ταχύτητα περιστροφής του σφαίρας και η τάση του νήματος F. Δίνεται g=10m/s2. υ= Lgημ2φ/συνφ=3m/s, F=mg/συνφ=4Ν 2.70 Η μοτοσικλέτα του ακροβάτη κάνει το γύρο του θανάτου με ταχύτητα που μπορεί να μεταβάλλεται. Η ακτίνα της τροχιάς είναι R=40m και το σύστημα αναβάτης − μοτοσικλέτα έχει μάζα Μ=200kg α. Αν από το σημείο Α περνάει με ταχύτητα υ1=10m/s πόση δύναμη δέχεται η μοτοσικλέτα από τη μεταλλική σφαίρα μέσα στην οποία κινείται; β. Αν τη στιγμή που περνάει από το σημείο Β ασκεί στη μεταλλική σφαίρα δύναμη 2000Ν πόση είναι η γωνιακή του ταχύτητα της μοτοσικλέτας εκείνη τη στιγμή; γ. Αν η μοτοσικλέτα δεν μπορεί να αναπτύξει ταχύτητα μεγαλύτερη από 18m/s, είναι δυνατόν να φτάσει στο σημείο Γ χωρίς να χάσει την επαφή με τη μεταλλική σφαίρα; Δίνεται g=10m/s2. α. 2500Ν, β. 0,5rad/s, γ. όχι, υmin=20m/s 2.71 Η σφαίρα μάζας m=1kg είναι δεμένη από αβαρές νήμα μήκους λ=1m και διαγράφει κατακόρυφο κύκλο όπως φαίνεται στο σχήμα. α. Αν η σφαίρα έχει στο σημείο Α κεντρομόλο επιτάχυνση αΑ=10m/s2 πόση είναι η τάση του νήματος στο σημείο αυτό; β. Με πόση ελάχιστη ταχύτητα μπορεί να φτάσει η σφαίρα στο σημείο Γ στο οποίο η γωνία θ είναι θ=600, χωρίς το νήμα να τσαλακώσει, δηλαδή χωρίς να χαλάσει η κυκλική κίνηση. Δίνεται g=10m/s2. α. Τ=20N, β. υmin.Γ= Rgσυνθ= 5m/s

19

3. Η ορμή και η διατήρηση της ορμής Ερωτήσεις 3.1 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται στο μέγεθος της ορμής υλικού σημείου, είναι σωστές; α. Είναι διανυσματικό μέγεθος. β. Εξαρτάται από τη μάζα και την ταχύτητα του υλικού σημείου. γ. Εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς που ορίζουμε για να μελετήσουμε την κίνηση. δ. Έχει μονάδα μέτρησης το 1kgm/s. 3.2 Για ένα υλικό σημείο μάζας m χρησιμοποιώντας τη σχέση Σ

→

F=m→α, να αποδείξετε τη σχέση: Σ→F=Δ→p/Δt. Ποια από τις δύο εκφράσεις ισχύει ακόμα και όταν μεταβάλλεται η μάζα του υλικού

σημείου;

3.3 Η ορμή →p ενός συστήματος δύο υλικών σημείων με ορμές →p1 και

→p2 είναι: α. p=p1+p2 β. p=p2 − p1 γ.

→p=→p1+ →p2 3.4 Η μονάδα μέτρησης της ορμής 1kgm/s είναι ισοδύναμη με την μονάδα μέτρησης: α. 1Ν β. 1Νm γ. 1Νs δ. 1Νm/s 3.5 Για ένα σύστημα σωμάτων η συνισταμένη των εσωτερικών δυνάμεων είναι: α. Πάντοτε μηδέν. β. Μηδέν μόνο αν το σύστημα είναι απομονωμένο. γ. Διάφορη του μηδενός για κάθε σύστημα. δ. Μηδέν αν δεν υπάρχουν εσωτερικές τριβές. 3.6 Υλικό σημείο κάνει ομαλή κυκλική κίνηση. Η ορμή του: α. Διατηρείται σταθερή. β. Συνεχώς μεταβάλλεται. Ποια είναι η σωστή απάντηση και γιατί; 3.7 Μια μπάλα μάζας m και ταχύτητας υ χτυπάει κάθετα σε ένα τοίχο και ανακλάται κάθετα με ταχύτητα ίσου μέτρου, υ. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής της μπάλας είναι: α. Δp=0 β. Δp=mυ γ. Δp=2mυ Ποια είναι η σωστή απάντηση και γιατί; 3.8 Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα υλικό σημείο ισούται με: α. Την ορμή του. β. Τη μεταβολή της ορμής του. γ. Το ρυθμό μεταβολής της ορμής του. δ. Τη μεταβολή της ορμής επί το χρόνο μεταβολής. Ποια είναι η σωστή απάντηση και γιατί;

20

3.9 Σε ένα απομονωμένο σύστημα σωμάτων: α. Δεν ασκούνται εσωτερικές δυνάμεις. β. Δεν ασκούνται καθόλου εξωτερικές δυνάμεις. γ. Η ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή. δ. Η ορμή του συστήματος είναι μηδέν. 3.10 Οι δύο σφαίρες που φαίνονται στο σχήμα συγκρούονται χωρίς να δέχονται τριβές από το περιβάλλον. α. Να σχεδιάσετε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στις σφαίρες. β. Ποιες από τις δυνάμεις που ασκούνται στις σφαίρες είναι εσωτερικές και ποιες εξωτερικές για το σύστημα των δύο σφαιρών. γ. Η ορμή του συστήματος διατηρείται ή όχι; δ. Αν mΑ=mΒ=1kg και υ1=10m/s, υ2=−2m/s πόση η pολ του συστήματος; 3.11 Δύο σφαίρες με ίσες μάζες m κινούνται με ταχύτητες υ σε αντίθετες κατευθύνσεις. Η ορμή του συστήματος είναι:

α. 2mυ β. 0 γ. mυ 3.12 Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί η αρχή διατήρησης της ορμής (ΑΔΟ). 3.13 Μπάλα μάζας m συγκρούεται κάθετα με κατακόρυφο τοίχο με ταχύτητα μέτρου υ και ανακλάται κάθετα με ταχύτητα ίσου μέτρου υ. Ισχύει η διατήρηση της ορμής για τη μπάλα; 3.14 Δύο ίδιες μπάλες μάζας m χτυπάνε με την ίδια ταχύτητα σε κατακόρυφο τοίχο και ανακλώνται με ταχύτητα ίδιου μέτρου υ σε αντίθετη κατεύθυνση. Η μια μπάλα είναι μεταλλική, ενώ η άλλη από μαλακό ελαστικό υλικό. Μεγαλύτερη δύναμη στον τοίχο ασκεί: α. Η μεταλλική. β. Η ελαστική. γ. Καμία από τις δύο. Ποια είναι η σωστή απάντηση και γιατί; 3.15 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες και γιατί; α. Δύο υλικά σημεία με ίσες ταχύτητες έχουν και ίσες ορμές. β. Όσο πιο γρήγορα μεταβάλλεται η ορμή ενός υλικού σημείου τόσο μεγαλύτερη δύναμη δέχεται. γ. Η διατήρηση της ορμής ισχύει σε κάθε φαινόμενο που συμμετέχει ένα σύστημα σωμάτων. δ. Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση η ορμή του σώματος είναι σταθερή. ε. Ένα σύστημα δύο σωμάτων μπορεί να έχει ορμή μηδέν, ενώ τα μέλη του κινούνται. 3.16 Βρισκόμαστε μέσα σε ένα αυτοκίνητο με λυμένο το χειρόφρενο που βρίσκεται σε οριζόντιο δρόμο. Σπρώχνουμε τα καθίσματα αλλά το αυτοκίνητο δεν κινείται. Αν ήμασταν έξω από αυτό και ασκούσαμε την ίδια οριζόντια δύναμη το αυτοκίνητο θα μετατοπιζότανε. Γιατί υπάρχει αυτή η διαφορά; 3.17 Ποια από τα παρακάτω φαινόμενα μπορούν να ερμηνευθούν με την διατήρηση της ορμής; α. Η ελεύθερη πτώση μιας πέτρας. β. Η ανάκρουση του πυροβόλου. γ. Η κίνηση μιας βάρκας στο νερό. δ. Η προώθηση του πυραύλου. ε. Η περιστροφή ενός δορυφόρου. στ. Η έκρηξη μιας βόμβας. ζ. Η σύγκρουση ανάμεσα στις μπίλιες του μπιλιάρδου. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

