МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

_____________

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

_______________________________________________________________ В.А. ПЕРМЯКОВ, В.В.СОЛОДУХОВ, В.В. БОДРОВ, М.В. ИСАКОВ

РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН

Учебное пособие по курсу

«Электродинамика и распространение радиоволн» Для студентов всех специальностей радиотехнического факультета

по направлению «Радиотехника»

Под редакцией В.А.Пермякова, В.В.Солодухова

Москва Издательство МЭИ 2006

2

УДК 621.396 Р-243

Утверждено учебным управлением МЭИ в качестве учебного пособия для студентов Подготовлено на кафедре антенных устройств и распространения радиоволн Рецензенты: кандидат техн. наук, проф. Нарышкин А.К. доцент Кочержевский В.Г.

Пермяков В.А. Распространение радиоволн: учеб. пособие / В.А. Пермяков В.А., В.В.Солодухов,

В.В.Бодров, М.В. Исаков; под ред. В.А. Пермякова, В.В. Солодухова. –М.: Издательство МЭИ, 2006. – 184 с. ISBN

Рассматриваются процессы распространения радиоволн в естественных средах: вблизи земной поверхности, в ионосфере и тропосфере. Обсуждаются особенности работы линий радиосвязи декаметрового диапазона и космических радиолиний, обусловленные влиянием среды распространения радиоволн.

Для студентов, обучающихся по радиотехническим специальностям по направлению «Радиотехника». ISBN ??????????? © Московский энергетический институт, 2006

3

Посвящается памяти Галины Петровны ГРУДИНСКОЙ

ПРЕДИСЛОВИЕ

В учебном пособии изложен раздел « Распространение радиоволн» курса «Электродинамика и распространение радиоволн». Пособие состоит из пяти глав. Первая глава написана проф. Пермяковым В.А., вторая глава - совместно проф. Пермяковым В.А. (§§2.1-2.7 и 2.9) и доц. Солодуховым В.В (§§ 2.6, 2.8), третья глава - совместно проф. Пермяковым В.А. и проф. Бодровым В.В., четвертая глава - доц. Солодуховым В.В, пятая глава - совместно доц. Исаковым М.В. (§§ 5.1-5.3) и проф. Пермяковым В.А. (§§ 5.4, 5.5). Общее редактирование пособия выполнено проф. Пермяковым В.А. и доц. Солодуховым В.В. В подготовке рисунков оказали помощь аспиранты Сабиров М.М. и Владимиров Л.М. Пособие предназначено для изучения раздела «Распространение радиоволн» при различных формах обучения (очной и дистанционной) студентами всех специальностей, обучающимися по направлению «Радиотехника». Дисциплина «Распространение радиоволн» длительное время читалась на Радиотехническом факультете МЭИ доцентом кафедры АУиРРВ Г.П. Грудинской. Ее учебники и поставленные ею лабораторные работы до сих пор используются в учебной практике. Памяти Галины Петровны Грудинской посвящается это пособие.

4

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ x, y, z – декартовы координаты

000 zyx rrr ,, – единичные векторы декартовой системы координат ω = 2πf – круговая частота f – частота λ0 – длина волны в вакууме с =299 792,458 м/с – скорость света в вакууме k0 = ω/c = 2π⁄λ0 – волновое число свободного пространства (постоянная распространения волны в свободном пространстве)

) ,r(E trr– мгновенное значение вектора электрического поля ) ,r(E ω

rr– комплексная амплитуда вектора электрического поля

ω) ,r(Eω) ,r( rrr=A – модуль комплексной амплитуды вектора электрического

поля ω) ,r(rϕ , ω) ,r(rΦ – фаза комплексной амплитуды вектора электрического поля

000 zω) ,r(yω) ,r(xω) ,r(p rrrrrrrzyx ppp ++= – единичный вектор поляризации

PΣ – мощность излучения антенны D – коэффициент направленного действия антенны

( )ϕθ,Fr

– нормированная векторная комплексная диаграмма направленности антенны R, θ, ϕ – сферические координаты F(θ,ϕ) ( )ϕ= θ,F

r – нормированная амплитудная диаграмма направленности

антенны РЭ – мощность, подводимая к изотропному излучателю (при определении коэффициента направленного действия), эквивалентная изотропная излучаемая мощность η – коэффициент полезного действия (КПД) Pвх – мощность, поступившая на вход антенны G – коэффициент усиления антенны Sэф=G2λ0

2/4π - эффективная поверхность антенны SА – геометрическая площадь антенны R, r – расстояние между передающей и приемной антеннами σ – среднеквадратичная ошибка; проводимость среды σэф – эффективная площадь рассеяния (ЭПР) объекта Г - потери радиолинии, коэффициент поглощения, дБ Г0 - основные потери радиолинии, дБ

5

V(ω) – множитель, учитывающий отличие распространения радиоволн в реальных условиях от распространения радиоволн в вакууме (множитель ослабления, интерференционный множитель) p(x) – плотность вероятности случайной величины К(τ) – временная корреляционная функция τ0 – масштаб временной корреляции К(l) – пространственная корреляционная функция l0 – масштаб пространственной корреляции jr

- объемная плотность тока в полупроводящей среде

смjr

– объемная плотность тока смещения

прjr

–– объемная плотность тока проводимости ε0 = 8,85 10-12 ф/м – электрическая постоянная (абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума ) μ0=(1/4π)∙10-7 Гн/м – магнитная постоянная (абсолютная магнитная проницаемость вакуума ) ε~ – относительная комплексная диэлектрическая проницаемость ε – относительная действительная проницаемость среды, действительная часть относительной комплексной диэлектрической проницаемости ε′′ – мнимая часть относительной комплексной диэлектрической проницаемости α – постоянная затухания волны β – фазовая постоянная п – показатель преломления γ – постоянная распространения волны Г1 -коэффициент удельного поглощения ρn - радиус n-ой зоны Френеля r0 - расстояние прямой видимости R0 – радиус Земли RЭ – эквивалентный радиус Земли h – высота антенны над земной поверхностью, высота неровностей земной поверхности θ – угол падения волны на плоскую поверхность (отсчитывается от нормали к поверхности) R׀׀ – коэффициент отражения плоской волны параллельной поляризации от гладкой плоской поверхности R⊥– коэффициент отражения плоской волны перпендикулярной поляризации от гладкой плоской поверхности Rэ׀׀ - эффективный коэффициент отражения плоской волны параллельной поляризации от неровной плоской поверхности

6

Rэ⊥ - эффективный коэффициент отражения плоской волны перпендикулярной поляризации от неровной плоской поверхности p – давление воздуха pв – парциальное давление водяного пара Т – абсолютная температура в Кельвинах k =1,380662 ·10-23 Вт/Гц·град – постоянная Больцмана S – относительная влажность, рS(T) – давление насыщенного пара при заданной температуре Т N - индекс преломления тропосферы. D,E,F1,F2 – наименования ионосферных слоев. Nэ – концентрация электронов νэфф – эффективная частота соударений e =1,6021892·10-19 Кл – заряд электрона m =9,109534·10-31 кг – масса электрона V – скорость Vф – фазовая скорость монохроматической волны Vгр – групповая скорость сигнала ω0 – собственная круговая частота ионизированного газа (плазменная частота) f0 - собственная частота ионизированного газа (плазменная частота) крf - критическая частота ωH –круговая частота гиромагнитного резонанса (гирочастота) fН - частота гиромагнитного резонанса (гирочастота) ВЧХ – высотно - частотная характеристика. ГЛОНАСС - глобальная навигационная система (Россия) ГО –геометрическая оптика ГТД –геометрическая теория дифракции ДН –диаграмма направленности КПД –коэффициент полезного действия МПЧ – максимальная применимая частота НПЧ – наименьшая применимая частота РЭС – радиоэлектронное средство СПИ – система передачи информации ЭПР – эффективная площадь рассеяния IRI – International Reference Ionosphere –международная справочная модель ионосферы. GPS - Global Positioning System – глобальная навигационная система (США) ТЕС- Total Electron Content – полное электронное содержание TECU - Total Electron Content Unit – единица полного электронного содержания (1 TECU=1016 эл/м2)

7

ВВЕДЕНИЕ В ПРОБЛЕМЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН 1.1. Цель и задачи курса. Основные определения.

Исходными для нашего курса являются такие понятия, как радиосигнал и радиотехническая система передачи информации (СПИ) [1]. Радиосигнал – это сформированное искусственным путем во времени и пространстве электромагнитное поле, являющееся носителем информации. Понятие радиотехнической СПИ поясним на примере системы радиосвязи (рис.1.1). Такая СПИ состоит из двух частей: радиопередающей и радиоприемной. Радиопередатчик преобразует исходный носитель информации (например, звуковой сигнал) в радиосигнал достаточно высокой мощности, который поступает на передающую антенну, излучающую радиосигнал в окружающее пространство. Радиоприемная часть включает в себя приемную антенну и собственно радиоприемник, преобразующий радиосигнал в звуковой. Радиосистемы отличаются от других СПИ тем, что, во-первых, в качестве носителя информации используется радиосигнал, во-вторых, сигнал на пути от передающего устройства к приемному устройству распространяется в естественной среде. Область пространства между передающей и приемной антеннами представляет собой естественную радиотрассу (радиолинию).

При распространении радиоволн по естественным радиотрассам на характеристики радиосигнала влияет окружающая среда: поверхность и атмосфера Земли, в случае космической радиосвязи - космическое пространство, Солнце и другие космические тела.

На пути от передающей к приемной антенне возникают искажения радиосигнала, вызванные средой. Искажение радиосигнала означает искажение информации, носителем которой является сигнал. Цель радиотехнической системы - обеспечить передачу информации с минимальными искажениями. Чтобы определить, достижима ли эта цель, необходимо знать электрофизические параметры естественных сред в диапазонах электромагнитных волн, на которых ведется передача информации, уметь анализировать физические процессы и реализовать математические модели расчета радиосигналов на естественных радиотрассах. Перечисленные вопросы являются содержанием курса «Распространение радиоволн». Этот курс является необходимым звеном для дальнейшего изучения вопросов приема и обработки сигналов: анализа радиосигналов, поступивших на радиоприемное устройство, оценки возможности восстановления исходной информации, решения задач компенсации искажений радиосигналов, возникших при распространении сигналов в среде.

8

б

передат- чик

приемник

среда

R а

R1 R2

передатчик приемник

ретранслятор, объект радиолокации

Рис. 1.1. а - схема радиолинии первого типа, б - схема радиолинии второго типа

9

Для описания излученного антенной радиосигнала используют два

способа. Первый способ – прямое пространственно - временное описание. Радиосигнал при этом характеризуется изменением поляризации и амплитуд электрического ( E

r) и магнитного ( H

r) полей в пространстве – времени, то-

есть векторными функциями координаты rr и времени t : ) ,r(H) ,r(E t,t rrrr.

Наиболее распространенным является второй способ: мгновенные значения напряженностей полей радиосигнала с помощью частотного преобразования Фурье представляются суммой (интегралом или рядом) по гармоническим функциям времени. Это представление называется спектральным разложением сигнала [1]. Каждая гармоническая компонента сигнала представляет собой векторную комплекснозначную функцию частоты и пространственных координат и называется комплексной амплитудой или спектральной плотностью напряженности электрического ( ) ,r(E ω

rr) и магнитного ( ) ,r(H ω

rr) поля [2,3].

Так, напряженность электрического поля ) ,r(E trrи его спектральная

плотность )( ω ,rE rr связаны прямым (1.1.а) и обратным (1.1б)

преобразованиями Фурье

∫π

=ω∞+

∞−

ω− dtet,, ti)r(E21)r(E rrrr

; (1.1а)

ωω)r(E21)r(E ω de,t, tirrrr

∫π

=∞+

∞− . (1.1б)

Функцию, на которую умножается комплексная амплитуда в (1.1.б), принято называть временным множителем. В данном пособии, в соответствии с принятой в технических науках практикой, временной множитель выбран в форме ( )tiωexp . Комплексные амплитуды (например, напряженности электрического поля радиосигнала) могут быть представлены в виде

p)),r()exp(,r(),r(E rrrrrωϕω=ω iA (1.2)

где ) ,r(E) ,r( ω=ωrrrA – модуль комплексной амплитуды вектора электри-

ческого поля; ω) ,r(rϕ – фаза комплексной амплитуды вектора электрического поля; 000 zω) ,r(yω) ,r(xω) ,r(p rrrrrrr

zyx ppp ++= – единичный

вектор поляризации, ( pr =1); pi( rr ,ω) – компоненты вектора поляризации в декартовой системе координат; 000 zyx rrr ,, – единичные векторы декартовой системы координат; ω = 2πf –круговая частота.

Таким образом, спектральная компонента радиосигнала определяется амплитудой, фазой и поляризацией напряженностей электрического и магнитного полей данной частоты.

10

Передающая и приемная антенны, среда распространения сигнала, за исключением специальных случаев, являются линейными системами. При этом исходной для анализа обычно является спектральная плотность напряженности электрического поля, созданная передающей антенной в свободном пространстве, а анализ влияния среды на радиосигнал сводится к расчету изменения спектральной плотности напряженности электрического поля на радиотрассе. 1.2. Диапазоны радиоволн. Общее представление об условиях

распространения радиоволн в различных средах. В курсе электродинамики были рассмотрены такие фундаментальные

понятия, как свободное пространство и электромагнитная волна [2,3]. Под свободным понимают неограниченное пространство, в котором отсутствуют атомы, молекулы и свободные заряды. По определению относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространства равны единице, проводимость равна нулю. В свободном пространстве электромагнитная волна определенной частоты f имеет длину волны λ0, равную

λ0 = c/f , (1.3) где с ≅ 299 793 км/с – скорость распространения электромагнитных волн.

По международной классификации к радиоволнам относятся электромагнитные волны частотой от 3 Гц до 3∙1012 Гц. Этот интервал радиоволн разделен на 12 диапазонов, определяемых неравенством

0,3∙10N Гц < f ≤ 3∙10N Гц, N = 1, 2, ....12. (1.4) Здесь N – номер диапазона. Диапазоны имеют наименование по частоте и длине волны (см. табл. 1).

Диапазоны 1 – 3, хотя и относятся к области радиочастот, для передачи информации не применяются, в этих диапазонах регистрируются низкочастотные колебания электрического и магнитного поля Земли, грозовые разряды. Для радионавигации используются диапазоны 4, 5, для радиотелеграфной связи - диапазоны 4 – 7, для радиотелефонной связи – диапазоны 5 – 7, для радиовещания – диапазоны 5 – 8, для космической радиосвязи, телевидения, радиолокации, радиорелейной связи – диапазоны 8 – 10. Диапазоны радиочастот 11 – 12, а также диапазоны инфракрасных ( 0,75....395 ТГц), оптических (395...750 ТГц), ультрафиолетовых (750 – ....1,5*105 ТГц) и более высоких частот находятся в стадии освоения. Выбор диапазона радиоволн для конкретной радиосистемы определяется в основном двумя факторами: полосой частот радиосигнала и условиями распространения радиоволн. Условия распространения радиоволн на естественных радиотрассах существенно различаются с изменением длины волны (частоты). По этой причине не удается построить

11

универсальную модель радиотрассы, пригодную для всех диапазонов волн. Такие модели удается разработать для групп диапазонов, выделив основные факторы влияния среды на распространение радиоволн в этих группах. Таблица 1. Диапазоны радиоволн.

Но мер

Диапазоны радиочастот Диапазоны радиоволн Наименование Границы Наименование Границы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Крайне низкие (КНЧ) Сверхнизкие (СНЧ) Инфранизкие (ИНЧ) Очень низкие (ОНЧ) Низкие (НЧ) Средние (СЧ) Высокие (ВЧ) Очень высокие (ОВЧ) Ультравысокие (УВЧ) Сверхвысокие (СВЧ) Крайне высокие (КВЧ) Гипервысокие (ГВЧ)

3.....30 Гц 30...300 Гц 0,3.....3 КГц 3.....30 КГц 30...300 КГц 0,3.....3 МГц 3.....30 МГц 30...300 МГц 0,3.....3 ГГц 3.....30 ГГц 30...300 ГГц 0,3.....3 ТГц

Декамегаметровые Мегаметровые Гектокилометровые Мириаметровые Километровые Гектометровые Декаметровые Метровые Дециметровые Сантиметровые Миллиметровые Децимиллиметровые

105...104 км 104...103 км 103...102 км 100...10 км 10...1 км 103...102 м 100...10 м 10...1 м 100...10 см 10...1 см 10...1 мм 1....0,1 мм

Дадим для ориентировки предварительное представление о влиянии

среды на условия распространения радиоволн. Будем исходить из наиболее типичной ситуации, когда и радиопередатчик, и радиоприемник находятся в атмосфере Земли.

Земная поверхность оказывает существенное влияние на распространение радиоволн. Земные породы представляют собой диэлектрические полупроводящие среды с электрофизическими параметрами, значительно отличающимися от параметров свободного пространства. Поэтому радиоволны частично отражаются от земной поверхности, а волны, проникшие в землю, - поглощаются. Земная поверхность является препятствием для прямолинейного распространения радиоволн. При взаимодействии радиоволн с препятствием имеет место явление огибания препятствия волнами – явление дифракции. Горы и различные неровности поверхности Земли, здания и другие сооружения также влияют на распространение радиоволн, причем тем сильнее, чем короче длина волны.

Атмосфера Земли разделяется на две большие области, различающиеся по электрофизическим параметрам: нейтральную и ионизированную области.

Нейтральная область атмосферы (нейтросфера) включает в себя тропосферу (нижний, наиболее плотный слой атмосферы в интервале высот

12

от поверхности Земли до 10-15 км) и стратосферу (слой атмосферы от верхней границы тропосферы до высоты примерно 60 км). Стратосфера по своим параметрам близка к свободному пространству. Электрофизические параметры тропосферы зависят от метеорологических условий и заметно сказываются на распространении сантиметровых и более коротких радиоволн.

Ионизированная область атмосферы включает в себя ионосферу (частично ионизированный слой атмосферы на высотах от 60 до примерно 1000 – 1500 км) и магнитосферу (практически полностью ионизированную область, простирающуюся на расстояния порядка 10 земных радиусов и граничащую с космическим пространством). Закономерности распространения радиоволн в этой области определяются содержанием свободных заряженных частиц - электронов. Концентрация свободных электронов принимает максимальные значения в ионосфере на высотах 250 – 400 км. Влияние ионосферы на распространение радиоволн оказывается существенным на длинах волн свыше 10 – 30 м. На этих длинах волн ионизированный газ играет роль зеркала, отражающего радиоволны. Однако и на более высоких частотах (в метровом и дециметровом диапазонах волн) необходимо учитывать влияние ионосферы на работу космических радиосистем.

За пределами магнитосферы находится межпланетная, а за пределами солнечной системы – космическая плазма. Плотность межпланетной и космической плазмы очень мала, однако ее влияние, а также Солнца и планет солнечной системы, может сказаться на работе систем дальней космической радиосвязи.

Из этого краткого описания следует, что отдельные виды естественных сред (земная поверхность, тропосфера, ионосфера, космическая плазма) разделены в пространстве и различным образом влияют на распространение радиоволн разных диапазонов. Это обстоятельство позволяет изучать распространение радиоволн в отдельно взятой среде. Более детально закономерности распространения радиоволн в различных средах будут рассмотрены в следующих главах.

Диапазоны радиоволн представляют собой своеобразный естественный ресурс. Он отличается от других естественных ресурсов тем, что не расходуется, но постепенно заполняется различными радиосредствами. Поскольку диапазоны радиоволн ограничены, их использование регламентируется международными соглашениями. Одной из современных тенденцией развития техники является освоение более высокочастотных диапазонов радиоволн, позволяющее разместить большее число радиосредств с фиксированной полосой частот по сравнению с диапазонами относительно низких частот.

13

Контрольные вопросы к п.1.1 и 1.2. 1) Что такое естественная радиотрасса (радиолиния)? 2) Какие основные вопросы изучаются в курсе «Распространение радиоволн»?

3) Что такое спектральное представление радиосигнала? 4) Что такое комплексная амплитуда напряженности электрического

(магнитного) поля? Какими функциями координат и частоты она характеризуется?

5) Что означает понятие «диапазон радиоволн»? 6) Какие диапазоны радиоволн используются для радиовещания? для телевидения? радиолокации? космической радиосвязи?

7) Какие виды естественных сред можно выделить в окружающем пространстве?

1.3. Распространение радиоволн в свободном пространстве.

Характеристики антенн.

Свободное пространство является идеализацией реальных сред. Однако изучение законов распространения радиоволн в свободном пространстве является необходимым звеном анализа по двум причинам. Во-первых, в ряде важных практических случаев замена реальной среды свободным пространством справедлива для всей радиолинии. Во – вторых, в большинстве приложений, например, когда передающая и приемная антенны расположены в нейтросфере Земли, замена окружающей среды свободным пространством справедлива в ограниченной области, окружающей антенну. Внутри этой области поле, излучаемое (принимаемое) антенной, определяется без учета среды, что существенно упрощает анализ распространения радиоволн по трассе в целом. Поэтому рассмотрим случай, когда вся радиолиния располагается в свободном пространстве. При проектировании и анализе работы радиосистем необходимо провести расчет напряженности электрического поля в месте расположения приемной антенны или мощности на входе приемного устройства. Для этого необходимы минимальные сведения о характеристиках передающей и приемной антенн. На достаточно больших расстояниях от антенны поле излучения антенны представляет собой сферическую волну, напряженность электрического поля которой определяется формулой [3,4]

RRikDPR )exp(),(F60)θ,,(E 0−

ϕθ=ϕ Σrr

(1.5)

Здесь Er

– вектор комплексной амплитуды электрического поля; ΣP – мощность излучения антенны; D – коэффициент направленного действия

14

(КНД) антенны, ( )ϕθ,Fr

– нормированная векторная комплексная диаграмма направленности (ДН) антенны; R, θ, ϕ – сферические координаты; k0 = ω/c = 2π⁄λ0 - волновое число свободного пространства (постоянная распространения волны в свободном пространстве). ДН нормируется условием max ),(θF 00 ϕ

r=1. Направление 00θ ϕ, соответствует максимуму

ДН. Векторная комплексная ДН антенны может быть записана аналогично (1.2) и определяет изменение амплитуды, фазы и поляризации поля с изменением угловых координат. Ее модуль F(θ,ϕ) называется нормированной амплитудной диаграммой направленности антенны. Определим КНД следующим образом. Предположим, что имеется излучатель, который создает равномерную во всех направлениях плотность потока мощности (такой излучатель называется изотропным 1)). Предположим также, что плотность потока мощности изотропного излучателя равна плотности потока мощности реальной антенны в направлении ее максимального излучения. Ясно, что мощность излучения изотропного излучателя (обозначим ее ЭP , смысл индекса прояснится ниже) должна быть больше мощности излучения реальной антенны ΣP . Плотность потока мощности изотропного излучателя на расстоянии R определяется отношением излученной мощности ЭP к площади сферы радиуса R

)4( 2Э R/P π=Π (1.6)

С другой стороны, плотность потока мощности реальной антенны в заданном направлении определяется через напряженность электрического поля

[ ] π)240(EHERe502

/,rrr

==Π (1.7) _____

1) Реально изотропный излучатель электромагнитных волн создать нельзя. Изотропный излучатель электромагнитных волн – это вспомогательное понятие, которое вводится для того, чтобы сравнивать между собой антенны с различными неравномерными распре- делениями поля в пространстве. Подставив в (1.7) величину напряженности электрического поля (1.5) и приравняв значения плотностей потоков мощности (1.6) и (1.7) в направлении максимального излучения, получим, что

Σ= P/PD Э (1.8) Согласно (1.8) КНД означает, во сколько раз нужно увеличить

мощность эквивалентного изотропного излучателя, чтобы получить в направлении максимального излучения реальной антенны на заданном расстоянии ту же напряженность электрического поля, что от реального излучателя. Величина

DPP Σ=Э , (1.9) называемая эквивалентной изотропной излучаемой мощностью, широко используется при расчете энергетических характеристик радиолиний.

15

Выше предполагалось, что потери в антенне отсутствуют (коэффициент полезного действия (КПД) антенны аη = 1). Если учесть потери мощности в антенне, то мощность излучения ΣP связана с мощностью вхP , поступившей на вход антенны, соотношением

аPP ηвх=Σ (1.10) Для одновременного учета потерь в антенне и направленных свойств антенны вводится величина, называемая коэффициентом усиления антенны G

аDG η= . (1.11) Область пространства, в которой поле антенны может быть представлено как поле точечного источника, излучающего сферическую волну, что соответствует представлению (1.5), называется дальней (или волновой) зоной. Расстояние R, начиная с которого справедливо приближение дальней зоны (1.5), определяется неравенствами

R > 2L2/λ0 при L >> λ0; R > λ0 при L ≈ λ0, L < λ0 . (1.12)

В (1.12) L – максимальный линейный размер антенны, λ0 – длина волны в свободном пространстве. В дальней зоне напряженность электрического поля является вектором, который имеет только касательные к сферической поверхности компоненты поля θE и ϕE . Зависимость этих компонент полей от угловых координат в дальней зоне характеризуется функциями

( ) ( ) ( )( )

,E

EF

EE

Fϕ

ϕϕ

ϕ=ϕ

ϕ=ϕ

max

θ,θ,;

maxθ,

θ,θ

θθ (1.13)

которые представляют собой нормированные амплитудные диаграммы направленности для соответствующих компонент электрического поля. Направления максимальных значений компонент θE и ϕE в общем случае не совпадают с направлением 00θ ϕ, максимума векторной характеристики направленности в (1.5). В качестве примера рассмотрим характеристики элементарного электрического вибратора в свободном пространстве. Элементарным электрическим вибратором (диполем) называется антенна в виде прямолинейного отрезка провода длины L << λ . Расположим диполь в центре сферической системы координат так, что ось вибратора направлена вдоль оси z (рис. 1.2).

16

а)

б)

x

θ

Рис. 1.2. а) − элементарный электрический вибратор (диполь) в сферической системе координат. Диполь направлен вдоль оси z декартовой системы координат, б) – диаграмма направленности диполя F(θ) в свободном пространстве в плоскости (x,z)

17

В дальней зоне напряженность электрического поля диполя определяется формулой

,R

RikFDPiRE )exp()(60)θ,,( 0−θ=ϕ Σθ (1.14)

Здесь F(θ) = sinθ – амплитудная ДН диполя. Коэффициент направленного действия диполя D = 1,5. Широкое распространение получила такая антенна, как симметричный электрический вибратор с длиной, равной половине длины волны (полуволновый вибратор). Напряженность электрического поля этой антенны также определяется формулой (1.14), с той разницей, что ее ДН задана функцией

θ

θπ=θ

sin)coscos(0,5)(F , (1.15)

а коэффициент направленного действия равен D = 1,64. Контрольные вопросы к п.1.3. 1. Какими параметрами и функциями координат определяется напряженность электрического поля в дальней зоне антенны? 2. На каких расстояниях от антенны справедливо приближение дальней зоны?

3. Как определяется нормированная амплитудная диаграмма направленности антенны?

4. Что такое изотропный излучатель 4. Как определяется плотность потока мощности антенны в дальней зоне? 5. Как определяется коэффициент направленного действия антенны? 6. Как определяется эквивалентная изотропная излучаемая мощность? 7. Что такое коэффициент усиления антенны? 8. Как определяются нормированные амплитудные диаграммы направленности для угловых компонент электрического поля θE и ϕE ?

Пример 1. Рассчитать плотность потока мощности на расстоянии 10 км от элементарного вибратора при КПД антенны 1 и мощности на входе антенны 2 Вт. Решение. Плотность потока мощности в Вт/м2 определяется формулой (1.7). Подставим в нее выражение для напряженности электрического поля диполя (1.14). Получим θ,sin2

mΠ=Π где )π4( 2R/DPm Σ=Π . При заданных условиях плотность потока мощности в направлении максимального излучения mΠ =2,38*10-9 Вт/м2. С изменением угла θ от 90о до 0о плотность потока мощности убывает пропорционально sin2θ.

18

Задача 1. Рассчитать плотность потока мощности от сотового радиотелефона на расстоянии 2 км при КПД антенны 0,9 и мощности на входе антенны 0,1 Вт, предполагая, что антенна является элементарным вибратором. 1.4. Распространение радиоволн в свободном пространстве. Основные

типы радиолиний.

Различают два основных типа радиолиний в свободном пространстве [5].

На радиолиниях первого типа передача информации осуществляется непосредственно из пункта передачи в пункт приема (рис.1.1а). К этому типу относятся большинство линий радиосвязи, радиорелейные линии и ряд других радиолиний. Пусть P1 – мощность, поступившая на вход передающей антенны радиолинии первого типа, G1 – коэффициент усиления передающей антенны. Мощность на входе приемника P2 связана с плотностью потока мощности П2 в месте расположения приемной антенны соотношением

эф22 П SP = , (1.16) где

π= 4λ22эф 0 /GS (1.17)

– эффективная поверхность антенны; G2 – коэффициент усиления приемной антенны. Для полуволнового симметричного вибратора эффективная поверхность определяется из (1.16) с учетом того, что D = 1,64, и равна

20эф λ130,S = . Для антенн типа излучающих поверхностей (например,

зеркальных антенн) aS-S 0,8) (0,6эф ≈ , где aS – геометрическая площадь антенны.

На радиолинии первого типа плотность потока мощности в точке приема определяется формулой (1.7). С учетом потерь в передающей антенне согласно (1.10), подставив напряженность поля (1.5) в (1.7), получим следующее выражение для плотности потока мощности передающей антенны в направлении максимального излучения

211

4 RGP

π=Π (1.18)

Подставив далее (1.18) и (1.17) в (1.16), получим для радиолинии первого типа основную формулу радиопередачи

19

2

20211

2)π4(λ

RGGPP = (1.19)

Формула радиопередачи (1.19) записана для случая, когда направления максимального излучения передающей и приемной антенны ориентированы друг на друга. В более общем случае формула радиопередачи для радиолиний первого типа принимает вид

2

2022

22211

2111

2)π4(

)λ(θ)(θR

,FG,FGPP ϕϕ= (1.20)

В (1.19), (1.20) R – расстояние между передающей и приемной антеннами; нижним индексом 1 отмечены величины, относящиеся к передающей антенне, нижним индексом 2 – к приемной. Так, в (1.20) F1(θ1,ϕ1) – амплитудная ДН передающей антенны; θ1,ϕ1 – угловые координаты сферической системы координат, связанной с передающей антенной. Аналогично F2(θ2,ϕ2) – амплитудная ДН приемной антенны; θ2, ϕ2 – угловые координаты сферической системы координат, связанной с приемной антенной. Рассмотрим радиолинию второго типа (рис. 1.1б). На этой радиолинии поле, излученное передающей антенной, на пути распространения рассеивается некоторым объектом. В приемную антенну попадает поле, рассеянное объектом, а не поле, созданное в свободном пространстве передающей антенной. К радиолиниям второго типа относятся линии радиосвязи с пассивным ретранслятором (устройством, которое переизлучает падающее поле в заданном направлении) и радиолокационные линии. Плотность потока мощности падающего на объект излучения вычисляется по формуле (1.7)

21

112

111п

πR4),(θΠ ϕ

=FGP (1.21)

В (1.21) R1 – расстояние от передающей антенны до объекта. Переизлученное объектом поле определяется характеристикой объекта

эфσ , которая называется эффективной площадью рассеяния (ЭПР). ЭПР – это площадь воображаемого переизлучателя, который создает в заданном направлении в точке приема такую же плотность потока мощности, как и реальный объект. В общем случае ЭПР является функцией угловых координат точек передачи θ1,ϕ1 и приема θ2,ϕ2. В соответствии с этим определением переизлученная объектом в заданном направлении плотность потока мощности равна

.R2

2

эфп2

4π

σΠΠ = (1.22)

20

В (1.22) R2 – расстояние от объекта до приемной антенны. Мощность на входе приемника радиолинии второго типа найдем по формуле (1.16), подставив в нее (1.17), (1.21) и (1.22). В результате получим

22

21

3

20эф22

22211

2111

2)4(

λ)σ,(θ),(θ

RR

FGFGPP

π

ϕϕ= . (1.23)

Так же, как и выше, нижние индексы определяют характеристики передающей (1) или приемной (2) антенны.