21

3.18 Δύο φίλοι με μάζες m1 και m2 αντιστοίχως τραβάνε τα άκρα ενός σχοινιού παίζοντας διελκυστίνδα πάνω σε μια τελείως λεία επιφάνεια πάγου. Είναι δυνατόν να κινηθούν και οι δύο προς την ίδια κατεύθυνση; 3.19 Μέσα σε βαγόνι που μπορεί να κινείται χωρίς τριβή ολίσθησης πάνω σε οριζόντιες ράγες βρίσκεται ένας άντρας και κρατάει μια βαριά σφήνα. Ο άντρας εκτοξεύει τη σφήνα οριζόντια προς τον τοίχο του βαγονιού, με ταχύτητα ⎩υ0, και αυτή καρφώνεται στον τοίχο. Αν Μ η συνολική μάζα βαγονιού και άντρα και m η μάζα της σφήνας, εξηγήστε αναλυτικά πως θα κινηθεί το βαγόνι, σε όλη τη διάρκεια του φαινομένου. Για να είναι πιο απλό το πρόβλημα, η τροχιά της σφήνας να θεωρηθεί ευθύγραμμη και οι τριβές με τον αέρα αμελητέες. 3.20 Μια μπάλα που πέφτει κατακόρυφα συναντάει το οριζόντιο έδαφος με ταχύτητα μέτρου υ και ανακλάται κατακόρυφα με ταχύτητα ίσου μέτρου, υ. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Η μπάλα δέχτηκε από το έδαφος, δύναμη αντίθετη από αυτή που άσκησε σ' αυτό. β. Η μπάλα δέχτηκε από το έδαφος μέση δύναμη μεγαλύτερη από το βάρος της. γ. Το μέτρο μεταβολής της ορμής της μπάλας είναι 2mυ. 3.21 Μια σφαίρα μάζας m πέφτει ελεύθερα με επιτάχυνση g. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις της ορμής p και του ρυθμού μεταβολής της ορμής σε συνάρτηση με το χρόνο, t. 3.22 Κυνηγός στηρίζεται καλά πάνω σε έλκηθρο που βρίσκεται πάνω στο τελείως λείο πάγο και πυροβολεί οριζόντια με όπλο που στηρίζει στον ώμο του. Τίνος συστήματος διατηρείται η ορμή; α. όπλου − βλήματος. β. όπλου − βλήματος − κυνηγού. γ. όπλου −βλήματος − κυνηγού − ελκήθρου. δ. Κυνηγού − ελκήθρου. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 3.23 Παρατηρούμε δύο σωματίδια τα οποία κινούνται με αντίθετες ορμές ξεκινώντας από το σημείο στο οποίο διασπάστηκε ένα ακίνητο ασταθές σωματίδιο. Αποδεικνύει αυτό ότι δεν δημιουργήθηκε και τρίτο σωματίδιο κατά τη διάσπαση; 3.24 Άντρας βρίσκεται μέσα σε ελαφρύ βαγόνι που δεν παρουσιάζει καθόλου τριβές με τις ράγες. Θέλει να το μετακινήσει, αλλά χωρίς να κατέβει από αυτό. Πως θα το πετύχει καλύτερα; α. Αν σπρώχνει με δύναμη τον τοίχο του βαγονιού; β. Αν εκτοξεύει αντικείμενα που βρίσκει μέσα στο βαγόνι σε διεύθυνση παράλληλη προς τις ράγες και σε αντίθετη κατεύθυνση από εκεί που θέλει να πάει; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 3.25 Δύο σώματα κινούνται χωρίς τριβές με την ίδια ταχύτητα αλλά κατά αντίθετη φορά πάνω σε μια ευθεία, συγκρούονται και μετατρέπονται σ' ένα νέο σώμα. Μετά την κρούση αυτό μένει ακίνητο. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές: α. Έχουν μάζες ίσες. β. Η ορμή του συστήματος είναι μηδέν. γ. Δέχτηκαν το ένα από το άλλο δυνάμεις ίσου μέτρου αντίθετης κατεύθυνσης. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

22

Ασκήσεις 3.26 Δύο αυτοκίνητα με μάζες m =1500kg και m1 2=1800kg, κινούνται με ταχύτητες μέτρου υ =12m/s και υ1 2=10m/s. Να βρείτε την ορμή του συστήματος των δύο αυτοκινήτων αν αυτά κινούνται: (α) ομόρροπα, (β) αντίρροπα. α. pολ= 36000kgm/s, β. pολ=0 3.27 Σώμα μάζας m=1kg κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα μέτρου υ1=10m/s. Στο σώμα ασκείται δύναμη σταθερού μέτρου για χρονικό διάστημα Δt=0,1s οπότε το σώμα αποκτά ταχύτητα τελικού μέτρου υ =40m/s, ομόρροπη της αρχικής ταχύτητας. Να προσδιορίσετε τη δύναμη F. 2

F=300N 3.28 Βλήμα μάζας m=0,5kg κινείται οριζόντια προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Οx με ταχύτητα μέτρου υ1=20m/s οπότε και συναντά ξύλινη σανίδα. Αφού τη διαπεράσει το βλήμα κινείται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ2=5m/s. Αν το βλήμα έμεινε μέσα στη σανίδα για χρονικό διάστημα 0,01s, να βρείτε τη μέση δύναμη που δέχτηκε από τη σανίδα. F=−750N 3.29 Μία μπάλα μπάσκετ με μάζα m=0,8kg, κινείται με ταχύτητα υ1=15m/s προς το έδαφος κατά τη θετική φορά του άξονα Οy και επιστρέφει στον παίκτη με ταχύτητα μέτρου υ2=10m/s. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της ορμής της μπάλας, λόγω κρούσης. Δp= -20kgm/s 3.30 Μπίλια μάζας m=0,5kg κινείται ευθύγραμμα σε τραπέζι μπιλιάρδου με ταχύτητα υ1=10m/s. Στη μπίλια ασκείται σταθερή δύναμη μέτρου F=10N, ομόρροπη της ταχύτητάς της. Αν η δύναμη ασκείται για χρονικό διάστημα Δt=1s, να υπολογίσετε την τελική ταχύτητα της μπίλιας. υ2=30m/s 3.31 Ένα μπαλάκι του τένις έχει μάζα m=0,1kg και οριζόντια ταχύτητα υ1=10m/s. Κατά την επαφή του με τη ρακέτα, αντιστρέφεται η κατεύθυνση κίνησής του αλλά το μέτρο της ταχύτητάς του παραμένει σταθερό. Αν η επαφή του με τη ρακέτα διαρκεί Δt=0,5s, να υπολογίσετε τη μέση δύναμη που δέχτηκε από τη ρακέτα και που άσκησε σε αυτήν. F=4N 3.32 Μια εξωλέμβια μηχανή ασκεί μέγιστη προωθητική δύναμη 2000Ν. Αν η μηχανή αυτή δουλέψει για χρονικό διάστημα Δt=10s κινώντας μια βάρκα συνολικής μάζας m=500kg, να βρείτε την τελική ταχύτητα της βάρκας. Η βάρκα ήταν αρχικά ακίνητη και οι αντιστάσεις του νερού να μη ληφθούν υπ’ όψη. υ=40m/s 3.33 Ένα αεροσκάφος τύπου Jumbo 737 έχει μάζα 40ton και προκειμένου να απογειωθεί χρειάζεται ταχύτητα 60m/s. Αν η μέση δύναμη που του ασκούν οι κινητήρες του είναι F=4,104N, να βρεθεί ο χρόνος απογείωσης . Οι αντιστάσεις του αέρα να μη ληφθούν υπ’ όψη. Δt=1min 3.34 Μια μπάλα μάζας m=1kg πέφτει κατακόρυφα στο πάτωμα με ταχύτητα μέτρου υ1=20m/s και ανακλάται κατακόρυφα με ταχύτητα μέτρου υ2=18m/s. Αν η κρούση διαρκεί Δt=0,2s και το g=10m/s2 να υπολογιστεί το μέτρο της μέσης δύναμης που δέχτηκε η μπάλα από το πάτωμα. F=200N

23

3.35 Μια μπάλα μάζας m=1kg που αρχικά είναι ακίνητη δέχεται για χρόνο Δt=0,01s κατακόρυφη δύναμη F και αποκτά ταχύτητα μέτρου υ=20m/s. Αν δίνεται g=10m/s2, να βρεθεί το μέτρο της δύναμης F. F=2010N 3.36 Υποτίθεται ότι ένα παιδί μάζας m=40kg κάνει ελεύθερη πτώση από ύψος h=1,8m πάνω από ακλόνητη επιφάνεια, συγκρούεται με αυτήν και σταματάει. Αν η επιφάνεια είναι από τσιμέντο, ο χρόνος που περνάει από τη στιγμή που τα πέλματά του θα έρθουν σε επαφή με αυτή μέχρι να ακινητοποιηθεί (χρόνος σύγκρουσης) είναι Δt1=0,1s. Αν, όμως, η επιφάνεια είναι από αφρολέξ ο αντίστοιχος χρόνος είναι Δt2=0,8s. Να υπολογιστεί σε κάθε περίπτωση, η μέση δύναμη που δέχεται το παιδί από την επιφάνεια κατά τη διάρκεια της σύγκρουσης. Δίνεται g=10m/s2. F1=2800Ν, F2=700Ν 3.37 Δέμα μάζας m=80kg αφήνεται από ύψος h=1,8m και πέφτει στο έδαφος και ακινητοποιείται. Η μέση δύναμη που δέχτηκε από το πάτωμα είναι F=5600N. Να βρείτε το χρόνο που χρειάστηκε από τη στιγμή που ήρθε σε επαφή με το πάτωμα μέχρι να σταματήσει. Δίνεται g=10m/s2. Δt=0,1s 3.38 Κιβώτιο μάζας m=10kg ανεβαίνει λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30ο. Τη χρονική στιγμή t =0 έχει ταχύτητα υo o=5m/s και δέχεται σταθερή δύναμη F=80N στην κατεύθυνση της ταχύτητάς του. α. Πόση είναι η μεταβολή της ορμής του κιβωτίου μετά από 10s; β. Πόση θα είναι η ταχύτητα του κιβωτίου τη χρονική στιγμή t =10s; 1γ. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του; δ. Πόσο διάστημα έχει διανύσει το κιβώτιο στο χρονικό διάστημα από t έως t ; o 1 α. 300kgm/s, β. 35m/s, γ. 30Ν, δ. Δx=200m 3.39 Βαγόνι μάζας m2=20kg ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και έχει πάνω του παιδί μάζας m1=30kg. Αν το παιδί πηδήξει από το βαγόνι με ταχύτητα μέτρου υ1=2m/s σε οριζόντια θετική κατεύθυνση, πόση είναι η ταχύτητα που θα αποκτήσει το βαγόνι και σε ποια κατεύθυνση; −3m/s 3.40 Βλήμα μάζας m=0,1kg σφηνώνεται με ταχύτητα υ=200m/s σε ξύλινο κύβο μάζας Μ=1,9kg που ηρεμεί αρχικά σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Πόση είναι η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση; V=10m/s 3.41 Βλήμα μάζας m1=0,2kg σφηνώνεται με οριζόντια ταχύτητα υ0 σ' ένα ξύλινο κύβο μάζας m2=3,8kg που ήταν ακίνητος πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Αν η ταχύτητα του ενιαίου σώματος που προκύπτει είναι 10m/s, πόσο είναι το μέτρο της υ0. υ0=200m/s 3.42 Βαγόνι το οποίο κινείται σε λείες οριζόντιες ράγες συγκρούεται με ταχύτητα υ1=4m/s με άλλο προπορευόμενο όμοιο βαγόνι που κινείται με ταχύτητα υ2=2m/s και ενώνεται μ' αυτό. Πόση είναι η ταχύτητα των βαγονιών μετά την κρούση; V=3m/s

24

3.43 Πάνω σε μια βάρκα μάζας m2=100kg βρίσκεται μια κοπέλα μάζας m1=50kg και το σύστημα κινείται ευθύγραμμα χωρίς τριβές με ταχύτητα υ0=2m/s. Η κοπέλα πηδάει από τη βάρκα σε αντίθετη κατεύθυνση από τη ⎩υ0 και με ταχύτητα μέτρου υ1=4m/s. Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας της βάρκας μετά την αποχώρηση της κοπέλας. V=5m/s 3.44 Διαστημικό όχημα μάζας m=100kg κινείται χωρίς την επίδραση καμιάς δύναμης με ταχύτητα υ0=300m/s. Ξαφνικά εκτοξεύει θαλαμίσκο μάζας ίσης με το 1/4 της μάζας του σε κατεύθυνση αντίθετη από την κατεύθυνση της υ0 και με ταχύτητα μέτρου ίσου με υ0. Πόση είναι η ταχύτητα του υπολοίπου τμήματος; 500m/s 3.45 Μικρό κανόνι μάζας m2=200kg φέρει βλήμα μάζας m1=1kg και ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Εκτοξεύει το βλήμα οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ1=200m/s και το χρονικό διάστημα που χρειάζεται για να φύγει το βλήμα από την κάνη είναι Δt=0,01s. Να υπολογίσετε: α. Την ταχύτητα του κανονιού μετά την εκτόξευση του βλήματος (ταχύτητα ανάκρουσης). β. Τη μέση δύναμη που δέχτηκε το βλήμα από τα αέρια κατά την εκπυρσοκρότηση. α. 1m/s, β. 2·104Ν 3.46 Ένα παιδί μάζας m1=50kg βρίσκεται πάνω σ΄ ένα skateboard, μάζας m2=2kg και ισορροπεί πάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια. Το παιδί τινάζεται απότομα και πηδάει από το skate με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ1=1m/s. Η χρονική διάρκεια της αποχώρησης του παιδιού από το skate είναι Δt=0,5s. α. Πόση είναι η ταχύτητα υ2 που αποκτά το skate αμέσως μετά την αποχώρηση του παιδιού; β. Πόση μέση δύναμη άσκησε το παιδί στο skate κατά την αποχώρηση; α. 25m/s, β. 100Ν 3.47 Κιβώτιο μάζας m1=6kg ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σφαίρα μάζας m2=2kg που κινείται πάνω στο ίδιο επίπεδο συγκρούεται με αυτόν με ταχύτητα μέτρου υ2=10m/s και ανακλάται σε αντίθετη κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου V2=2m/s. Αν το κιβώτιο δέχτηκε από τη σφαίρα μέση δύναμη F=120N, να βρεθούν: α. Η ταχύτητα, V1 του κιβωτίου μετά την κρούση. β. Η χρονική διάρκεια επαφής της σφαίρας με το κιβώτιο. α. 4m/s, β. Δt=0,2s 3.48 Παγοδρόμος μάζας m1=40kg στέκεται στην λεία επιφάνεια πάγου. Μπάλα μάζας m2=10kg φτάνει σ’ αυτόν με ταχύτητα οριζόντιας κατεύθυνσης και μέτρο υ0=10m/s. α. Αν για να την μπλοκάρει χρειάζεται χρόνος Δt=0,5s, πόση δύναμη δέχτηκε ο παγοδρόμος από τη μπάλα και πόση η μπάλα από τα χέρια του παγοδρόμου; β. Σε μια ίδια ακριβώς φάση ο παγοδρόμος αποκρούει τη μπάλα με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 2m/s, μέσα σε χρόνο 0,5s και πάλι. Πόση μέση δύναμη δέχεται τώρα ο παγοδρόμος από τη μπάλα και πόση η μπάλα από τα χέρια του παγοδρόμου; α. 160Ν, β. 240Ν

25

3.49 Δύο σφαίρες μάζας m =m και m1 2=5m, συγκρατούνται στα άκρα ενός συσπειρωμένου ελατηρίου με τη βοήθεια ενός νήματος. Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται, οπότε, μετά από την πλήρη αποσυσπείρωση του ελατηρίου, η σφαίρα m1 αποκτά ταχύτητα μέτρου 10m/s. Να βρείτε την ταχύτητα της άλλης σφαίρας. −5m/s 3.50 Ξύλινος κύβος μάζας Μ=1,8kg ηρεμεί αρχικά πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα μάζας m=0,2kg κινείται οριζόντια και σφηνώνεται σ’ αυτόν με ταχύτητα μέτρου υ=20m/s. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα ολισθαίνει στο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει τριβές με συντελεστή τριβής μ=0,2. α. Πόση είναι η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β. Πόσο χρόνο χρειάζεται το συσσωμάτωμα για να σταματήσει και πόσο διάστημα θα έχει διανύσει μέχρι τότε; Δίνεται g=10m/s2. α. 2m/s, β. 1s, 1m 3.51 Κανόνι μάζας m2=500kg φέρει βλήμα μάζας m1=10kg και το σύστημα ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Μεταξύ κανονιού και επιπέδου ο συντελεστής τριβής είναι μ=0,5. α. Με πόση ταχύτητα πρέπει να εκτοξεύσει το βλήμα, ώστε το κανόνι να διανύσει μετά την εκπυρσοκρότηση διάστημα s=3,6m μέχρι να σταματήσει. β. Σε πόσο χρόνο διανύει το διάστημα αυτό; α. 300m/s, β. t=1,2s 3.52 Δύο μπίλιες με μάζες m1=0,8kg και m2=2kg κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο η μία προς την άλλη με αντίθετες κατευθύνσεις και με ταχύτητες που έχουν μέτρα υ1=4m/s και υ2=2m/s αντιστοίχως. Οι μπίλιες συγκρούονται και μετά τη σύγκρουση η m1 συνεχίζει στην αντίθετη κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου, V1=1m/s. α. Να βρεθεί η ταχύτητα της μπίλιας m2 μετά την κρούση. β. Μετά την κρούση η μπίλια m1 ανεβαίνει σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=300.Πόσο διάστημα διανύει πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο; α. V2=0, β. s=0,1m 3.53 Κύβος από μαλακό υλικό μάζας m1=0,2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υ1=10m/s κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx. Βλήμα μάζας m2=0,1kg κινείται σε αντίθετη κατεύθυνση και συναντά τον κύβο με ταχύτητα υ2=10m/s και τον διαπερνάει. Το βλήμα βγαίνει από τον κύβο με ταχύτητα μέτρου V2=5m/s χωρίς να αλλάξει κατεύθυνση. α. Πόση είναι η νέα ταχύτητα του κύβου. β. Πόσο είναι το μέτρο μεταβολής της ορμής του βλήματος, του κύβου και του συστήματός τους; α. V1=7,5m/s, β. −0,5kgm/s, 0,5kgm/s, 0 3.54 Σχεδία μήκους λ=3m, μάζας Μ=120kg επιπλέει στην επιφάνεια της θάλασσας. Ο ναυαγός μάζας m=60kg που βρίσκεται στη μια της άκρη, διανύει το μήκος της βάρκας με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ1=0,2m/s, ως προς την ακίνητη θάλασσα. Να υπολογιστούν: α. Η μετατόπισή της σχεδίας ως προς την ακίνητη θάλασσα, τη στιγμή που ο ναυαγός φτάνει στην άλλη άκρη.