В радиолокации формула (1.23) относится к случаю двухпозиционной радиолокации, когда передатчик и приемник разнесены в пространстве. В частном и практически важном случае однопозиционной радиолокации, когда передатчик и приемник совмещены и работают на одну антенну, формула радиолокации упрощается до

43

20эф

421

2)4(

λ)σ,(θ

R

FGPP

π

ϕ= . (1.24)

Из (1.20), (1.24) следует, что на радиолиниях первого типа мощность на входе приемника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, а на линиях второго типа – обратно пропорционально четвертой степени расстояния. Столь быстрое убывание поля в последнем случае вызвано тем, что сферически расходится и поле, излученное антенной, и поле, рассеянное объектом. При проектировании радиотехнических систем и расчете радиолиний необходима оценка величины электромагнитной энергии по мере удаления от передающей антенны. С этой целью вводят величину, которая называется потерями радиолинии Г. Потери радиолинии принято определять как отношение мощности, подведенной к передающей антенне к мощности на выходе приемной антенны. Эта величина легко вычисляется по формулам (1.20), (1.23), (1.24) для радиолиний обоих типов и для удобства расчетов определяется в децибелах. В потерях радиолинии выделяют слагаемое 0Γ , называемое основными потерями и соответствующее ослаблению мощности вследствие сферической расходимости волны при ненаправленных антеннах (G1 = G2 = 1)

дБλ

lg2022λ

4lg100

2

00 ,RR

+=

π=Γ (1.25)

Для радиолинии первого типа потери Г, выраженные в дБ, в случае свободного пространства определяются формулой

Г =10lg(P1 /P2)= – 10lg(G1G2)+Г0, дБ, (1.26)

21

где длина волны λ и расстояние R берутся в единицах одинаковой размерности, а 0Γ дано формулой (1.25). Аналогичным образом могут быть найдены потери в радиолинии второго типа. Вопросы к п. 1.4. 1. Что такое радиолиния первого типа? 2. Как вывести основную формулу радиопередачи для радиолинии первого типа.

3. Пусть передающая и приемная антенны радиолинии первого типа направлены максимумами диаграмм направленности друг на друга. Как зависит в этом случае мощность на входе радиоприемного устройства от параметров передающей и приемной антенн, длины волны, расстояния между передающим и приемным устройствами?

4. Что такое радиолиния второго типа? 5. Как вывести основную формулу радиопередачи (радиолокации) для радиолинии второго типа.

6. Что такое ЭПР? 7. Пусть антенна радиолокатора направлена на цель. Как зависит мощность на входе радиоприемного устройства от параметров антенны, длины волны, ЭПР цели, расстояния до цели?

8. Что такое потери радиолинии? Основные потери радиолинии? Пример 1. Радиолиния для передачи информации на частоте 2,4 ГГц имеет следующие параметры: коэф. усиления передающей антенны 10, коэф. усиления приемной антенны – 600, мощность на входе передающей антенны – 1Вт, чувствительность приемного устройства 10 –14 Вт. Рассчитать дальность действия радиолинии при условии, что передающая и приемная антенны ориентированы максимумами диаграмм направленности друг на друга. Решение. Для расчета дальности действия радиолинии используем формулу (1.19). Дальность действия определим из условия равенства мощности на входе приемника его чувствительности. Тогда из (1.19) следует, что

дальность действия определяется расстоянием 2

21104πλ

PGGPR = .

Подставив в полученную формулу исходные данные, получим дальность действия ≈ 7 700 км. Пример2. Рассчитать общие и основные потери радиолинии Земля – Космос при заданной дальности действия радиолинии 300 000 км, коэф. усиления передающей антенны 104, коэф. усиления приемной антенны – 103. Решение. Расчет по формулам (1.25), (1.26) дает потери радиолинии 152 дБ, в том числе основные потери радиолинии 222 дБ. Отсюда следует, что

22

использование антенн с большими коэффициентами усиления позволяет значительно уменьшить потери радиолинии по сравнению с основными потерями. Задача 1. Радиолокатор миллиметрового диапазона волн для обнаружения «космического мусора» имеет следующие параметры: частота 37,5 ГГц, коэф. усиления антенны – 107, мощность на входе передающей антенны – 100 Вт, чувствительность приемника 10 –16 Вт. Рассчитать дальность действия радиолокатора при работе по целям с ЭПР = 0,01 м2. Цели какого размера такой радиолокатор обнаружит на высоте полета международной космической станции (200-300 км)? 1.5. Влияние среды на характеристики передаваемых сигналов

Как уже говорилось выше, среда распространения сигнала считается

линейной и анализ влияния среды на радиосигнал сводится к расчету изменения спектральной плотности напряженности электрического поля на радиотрассе.

В общем случае комплексная амплитуда напряженности электрического поля радиосигнала в точке приема с учетом влияния среды может быть представлена в виде

jiji VEE ω),r(ω),r( 0rr

= (ω) . (1.27) Здесь ω),r(0

rjE – компоненты (в декартовой системе координат)

электрического поля, созданного передающей антенной в свободном пространстве на расстоянии r от передающей антенны; ω),r(riE – компоненты электрического поля с учетом влияния среды; jiV (ω) – – множитель, учитывающий отличие распространения радиоволн в реальных средах от распространения радиоволн в вакууме (этот множитель принято называть множителем ослабления), i=1,2,3, j=1,2,3. В общем случае множитель ослабления представляет собой тензор – матрицу из 9-ти элементов. Этой матрицей учитываются эффекты изменения поляризации сигнала на трассе распространения. В случае, когда эффектами изменения поляризации сигнала можно пренебречь, комплексная амплитуда напряженности электрического поля радиосигнала в точке приема с учетом влияния среды представляется в виде

VEE ω),r(ω),r( 0rr

= (ω) . (1.28) В (1.28) множитель ослабления V(ω) является скалярной комплекснозначной функцией частоты, т.-е. имеет смысл коэффициента передачи, на данной частоте, четырехполюсника, эквивалентного окружающему пространству.

23

Множитель ослабления V(ω) должен учитывать все физические процессы, существенно влияющие на распространение радиоволн данной частоты. Иногда этот множитель называют интерференционным множителем – если поле в точке приема формируется в результате интерференции поля, прошедшего по прямой от передающей к приемной антенне, с полем, отраженным, например, от земной поверхности. Параметры естественных сред в общем случае изменяются и во времени, и в пространстве. Изменения параметров естественных сред во времени происходят всегда гораздо медленнее по сравнению с периодом высокочастотных колебаний радиосигнала и даже по сравнению с временем распространения радиосигнала от передатчика к приемнику на типичных радиотрассах. Поэтому оправдано допущение, когда при анализе искажений радиосигналов берутся «мгновенные» значения параметров среды в той точке пространства, где проходит радиосигнал, а медленные изменения свойств среды от времени учитываются параметрически. Изменение множителя влияния среды может быть обусловлено регулярными и случайными пространственными изменениями параметров среды. Таким образом, в общем случае среда описывается как четырехполюсник со случайными параметрами. Детерминированный сигнал, излученный антенной, на выходе такого четырехполюсника превращается в сигнал, амплитуда и фаза которого флуктуируют. Для описания случайных характеристик сигналов применяют два основных подхода. Первый подход основан на задании случайных значений параметров среды и теоретическом рассмотрении процессов распространения радиосигналов в таких средах. Закон распределения случайных параметров среды определяется экспериментально или на основе теоретического изучения флуктуационных процессов в среде. Во многих случаях хорошим приближением экспериментальных данных служит нормальный закон, в соответствии с которым плотность вероятности случайной величины p(x) (высоты неровностей поверхности, величины флуктуаций показателя преломления и т.д.) определяется функцией

σ

−−

σπ= 2

2

2)(exp

21)( axxp , (1.29)

где x – случайное значение параметра; a – среднее значение параметра x; σ - среднее квадратичное отклонение случайной величины. Второй подход использует непосредственное измерение флуктуаций параметров сигналов на реальных радиотрассах. Флуктуации амплитуды сигнала называются замираниями.

Во многих случаях поле волны, прошедшей через случайно неоднородную среду, можно представить как сумму основной или первичной волны и некоторого числа вторичных волн со случайными амплитудами и

24

фазами. Вторичные волны возникают вследствие рассеяния на случайных неоднородностях среды (поверхности Земли, флуктуациях параметров тропосферы и ионосферы). Зависимость компонент суммарного поля от времени при этом описывается формулой

∑ ϕ+ω+ϕ+ω==

N

nnn tttEtttEtE

100 ))()cos(())()cos(()( (1.30)

Изменение во времени амплитуды основной волны Е0(t) дает медленные замирания. Они обусловлены изменением во времени условий поглощения и прохождения основной волны в среде. Например, в среде с потерями поглощение плоской волны, прошедшей расстояние R, определяется формулой E0(R)=E0(0)exp(–αR), где α - постоянная затухания (затухание на единице длины пути). Отсюда следует, что

R/ERE α))0()(ln( 00 −= (1.31) Если случайная величина α меняется во времени по нормальному закону, то амплитуда поля основной волны в соответствии с (1.31) меняется во времени по логарифмически – нормальному закону, то – есть по нормальному закону изменяется во времени логарифм амплитуды поля.

Быстрые замирания, как следует из (1.30), возникают при случайных изменениях фаз волн. Если в точку наблюдения приходит большое число вторичных волн, а первичная волна не попадает, то плотность вероятности амплитуды суммарного поля определяется законом распределения Релея

σ−

σ= 2

2

2 2exp

2)(

EEEp (1.32)

Если в точку наблюдения приходят как первичная, так и вторичные волны, то плотность вероятности амплитуды суммарного поля определяется законом Райса (или обобщенным законом Релея)

+−= 2

002

20

2

2 σσ2exp

σ)(

EEI

EEEEp , (1.33)

где |Е0| - амплитуда основной составляющей поля, |Е|- амплитуда вторичных волн, определяемая из (1.33) при Е0=0, I0(z) – модифицированная функция Бесселя нулевого индекса. При анализе работы линий радиосвязи определяют среднее или медианное значение напряженности поля (или мощности) в приемной антенне. Это значение напряженности, уровень которого превышается в течение 50% времени наблюдений. Аналогично вычисляются уровни напряженности, превышаемые в заданное время наблюдений, например, 90% или 99%. Таким образом, определение уровня напряженности в точке приема

25

носит вероятностный характер: необходимо указывать, с какой вероятностью (в процентах относительно времени приема) наблюдается определенный уровень сигнала. Статистическая связь сигналов, принятых в разные моменты времени в одном приемном пункте, характеризуется временной корреляционной функцией. Временная корреляционная функция определяется через статистическое усреднение произведений двух сигналов, принятых через определенный временной интервал τ. При увеличении интервала τ временная корреляционная функция стремится к нулю. Полученные экспериментально временные корреляционные функции аппроксимируются убывающими функциями τ, например, экспоненциальной функцией

К(τ)=К(0)exp(-τ/τ0). (1.34) В (1.34) τ0 – масштаб временной корреляции. Аналогичным образом статистическая связь сигналов в двух пространственно разнесенных точках приема характеризуется пространственной корреляционной функцией, которая определяется осреднением произведений сигналов, принятых в этих точках. Зависимость пространственной корреляционной функции от расстояния l между приемными пунктами аппроксимируется экспоненциальной функцией аналогично (1.34) с заменой τ/τ0 на l/l0, где l0 – масштаб пространственной корреляции.

Наряду с временной и пространственной корреляциями сигналов рассматривают и частотную корреляцию.

Анализ флуктуационных и корреляционных свойств сигналов важен для построения систем связи с повышенной надежностью при замираниях сигналов. Так, в декаметровом диапазоне волн применяют прием радиосигналов на антенны, разнесенные на расстояние больше масштаба пространственной корреляции. При этом можно считать, что флуктуации сигнала в каждом канале приема независимы, и выбирать при приеме тот сигнал, амплитуда которого больше. В результате возрастает вероятность надежного приема сигналов по сравнению с одиночным приемом. Аналогичным образом можно повысить надежность радиоприема с использованием частотного разнесения каналов. Вопросы к п. 1.5. 1) Что такое множитель ослабления (интерференционный множитель)? 2) Что такое замирания? 3) Чем обусловлены медленные и быстрые замирания сигнала? 4) В каких случаях замирания сигнала определяются законом Релея? 5) В каких случаях замирания сигнала определяются законом Райса? 6) Что такое медианное значение напряженности поля?

26

7) Какой зависимостью аппроксимируется временная (пространственная ) корреляционная функция?

8) Каким образом, зная пространственную корреляционную функцию, повысить устойчивость линии связи к замираниям сигналов?

2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 2.1 Электрические параметры земной поверхности.

Во многих практически важных случаях антенны радиолинии располагаются вблизи поверхности Земли и следует учитывать влияние земной поверхности на распространение радиоволн. Для расчета влияния Земли на характеристики электромагнитного поля необходимо иметь данные по электрическим параметрам земной поверхности. Помимо грунта, на распространение радиоволн влияют различные виды земных покровов (снег, лед, лес). В таблице 2.1 [2] приведены значения электрических параметров различных видов грунтов, пресной и морской воды, а также покровов (снега, льда, леса), определенные экспериментально в различных диапазонах частот

Наибольшие значения относительной диэлектрической проницаемости имеет вода, что обусловлено значительным дипольным моментом молекул воды. Проводимость воды определяется содержанием ионов примесей (солей, растворенных в воде). Поскольку содержание солей различается в разных районах земного шара, в таблице указаны пределы изменения проводимости воды. Электрические свойства почвы также колеблются в зависимости от ее структуры, влажности, температуры. На частотах ниже 300 МГц параметры воды и почвы не зависят от частоты, на более высоких частотах диэлектрическая проницаемость падает, а проводимость растет вплоть до низшей частоты резонанса молекул воды (≈22,3 ГГц).

Реальные грунты могут иметь достаточно сложную многослойную структуру. Растительность, снег, лед могут рассматриваться как полупроводящие слои, покрывающие землю.

Реальные среды, как следует из таблицы 2.1, представляют собой полупроводящие среды, диэлектрическая проницаемость и проводимость которых меняются в больших пределах. Попробуем понять, на каких частотах преобладает влияние проводимости либо, напротив, диэлектрической проницаемости.

Объемная плотность суммарного тока jr

, текущего в полупроводящей среде, слагается из объемных плотностей тока смещения смj

rи тока

проводимости прjr

27

Таблица 2.1 Электрические параметры различных видов земной поверхности Вид земной поверхности или покрова

Частота f, МГц относительная диэлектрическая проницаемость ε

проводимость σ, 1/Ом*м

Морская вода <3*102 3*103 104 105

75 70 65 10

1-6 1-6 10-20 60

Пресная вода <3*102 3*103 104 105

80 75 65 10

10-2-3*10-2 1-2 10-20 60

Влажная почва <3*102 3*103 104

20-30 20-30 10-20

0,02-0,3 0,5-1 1-3

Сухая почва <3*102 3*103 104

3-6 3-6 3-6

10-5-2*10-3

10-2-7*10-2 10-1-2*10-1

Мерзлая почва <3*102

3-6 10-3-10-2

Лед (t=-10oC) <3*102 3*103 104

4-5 3-5 2-3

10-2-10-1 10-4-10-3 10-4-10-3

Снег (t=-10oC) <3*102 3*103 104

1,2 1,2 1,2

10-6 10-5

10-4

Лес <3*102 3*103

1,004 1,04-1,4

10-6-10-5 10-5-10-3

.Eσj;Eεωεj;jjj пр0смпрсм

rrrrrrr==+= i (2.1)

В (2.1) – ε0 = 8,85∙10 –12 ф/м – абсолютная проницаемость вакуума. Из (2.1) следует, что токи смещения и проводимости сравниваются по

величине на граничной частоте и при граничной длине волны, которые определяются формулами

σ60

λε2π

σгр

0гр

ε=

ε= ,f (2.2)

В (2.2) частота берется в Гц, длина волны в м, проводимость среды в 1/Ом·м. При f << fгр полупроводящая среда близка по свойствам к проводнику, при f >> fгр – к диэлектрику. Используя данные таблицы 2, получим с учетом (2.2), например, для морской воды fгр ≈ 1 ГГц, λгр≈0,3 м, для влажной почвы fгр ≈ 10 МГц, λгр≈30 м. Поэтому морская вода может рассматриваться как хороший проводник на частотах ниже 100 МГц и как диэлектрик – на частотах свыше 10 ГГц, влажная почва – как проводник – на частотах ниже 1

28

МГц и как диэлектрик – на частотах выше сотни МГц. Анализ данных таблицы 2 показывает, что все виды почв на частотах свыше 10 ГГц могут рассматриваться как диэлектрики, а на частотах ниже единиц кГц – как проводники. Из (2.1) следует, что для среды с потерями можно ввести понятие относительной комплексной диэлектрической проницаемости ε~ , переписав выражение для плотности тока в виде Ej 0

rrεεω= ~i , где

σ==′′′′−= 60λσ/ωεε ;εεε 0i~ (2.3) Здесь ε и ε′′ - действительная и мнимая части относительной комплексной диэлектрической проницаемости ε~ .