26

β. Το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να φτάσει στην άλλη άκρη και η ταχύτητα της σχεδίας. α. 1m/s, β.10s, 0,1m/s 3.55 O ναύτης μάζας m1 στέκεται στην πρύμνη της βάρκας μάζας m2 και μήκους d, που ηρεμεί στην ήρεμη επιφάνεια του νερού. Αν ο ναύτης μετατοπιστεί από την πρύμνη στην πλώρη, πόση είναι η αντίστοιχη μετατόπιση της βάρκας ως προς ακίνητο παρατηρητή που κάθεται στην προκυμαία; Οι τριβές μεταξύ νερού και βάρκας να θεωρηθούν αμελητέες. Δx=m1d/(m1+m2) 3.56 Βλήμα μάζας m=10kg βάλλεται από σημείο του εδάφους κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα 20m/s. Όταν φτάνει στο μέγιστο ύψος h διασπάται σε δύο τμήματα με μάζες m1 και m2. Αμέσως μετά τη διάσπαση τα δύο τμήματα αποκτούν οριζόντιες ταχύτητες ίσου μέτρου υ1=υ2=20m/s, αντίθετης φοράς. Να υπολογιστούν: α. Οι μάζες των δύο τμημάτων. β. Το ύψος που έγινε η διάσπαση. γ. Η απόσταση μεταξύ των σημείων στα οποία τα δύο τμήματα συνάντησαν το έδαφος. Δίνεται g=10m/s2. Οι τριβές με τον αέρα να θεωρηθούν αμελητέες. α. m1=m2=5kg, β. h=20m, γ. 80m 3.57 Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε τον ξύλινο στόχο μάζας Μ=3,8kg που βρίσκεται σε ύψος h=5m πάνω από το οριζόντιο επίπεδο Αx. Βλήμα μάζας m=0,2kg κινείται οριζόντια και σφηνώνεται στο στόχο με ταχύτητα μέτρου υ=100m/s. Το συσσωμάτωμα που σχηματίζεται εκτελεί οριζόντια βολή στο κενό και συναντά το οριζόντιο επίπεδο Αx στο σημείο Σ. Να υπολογιστεί η απόσταση ΑΣ. Δίνεται g=10m/s2. ΑΣ=5m

27

4. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (ΓΑΤ)

Γενικά χαρακτηριστικά της ΓΑΤ: Ευθύγραμμη περιοδική κίνηση γύρω από θέση ισορροπίας με την απομάκρυνση y=y0ημωt

Περίοδος Τ (s) − Συχνότητα f (Ηz) όπου: f = Νt

, f = 1Τ

και Τ = 1f

Κυκλική συχνότητα, ω ω=2πf = 2πΤ

Μονάδες : 1rad/s

Εξισώσεις κίνησης στη ΓΑΤ: Απομάκρυνση: y=y0ημωt y0 πλάτος Ταχύτητα: υ=υ0συνωt υ0=y0ω, μέγιστη ταχύτητα Επιτάχυνση: α=−α0ημωt α0=y0ω

2 μέγιστη επιτάχυνση Σχέση α και y: α=−ω2y Δύναμη επαναφοράς σε σχέση με το χρόνο: ΣF=−F0ημωt, F0=mα0 Δύναμη επαναφοράς με την απομάκρυνση: ΣF=−Dy Σταθερά επαναφοράς: D=mω2

Κυκλική συχνότητα: ω= Dm

Περίοδος: Τ=2π mD

Δυναμική ενέργεια U= Dy2

2

Κινητική ενέργεια: Κ=mυ2

2

Ολική ενέργεια: Ε= U0=K0= Dy02

2 = σταθερή

Η διατήρηση της ενέργειας: Ε=Κ+U = Dy2

2 + mυ2

2 = Dy0

2

2 = mυ0

2

2 =σταθ.

Απλό εκκρεμές:

Περίοδος απλού εκκρεμούς: Τ=2π Lg

Σταθερά επαναφοράς: D = mgL

Ταλαντωτής μάζα − ελατήριο:

Περίοδος: Τ=2π mk

Σταθερά επαναφοράς: D=k ( σταθερά ελατηρίου)

28

4. Γραμμικές αρμονικές ταλαντώσεις Ερωτήσεις 4.1 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Περίοδος Τ ενός περιοδικού φαινομένου λέγεται ο ………. που χρειάζεται για να πραγματοποιηθεί το φαινόμενο μια φορά. β. Συχνότητα, f ενός περιοδικού φαινομένου λέγεται το φυσικό μέγεθος που εκφράζεται με το πηλίκο του αριθμού Ν των …………….. του φαινομένου προς το ……….. μέσα στον οποίο πραγματοποιήθηκαν. γ. Κυκλική συχνότητα, ω είναι το φυσικό μέγεθος που εκφράζει τον αριθμό των επαναλήψεων ενός φαινομένου κάθε …….. δευτερόλεπτα δ. Γραμμική αρμονική ταλάντωση λέγεται η ταλάντωση που πραγματοποιεί ένα σώμα όταν η τροχιά του είναι ευθεία γραμμή και η απομάκρυνσή του ……………… συνάρτηση του χρόνου. δ. Το 1Ηz εκφράζει τη …………… ενός αρμονικού ταλαντωτή, ο οποίος σε χρόνο …. πραγματοποιεί μια πλήρη ταλάντωση. 4.2 Να αποδειχθεί η σχέση, f=1/Τ που συνδέει περίοδο και συχνότητα. 4.3 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; α. Η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι περιοδική κίνηση. β. Η κίνηση της σελήνης γύρω από τη Γη είναι μηχανική ταλάντωση. γ. Η κίνηση μιας μπάλας που είναι δεμένη στο ελεύθερο άκρο ελατηρίου που κρέμεται από ακλόνητο σημείο είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση. δ. Το επαναλαμβανόμενο άναμμα και σβήσιμο ενός φάρου είναι ταλάντωση. ε. Η κίνηση ενός εκκρεμούς με μεγάλη γωνία είναι ταλάντωση. στ. Η ομαλή κυκλική κίνηση είναι περιοδική κίνηση. 4.4 Περιοδικό φαινόμενο έχει συχνότητα f=10Hz. Αυτό σημαίνει ότι το φαινόμενο επαναλαμβάνεται: α. Δέκα φορές κάθε 1s. β. Μια φορά κάθε 10s. γ. Δέκα φορές κάθε 10s. Ποια είναι η σωστή απάντηση; 4.5 Περιοδικό φαινόμενο έχει περίοδο Τ=2s. Αυτό σημαίνει ότι το φαινόμενο επαναλαμβάνεται α. Δύο φορές κάθε 1s. β. Μια φορά κάθε 2s. γ. Δύο φορές κάθε 2s. Ποια είναι η σωστή απάντηση; 4.6 Ποιες κινήσεις ονομάζουμε: α. Περιοδικές; β. Ταλαντώσεις; γ. Γραμμικές (απλές) αρμονικές ταλαντώσεις; Δώστε από ένα παράδειγμα για κάθε κίνηση.

29

4.7 Α. H περίοδος περιστροφής του δευτερολεπτοδείκτη είναι: α. 1min β. 1s γ. 60min δ. 24h Β. Η περίοδος περιστροφής του λεπτοδείκτη είναι: α. 1min β. 60min γ. 12h δ. 24h Γ. Η περίοδος περιστροφής του ωροδείκτη είναι: α. 24h β. 12h γ. 60min δ. 12min 4.8 Γνωρίζουμε ότι ένα απλό εκκρεμές έχει περίοδο Τ=2s. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές, ή λανθασμένες; α. Η συχνότητα του εκκρεμούς είναι 2Ηz. β. Το εκκρεμές μεταβαίνει από την μια ακραία θέση στην άλλη σε χρονικό διάστημα 2s. γ. Για να μεταβεί το εκκρεμές από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης, απευθείας, στη θέση ισορροπίας χρειάζεται χρόνο 1/4s. δ. Το εκκρεμές διαγράφει μια πλήρη ταλάντωση κάθε δύο δευτερόλεπτα. ε. Το εκκρεμές διαγράφει δέκα πλήρεις ταλαντώσεις κάθε 20s. 4.9 Αν η συχνότητας μιας γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης είναι f=2Ηz αυτό σημαίνει ότι το υλικό σημείο που την πραγματοποιεί: α. Κάνει μια πλήρη ταλάντωση κάθε 2s. β. Χρειάζεται 0,5s για να κάνει μια πλήρη ταλάντωση. γ. Κάνει δύο πλήρεις ταλαντώσεις κάθε 1s. δ. Περνάει κάθε ¼ του sec από τη θέση ισορροπίας. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; 4.10 Ποιες από τις μαθηματικές εκφράσεις που ακολουθούν και συνδέουν συχνότητα f, περίοδο Τ και κυκλική συχνότητα ω , είναι σωστές ή λάθος και γιατί. α. f=Τ -1 β. Τ=2πω γ. f,Τ=1 δ. f=2π/ω ε. ω=2π/Τ στ. Τ,ω=1 4.11 Σώμα που κάνει ΑΑΤ εκτελεί σε χρόνο 4π δευτερόλεπτα 8 πλήρεις αιωρήσεις. Η κυκλική συχνότητα είναι: α. ω=4rad/s β. ω=1rad/s γ. ω=2rad/s δ. ω=8rad/s 4.12 Σώμα που κάνει ΑΑΤ εκτελεί σε 8 δευτερόλεπτα, 16 πλήρεις αιωρήσεις. Η συχνότητα είναι: α. f=2Ηz β. f=0,5Ηz γ. f=1Ηz δ. f=2πΗz 4.13 Σε μια ΓΑΤ η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι: α. Γραμμική συνάρτηση του χρόνου. β. Εκθετική συνάρτηση του χρόνου. γ. Αρμονική συνάρτηση του χρόνου. δ. Μπορεί να είναι όλα τα παραπάνω. 4.14 Τι είναι: α. Η απομάκρυνση, x β. Το πλάτος, x0 γ. Η περίοδος, Τ δ. Η φάση ε. Η συχνότητα, f για μια γραμμική αρμονική ταλάντωση; 4.15 Σε μια ΓΑΤ, η ταχύτητα του ταλαντωτή είναι: α. Θετικής αλγεβρικής τιμής σε κάθε χρονική στιγμή.

30

β. Σταθερή. γ. Μέγιστη κατά απόλυτη τιμή, όταν περνάει από τη θέση ισορροπίας. δ. Μέγιστη όταν φτάνει στη μέγιστη απομάκρυνση. 4.16 Σε μια ΓΑΤ, η επιτάχυνση του ταλαντωτή είναι: α. Θετική, όπου είναι θετική και η απομάκρυνση. β. Ίση με α=α0 εκεί όπου y=−y0. γ. Μέγιστη κατά απόλυτη τιμή, όταν περνάει από τη θέση ισορροπίας. δ. Σταθερή. 4.17 Υλικό σημείο που εκτελεί ΓΑΤ με πλάτος x0 και γωνιακή συχνότητα ω βρίσκεται τη χρονική στιγμή t0=0 στη θέση ισορροπίας και η ταχύτητά του είναι θετική. Ποιες από τις σχέσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. x=x0ημωt γ. υ=−x0ωσυνωt ε. α=−x0

2ωημωt β. x=x0 συνωt, δ. υ=x0 ωσυνωt στ. α=−x0ω2 ημωt 4.18 Η απομάκρυνση x ενός υλικού σημείου που κάνει ΑΑΤ με πλάτος Α και περίοδο Τ δίνεται από τη σχέση x=x0ημ(2πt/Τ). Να βρείτε ποιες από τις γραφικές παραστάσεις που ακολουθούν αντιστοιχούν στην απομάκρυνση x, την ταχύτητα υ και την επιτάχυνση α σε σχέση με το χρόνο, t.Nα δικαιολογήσετε τις επιλογές σας.

4.19 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αφορούν μια ΓΑΤ είναι σωστές ή λάθος α. Το πλάτος είναι ανάλογο της περιόδου Τ. β. Η στιγμιαία ταχύτητα του ταλαντωτή εξαρτάται από το πλάτος και την κυκλική συχνότητα. γ. Η μέγιστη επιτάχυνση είναι ανάλογη του τετράγωνου του πλάτους. δ. Η μέγιστη ταχύτητα είναι αντιστρόφως ανάλογη της περιόδου Τ. 4.20 Υλικό σημείο κάνει ΓΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=x0ημωt. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; α. Η ταχύτητα όταν περνάει από τη θέση ισορροπίας είναι ±x0ω. β. Η ταχύτητα και η επιτάχυνση μηδενίζονται τις ίδιες χρονικές στιγμές. γ. Οι αλγεβρικές τιμές ταχύτητας και απομάκρυνσης έχουν κάθε χρονική στιγμή το ίδιο πρόσημο. δ. Οι αλγεβρικές τιμές απομάκρυνσης και επιτάχυνσης έχουν κάθε χρονική στιγμή αντίθετα πρόσημα. ε. Η μέγιστη τιμή της επιτάχυνσης έχει μέτρο x0

2ω. στ. Το πρόσημο της ταχύτητας είναι θετικό αν κινείται στο θετικό ημιάξονα. ζ. Στη θέση x=+x0 η επιτάχυνση είναι α=−ω2x0.

31

4.21 Υλικό σημείο κάνει ΓΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=x0ημωt, περίοδο, Τ και ξεκινάει τη χρονική στιγμή, t=0. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Τη χρονική στιγμή t=0 το υλικό σημείο βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και κινείται προς τη θετική κατεύθυνση. β. Τη χρονική στιγμή t=Τ/4, η ταχύτητα θα είναι μηδέν. γ. Το χρονικό διάστημα για να μεταβεί απευθείας από τη θέση x0 στη θέση −x0 είναι Τ. δ. Τη χρονική στιγμή 3Τ/4 βρίσκεται στη θέση −x0. ε. Χρειάζεται χρόνο ίσο με Τ/2 για να ξαναπεράσει από τη θέση ισορροπίας. στ. Κάθε μιας περίοδο περνάει δύο φορές από τη θέση ισορροπίας του. 4.22 Στη γραφική παράσταση του σχήματος βλέπουμε τη μεταβολή της απομάκρυνσης x ενός αρμονικού ταλαντωτή σε σχέση με το χρόνο, t. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές, ή λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Η εξίσωση απομάκρυνσης είναι x=0,2ημ(πt/2) (S.I) β. Το χρονικό διάστημα για να μεταβεί απευθείας από το 0,2m στη θέση −0,2m είναι 2s. γ. Η συχνότητα της ΓΑΤ, f=4Hz. δ. Από το 1s έως τα 3s η ταχύτητα έχει αρνητικές αλγεβρικές τιμές. ε. Τη χρονική στιγμή t=1s η επιτάχυνση είναι α =−0,05π2 m/s2. 4.23 Στη γραφική παράσταση του σχήματος βλέπουμε τη μεταβολή της ταχύτητας, υ ενός αρμονικού ταλαντωτή σε σχέση με το χρόνο, t. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές, ή λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Η εξίσωση απομάκρυνσης είναι x=2ημ(πt) στο S.I. β. Η εξίσωση της ταχύτητας είναι υ=−2πσυνπt στο S.I. γ. Στο χρονικό διάστημα [0,1s] η επιτάχυνση είναι θετική. δ. Τη χρονική στιγμή t=1,5s είναι α=−4π2m/s2. ε. Τη χρονική στιγμή t=1/6s η επιτάχυνση είναι α=−π2m/s. ζ. Τη χρονική στιγμή t=2s η απομάκρυνση είναι x=0. 4.24 Στη γραφική παράσταση του σχήματος βλέπουμε τη μεταβολή της επιτάχυνσης, α ενός αρμονικού ταλαντωτή σε σχέση με το χρόνο, t. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές, ή λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Το πλάτος της ΓΑΤ είναι 0,2m. β. Η εξίσωση της επιτάχυνσης είναι α=−2ημ2t, (S.Ι) γ. Η εξίσωση της ταχύτητας είναι υ=1συνπt, (S.I) δ.Tο σώμα περνάει κάθε π sec από τη θέση ισορροπίας. ε. Τη χρονική στιγμή t=π/6s έχει ταχύτητα υ=0,5m/s. στ. Τη χρονική στιγμή t=π/4 έχει επιτάχυνση α=2m/s2. ζ. Τη χρονική στιγμή t=πs η ταχύτητα είναι υ=0

32

4.25 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Σε μια ΓΑΤ η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα στη διεύθυνση της τροχιάς του έχει κατεύθυνση προς τη …………. ……………. και είναι ανάλογη της ……………… β. Η δύναμη επαναφοράς είναι ……………….. συνάρτηση του χρόνου. γ. Η περίοδος είναι ……………… από το πλάτος. δ. Η περίοδος σε μια ΓΑΤ είναι ανάλογη προς της τετραγωνική ρίζα της………. και αντιστρόφως ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας της ……………. επαναφοράς. ε. Η σταθερά επαναφοράς ενός συστήματος που κάνει ΓΑΤ είναι ………………… από τη συχνότητα ταλάντωσης. στ. Στο σύστημα μάζα − ελατήριο η ……………… επαναφοράς είναι ίση με τη σταθερά του ελατηρίου. 4.26 Να αποδείξετε ότι σε μια ΓΑΤ ισχύουν: α. ΣF=−mx0ω