Поле плоской волны в полупроводящей среде описывается формулой E(z)=E0exp(– αz – iβz), (2.4)

где α – постоянная затухания, β – фазовая постоянная (1/м), E0 – амплитуда поля в сечении z = 0, E(z) – амплитуда поля в сечении z среды.

Фазовая постоянная и постоянная затухания выражаются через действительную и мнимую части относительной комплексной диэлектрической проницаемости среды следующим образом

2222 )(5050)(5050 ε ′′+ε+ε−ω

=αε ′′+ε+εω

=β ,,с

,,,с

(2.5)

Для оценки затухания волн в среде чаще используют коэффициенты поглощения Г или удельного поглощения Г1 , которые связаны с постоянной затухания следующими соотношениями Г = 20lg(E0/E) = 20lg(exp(αz)) = 8,68αz, дБ, Г1=8,68α, дБ/м. (2.6) Графики частотной зависимости коэффициента удельного

поглощения приведены на рис. 2.1. Из графиков следует, что поглощение радиоволн в морской воде очень велико – значительно больше, чем во влажной почве. Поэтому для радиосвязи с погруженными подводными лодками приходится использовать низкие частоты – ниже 100 кГц (километровые волны), на которых удельное поглощение составляет единицы дБ/м.

Контрольные вопросы к п.2.1

1) Какими электрическими параметрами описываются различные виды земной поверхности и земных покровов?

2) Как определить условия, при которых полупроводящую среду следует считать диэлектриком или хорошим проводником?

3) Как, используя данные таблицы 2.1, определить граничную частоту для пресной воды? Указание: используйте данные для частот ниже 300 МГц и среднее значение проводимости из приведенных для этого частотного диапазона.

29

1 .103 1 .104 1 .105 1 .106 1 .107 1 .108 1 .1090.01

0.1

1

10

100

1 .103

Частота в Гц

Коэффициент

затухания в Дб/м

Рис. 2.1. График частотной зависимости коэффициента удельного поглощения (в дБ/м). Сплошная кривая для морской воды, штриховая –для влажной почвы.

2.2. Область, существенная для распространения радиоволн. В большинстве практических задач распространения радиоволн расстояние между антеннами велико по сравнению с длиной волны. В этом случае для анализа распространения радиоволн широко используется метод геометрической оптики. В свободном пространстве согласно геометрической оптике электромагнитное поле распространяется по лучу - прямой, соединяющей точки передачи и приема. Для выяснения границ применимости метода геометрической оптики и качественного анализа условий распространения радиоволн над земной поверхностью оказывается полезным понятие области, существенной для распространения радиоволн.

Областью пространства, существенной для распространения радиоволн, назовем область, в которой распространяется основная часть мощности от передающей к приемной антенне.

Это понятие разберем на примере, имеющем важный практический смысл. Пусть в точке А свободного пространства расположена передающая, а в точке В – приемная антенна. Пусть между антеннами перпендикулярно прямой АВ расположен плоский металлический экран с прорезанным в нем круглым отверстием (рис.2.2). Центр отверстия O находится на прямой АВ.

30

Предполагается, что расстояние между антеннами велико по сравнению с длиной волны и размерами антенн, так что каждую антенну можно рассматривать как точечный источник сферических волн.

Рассмотрим, как влияет отверстие в экране на формирование поля в точке приема. Для этого воспользуемся известным физическим принципом Гюйгенса-Френеля. Согласно этому принципу формирование поля в пространстве от передающей до приемной антенны можно представить следующим образом. Поле падающей от антенны А сферической волны доходит до отверстия, прорезанного в экране. Каждый элемент фронта волны, дошедшего до отверстия, рассматривается как вторичный источник сферических волн, излучающих в правое полупространство. Поле в точке приема B находится как сумма полей всех вторичных источников, созданных падающей на отверстие волной. Вне отверстия с правой стороны экрана поле вторичных источников полагается равным нулю.

При дальнейшем использовании принципа Гюйгенса-Френеля примем еще ряд упрощений, которые не повлияют существенно на основной результат. Будем предполагать, что 1) поляризация поля не изменяется на пути распространения, 2) не учитываются диаграммы направленности вторичных источников. При этих условиях поле в точке наблюдения В формируется как результат интерференции полей, прошедших из точки передачи А по ломаным путям АСi В, где Сi - точки, расположенные в отверстии (один из таких путей показан штриховой ломаной линией на рис. 2.2). Таким образом, для описания поля, попавшего в точку наблюдения, применяются метод геометрической оптики и понятие вторичных источников.

Для объяснения формирования поля в точке наблюдения В по предложению Френеля вся площадь отверстия разбивается на области, называемые зонами Френеля. Размеры зон Френеля определяются из следующих условий (см. рисунок 2.2). Разность расстояния АС1В, ограничивающего первую зону Френеля, и расстояния АОВ должна составлять половину длины волны

2λ)()( 00011 /rr''rr =′′+′−+′ . Аналогичное условие для границ зоны номера п имеет вид

2λ)()( 000 /nrrrr nn =′′+′−′′+′ . (2.7) Здесь введены обозначения nnnn rBCrACrOBrAO ′′=′=′′=′= ;;; 00 (см. рис. 2.2, где сплошными линиями показаны лучи, проходящие через границы первых трех зон Френеля.). Условие (2.7) – это уравнение эллипсов с фокусами в точках А и В. Вращение этих эллипсов в пространстве относительно оси АВ дает границы пространственных зон Френеля - эллипсоидов Френеля. Для определения размеров зон Френеля в плоскости отверстия введем радиус n-ой зоны Френеля ρn как расстояние от центра отверстия до внешней границы n-ой

31

называемые зонами Френеля. Размеры зон Френеля определяются из

В А

r0'' r0'

C

r3'' r2'' r1'' r1' r2' r3'

C

Рис 2.2

Рис 2.3.а Рис. 2.3.б

ρ3 ρ2 ρ1

Е1 Е2 Е3

ReE

ImE

С1

О

Скк

r'' r'’

Рис. 2.2. А– точка расположения передающей антенны, В – точка расположения приемной антенны, С – С – сечение, в котором расположен экран с отверстием. Сплошными линиями (выше и ниже оси АВ) показаны лучи, проходящие через границы зон Френеля 1, 2, 3 в сечении СС, штриховыми – лучи, идущие внутри 1-й зоны Френеля. Рис. 2.3 а – разбиение 1-й зоны Френеля на кольцевые области (показаны штриховыми линиями) для анализа суммирования полей в точке приема, б – суммирование полей в точке приема в пределах 1-й, 2-й, 3-й зон Френеля, тонкими стрелками показаны векторы электрического поля от кольцевых областей, на которые разбиты зоны Френеля, толстыми стрелками – суммарные векторы электрического поля Е1, Е2, Е3 от 1-й, 2-й, 3-й зон Френеля.

32

зоны, заданной условием (2.7). Радиусы зон Френеля определим приближенно. Рассмотрим треугольники АОСп и ВОСп. Согласно теореме Пифагора

220

220 )()()()( nnnn rr,rr ρ+′′=′′ρ+′=′ .

Предположим теперь, что выполняются условия nn r,r ρ>>′′ρ>>′ 00 . (2.8)

При этих условиях правые части соотношений для nn r,r ′′′ можно заменить приближениями

0

20

0

20 2

)(2

)(r

rr,r

rr nn

nn ′′

ρ+′′≈′′

′ρ

+′≈′ .

Суммируя эти равенства, с учетом (2.8) получим

00

002

000 2

)()(2λ)()(

rrrrnrrrr n

nn ′′′′′+′ρ

≈=′′+′−′′+′ .

Отсюда следует, что радиус п-й зоны Френеля приближенно равен

00

000n

λrrrrn′′+′′′′

≈ρ . (2.9)

Формула (2.9) является хорошим приближением при условии 0000 λ;λ >>′′>>′ rr . (2.10)

В практически важном случае, когда расстояние между передающей и приемной антеннами велико по сравнению с длиной волны, приближение (2.9) будет пригодно для описания зон Френеля почти всюду на пути от передающей к приемной антенне, за исключением областей размером порядка длины волны, прилегающих к местам расположения антенн.

Картина формирования поля от первых нескольких зон Френеля иллюстрируется рис. 2.3.

Разобьем каждую зону Френеля на некоторое число колец (на рис. 2.3.а показано разбиение 1-й зоны Френеля на 6 колец). Напряженность поля, созданного в точке В вторичными источниками, расположенными на кольце, середина которого показана точкой Ск на рис. 2.2, определяется следующим образом

Φ=Φ=+=== Φ sin,coseee 00 --EEImEERe,EImiEReE

"r'rAE i

"rik'rik.

(2.11)

Из (2.11) видно, что амплитуда поля вдоль пути АСкВ, проходящего через середину каждого кольца, убывает обратно пропорционально расстояниям АСк и СкВ, а фаза поля в точке приема равна )(0 rrk ′′+′−=Φ . Для оценок амплитуды будем считать, что в пределах каждой зоны Френеля амплитуда

33

поля остается неизменной, но меняется при переходе к другой зоне Френеля. Это соответствует предположению о постоянстве расстояния rr ′′+′ в пределах зоны Френеля при вычислении амплитуды. Однако при вычислении фазы такое предположение использовать нельзя, так как согласно определению зон Френеля в пределах каждой зоны длина пути меняется на λ/2, а фаза поля - на 180о .

Рассмотрим теперь поле в точке приема как сумму от каждого из колец в пределах одной зоны Френеля. В соответствии с формулой (2.11) представим каждое слагаемое вектором на комплексной плоскости ReE,ImE (рис. 2.3.б) и будем суммировать векторы электрического поля от каждого из колец в пределах каждой зоны Френеля. Тогда с ростом радиуса ρ получим, что поле в точке наблюдения будет возрастать, пока не будет полностью открыта первая зона Френеля. Далее векторное суммирование полей в пределах второй зоны Френеля даст коллинеарный вектор, но направленный противоположно первому и несколько меньшей амплитуды. Поэтому по мере увеличения радиуса отверстия суммарное поле будет убывать, достигнув минимального значения, когда радиус отверстия равен радиусу второй зоны Френеля. Далее картина аналогична. Векторы полей от соседних зон Френеля противоположно направлены, так как длины путей при переходе к зоне более высокого номера возрастают на λ0/2. Амплитуды полей от зон более высоких номеров падают с ростом номера n как )(1 nnrr/ ′′′ . Окончательно, когда радиус отверстия становится очень большим, суммарное поле в точке наблюдения записывается в виде

Е = Е1 – Е2 + Е3 – Е4 + ....... , (2.12) где Еn – амплитуда поля от зоны номера n, при этом для определенности амплитуда поля от первой зоны принята положительной. Ряд (2.12) является знакопеременным, причем с ростом номера п амплитуды полей от зон Френеля номера n стремятся к нулю, как )(1 nnrr/ ′′′ . Поэтому при n → ∞ ряд (2.12) сходится. Для определения его суммы представим ряд (2.12) в виде

Е = Е1/2 + (Е1/2 – Е2 + Е3/2) + (Е3/2 – Е4 + Е5/2) +…. Величины полей в каждой из скобок близки к нулю, поэтому слагаемыми в скобках можно пренебречь, следовательно

Е = Е1/2 . (2.13) Строгое доказательство сходимости ряда (2.12) дано в [6].

Таким образом, при распространении в свободном пространстве поле в точке приема составляет половину значения поля, создаваемого первой зоной Френеля.

На рис. 2.4. приведен график изменения поля в точке наблюдения с увеличением радиуса отверстия, соответствующий расположению источника излучения и приемника, как на рис. 2.2, при АО=ОВ. Величина поля в точке наблюдения нормирована на амплитуду падающего поля Е0. Радиус отверстия нормирован на величину радиуса первой зоны Френеля.

34

Амплитуда поля в точке наблюдения становится близкой к величине поля в свободном прост-ранстве, когда число открытых зон Френеля равно примерно 8 и более. При этом ошибка в определении поля не превышает 16%. Поэтому отверстие в экране при ρ>ρn, n≈ 8 почти не влияет на распространение поля на пути АВ.

Рис.2.4. Зависимость амплитуды поля за отверстием от его радиуса, отнесенного к радиусу первой зоны Френеля

Поле в точке наблюдения, прошедшее через отверстие, не подчиняется

законам геометрической оптики и описывается более сложным явлением дифракции. Принцип Гюйгенса-Френеля дает один из методов описания явления дифракции как интерференции полей вспомогательных источников.

Предположим теперь, что вместо плоского экрана с отверстием вблизи пути АВ расположено некоторое препятствие. Таким препятствием может быть часть земной поверхности или объект на поверхности Земли (холм, здание). Построим эллипсоиды Френеля с фокусами в точках передачи и приема. Если это препятствие попадает внутрь эллипсоидов малых номеров, оно будет влиять на формирование поля в точке наблюдения вследствие дифракции. Если препятствие будет находиться вне эллипсоидальной области большого номера (n≈ 8 и более), его влиянием на распространение радиоволн можно пренебречь.

Из приведенного описания следует, что область, существенная для распространения радиоволн, представляет собой область пространства, охватывающую отрезок прямой, соединяющей точки расположения переда-ющей и приемной антенн, и ограниченную эллипсоидом вращения номера n≈8. Для грубых, качественных оценок возможного влияния препятствий ограничиваются геометрическим построением первого эллипсоида Френеля. Радиус первой зоны Френеля принимает максимальное значение при

211 /Rrr AB=′′=′ и составляет АВR01 λ0,5 ρ = . С укорочением длины волны

35

радиусы зон Френеля стремятся к нулю как 0λ , т.е. область, существенная для распространения радиоволн, стягивается к прямой, соединяющей точки передачи и приема, что и оправдывает применение приближения геометрической оптики при λ0 → 0. Контрольные вопросы к п.2.2. 1) Поясните сущность принципа Гюйгенса – Френеля. Чем отличается

описание поля на основе этого принципа от метода геометрической оптики?

2) Определите условия для границ первой и высших зон Френеля. 3) Выведите формулу (2.9), определяющую радиусы зон Френеля при условии 0000 λλ >>′′>>′ r,r .

3) Поясните условия формирования поля, прошедшего через отверстие, используя рассуждения к рис. 2.3..

4) Определите, что такое область, существенная для распространения радиоволн.

2.3. Модели радиолиний над земной поверхностью. Расстояние прямой видимости.

2.3.1. Для анализа процессов распространения радиоволн с учетом

влияния земной поверхности необходимо предложить физическую модель радиолинии. Физическая модель радиолинии строится на основе владения законами электродинамики. При построении моделей какого – либо объекта приходится искать компромисс между двумя противоречивыми требованиями: простоты модели и адекватности модели объекту. Требование простоты означает возможность провести расчет радиолинии с использованием общедоступных вычислительных средств (в настоящее время таким средством является персональный компьютер) за приемлемое с практической точки зрения время (например, за время не более нескольких часов). Требование адекватности означает необходимость учета основных факторов, существенно влияющих на работу радиолинии.

В связи со сложностью и многообразием физических процессов распространения электромагнитных волн, а также их зависимостью от частоты, не удается построить универсальную модель радиолинии, обладающую высокой степенью адекватности реальной среде и пригодную при любых частотах. Поэтому обычно используется следующие принципы разработки моделей радиолиний. 1) Модели радиолиний разрабатываются для определенного диапазона радиоволн (в данном случае понятие диапазона понимается более широко, чем в табл. 1.1). 2) В качестве основной используется достаточно простая модель радиолинии. 3) Вклад неучтенных в основной модели факторов оценивается с помощью поправок к

36

решению, полученному в базовой модели. 4) В том случае, когда теоретическая оценка дополнительных факторов затруднена, используются экспериментальные оценки влияния этих факторов.