2ημωt β. ΣF−Dx γ. Τ=2π m/D 4.27 Υλικό σημείο μάζας m εκτελεί ΑΑΤ με σταθερά επαναφοράς D. Όταν βρίσκεται σε απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας η συνισταμένη δύναμη F που δέχεται είναι της μορφής:

α. F=Dx β. F=−Dx2 γ. F=−Dx δ. F=0 4.28 Υλικό σημείο μάζας m εκτελεί ΑΑΤ . Η συνισταμένη δύναμη F που δέχεται είναι: α. Ανάλογη του χρόνου. β. Ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου. γ. Ανεξάρτητη του χρόνου. δ. Ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 4.29 Υλικό σημείο μάζας m κάνει ΓΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=x0ημωt. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές, ή λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Η δύναμη επαναφοράς είναι της μορφής ΣF=-mα0ημωt. β. Η μέγιστη τιμή της δύναμης που δέχεται το σώμα έχει μέτρο mω2x0. γ. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος θα διπλασιαστεί η σταθερά επαναφοράς. δ. Αν υποδιπλασιάσουμε το πλάτος θα υποδιπλασιαστεί η μέγιστη επιτάχυνση. ε. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος θα διπλασιαστεί και το μέτρο της μέγιστης δύναμης. στ. Αν τετραπλασιάσουμε τη μάζα τότε η συχνότητα θα διπλασιαστεί. 4.30 Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί ένα σώμα ΓΑΤ. α. Η επιτάχυνση να είναι σταθερή. β. Η συνισταμένη δύναμη να έχει κατεύθυνση προς τη μέγιστη απομάκρυνση. γ. Η απομάκρυνση να είναι ανάλογη του χρόνου. δ. Η συνισταμένη δύναμη να έχει μέτρο ανάλογο προς την απομάκρυνση και κατεύθυνση προς τη θέση ισορροπίας. 4.31 Σώμα μάζας m συνδέεται με το άκρο ελατηρίου σταθεράς k και το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου στηρίζεται σε ακλόνητο σημείο. Αν απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας και το αφήσουμε ελεύθερο, δείξτε ότι κάνει ΓΑΤ και υπολογίστε την περίοδο. Η απόδειξη να γίνει με το ελατήριο: α. Οριζόντιο, β. Κατακόρυφο, γ. Κεκλιμένο.

33

Η κίνηση του σώματος γίνεται χωρίς τριβές και μέσα σε σταθερό πεδίο βαρύτητας. 4.32 Σε ταλαντωτή που αποτελείται από μάζα m και ελατήριο σταθεράς k τετραπλασιάζουμε τη μάζα διατηρώντας το πλάτος σταθερό. Ποιες από τι ς προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Η περίοδος διπλασιάζεται . β. Η συχνότητα διπλασιάζεται. γ. Η μέγιστη ταχύτητα υποδιπλασιάζεται. δ. Η μέγιστη επιτάχυνση πολλαπλασιάζεται επί 2. ε. Η μέγιστη δύναμη παραμένει σταθερή. 4.33 Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k, φέρει σώμα μάζας m και εκτελεί ΓΑΤ με πλάτος x0.Αν διπλασιάσουμε το πλάτος, ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Η περίοδος θα μείνει σταθερή. β. Η μέγιστη επιτάχυνση θα διπλασιαστεί. γ. Η μέγιστη ταχύτητα θα τετραπλασιαστεί. δ. Η μέγιστη δύναμη θα μείνει σταθερή. 4.34 Να αντιστοιχίσετε τα φυσικά μεγέθη μιας ΓΑΤ που βρίσκονται στην αριστερή στήλη με τις αντίστοιχες εκφράσεις που βρίσκονται στη δεξιά στήλη.

F0 2πmD

Τ 12π

Dm

ω x0 ,Dm

f Dm

α0 -Dx0 4.35 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Η ενέργεια μιας αμείωτης ταλάντωσης παραμένει …………… β. Σε μια αμείωτη ΓΑΤ η δυναμική ενέργεια μετατρέπεται περιοδικά σε ………….. και το αντίστροφο, ενώ το …………. κινητικής και δυναμικής ενέργειας διατηρείται ………… γ. Η μηχανική ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή που κάνει ΓΑΤ είναι ανάλογη της ………….. επαναφοράς και ανάλογη του τετραγώνου του ……… δ. ¨Όταν το υλικό σημείο που κάνει ΓΑΤ περνάει από τη θέση ισορροπίας όλη του η ενέργεια είναι υπό μορφή …………… ενώ όταν φτάνει στη μέγιστη απομάκρυνση έχει γίνει…………. 4.36 Υλικό σημείο κάνει ΓΑΤ με πλάτος x0 και σταθερά επαναφοράς, D. α. Να εκφράσετε τη δυναμική και τη κινητική ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή σε σχέση με: i. Την απομάκρυνση x. ii. Το χρόνο t. β. Να παραστήσετε γραφικά τις ενέργειες της ταλάντωσης σε σχέση με την απομάκρυνση και σε σχέση με το χρόνο.

34

4.37 Αν η δυναμική ενέργεια είναι U=Dx2/2 και η κινητική Κ=mυ2/2 να αποδείξετε ότι η μηχανική ενέργεια του ταλαντωτή είναι Ε=Dx0

2/2. 4.38 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται στην ενέργεια του αρμονικού ταλαντωτή είναι σωστές, ή λάθος και γιατί. α. Η κινητική ενέργεια του ταλαντωτή, όταν διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, μηδενίζεται. β. Η ολική ενέργεια του ταλαντωτή, όταν φτάνει στη μέγιστη απομάκρυνση, μηδενίζεται. γ. Στη θέση ισορροπίας, η ολική ενέργεια του ταλαντωτή είναι μόνο κινητική. δ. Η ολική ενέργεια του ταλαντωτή είναι ίση με τη μέγιστη δυναμική. ε. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια προκύπτει μόνο στις θέσεις x=∃x0. 4.39 Ο ταλαντωτής μάζα m και ελατήριο σταθεράς k εξαρτάται από οροφή και εκτελεί κατακόρυφες ταλαντώσεις πλάτους x0. Αν διπλασιάσουμε τη μάζα του ίδιου ταλαντωτή χωρίς να αλλάξουμε το πλάτος, ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Η ολική ενέργεια του ταλαντωτή θα μείνει σταθερή. β. Η μέγιστη δυναμική του ενέργεια θα αυξηθεί. γ. Η μέγιστη κινητική ενέργεια θα διπλασιαστεί. δ. Η σταθερά επαναφοράς θα διπλασιαστεί. ε. Η μέγιστη δύναμη επαναφοράς θα μείνει σταθερή. 4.40 Οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k, φέρει σώμα μάζας m και εκτελεί ΓΑΤ με πλάτος x0. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί; α. Η περίοδος θα μείνει σταθερή. β. Η μέγιστη δυναμική του ενέργεια θα τετραπλασιαστεί. γ. Η μέγιστη δύναμη επαναφοράς θα διπλασιαστεί. δ. Η σταθερά επαναφοράς θα μείνει σταθερή. ε. Η ολική του ενέργεια θα μείνει σταθερή. στ. Η μέγιστη κινητική του ενέργεια θα τετραπλασιαστεί. 4.41 Απλό εκκρεμές με νήμα μήκους λ, σφαιρίδιο μάζας, m κάνει ταλαντώσεις μικρού πλάτους μέσα στο βαρυτικό πεδίο που έχει επιτάχυνση g. α. Δείξτε ότι εκτελεί κατά προσέγγιση ΓΑΤ. β. Υπολογίστε τη σταθερά επαναφοράς. γ. Υπολογίστε τη σχέση που δίνει την περίοδο του εκκρεμούς. 4.42 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν αποτελούν προϋποθέσεις, ώστε ένα απλό εκκρεμές να εκτελεί ΓΑΤ. α. Να μην υπάρχουν καθόλου τριβές. β. Η κίνηση να γίνεται εκτός του πεδίου βαρύτητας. γ. Το νήμα να μην είναι ελαστικό. δ. Η μάζα του σώματος να είναι πολύ μικρή. ε. Η μέγιστη γωνία εκτροπής του νήματος από την κατακόρυφη θέση να μην υπερβαίνει 30. 4.43 Από ποια μεγέθη εξαρτάται η σταθερά επαναφοράς των ταλαντώσεων του απλού εκκρεμούς με μικρά πλάτη. α. Μήκος νήματος. β. Πλάτος ταλάντωσης. γ. Επιτάχυνση βαρύτητας. δ. Μάζα σφαιριδίου. ε. Περίοδος ταλαντώσεων. στ. Μέγιστη ταχύτητα.