Для выработки понимания процессов распространения радиоволн с учетом влияния земной поверхности будем использовать упрощенную модель Земли, полагая ее однородной средой с постоянными значениями относительной диэлектрической проницаемости и проводимости и гладкой (плоской или сферической) поверхностью. Влиянием атмосферы (тропосферы и ионосферы) на данном этапе пренебрежем, т.е. будем считать, что атмосфера является свободным пространством с параметрами ε=1,σ=0. Радиоволну, распространяющуюся над земной поверхностью, принято называть земной волной.

Описанная модель является достаточно разумным начальным приближением для исследования процессов распространения радиоволн над гладкими участками земной поверхности в диапазоне частот примерно от 30 МГц до 10 ГГц.

Для более строгого прогноза распространения радиоволн над поверхностью Земли в этом диапазоне частот необходимо учесть влияние земных покровов и неровностей поверхности Земли. Особо сложной является проблема анализа распространения радиоволн высоких частот в урбанизированных зонах (города, пригороды), когда требуется ввести в модель расположение, геометрию и электрические параметры городских построек. Описание этих более сложных моделей радиолиний выходит за рамки стандартного курса «Распространение радиоволн».

На более низких частотах принципиально необходимо учитывать влияние ионосферы, поэтому данная модель на частотах ниже 30 МГц имеет ограниченное применение: она приемлема только на относительно небольших расстояниях от передающей антенны, когда роль волн, отраженных от ионосферы, мала по сравнению с земной волной.

Помимо геометрии и электрических параметров земной поверхности, на работу радиолинии влияет высота подъема антенн. Рассматриваемые радиолинии сводятся к двум основным моделям: 1) одна из антенн (передающая, либо приемная), либо обе антенны подняты высоко (на несколько длин волн) над поверхностью Земли, этот случай характерен для длин волн короче 10 м (частот выше 30 МГц), 2) обе антенны находятся вблизи поверхности Земли, этот случай всегда реализуется в диапазонах гектометровых и более длинных волн (на частотах ниже 300 кГц), но возможен и на более высоких частотах.

2.3.2.Проанализируем с помощью понятия области, существенной для распространения радиоволн, условия работы радиолинии при высоко расположенных антеннах. Пусть передающая и приемная антенны расположены в точках q1 и p1 на высотах h1 >> λ0 и, соответственно, h2 >> λ0

37

над поверхностью Земли (рис. 2.5). Земля рассматривается как гладкая сфера радиуса R0, расстояние между антеннами равно R. Для качественной оценки условий распространения радиоволн между точками q1 и p1 построим на этих точках эллипсоид, соответствующий первой зоне Френеля (рис. 2.5а). Если соотношение высот подъема антенн h1,

h2 и расстояния R таково, что первая зона Френеля не задевает земной поверхности, то можно приближенно считать, что поле электромагнитной волны распространяется по прямой линии между точками q1 и p1 и не искажается поверхностью Земли. Прямолинейное распространение радиоволны по пути q1p1 означает справедливость приближения геометрической оптики в свободном пространстве. Если первая зона Френеля перекрывается земной поверхностью, как это

имеет место при распространении между точками q1 и р2, то сферическая Земля является препятствием, за которое радиоволны распространяются только путем дифракции. Поле в точке приема в этом случае оказывается сильно ослабленным, поскольку формируется только частью зон Френеля, не закрытых поверхностью Земли. Для уменьшения ослабляющего действия Земли необходимо, чтобы первая зона Френеля была открыта, т. е. ми-нимальное расстояние между прямой линией q1р1 и поверхностью Земли было больше радиуса первой зоны Френеля. Для оценки условий прямолинейного распространения радиоволн над

земной поверхностью используют понятие расстояния прямой видимости. Расстоянием прямой видимости r0 называется такое расстояние между передающей и приемной антеннами, при котором прямая линия, соединяющая эти антенны, касается земной поверхности. Из рис. 2.5а следует, что расстояние прямой видимости строго равно

20

220

20

2100 )()( RhRRhRr −++−+= . (2.14)

Здесь R0 – радиус Земли. Рассмотрим практически важный случай, когда антенны расположены

на малых высотах над земной поверхностью по сравнению с радиусом Земли h1 , h2 << R0. При этом формула (2.14) упрощается до

)(2 2100 hhRr +≈ . (2.15) Для практических оценок формулу (2.15) преобразуют к виду

,hh,r )(573 210 +≈ км, (2.16) где высоты антенн берутся в метрах, а расстояние прямой видимости выражено в километрах.

Пусть высоты антенн неизменны, а расстояние между ними меняется. Тогда в зависимости от соотношения расстояния между антеннами R и расстояния прямой видимости r0 выбирают одну из трех моделей радиолинии.

38

О

q

q1

p

p2

p1 R

r0

Rqp

R0

h1 h2

а

О

q

q1

p

p2

r0

Rqp

R0 Область тени

Область полутени

б

Освещенная область

Рис. 2.5. а – модели радиолиний при различных высотах расположения антенн над поверхностью Земли и определение расстояния прямой видимости, б – освещенная область, области полутени и тени

39

1) При малых по сравнению с r0 длинах радиотрассы (R < 0,2 r0) поверхность Земли считают плоской.

2) При условии 0,2 r0 < R < 0,8 r0 необходимо учитывать сферичность земной поверхности.

В обоих случаях 1) и 2) обоснованным является допущение, что поле в зоне расположения приемной антенны формируется по законам геометрической оптики: в точку приема поле попадает двумя путями: по прямой линии из точки передачи и ломаному пути после отражения от земной поверхности. Поэтому область распространения радиоволн, прилегающая к участку земной поверхности размерами 0< R< 0,8 r0 называется освещенной областью (рис.2.5б).

3) Если R > 0,8 r0, то первая зона Френеля частично или полностью перекрывается земной поверхностью требуется учет явления дифракции. Область, охватывающая часть расстояния прямой видимости от точки с до р2 и соответствующая расстоянию вдоль земной поверхности в пределах 0,8 r0 < R < 1,2 r0, называется областью полутени, а ниже ее при R > 1,2 r0 находится область тени (рис. 2.5б). Расчет полей с учетом явления дифракции является достаточно сложным и далее не рассматривается. С методами расчета полей в области дифракции можно ознакомиться по [2, 3, 5]. Приведенные оценки размеров областей, в которых используется та или иная модель радиолинии, являются достаточно грубыми и могут быть уточнены (см. [5]).

В случае, когда антенны расположены непосредственно на поверхности Земли (h1 = h2 = 0), понятие расстояния прямой видимости не имеет смысла, поскольку сегмент, ограниченный прямой Rqp, является препятствием для прямолинейного распространения радиоволн. Пока высота этого сегмента d много меньше максимального радиуса первой зоны Френеля ( qpRd λ0,5<< ), влияние сферичности Земли не учитывают и можно использовать модель плоской Земли. При увеличении расстояния R высота сегмента d может стать равной или большей радиуса первой зоны Френеля и необходимо использовать модель сферической Земли и учитывать явление дифракции.

Контрольные вопросы к п.2.3. 1) Что такое расстояние прямой видимости? 2) Как вывести формулу (2.13) для расстояния прямой видимости. 3) Какие модели радиолиний выбирают в зависимости от соотношения между расстоянием между антеннами и расстоянием прямой видимости?

40

Примеры и задачи к пп. 2.1-2.3. Пример 1. Определить, можно ли выбрать диапазон частот 1-10 МГц для связи с водолазом, погружающимся на глубину 30 м в пресной и в морской воде. Допустимое затухание сигнала в линии связи составляет 20 дБ. Решение. Воспользуемся графиком рис. 2.1 для морской воды и табл.2.1- для пресной . Согласно этому графику затухание поля в морской воде растет монотонно с увеличением частоты, аналогичная зависимость будет иметь место для пресной воды, поэтому оценку возможности связи достаточно провести на низшей из заданных частот. В морской воде затухание составляет свыше 30 дБ/м. Для оценки затухания в пресной воде примем значение проводимости 0,03 1/Ом*м и, используя формулы (2.3), (2.5), (2.6), получим величину затухания ≈ 23 дБ. Поэтому при заданных требованиях (глубина погружения 30 м, допустимое затухание – 20 дБ ) обеспечить связь по радиоканалу невозможно.

Примечание. В этом случае используется проводная телефонная связь.

Пример 2. На высоте 30 м над поверхностью Земли установлены передающая и приемная антенны сотовой связи диапазона 450 МГц. Предполагая поверхность Земли гладкой и плоской, оценить, на какое максимальное расстояние могут быть разнесены эти антенны, исходя из требования пренебрежения явлением дифракции? Решение. При грубой оценке потребуем, чтобы высота подъема антенн h была выше максимального радиуса первой зоны Френеля. Следовательно, должно выполняться условие Rh 0λ0,5> , где R – расстояние между антеннами , λ0 - длина волны. Отсюда следует, что расстояние между антеннами не должно превышать 5,4 км. При более жесткой оценке по 8-ми зонам Френеля это расстояние нужно уменьшить в 2,8 раза. Проверка показывает, что приближение плоской земли при этих условиях допустимо. Задача 1.

В последние годы интенсивно развивается направление подповерхностной радиолокации, предназначенное для обнаружения различных естественных и искусственных объектов под землей. Какую минимальную длину волны можно выбрать для подповерхностной радиолокации, исходя из требования ослабления сигнала на пути от поверхности земли до объекта и обратно не более 60 дБ при глубине зондирования до 3 м в сухом грунте? во влажном грунте?

41

Задача 2 На высоте 20 м над поверхностью Земли установлены передающая и приемная антенны сотовой связи диапазона 900 МГц. Предполагая поверхность Земли гладкой, оценить, на какое максимальное расстояние могут быть разнесены эти антенны, исходя из требований пренебрежения явлением дифракции? При оценках принять модель плоской земли и проверить условия ее применимости.

2.4. Виды поляризации радиоволн

Поляризацией радиоволны называют ориентацию вектора электрического поля волны в пространстве – времени. Определение поляризации электромагнитного поля дается по годографу - виду кривой, описываемой концом вектора электрического поля Е

r во времени.

Пусть однородная плоская волна распространяется в вакууме вдоль оси z прямоугольной системы координат. Наиболее общим является случай эллиптической поляризации, когда мгновенные значения компонент электрического поля могут быть представлены в виде

Ex = Axcos(ωt –k0 z)), Ey = Aycos(ωt –k0 z)– Φ), Ax ≠ Ay, Φ ≠ 0 (2.17) Согласно (2.17) конец вектора электрического поля описывает кривую в

плоскости (x, y), форма которого задается функцией

y

yy

x

xxyyxx A

EU,

AEU,UUUU ==Φ=+Φ− 222 sincos2 (2.18)

Соотношение (2.18) – это уравнение второго порядка относительно нормированных компонент Ux и Uy вектора Е

r, а замкнутой кривой

второго порядка в общем случае является эллипс. Из представления (2.17) при нарушении условий Ax ≠ ±Ay, Φ ≠ 0

следуют два важных частных случая. Линейная поляризация (Φ = 0). В этом случае обе компоненты

электрического поля меняются синфазно и конец вектора электрического поля движется по прямой, угол наклона которой относительно оси x равен ϕ = arctg(Ay/Ax). Круговая поляризация (Φ = π/2, Ax = ±Ay = А). В этом случае компоненты электрического поля равны

Ex = Acos(ωt –k0 z)), Ey = ±Asin(ωt –k0 z)) (2.19) и конец вектора электрического поля вращается по окружности радиуса А.

Пусть А > 0. Рассмотрим эволюцию поля в плоскости z = 0 при условии, что наблюдатель смотрит вслед уходящей волне. Тогда знаку «+» в (2.19) соответствует вращение вектора Е во времени по часовой стрелке –

42

такая волна называется правополяризованной, знаку «−» − вращение вектора Е против часовой стрелки, такая волна называется левополяризованной.

Виды поляризации плоской волны показаны на рис. 2.6.

Для каждого из видов поляризации (эллиптической, круговой,

линейной) можно ввести базис: совокупность двух ортогональных волн 21 Е,Е

rr, удовлетворяющих условию ( ) .Е,Е 021 =

rr Произвольно поляризованная

волна всегда может быть представлена суперпозицией двух ортогональных волн данного вида поляризации. Так, волну с круговой поляризацией можно описать как суперпозицию двух волн с линейной поляризацией, и наоборот – волну с линейной поляризацией – суперпозицией двух волн с круговой поляризацией. Например, линейно поляризованная волна с вектором электрического поля, направленным по оси x, может быть представлена в виде

( )−+ +== EE,xEE xrrrr

50 , где правополяризованная и левополяризованная волны круговой поляризации даются соотношениями

+Er

: Ex = Acos(ωt –k0z)); Ey = A sin(ωt –k0z); −E

r: Ex = Acos(ωt –k0z); Ey = −A sin(ωt –k0z).

Приведенные выше определения поляризации волны могут быть применены и к анализу распространения плоских волн в различных средах. В процессе распространения волны в среде ее поляризация может изменяться,

О y

x

Ex

Еx(t)

y

x

E(t) Ex

Ey

а б в

Е(t)

Рис. 2.6. а – линейная поляризация; б – круговая поляризация; в – эллиптическая поляризация. Направления вращения векторов для круговой и эллиптической поляризаций показаны штриховыми стрелками

43

что следует учитывать при построении систем радиосвязи. Соответствующие примеры будут приведены в последующих главах. Когда линейно поляризованная плоская волна падает на плоскую границу раздела двух диэлектриков, определение поляризации волны дополняется с учетом закономерностей взаимодействия волны со средами. Введем понятие плоскости падения волны. Эта плоскость перпендикулярна границе раздела сред и параллельна вектору Пойнтинга падающей волны Πr

(рис. 2.7.).

При этом различают параллельную поляризацию, когда вектор Е

r лежит в

плоскости падения волны, и перпендикулярную поляризацию – когда вектор Еr

ортогонален плоскости падения (Рис.2.7). Плоскую волну с произвольно ориентированным относительно плоскости падения вектором Е

r можно

разложить на две волны с параллельной и перпендикулярной поляризациями. В случае однородных изотропных диэлектриков без потерь вид

поляризации отраженной и преломленной волн сохраняется таким же, как у падающей волны. При наличии потерь во второй среде, куда проникает поле, ситуация меняется: вектор поля, параллельный границе раздела сред, сохраняет свою ориентацию в пространстве, в то время как ортогональный ему вектор приобретает эллиптическую поляризацию в плоскости падения внутри среды с потерями. Так, при перпендикулярной поляризации

E

Н П

Плоскость падения

Плоскость раздела сред

Н

П

Е

а

б

Рис.2.7. Определение поляризации при падении плоской волны на границу раздела сред. а – параллельная поляризация; б – перпендикулярная поляризация. Сплошными стрелками показаны векторы, лежащие в плоскости падения, штриховыми – векторы, ортогональные плоскости падения

44

падающей волны вектор магнитного поля преломленной волны вращается по эллипсу в плоскости падения. Аналогично при параллельной поляризации падающей волны вектор электрического поля преломленной волны вращается по эллипсу в плоскости падения. Отраженные волны каждой поляризации в обоих случаях остаются линейно поляризованными.

Отметим также следующее. Если падающая из среды без потерь на границу раздела среды с потерями линейно поляризованная волна является суммой волн параллельной и перпендикулярной поляризаций, то отраженная волна будет эллиптически поляризованной. Контрольные вопросы к п.2.4. 1) Что такое поляризация радиоволны? Каким образом ее определяют? 2) Какова векторная структура плоской электромагнитной волны в случаях эллиптической, круговой и линейной поляризаций? 3) Как определяют поляризацию плоской волны в случае падения ее на плоскую границу раздела двух сред? Задача. Запишите выражение для плоской электромагнитной волны с круговой поляризацией левого или правого вращения как суперпозицию двух линейно поляризованных волн

2.5. Отражение плоских волн на границе раздела двух сред Для изучения процессов распространения радиоволн над земной поверхностью широко используется простейшая модель отражения плоской волны на плоской границе раздела двух однородных диэлектрических сред с показателями преломления 11 ε=n и 22 ε=n . Рассмотрим отдельно отражение плоских волн с параллельной и перпендикулярной поляризацией. Пусть волна падает из среды 1 в среду 2. В приближении геометрической оптики волна описывается семейством лучей, перпендикулярных фазовому фронту волны. Для плоской волны лучи параллельны. Согласно законам геометрической оптики падающий, отраженный и преломленный лучи лежат в одной плоскости – плоскости падения, угол падения θ равен углу отражения, а углы падения θ и преломления ψ связаны законом Снеллиуса

sinψsinθ 21 nn = . (2.20) Вывод коэффициентов отражения и прохождения плоских волн приведен во многих учебниках (см. например, [2,3,8]), поэтому ограничимся кратким изложением вывода, следуя [8]. Рассмотрим падение волны параллельной поляризации (Рис.2.8). В этом случае в декартовой системе координат, связанной с границей раздела

45

сред, имеются тангенциальная (Ey )и нормальная (Ez) компоненты электрического поля и единственная тангенциальная (Hx) компонента магнитного поля. Связь падающего, отраженного и преломленного полей определим из условий непрерывности тангенциальных составляющих полей на границе раздела сред.

Пусть E, E1, E2 - комплексные амплитуды падающего, отраженного и преломленного электрических полей соответственно, аналогичные обозначения введем для компонент магнитного поля. Тогда условия непрерывности тангенциальных компонент полей запишутся в следующем виде

Ecosθ− E1cosθ =E2 cosψ , H+H1=H2 (2.21) В (2.21) учтено, что тангенциальные компоненты электрических полей падающей и отраженной волн направлены противоположно друг другу.

Определим далее коэффициент отражения плоской волны параллельной поляризации через отношение компонент магнитного поля падающей и отраженной волн

R=H1/H (2.22) Напомним, что в плоской волне, распространяющейся в среде с относительными проницаемостями ε и µ, электрическое и магнитное поля связаны соотношением

E=WН, (2.23) где волновое сопротивление среды W равно

π=εµ=εµ=εεµµ= 120000000 /W,W//W (2.24) Используя закон Снеллиуса (2.20) и соотношение (2.23), исключим из (2.21) компоненты преломленного поля и получим коэффициент отражения для параллельной поляризации

( )θsinεεεcosθε

θsinεεε-cosθεexp

21212

21212

llllll−+

−=Φ= iRR (2.25)

Для перпендикулярной поляризации (рис. 2.9) граничные условия имеют вид Hcosθ− H1cosθ =H2 cosψ , E+E1=E2 (2.26)

Определим коэффициент отражения плоской волны перпендикулярной поляризации через отношение компонент электрического поля падающей и отраженной волн.

R⊥=Е1/Е (2.27) и найдем его из граничных условий, действуя так же, как в предыдущем случае. В результате получим

( )θε−ε+θε

θε−εθε=Φ= ⊥⊥⊥ 2

121

2121

sincos

sin-cosexp iRR . (2.28)

46

Рис. 2.8. Падение плоской волны параллельной поляризации на плоскую границу раздела двух сред

Рис. 2.9. Падение плоской волны перпендикулярной поляризации на плоскую границу раздела двух сред

Если волна падает из вакуума, в (2.25) и (2.28) следует положить ε1=1. На рисунках 2.10, 2.11 приведены результаты расчетов коэффициентов отражения для этого случая. На рис. 2.10 приведены расчеты модуля и фазы коэффициента отражения волны перпендикулярной поляризации при постоянном значении действительной части и различных значениях мнимой части диэлектрической проницаемости второй среды, на рис. 2.11 -

Н

П

П1

Н1

Е

θ θ

E1

П2

Е2

ψ

Среда 1

Среда 2

y

z

Н2

E

П

П1

Н1

Н

θ θ

E1

Е2

П2

Н2

ψ

Среда 1

Среда 2

y

z

47

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.10.20.30.40.5

0.60.70.80.9

1Перпендикулярная поляризация

Угол падения

Модуль коэффициента

отражения

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

20406080

100120140160180200

Перпендикулярная поляризация

Угол падения

Фаза коэффициента

отражения

Рис. 2.10. Зависимости модуля и фазы коэф. отражения перпендикулярной поляризации от угла падения волны θ на границу раздела воздух – диэлектрическая среда аналогичные расчеты для случая параллельной поляризации. Сплошной линией показаны расчеты для ε=10 – 100i, штриховой – для ε=10 – 10i, точками – для ε = 10 – 0,1i.

Видно, что в случае перпендикулярной поляризации модуль коэффициента отражения монотонно растет с увеличением угла падения волны, стремясь к единице при θ→90о, а фаза коэффициента отражения близка к 180о, приближаясь к этой величине с ростом угла падения. В случае параллельной поляризации модуль коэффициента отражения вначале убывает до малых значений при θ ≈ θБ, а затем растет, приближаясь к 1 при θ→90о. Фаза коэффициента отражения при параллельной поляризации близка к нулю в области углов θ < θБ, а затем резко уменьшается и стремится к −180о при θ → 90о.

Если потери устремить к нулю, то качественный ход зависимостей модуля коэффициента отражения от угла падения волны останется примерно таким же. В предельном случае среды без потерь фаза коэффициента

48

отражения при перпендикулярной поляризации равна 180о, а при параллельной поляризации меняется скачком от 0 до −180о при переходе через значение угла θ = θБ. При этом значении угла падения коэффициент отражения для параллельной поляризации строго равен нулю в отсутствие потерь в среде. Характерный угол, при котором R =0, называется углом Брюстера и определяется условием

2Бtg ε=θ . (2.29)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Параллельная поляризация

угол падения

Моднль коэффициента

отражения

0 10 20 30 40 50 60 70 80 9020018016014012010080604020

020406080

100120140160180200

Параллельная поляризация

угол падения

фаза

коэффициента отражения

Рис.2.11. Зависимости модуля и фазы коэф. отражения параллельной поляризации от угла падения волны θ на границу раздела воздух – диэлектрическая среда

49

Контрольные вопросы к п.2.5. 1) Как вывести выражения для коэффициентов отражения при падении плоской линейно поляризованной волны на плоскую границу раздела двух сред 2) Как зависят модуль и фаза коэф. отражения двух поляризаций от угла падения волны при падении волны из воздуха на полупространство с диэлектрической проницаемостью больше единицы в отсутствие потерь? 3) Как изменятся зависимости модуля и фазы коэф. отражения двух поляризаций от угла падения волны при падении волны из воздуха на полупространство с диэлектрической проницаемостью больше единицы при учете потерь в среде? 4) Как ведут себя модули и фазы коэффициентов отражения двух поляризаций при скользящих углах падения (θ→90о)? 2.6. Поле излучателя, поднятого над плоской земной поверхностью 2.6.1. Общий подход к анализу поля излучателя над плоской земной поверхностью

Рассмотрим случай, когда передающая и приемная антенны подняты достаточно высоко над земной поверхностью, так что высоты подъема антенн удовлетворяют условиям h1 >> λ0, h2 >>λ0 . Кроме того, положим, что расстояние между антеннами подчиняется условию 0,2r0 > r >> h1, h2. При этом поверхность земли может считаться плоской, а область, существенная для распространения радиоволн, находится над поверхностью земли, так что явление дифракции волн отсутствует и для анализа формирования поля можно воспользоваться представлениями геометрической оптики. Антенны будем считать слабонаправленными.

Поле передающей антенны на больших расстояниях от нее (в дальней зоне) представляет собой сферическую волну. Напряженность электрического поля в сферической системе координат с центром в точке расположения антенны определяется выражением (1.5). При падении сферической волны на землю участок фронта волны вблизи земной поверхности можно считать плоским. На границе раздела воздух – земля падающая плоская волна частично отражается, частично переходит через границу, порождая преломленную волну. Напряженность поля отраженной плоской волны определяется с помощью коэффициентов отражения для параллельной (2.25) или перпендикулярной (2.28) поляризации падающей волны. Направление движения отраженной волны определяется условием равенства углов падения и отражения. В приближении ГО каждой плоской волне сопоставляют семейство параллельных лучей, ортогональных фронту плоской волны. Из геометрических построений следует, что в точку приема попадают два луча – луч, идущий по прямой, соединяющей точки передачи и приема, и луч,

50

отраженный от поверхности земли (см. рис. 2.12). Таким образом, поле в точке приема формируется в результате интерференции двух волн: прямой, приходящей по пути АВ и отраженной, приходящей по пути АСВ. Путь отраженной волны АСВ можно заменить путем А1СВ, если заменить передающую антенну зеркальной, расположенной на высоте h1 под земной поверхностью (см. рис. 2.12).

Предположим далее, что антенна создает в плоскости падения волны только одну компоненту электрического поля, либо лежащую в плоскости падения (параллельная поляризация), либо ортогональную плоскости падения ( перпендикулярная поляризация).

Комплексная амплитуда напряженности поля передающей антенны, находящейся в точке А, будет равна в точке наблюдения В

( ) ( ) DPA,R

RikFAR,E mm Σ1

101α1α 60)exp(θθ =

−= . ( 2.30)

В (2.30) индекс α=|| для параллельной поляризации, α=⊥ для перпендикулярной поляризации, Fα(θ) – ДН соответствующей компоненты электрического поля.

Комплексная амплитуда напряженности поля зеркальной антенны в точке наблюдения В может быть записана в виде

( ) ( )2

2022

)(θθR

RikexpRFAR,E m−

= ααα , (2.31)

θ1

θ2

R1

R2

A

A1

B

C

h1

h1

h2

r

θ θ

Рис. 2.12. К анализу распространения радиоволн над плоской поверхностью Земли

51

где Rα = R при параллельной поляризации, Rα = R⊥ при перпендикулярной поляризации.

Используем теперь условие r >> h1, h2. При его выполнении прямые, проведенные из точек А и А1, можно считать параллельными. При этом углы выхода лучей из точек расположения передающей (θ1) и зеркальной (θ2) антенн равны между собой и равны углу отражения θ,

θ1 ≈ θ2 ≈ θ, (2.32) а разность расстояний

R2 −R1 ≈ 2h1cosθ. (2.33) Разность расстояний R2 −R1 принято называть разностью хода лучей (Рис. 2.13).

Учтем теперь, что разность хода лучей мала по сравнению с расстояниями R2 и R1. Поэтому при вычислении амплитуд напряженностей полей (2.30) и (2.31) ею можно пренебречь, положив в знаменателе (2.31) R2 ≈ R1 . Однако при определении фазы поля этой величиной пренебречь нельзя, так как набег фазы на разности хода лучей ∆Φ ≈ k0(R2 − R1) может быть большим и это существенно скажется на суммарном поле. При сделанных допущениях суммарное поле представим в виде*) _________ *) В случае параллельной поляризации направления векторов электрического поля падающей и отраженной волн в точке приема различаются на небольшой угол, которым можно пренебречь.

θ

θ

R1

R2

A

A1

h1

h1

С

θ

R2−R1

Рис. 2.13. К анализу распространения радиоволн над плоской поверхностью Земли в случае удаленной точки приема. Лучи из точек расположения реальной антенны А и зеркальной антенны А1 идут в точку наблюдения В параллельно.

52

( ) VR

RikexpFAEEE m1

1021

)(θ −≈+= αααα , (2.34)

где ))((1 120 RRikexpRV −−+≈ α (2.35)

– множитель ослабления, называемый также интерференционным множителем.

Представив коэффициент отражения в виде )( ααα Φ= iexpRR ,

и учитывая, что разность хода лучей определена в (2.33), найдем модуль интерференционного множителя

)cosθ2cos(21 12

ααα Φ−++= khRRV . (2.36) Таким образом, модуль суммарного электрического поля в точке приема представлен в виде

( ) ( ),FRAVEE m

m θθ1

Σ=⋅= (2.37)

где

( )1

1R

FAE mm θ= α , ( ) ( ) ( )θ= αΣ VFF θθ . (2.38)

В (2.37), (2.38) mE − амплитуда поля антенны в свободном пространстве, влияние земли на величину поля антенны учитывается множителем V (2.36), а функция ( )θΣF представляет собой ДН антенны над земной поверхностью, нормированную по максимальной напряженности поля антенны в свободном пространстве. Полученная формула может быть использована для анализа влияния земли на поле излучения слабонаправленных антенн.

В случае остронаправленных антенн поле над земной поверхностью следует рассчитывать как сумму полей, определяемых формулами (2.30) и (2.31). Единственное упрощение, которое можно сделать при условии r >> h1, h2, сводится к тому, что в знаменателе можно положить R2 ≈ R1. Однако для остронаправленных антенн нельзя использовать условие равенства углов (2.32), так как изменения ДН реальной и зеркальной антенн могут быть значительными на разности углов θ2–θ1. Поэтому поле остронаправленной антенны над земной поверхностью в конечном итоге определяется формулой (2.34), но множитель ослабления следует рассчитывать по более общей формуле

53

( )( ) ( ) ( ))exp(θθθ1 120

2

1 RRikRFFV −−+= α

α

α , ( 2.39)

при этом расстояния R1 , R2 и углы θ1, θ2, θ должны быть определены из геометрии трассы (рис. 2.12) по заданным высотам антенн h1, h2 и длине трассы r. ДН остронаправленной антенны над землей рассчитывается по (2.38). 2.6.2. Излучение вертикального электрического диполя.

Рассмотрим, как влияет плоская земная поверхность на излучение вертикального электрического диполя. В этом случае электрическое поле антенны леджит в плоскости падения, ДН диполя в свободном пространстве равна F=sinθ, а коэффициент отражения следует взять для параллельной поляризации. В результате поле вертикального электрического диполя над земной поверхностью представляется в виде

( ),FRAE m θ

1Σ=

где функция

( ) )-cosθ2cos(21sinθsinθθ ll10ll2

ll Φ++==Σ hkRRVF (2.40) – ДН антенны над землей, нормированная по максимальной напряженности поля диполя в свободном пространстве. Рассмотрим различные частные случаи.

ДН вертикального диполя над идеально проводящей плоскостью. Для идеального проводника R=1, Ф=0 и ДН диполя над плоскостью принимает вид

( ) ( )cosθcossinθ2))cos2cos(1(2sin 1010 hkhkF =θ+θ=θΣ (2.41) Множитель cos(k0h1cosθ) показывает, что с ростом отношения k0h1=2πh1/λ0 в точке приема возникают осцилляции поля – наблюдаются максимумы и минимумы поля, обусловленные интерференцией. Найдем положения минимумов и максимумов ДН, обусловленные интерференционным множителем (последний сомножитель в (2.41)). Из его анализа следует, что положение максимумов приближенно определяется условием

cos(k0 h1cosθmax) =1, т.е. cosθmax = nλ0/(2h1), n=0, 1,… (2.42) причем число максимумов ограничено условием cosθmax = nλ0/(2h1) ≤ 1. В максимумах ДН FΣ(θmax)=2.

Положение минимумов ДН строго определяется условием

54

cos(k0 h1cosθmin) =0, т.е. cosθmin = (2n+1)λ0/(4h1), n=0, 1,… , (2.43)

причем число минимумов ограничено условием cosθmin≤1. В минимумах ДН напряженность поля равна нулю.

Вдоль идеально проводящей поверхности имеется максимум излучения, так как при θ=90о cos(k0h1cosθmax) =cos(0) =1.

Первый минимум излучения при уменьшении угла θ от 90о имеет место при cosθmin = λ0/(4h1). Следовательно, первый лепесток ДН сужается при увеличении высоты подъема антенны. Приведенные формулы (2.42) и (2.43) для оценок положения экстремумов справедливы при θ ≠ 0. Кроме того, следует учесть, что в вертикальном направлении (θ=0) всегда имеется нуль поля, т.к. вертикальный вибратор в этом направлении не излучает.

В случае идеального проводника полученные формулы справедливы при любых высотах подъема антенн над плоской поверхностью.

ДН вертикального диполя над диэлектриком с малыми потерями. Это практически важный случай распространения волн метрового и дециметрового диапазонов над сушей. Пренебрежем для оценок потерями в среде и будем иметь в виду, что относительная диэлектрическая проницаемость грунта больше единицы. Расчет ДН проводится по общей формуле (2.40). При больших высотах подъема антенны ДН имеет многолепестковый характер. Оценим приближенно положение максимумов и минимумов ДН диполя над диэлектриком. Максимумы ДН будут иметь место, когда в (2.40)

сos(2k0h1cosθmax – Ф) = 1, (2.44) а величина интерференционного множителя в максимумах ДН равна

|V| =1+|R|| | . (2.45) Минимумы ДН определяются условием

сos(2k0h1cosθmax – Ф) = − 1, (2.46) а величина интерференционного множителя в минимумах ДН равна

|V| =1– |R|| | . (2.47) При большом числе осцилляций интерференционного множителя функции (2.43) и (2.45) являются огибающими этого множителя. Умножая эти огибающие на sinθ – ДН диполя в свободном пространстве, получим огибающие ДН диполя над землей. Теперь определим приближенно положение максимумов и минимумов ДН диполя над диэлектриком. При этом следует учитывать, что фаза коэффициента отражения меняется скачком при переходе через угол Брюстера, а амплитуда коэффициента отражения равна нулю при угле Брюстера (см.(2.29)).