35

4.44 Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι: α. Ανάλογη του μήκους, λ. β. Ανάλογη του 1/ g γ. Ανεξάρτητη της g. δ. Ανάλογη του 1/ λ ε. Ανάλογη της μάζας στ. Ανάλογη του πλάτους. 4.45 Σε απλό εκκρεμές που εκτελεί ΓΑΤ, τετραπλασιάζουμε το μήκος, διπλασιάζουμε το πλάτος, ενώ διατηρούμε τη μάζα σταθερή. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί. α. Η περίοδος παραμένει σταθερή. β. Η μέγιστη ταχύτητα παραμένει σταθερή. γ. Η μέγιστη επιτάχυνση υποδιπλασιάζεται. δ. Η μέγιστη δύναμη επαναφοράς υποδιπλασιάζεται. Ασκήσεις 4.46 Υλικό σημείο κάνει ΓΑΤ και διαπιστώνουμε ότι περνάει από τη θέση ισορροπίας του μια φορά κάθε 0,1s. Να βρεθούν: α. Η περίοδος, Τ. β. Η συχνότητα f. γ. Ο αριθμός των πλήρων ταλαντώσεων που κάνει σε 1min. α. Τ=0,2s, β. f=5Ηz, γ.Ν=120 4.47 Υλικό σημείο εκτελεί ΓΑΤ με περίοδο Τ=8s και τη χρονική στιγμή t=0 περνάει από τη θέση ισορροπίας κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση. Σε ποια χρονική στιγμή θα βρίσκεται α. Στη μέγιστη θετική απομάκρυνση για πρώτη φορά. β. Στη θέση ισορροπίας για δεύτερη φορά . γ. Στη μέγιστη αρνητική απομάκρυνση για πρώτη φορά. δ. Στη μέγιστη θετική απομάκρυνση για τρίτη φορά. α. 2s, β. 4s, γ. 6s, δ. 18s 4.48 Η απομάκρυνση σε μια ΓΑΤ δίνεται από τη σχέση x=0,2ημ2πt, στο SΙ. α. Να βρεθούν, το πλάτος, η περίοδος, Τ και η συχνότητα, f. β. Να γραφούν οι εξισώσεις ταχύτητας και επιτάχυνσης. γ. Να παρασταθούν γραφικά τα x, υ, α συναρτήσει του χρόνου, για χρονικό διάστημα [0,Τ]. α. x0=0,2m, Τ=1s, f=1Ηz, β. υ=0,4πσυν2πt, α=−0,8π2ημ2πt 4.49 Σε μια ΓΑΤ η εξίσωση απομάκρυνσης είναι, y=2ημπt, το t σε s, το y σε cm. α. Να γραφούν οι εξισώσεις ταχύτητας και επιτάχυνσης σε σχέση με το χρόνο. β. Να βρεθούν η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση τις χρονικές στιγμές t1=1/3s και t2=1s. α. υ=2πσυνπt, α=−2π2ημπt, β. y1= 3cm/s, υ1=π cm/s, α1= −π2 3 cm/s2, y2=0, υ2=−πcm/s, α2=0 4.50 Υλικό σημείο εκτελεί ΓΑΤ με πλάτος y0=2cm, περίοδο Τ=2s και τη χρονική στιγμή t=0 περνάει από τη θέση ισορροπίας κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση. α. Να γραφεί η εξίσωση απομάκρυνσης. β. Να βρεθεί η χρονική στιγμή που θα έχει, για πρώτη φορά, απομάκρυνση y=+ 3cm. γ. Να βρεθεί η χρονική στιγμή που θα έχει, για πρώτη φορά, απομάκρυνση y=−2cm. α. x=2ημπt ( x σε cm), β.1/3s, γ. 3/2s

36

4.51 Η εξίσωση απομάκρυνσης μιας ΓΑΤ δίνεται από τη σχέση y=0,2ημ20t, στο S.I. α. Πόσο είναι η επιτάχυνση, όταν η απομάκρυνση είναι y=−0,1m β. Πόση είναι απόσταση d μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων του ταλαντωτή. γ. Σε ποιες χρονικές στιγμές περνάει για πρώτη και δεύτερη φορά από τη θέση 0,1m. δ. Ποιες είναι οι δύο πρώτες χρονικές στιγμές για τις οποίες γίνεται υ=υ0/2. α. α=40m/s2, β. d=0,4m, γ. π/120s, 5π/120s, δ. π/60s, 5π/60s 4.52 Υλικό σημείο εκτελεί ΓΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=x0ημωt και γνωρίζουμε ότι η σχέση που συνδέει απομάκρυνση και επιτάχυνση είναι α=−π2y ενώ η μέγιστη ταχύτητα είναι 2π m/s. α. Να βρεθεί το πλάτος. β. Να γραφεί η εξίσωση της επιτάχυνσης ως προς το χρόνο. γ. Να βρεθεί η θέση, x και η ταχύτητα υ, τη χρονική στιγμή t=1/4 s. δ. Να βρεθούν οι δύο πρώτες χρονικές στιγμές που η επιτάχυνση έχει τιμή α=π2 m/s2. α. 2m, β. α=-2π2ημ(πt) στο SΙ, γ. x= 2m, υ= 2π m/s, δ. 5/6s, 11/6s 4.53 Υλικό σημείο μάζας m=0,1kg εκτελεί ΓΑΤ με πλάτος x0=0,2m και κάποια χρονική στιγμή t που βρίσκεται σε απομάκρυνση x=0,1m η δύναμη επαναφοράς έχει τιμή F=-20Ν. Να υπολογιστούν: α. Η σταθερά επαναφοράς D. β. Το μέτρο της μέγιστης δύναμης επαναφοράς. γ. Η επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t. α. 200Ν/m, β. 40Ν, γ. −200m/s2 4.54 Υλικό σημείο μάζας m=2kg εκτελεί ΓΑΤ με πλάτος x0=1m και μέτρο μέγιστης επιτάχυνσης α0=π2m/s2. Να υπολογιστούν: α. Η σταθερά επαναφοράς, β. Η περίοδος της ΓΑΤ. γ. Η μέγιστη τιμή τη δύναμης επαναφοράς. δ. Η αλγεβρική τιμή της δύναμης επαναφοράς στη θέση y=−0,6m . α. D=2π2N/m, β. Τ=2s, γ. F0=2π2Ν, δ. F=1,2π2 Ν 4.55 Ελατήριο σταθεράς k=100Ν/m φέρει σώμα μάζας m και εκτελεί ΓΑΤ με πλάτος Τη χρονική στιγμή t1 που η απομάκρυνση είναι x1=0,4m, η επιτάχυνση έχει αλγεβρική τιμή α1=-1,6m/s2, ενώ τη χρονική στιγμή t2 που η απομάκρυνση είναι x2, η επιτάχυνση είναι α2=0,8m/s2. Να υπολογιστούν: α. H κυκλική συχνότητα, ω. β. H απομάκρυνση x2. γ. Η δύναμη επαναφοράς στη θέση x2. α. ω=2rad/s, β. x2=0,2m, γ. F=20N 4. 56 Υλικό σημείο μάζας m=1kg εκτελεί ΓΑΤ με πλάτος x0=2m, μέτρο μέγιστης ταχύτητας υ0=4πm/s και τη χρονική στιγμή t0=0 βρίσκεται στη θέση x=0 και η ταχύτητα έχει θετική αλγεβρική τιμή.