При θ<θБ фаза коэффициента отражения равна нулю. Поэтому положения максимумов и минимумов ДН определяются формулами (2.44) и

55

(2.46), где нужно положить Φ=0. Отсюда следует, что максимумы излучения имеют место при условии

cos(2k0h1cosθmax) =1, а минимумы излучения – при условии

cos(2k0h1cosθmax) = −1 Эти условия приводят к тем же значениям углов, что и в случае идеально проводящей поверхности (см. (2.42) и (2.43)), но число экстремумов ограничено условием θ<θБ .

При θ>θБ фаза коэффициента отражения равна − 180o. Поэтому максимумы излучения имеют место при условии

cos(2k0h1cosθmax) = −1, (2.48) а минимумы излучения – при условии

cos(2k0 h1cosθmax) = 1 , (2.49) то – есть положения максимумов и минимумов ДН в области углов θ>θБ меняются местами по сравнению с условиями при θ<θБ

cosθmax = (2n+1)λ0/4h1), n=0, 1,… (2.50) cosθmin = (nλ0/2h1), n=0, 1,… (2.51)

ДН вертикального электрического диполя над диэлектриком приведена на рис. 2.14. Тонкой сплошной линией показана зависимость интерференционного множителя (2.36) от угла θ, штриховыми – его огибающие, рассчитанные по (2.45) и (2.47), толстой сплошной линией – ДН вертикального диполя над диэлектриком, найденная по формуле (2.40).

Интерференционная структура ДН диполя сохраняется и над полупроводящей землей. Отметим, что при скользящих углах падения (θ→90o) напряженность электрического поля диполя над диэлектриком (как в отсутствие, так и при наличии потерь) стремится к нулю, см. формулу (2.40) при θ=90o.

Вертикальный вибратор ε = 4, h = 3 λ

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

угол наблюдения (град) Рис.2.14. Диаграмма направленности вертикального электрического диполя, расположенного на высоте h=3λ0 над поверхностью земли с диэлектрической проницаемостью ε=4.

56

Обратим внимание на то, что количество лепестков ДН на единицу

больше числа полуволн, укладывающихся на высоте антенны, что следует из (2.42) для диполя над идеальным проводником и из (2.48), (2.50) для диполя над диэлектриком.

Закономерности излучения вертикального электрического вибратора конечной длины над плоской землей аналогичны случаю диполя, необходимо лишь при расчете заменить ДН диполя на ДН вибратора, например, для полуволнового вибратора воспользоваться формулой (1. 15).

2.6.3. Излучение горизонтального электрического диполя.

Обсудим влияние земной поверхности на ДН горизонтального электрического диполя в его экваториальной плоскости, т.е. плоскости, перпендикулярной оси антенны. В этой плоскости ДН диполя в свободном пространстве изотропна: F(θ)=1, поэтому его ДН над земной поверхностью определяется интерференционным множителем:

( ) )-cosθ2cos(21θ 102

⊥⊥⊥Σ Φ++== hkRRVF (2.52) В (2.52) R⊥ и Ф⊥ - модуль и фаза коэф. отражения плоской волны от плоской земли для перпендикулярной поляризации.

ДН горизонтального диполя над идеально проводящей плоскостью. В этом случае R⊥ =1, Ф⊥=180о и ДН горизонтального диполя над идеальным проводником определяется формулой

( ) ( )cosθ2))cos2cos(1(2θ 1010 hksinhkF =θ−=Σ (2.53) Структура ДН носит лепестковый характер, но положения максимумов и минимумов по сравнению с ДН вертикального диполя над идеальным проводником меняются местами

cosθmax = (2n+1)λ0/4h1, n=0, 1,… (2.54) cosθmin = nλ0/2h1, n=0, 1,… (2.55)

При этом вдоль идеально проводящей поверхности (см. (2.53) при θ=90о) поле всегда равно нулю, а в вертикальном направлении излучение существует при условии, что nλ/2h1≠1.

ДН горизонтального диполя над диэлектриком. В случае идеального диэлектрика для перпендикулярной поляризации при всех углах падения Ф⊥= 180о и ДН диполя над диэлектриком равна

( ) ( )cosθ2cos21θ 102 hkRRF ⊥⊥Σ −+= . ( 2.56)

Полученное выражение анализируется точно так же, как ДН вертикального диполя над диэлектриком при углах больше угла Брюстера и приводит к аналогичным условиям для определения положений максимумов и минимумов (см. (2.50) и (2.51)) ДН горизонтального диполя над диэлектриком приведена на рис.2.15.

57

Горизонтальный вибратор ε = 4, h = 3λ

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

угол наблюдения (град) Рис.2.15. Диаграмма направленности в экваториальной плоскости горизонтального электрического диполя, расположенного на высоте h=3λ0 над поверхностью земли с диэлектрической проницаемостью ε = 4 Обратим внимание на то, что в случае горизонтального диполя число лепестков ДН равно числу полуволн, укладывающихся на высоте антенны.

Мы проанализировали поле горизонтального диполя над землей в экваториальной плоскости, где структура поля достаточно проста и определяется только перпендикулярной поляризацией. В других плоскостях горизонтальный диполь излучает волны обеих линейных поляризаций: параллельной и перпендикулярной и полное поле имеет эллиптическую поляризацию. Контрольные вопросы к п. 2.6 1) Изучите вывод интерференционной формулы (2.34) для слабонаправленных антенн. Какие допущения сделаны при ее выводе? Какие из этих допущений неприменимы при расчете диаграмм направленности остронаправленных антенн ? 2)Как приближенно определить положение максимумов и минимумов диаграммы направленности высоко поднятой антенны над землей в различных случаях (вертикальный, горизонтальный диполи, земная поверхность – идеальный проводник или диэлектрик) Задача 1

Рассчитайте ДН вертикального электрического диполя, поднятого над землей на высоту h1=1,5λ0 для случаев идеально проводящей поверхности и диэлектрика с ε=3. Наряду со строгим расчетом оцените положения экстремумов ДН по приближенным аналитическим формулам и сопоставьте полученные результаты.

58

Задача 2 Рассчитайте диаграмму направленности горизонтального

электрического диполя в экваториальной плоскости, поднятого над землей на высоту h1=2λ0 для случаев идеально проводящей поверхности и диэлектрика с ε=4. Наряду со строгим расчетом оцените положения экстремумов ДН по приближенным аналитическим формулам и сопоставьте полученные результаты. 2.7. Интерференционная формула Введенского

Практически важным для распространения волн метрового диапазона является случай скользящего падения лучей (θ → 90o). При этом формулы для ДН слабонаправленных антенн над плоской землей можно упростить, поскольку при пологом падении Rα→1, а Фα стремится к 180о либо к − 180о в зависимости от поляризации поля. Используя представление интерференционного множителя (2.35) и пренебрегая изменением ДН слабонаправленной антенны в свободном пространстве при углах, близких к θ = 90o, запишем ДН антенны над землей в виде

( ) ( )( )12050sin2θ RRk,F −=Σ , (2.57) где R2-R1 − разность хода лучей. Если в (2.57) использовать приближение (2.33) для разности хода лучей, то получим ДН горизонтального диполя над идеальным проводником (2.53). Рассмотрим более детально геометрию радиотрассы (рис. 2.16).

θ

R1

R2

A

A1

B

C

h1

h1

h2

r

A2

Рис. 2.16. К выводу формулы Введенского

59

Из треугольников АА2В и АА1В следует, что

( ) ( )

−+≈−+= 2

2122

122

12

1r

hhrhhrR ,

( ) ( )

++≈++= 2

2122

122

22

1r

hhrhhrR .

Выразим разность хода лучей через высоты подъема антенн и расстояние между антеннами

( ) ( )r

hhr

hhrr

hhrRR 122

212

2

212

122

21

21 ≈

−+−

++≈− . (2.58)

Используя приближение (2.58), получим следующие выражения для ДН слабонаправленной антенны и напряженности создаваемого ею поля над земной поверхностью

,r

hhkF

=Σ

210 sin2 (2.59)

== Σ

ΣΣ

rhhk

rDP

Fr

DPE 210 sin

60260 . (2.60)

При условии k0h1h2/r <<1 синус в формуле (2.60) может быть заменен его аргументом. Таким образом, напряженность поля вибратора при пологих лучах может быть рассчитана по формуле

0

212 λ

460 hhr

DPE π

⋅= Σ , (2.61)

которая называется формулой Введенского. Проанализируем поведение поля с увеличением расстояния вдоль

поверхности земли r при заданных высотах антенн и длине волны. Заметим, что формулы (2.59), (2.60) для расчета ДН и напряженности поля над землей применимы, когда аргумент синуса принимает как большие, так и малые значения, лишь бы выполнялись исходные условия λ<<h1 , h2<<r. Например, положим для оценок λ=1 м, h1 =100 м, h2 =10 м, r=1000 м. При этих условиях аргумент синуса равен 2π > 1.

Если аргумент синуса первоначально удовлетворял условию k0h1h2/r >>1, то с ростом расстояния согласно (2.60) напряженность поля будет осциллировать, убывая в среднем как 1/r, пока выполняется это условие. При этом период осцилляций будет увеличиваться. Максимумы поля достигаются при условии ( ) 1 sin 210 =r/hhk . Последний (с ростом расстояния) максимум достигается, когда аргумент синуса равен π/2, т.е.

r,hh 021 λ250= . При дальнейшем увеличении дальности r амплитуда поля

60

монотонно убывает. Когда начинает выполняться условие k0h1h2/r <<1, напряженность поля определяется формулой (2.61), согласно которой поле убывает с расстоянием как 1/r2 .

Формула (2.61) была получена академиком Б.А.Введенским. Она справедлива при следующих ограничениях:

1) должны выполняться условия Rα ≈1, |Φα|≈180o; 2) высоты подъема антенн и расстояние ограничены условием

1λ

2

0

21 <<π

rhh ;

3) формула (2.61) пригодна для высоко поднятых над землей антенн (h1,h2>>λ0) и качественно правильно описывает поведение поля при подъеме приемной антенны до первого максимума диаграммы направленности. Количественные оценки применимости формулы Введенского приведем для практически важного случая малых потерь в сухом грунте, который реализуется на частотах свыше 100 МГц. В этом случае область применимости формулы Введенского определяется величиной отклонения модуля коэффициента отражения от единицы и погрешностью замены синуса в формуле (2.60) его аргументом. Суммарная погрешность

формулы Введенского составляет не более 5% при 1-|Rα|<0,025 и 1250λ

2

0

21 ,rhh

< и не

более 10% при 1-|Rα|<0,025 и 1750λ

2 21 ,rhh

< .

Согласно формуле Введенского при скользящих углах падения волны поле убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, а не обратно пропорционально расстоянию, как в случае свободного пространства. Причиной такого поведения поля является то, что падающий и отраженный лучи приходят в точку приема почти в противофазе, а модуль коэффициента отражения близок к единице.

Контрольные вопросы к п.2.7.

1) Какие допущения наложены при выводе формулы Введенского ? 2) Как в условиях применимости формулы Введенского меняется напряженность поля с увеличением расстояния между антеннами вдоль поверхности земли?

Пример Необходимо установить телевизионную антенну на дачном

участке, находящемся в пригороде Москвы на расстоянии 15 км от Останктнской телебашни. Параметры передающей антенны: высота установки антенны h1=500 м, РΣ=1 кВт, D=3. Частота первого телевизионного канала (по изображению) 49,75 МГц. Найти высоту подъема приемной антенны, исходя из требования, что напряженность поля в точке приема должна быть не менее 5 мв/м.

61

Решение Прежде всего оценим, справедлива ли модель плоской земли в нашем случае. Пренебрегая высотой подъема приемной антенны, рассчитаем расстояние прямой видимости по формуле (2.16). Получим r0 ≈ 80 км. Так как расстояние от телецентра до точки приема 15 км < 0,2 r0=16 км, модель плоской земли применима. Длина волны канала изображения равна λ0=с/f=3∙108/(49,75∙106)=6,03 м. Теперь оценим высоту, на которой находится ближайший к земле максимум ДН передающей антенны в точке приема. Из формулы (2.60) следует, что это имеет место при

4λ021 /rhh = . Отсюда находим высоту h2 =λ0r /(4h1)=45 м. При h2 << 45 м выполняется условие применимости формулы Введенского. Используя формулу Введенского, находим при заданной напряженности поля в точке приема, что высота подъема приемной антенны должна быть не менее 2,5 м. Далее учтем, что формула Введенского пригодна при условии, что высоты антенн значительно больше длины волны. Поэтому высоту подъема приемной антенны следует выбрать в интервале 6 м <<h2 << 45 м.

Задача. Рассчитайте дальность действия базовой станции сотовой связи при

следующих условиях: мощность излучения базовой станции сотовой связи равна 100 Вт, высота подъема антенны 25 м, КНД =10, частота 900 МГц. Пользователь сотового телефона первоначально находится на расстоянии 1000 м от базовой станции и удаляется от нее. Для надежной работы сотового телефона напряженность поля должна быть не менее 10 мв/м. Высоту расположения приемной антенны выберите самостоятельно. 2.8. Учёт кривизны земной поверхности при пользовании интерференционными формулами.

Полученные в предыдущем разделе интерференционные формулы

выводились для случая, когда расстояние между корреспондирующими пунктами достаточно мало, так что земную поверхность можно считать плоской. Если же расстояние R (рис.2.17) между ними меньше расстояния прямой видимости, но сравнимо с ним, то влияние кривизны земной поверхности становится существенным и его приходится учитывать при расчете множителя ослабления по интерференционным формулам.

Влияние кривизны земной поверхности сказывается, прежде всего, в уменьшении разности хода между прямой и отраженной волнами по сравнению со случаем плоской земной поверхности. Для учета этого влияния в формулы для разности хода вместо истинных высот антенн h1 и h2 вводят так называемые “приведенные высоты” антенн 1h′ и 2h′ , т. е. высоты антенн над плоскостью, касательной к земной поверхности в точке отражения C

62

(рис. 2.17). При такой замене будет получено правильное значение разности хода между прямым AB и отраженным от поверхности Земли ACB лучами, а, следовательно, и правильное значение напряженности поля в точке приема. Таким образом, рассмотренные выше методы расчета напряженности поля над плоской Землей могут быть распространены на случай сферической Земли при условии замены действительных высот антенн приведенными значениями. А наша задача сводится к определению приведенных высот 1h′ и 2h′ , по заданным значениям реальных высот антенн h1 и h2 для заданного расстояния R между этими антеннами.