37

α. Να γραφεί η εξίσωση της δύναμης επαναφοράς ως προς την απομάκρυνση x και ως προς το χρόνο και να γίνουν οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. β. Σε ποια χρονική στιγμή η δύναμη επαναφοράς γίνεται για πρώτη φορά, F= 4π2 2Ν; α. F=−8π2ημ2πt, F=−4π2x, β. t=3/8s 4.57 Μικρή σφαίρα μάζας m=1kg στερεώνεται μεταξύ των άκρων δύο όμοιων ελατηρίων με σταθερές k1=k2=200Ν/m, τα άλλα άκρα των οποίων στηρίζονται σε ακλόνητα σημεία, όπως φαίνεται στο σχήμα. Απομακρύνουμε τη σφαίρα από τη θέση ισορροπίας κατά 0,02m και την αφήνουμε ελεύθερη να ταλαντωθεί γραμμικά χωρίς τριβές. α. Δείξτε ότι το σύστημα εκτελεί ΓΑΤ και υπολογίστε τη σταθερά επαναφοράς. β. Να υπολογίσετε τις μέγιστες τιμές της ταχύτητας και της δύναμης επαναφοράς. α. D=400N/m, β. 0,4m/s, F0=8N 4.58 Οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k=200Ν/m στερεώνεται με το ένα άκρο του σε ακλόνητο σημείο ενώ στο άλλο φέρει σώμα μάζας m=0,02kg με φορτίο q=+10−3C το οποίο ισορροπεί αρχικά πάνω σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές, ενώ στον ίδιο χώρο υπάρχει οριζόντιο ομογενές ηλεκτροστατικό πεδίο έντασης μέτρου Ε=2000V/m με την κατεύθυνση που φαίνεται στο σχήμα. α. Πόση είναι η αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου. β. Απομακρύνουμε το σώμα λίγο από τη θέση ισορροπίας του και σε οριζόντια κατεύθυνση και το αφήνουμε ελεύθερο. Δείξτε ότι εκτελεί ΓΑΤ και υπολογίστε τη σταθερά επαναφοράς και την περίοδο. α. Δλ=0,01m, β. D=200Ν/m, Τ=0,02πs 4.59 Σε μια ΓΑΤ με πλάτος x0 να υπολογίσετε για ποιες τιμές της απομάκρυνσης, x η δυναμική ενέργεια του ταλαντωτή γίνεται ίση με την κινητική. x=± x0 2/2 4.60 Σε μια ΓΑΤ με περίοδο, Τα να υπολογίσετε τις χρονικές στιγμές μέσα στο χρονικό διάστημα [0,Τ] για τις οποίες η δυναμική ενέργεια του ταλαντωτή γίνεται ίση με την κινητική. Τ/8, 3Τ/8, 5Τ/8, 7Τ/8 4.61 Υλικό σημείο εκτελεί ΓΑΤ με πλάτος x0=0,2m και σταθερά επαναφοράς D=32Ν/m. Να υπολογιστούν: α. Η ενέργεια του ταλαντωτή. β. Η δυναμική και η κινητική του ενέργεια τη χρονική στιγμή που βρίσκεται σε απομάκρυνση x=x0/4. α. Ε=0,64J, β. U=0,04J, K=0,6J 4.62 Υλικό σημείο μάζας m=1kg εκτελεί ΓΑΤ με πλάτος x0=1m και κυκλική συχνότητα ω=4rad/s. Να υπολογιστούν: α. Η ενέργεια του ταλαντωτή. β. Το μέτρο της δύναμης επαναφοράς τη χρονική στιγμή που η δυναμική ενέργεια είναι 2J.

38

γ. Η κινητική και η δυναμική ενέργεια τη χρονική στιγμή t=Τ/8. α. Ε=8J, β. F= 8Ν, γ. Κ=U=4J 4.63 Σε μια ΓΑΤ δίνεται η κυκλική συχνότητα ω=10rad/s και πλάτος x0=0,2m. α. Να βρεθεί η ταχύτητα όταν η απομάκρυνση είναι x=0,1m. β. Να βρεθεί η απομάκρυνση όταν το μέτρο της ταχύτητας είναι υ=υ0/2. α. υ = ± 3m/s, β. x=±0,1 3m 4.64 Σε μια ΓΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=x0ημt γνωρίζουμε ότι σε μια χρονική στιγμή που η απομάκρυνση είναι x=1m, η ταχύτητα είναι υ= 3m/s. Να βρεθούν: α. Το πλάτος, x0 β. Η μέγιστη ταχύτητα. γ. Η επιτάχυνση στη θέση x=1m. α. x0=2m, β. υ0=2m/s, γ. α=−1m/s2 4.65 Σε μια ΓΑΤ με περίοδο Τ=2π s γνωρίζουμε ότι όταν η απομάκρυνση είναι x=1m η ταχύτητα έχει μέτρο υ= 3m/s. Να βρεθεί το πλάτος. x0=2m 4.66 Σε ΓΑΤ υλικού σημείου μάζας m=0,2kg , όταν η απομάκρυνση είναι x1=0,6m η ταχύτητα είναι υ1=0,5m/s, ενώ όταν η απομάκρυνση γίνει x2=0,5m η ταχύτητα γίνεται υ2=0,6m/s. Να υπολογιστούν: α. Η σταθερά επαναφοράς. β. Η ολική ενέργεια. α. D=0,2Ν/m, β. Ε=0,061J 4.67 Υλικό σημείο εκτελεί ΓΑΤ με πλάτος x0 και περίοδο Τ. Ποιο ποσοστό της ολικής ενέργειας είναι η κινητική του ενέργεια: α. Τη χρονική στιγμή t=Τ/8. β. Όταν η απομάκρυνση είναι x=∃x0/2. α. Κ=50%Ε, β. Κ=75%Ε 4.68 Σε μια ΓΑΤ, με πλάτος x0, να βρεθούν οι τιμές των απομακρύνσεων συναρτήσει του πλάτους, στις οποίες ισχύει: α. U=0 β. Κ=0 γ. U=Κ δ. U=4K/5. α. 0, β. ∃x0 , γ. ∃x0 2/2, δ. ∃2x0/3 4.69 Σφαίρα μάζας m=1kg είναι εξαρτημένη από το ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο και εκτελεί ΓΑΤ με ολική ενέργεια Ε=8,10−4J. Αν η σχέση που συνδέει τις αλγεβρικές τιμές της επιτάχυνση και της απομάκρυνσης είναι α=-4y να υπολογιστούν, α. Η σταθερά του ελατηρίου. β. Το πλάτος της ταλάντωσης. γ. Η μέγιστη κινητική ενέργεια. δ. Η μέγιστη τιμή της δύναμης επαναφοράς. α. k=4Ν/m, β. x0=0,02m, γ. Κ0=8,10−4J, δ. F0=0,08N

39

4.70 Σώμα μάζας m=0,75kg είναι εξαρτημένο από το ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=16Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο και ισορροπεί. Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του προκαλώντας στο ελατήριο πρόσθετη επιμήκυνση κατά 0,1m και το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει ΓΑΤ. Να υπολογιστούν α. Η ολική ενέργεια της ΓΑΤ. β. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος, όταν η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας θα είναι 0,05m. γ. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος, όταν περνάει από τη θέση ισορροπίας. α. Ε=0,08J, β. υ=0,4m/s, γ. υ0=0,46m/s 4.71 Υλικό σημείο μάζας m=0,4kg εκτελεί ΓΑΤ με περίοδο Τ=2π s και τη χρονική στιγμή t=0 περνάει από τη θέση ισορροπίας με ταχύτητα αλγεβρικής τιμής 0,2m/s. α. Να υπολογιστεί η ολική ενέργεια του ταλαντωτή. β. Να γραφεί η εξίσωση της δυναμικής ενέργειας σε σχέση με το χρόνο. γ. Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια τη χρονική στιγμή t=Τ/4. α. Ε= 0,008J, β. U=0,008ημ2t, γ. Κ=0 4.72 Υλικό σημείο μάζας m=1kg εκτελεί ΓΑΤ με εξίσωση δυναμικής ενέργειας ως προς το χρόνο: U=0,32 ημ24t στο S.Ι. Να βρεθούν: α. To πλάτος. β. Η μέγιστη τιμή της επιτάχυνσης. γ. Η απομάκρυνση, x, όταν η επιτάχυνση είναι 3,2m/s2. δ. Το μέτρο της ταχύτητας εκείνη τη χρονική στιγμή που η απομάκρυνση είναι 0,1m ε. Να γραφεί η εξίσωση της κινητικής ενέργειας σε σχέση με το χρόνο. α. 0,2m β. 3,2m/s2, γ. −0,2m, δ. 0,4 3m/s, ε. Κ=0,32συν24t 4.73 Ωρολογιακό εκκρεμές έχει περίοδο 2s, σ’ ένα τόπο στον οποίο η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g2=9,80m/s2. Να βρεθεί πόσο καθυστερεί, ή προηγείται το ίδιο ρολόι, σε χρονικό διάστημα 24 ωρών, αν μεταφερθεί σε άλλο τόπο στον οποίο η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει τιμή g2=9,75m/s2. Δt=215,46s 4.74 Απλό εκκρεμές μήκους λ μάζας m εκτελεί ΓΑΤ σε πλανήτη που η επιτάχυνση βαρύτητας είναι g και έχει περίοδο Τ1 . Άλλο εκκρεμές, ίδιου μήκους, με σφαιρίδιο διπλάσιας μάζας 2m, εκτελεί ΓΑΤ διπλάσιου πλάτους σε άλλο πλανήτη, που η επιτάχυνση βαρύτητας είναι 0,5g και έχει περίοδο Τ2. Να βρείτε τις σχέσεις που συνδέουν: α. Τις σταθερές επαναφοράς. β. Τις περιόδους. γ. Τις ενέργειες. δ. Τις μέγιστες τιμές της δύναμης επαναφοράς. α. D1=D2, β. Τ2= 2Τ1, γ. Ε2=4Ε1, δ. F2=2F1 4.75 Η περίοδος απλού εκκρεμούς σε πλανήτη με επιτάχυνση βαρύτητας g, είναι Τ, ενώ αν μεταφέρουμε το ίδιο εκκρεμές σε άλλο πλανήτη διαπιστώνουμε ότι η περίοδός του αυξήθηκε κατά 20%. Πόση είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας στο νέο πλανήτη; g⁄=25g/36

40

41