Рис.2.17.Определение разности хода лучей при распространении над сферической Землей

Переходя к выводу выражений для 1h′ и 2h′ , отметим, прежде всего, что рис.2.17 не отражает действительных соотношений между указанными исходными величинами, так как для наглядности масштаб высот сильно растянут. В действительности высоты 1h и 1h′ , а также 2h и 2h′ почти не имеют углового расхождения, поэтому можно положить

11111 cos)( hhhhh ∆−≈∆−=′ ϕ , 22222 )cos()( hhhhh ∆−≈−∆−=′ ϕθ , (2.62) где через 1h∆ и 2h∆ обозначены отрезки AA ′′′ и BB ′′′ соответственно. Обращаясь к рис. 2.17 и замечая, что в точке отражения С угол падения равен углу отражения, из треугольников О АС имеем по теореме синусов

( ) ( )OACR

OCAhR

sinsin010 =

+ . (2.63)

63

Из очевидных соотношений между углами треугольника следует, что γγ cos)90sin()sin( 0 =+=OCA , и )cos())90(180sin()sin( 00 ϕγγϕ +=+−−=OAC ,

поэтому предыдущее равенство можно переписать в виде γϕγ cos)cos()( 010 RhR =++ . (2.64)

Аналогично из треугольника ОBC имеем

( ) ( )CBOR

OCBhR

sinsin020 =

+, (2.65)

или γϕθγ cos)cos()( 020 RhR =−++ (2.66)

Определяя из каждого уравнения (2.64) и (2.66) γtg (через γ обозначены углы скольжения АСA` и BCB`) и приравнивая их друг к другу, получим:

)sin(

)cos(

sinR

Rcos

20

0

10

0

ϕθ

ϕθ

ϕ

ϕγ

−+

−−=

+−

=hR

Rh

tg . (2.67)

Важно отметить, что полученное уравнение является вполне строгим, поскольку никаких упрощающих предположений при его выводе не делалось. Это уравнение не имеет аналитического решения, но его можно значительно упростить без ущерба для требуемой точности расчетов. Действительно, учитывая, что 01 Rh << и 02 Rh << , можно положить

0

1

10

0 1Rh

hRR

−≈+

и 0

2

20

0 1Rh

hRR

−≈+

. Кроме того, заменяя синусы малых углов

аргументами ϕϕ ≈sin , )()sin( ϕθϕθ −≈− и ограничиваясь двумя членами

разложения для косинусов тех же углов 2

1cos2ϕ

ϕ −≈ , 2

)(1)cos(2ϕθ

ϕθ−

−≈− ,

уравнение (2.67) можно переписать в виде:

)(2

)(2

2

0

22

0

1

ϕθ

ϕθ

ϕ

ϕ

γ−

−−

=−

=Rh

Rh

tg . (2.68)

Выражая геоцентрические углы через соответствующие им расстояния 1r и 2r , получим

)(

2)(

2

1

0

21

2

1

0

21

1

rrRrrh

rR

rhtg

−

−−

=−

=γ . (2.69)

Если теперь ввести в качестве искомой величины “относительную

координату” κ точки отражения C соотношением θϕ

κ ==rr1 , получим для

нее кубическое уравнение следующего вида:

021

23

201

202

20123 =+

−−+−

rRh

rRh

rRh

κκκ . (2.70)

64

Введением новой переменной 21

−= κy это уравнение приводится к стандартной

форме 0233 =++ QPyy , (2.71)

где )3

)(121( 2

210

rhhR

P+

+−= , 2210

4)(

rhhR

Q−

= .

Решение этого кубического уравнения весьма громоздко и может быть найдено, например, с помощью формул Кардана [9]. Поскольку дискриминант 032 <+= PQD (независимо, кстати, от соотношения высот антенн, т. е. от знака Q ), данное уравнение имеет три действительных корня. По физическому смыслу значение κ должно лежать в пределах от нуля до единицы, что и обусловливает правильный выбор корня кубического уравнения. С учетом этого можно записать

33 )23

21()

23

21(

21 DQiDQi −−+−++−+−=κ . (2.72)

По найденному значению κ легко вычисляются приведенные высоты. Действительно, как видно из рис. 2. 17 (треугольник OCA`),

0

2

20

21

0

2

0000

1 2)(

22)1

cos1(

cos Rr

RrRRRR

Rh κϕ

ϕϕ==≈−=−=∆ , (2.73)

аналогично 0

2

0

22

02 2))1((

2 Rr

RrRh κ−

=≈∆ ,

что и позволяет по (2.62) определить искомые приведенные высоты. Здесь уместно заметить, что расстояние между передающей и приемной антеннами r, измеренное вдоль поверхности Земли, и расстояние R между ними, измеренное напрямую («по воздуху»), отличаются настолько мало, что для всех реальных приземных линий связи можно использовать любую из этих величин. Формулу (2.72) можно использовать для конкретных расчетов, но она совершенно непригодна для анализа. Тем не менее ряд важных выводов можно сделать из анализа уравнения в форме (2.69).

Рассмотрим два предельных случая. Прежде всего, в случае малых расстояний между антеннами угол γ имеет большую величину – справедлива модель «плоской Земли» ( ∞→0R ).

При этом 10

21

2h

Rr

<< и 20

21

2)( h

Rrr

<<− , а из (2.69) следует, что

1

2

1

1

rrh

rh

−= . Отсюда

вытекает, что

rhh

hr21

11 +

= , rhh

hr-rr21

212 +

== , (2.74)

и, следовательно, в этом предельном случае малых расстояний относительная координата κ принимает значение, которое обозначим 1κ :

21

11 hh

h+

=κ . (2.75)

В другом предельном случае, когда расстояние между антеннами близко к расстоянию прямой видимости, т. е. к такому положению, когда

65

прямая, соединяющая обе антенны, касается поверхности Земли, угол 0→γ и из (2.69) вытекает, что

0

21

1 2Rrh = и

0

21

2 2)(

Rrrh −

= . (2.76)

Отсюда следуют соотношения

rhh

hr

21

11

+= и r

hhh

rrr21

212

+=−= , (2.77)

а κ принимает второе предельное значение

21

12 hh

h+

=κ , (2.78)

соответствующее большим расстояниям между корреспондентами. Отметим еще, что при равных высотах 21 hh = вне зависимости от расстояния между антеннами 50,=κ , что очевидно из геометрии задачи и легко увидеть из уравнения (2.71) или непосредственно из решения (2.72). Такой же результат дают и формулы (2.75) и (2.78). Во всех остальных случаях κ изменяется в пределах, определяемых формулами (2.75) и (2.78). Эту область изменения можно еще сузить, считая, например, без ограничения общности (по принципу взаимности), что 21 hh ≥ . Тогда во всяком случае 15.0 ≤≤ κ . При необходимости точных расчетов можно воспользоваться решением (2.72). Обычно в литературе [8], [10] рекомендуется использовать приближения (2.75) и (2.78) соответственно для малых и больших расстояний между антеннами, а в промежуточных случаях – среднее из этих значений. Более того, в [11] рекомендуется во всех случаях пользоваться формулой (2.78). При этом никаких серьезных исследований точности и границ применимости каждой из этих формул в указанной литературе не приводится. Детальные расчеты [7] показали, что без учета расстояния ни одна из них не дает удовлетворительной точности во всем диапазоне изменения высот антенн и расстояний между ними. В то же время даже небольшое усложнение формулы для определения κ , а именно, применение линейной аппроксимации вида

rhh

hhh

hhh

h ′+

−+

++

= )(21

1

21

1

21

13κ , (2.79)

где 0r

rr =′ - расстояние между антеннами, отнесенное к расстоянию прямой

видимости (для освещенной области эта величина изменяется в пределах от нуля до единицы). Выражение (2.79) при малых расстояниях ( 0→′r ) переходит в формулу (2.75), а при больших расстояниях ( 1→′r ) – превращается в формулу (2.78), обеспечивая значительно более высокую по сравнению с ними точность во всей допустимой области изменения расстояния.

66

Сказанное проиллюстрируем с помощью рис. 2.18, где приведены результаты сравнения значений «относительной координаты» κ, вычисленной по приведенным выше приближенным формулам, с точным решением (2.72). Высоты первой и второй антенн равны соответственно ста и десяти метрам, расстояние между ними изменяется в допустимых пределах. Приводятся графики относительных ошибок, вычисляемых по формуле ( ) %*/ точноеоеприближеннточное 100κκ−κ , где в качестве

оеприближеннκ используется не только 321 ,, κκκ , но и среднее арифметическое первых двух величин ( )2150 κ+κ, . Видно, что использование κ1 (пунктирная кривая)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

Относительное расстояние r`

Ошибка

в процентах

Рис.2.18. Точность вычисления относительной координаты κ (h1=100 м, h2=10 м): сплошная кривая двойной толщины κ3 по формуле (2.79) (линейная аппроксимация), короткий пунктир – κ1 по формуле (2.75), пунктир κ2 по формуле (2.78), штрихпунктирная линия – среднее арифметическое ( )2150 κ+κ, . обеспечивает высокую точность при малых расстояниях и приводит к большим ошибкам на больших расстояниях, а использование κ2, естественно, наоборот. Однако эти ошибки имеют разные знаки, поэтому в промежуточной области эти ошибки частично компенсируют друг друга и их среднее значение (штрихпунктирная линия) имеет несколько более высокую точность. Тем не менее, как явствует из этого рисунка и подтверждается многочисленными расчетами, применение линейной аппроксимации κ3 (сплошная кривая) обеспечивает высокую точность для различных расстояний и соотношений высот антенн. При этом ошибка обычно не превышает нескольких процентов, что заведомо можно считать удовлетворительным для любых практических целей. Таким образом, при

67

расчете приведенных высот во всех случаях может быть рекомендовано использование формулы (2.79). Этот вывод с очевидностью подтверждается и результатами расчетов приведенных высот, представленными на рис.2.19. Таким образом, при расчете напряженности поля с учетом сферичности Земли вместо реальных высот антенн вводятся приведенные высоты, вычисляемые по формулам (2.62)

111 hhh ∆−=′ 222 hhh ∆−=′ , где в соответствии с (2.73)

0

2

1 2)(

Rrh κ

=∆ , 0

2

2 2))1((

Rrh κ−

=∆ .

Здесь относительное расстояние κ может быть вычислено при малых расстояниях между антеннами (порядка 0,2r0 ) по формуле (2.75)

21

1

hhh+

=κ ,

а при больших расстояниях (порядка 0,8r0 ) – по (2.78)

21

1

hhh+

=κ .

При промежуточных значениях расстояния между антеннами можно использовать среднее из двух приведенных выше значений. Однако при любых расстояниях между антеннами и произвольном соотношении между их высотами этот параметр со значительно более высокой точностью может быть вычислен по единой формуле (2.79)

021

1

21

1

21

1 )(rr

hhh

hhh

hhh

+−

++

+=κ .

Напомним, что расстояние между точками излучения и приема r может с одинаковым успехом измеряться как вдоль поверхности Земли, так и по прямой, соединяющей обе антенны. Контрольные вопросы к п.2.8 1) Что такое приведенные высоты? 2) Как приближенно рассчитать приведенные высоты при малых и соизмеримых с расстоянием прямой видимости расстояниях между антеннами?

68

а)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Относительное расстояние r`

Приведенная

высота

первой антенны

б)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Относительное расстояние r`

Приведенная

высота

второй антенны

Рис. 2.19. Зависимость результатов расчета приведенных высот от способа вычисления параметра κ (h1=100 м, h2=10 м ): сплошная кривая двойной толщины – точное решение, короткий пунктир – κ1 по формуле (2.75), пунктир - κ2 по формуле (2.78), штрихпунктирная линия – среднее арифметическое из κ1 и κ2 , тонкая сплошная кривая - κ3 по формуле (2.79) (линейная аппроксимация).

69

2.9. Влияние неровностей земной поверхности и препятствий на распространение радиоволн.

2.9.1. Отражение от неровной поверхности. Критерий Релея.

Рассмотренные выше модели гладкой земной поверхности являются сильными идеализациями. На реальной земной поверхности имеются различные неровности, препятствия, влияющие на распространение радиоволн. Типичные виды неровностей и препятствий: мелкомасштабные (по сравнению с длиной волны) неровности (такую поверхность называют шероховатой); крупномасштабные неровности (например, пологие холмы), одиночные препятствия (гора, дом). На распространение радиоволн влияет также растительность (лес, кустарники). Особенно сложными являются процессы распространения радиоволн в городских условиях.

Для понимания процессов распространения радиоволн при наличии препятствий будем отталкиваться от модели гладкой плоской поверхности.

При анализе падения волны на ровную плоскую поверхность используют законы ГО. В соответствии с ними поле плоской волны описывается семейством параллельных лучей, ортогональных волновому фронту. Отраженные лучи лежат в одной плоскости с падающими, угол отражения равен углу падения. Такое отражение называют зеркальным (рис. 2.20а).

Если поверхность земли неровная, причем размеры неровностей малы или соизмеримы с длиной волны, то каждая неровность на поверхности земли дает рассеянное поле не только в обратном, но и в других направлениях (рис. 2.20б). Напряженность поля зеркально отраженной волны оказывается меньше, чем в случае отражения от ровной поверхности.

Если неровности поверхности гладкие и их размеры велики по сравнению с длиной волны, то отражение волны носит локально зеркальный характер. Это означает, что в точке падения луча отражение происходит как от плоскости, касательной к поверхности земли в точке отражения.

Наиболее сложной является ситуация, когда реальная поверхность должна быть представлена совокупностью неровностей различных масштабов. Теоретическое определение полей, отраженных неровными поверхностями, сталкивается с серьезными математическими трудностями. Поэтому величину напряженности поля отраженной от неровной поверхности волны в направлении зеркального отражения характеризуют эффективным коэффициентом отражения, который определяется экспериментально. На рис. 2.21 представлена зависимость эффективного коэффициента отражения от угла падения волны на реальную земную поверхность для волн различной длины (штриховые кривые). Расчет для гладкой поверхности показан сплошной кривой. Видно, что измеренное значение эффективного коэффициента отражения тем больше отличается от

70

расчетного для ровной поверхности, чем короче длина волны и чем меньше угол падения волны на поверхность.

Для объяснения зависимости эффективного коэффициента отражения от угла падения волны рассмотрим качественно отражение плоской волны от неровной поверхности (рис. 2.22). Максимальная высота неровностей равна h. Все неровности расположены между плоскостями, сечения которых аа1 и bb1 показаны на рисунке. Отражение падающей волны формируется в интервале высот между этими плоскостями, при этом часть падающей волны отразится на нижнем уровне неровностей аа1 , другая часть — верхнем bb1. Очевидно, что величина эффективного коэффициента отражения в направлении зеркального отражения будет меньше, чем в случае гладкой поверхности, по двум причинам. Во − первых, часть поля будет рассеиваться в стороны, а не в зеркальном направлении (см. рис. 2.20б). Во – вторых, поле, идущее в направлении зеркального отражения, представляет собой сумму лучей разной длины, поэтому вместо синфазного сложения полей от каждого луча (как в случае зеркального отражения) будет возникать интерференция лучевых полей со случайными фазами. Среднее значение такого поля меньше, чем при синфазном сложении полей.

Обсудим условия, при которых влиянием неровностей можно пренебречь. Они определяются фазовыми соотношениями для полей, отраженных от неровностей. Плоскость mm1, перпендикулярная распространения падающей волны, является фазовым фронтом падающей волны. Рассмотрим фазовые соотношения на плоскости пп1, перпендикулярной направлению распространения отраженной волны. Наибольшая разность фаз окажется между волнами, отраженными от верхнего (точка D) и нижнего (точка В) уровней неровностей. Разность хода лучей тп и т1п1 составляет 2АВ≈2hсоsθ, что приводит к сдвигу фаз между лучами, равному ∆ϕ=(2π⋅2hcosθ)/λ. Если разность фаз между лучами, отраженными от нижней и верхней границ поверхности, стремится к нулю, то отраженное поле близко к синфазному и влиянием неровностей на отраженную волну можно пренебречь. Для оценок положим, что разность фаз не превышает π/2. В результате получим, что высота неровностей, при которой отражение можно считать зеркальным, ограничена условием

h ≤λ0/8cosθ (2.81) Соотношение (2.81) называется критерием Релея. Из него следует, что

при заданной высоте неровностей отражение приближается к зеркальному для полого падающих лучей и более длинных волн. Действительно, из рис. 2.21 следует, что с ростом длины волны и с увеличением угла падения волны эффективный коэффициент отражения стремится к коэффициенту отражения от гладкой поверхности.

Влияние неровностей земной поверхности особенно существенно при распространении сантиметровых и миллиметровых волн. В этих диапазонах

71

даже небольшие неровности Земли и взволнованное море вызывают рассеяние падающей волны. Расчет напряженности поля, отраженного от неровной поверхности, ведется по формулам, приведенным в параграфе 2.6, с заменой коэффициентов отражения (2.25) и (2.28) от гладкой поверхности на эффективные коэффициенты отражения в пределах области, существенной для отражения. Для конкретных расчетов эффективного коэффициента отражения

наряду с графиком рис. 2.21 можно использовать экспериментальные данные, которые приведены в табл.2.2, взятой из [12]

В случае морской поверхности шероховатость поверхности определяется величиной волнения моря. В результате обработки экспериментальных данных получена следующая формула коэффициента отражения от шероховатой морской поверхности при распределении высоты неровностей по гауссову закону [13]

π= ⊥⊥

2

0ll,эll, λ

cosθ22-exp chRR , (2.82)

где R׀׀,⊥ и Rэ׀׀,⊥ – коэффициенты отражения Френеля для идеально плоской и, соответственно, шероховатой поверхностей, hс – среднеквадратичное значение высоты неровностей, λ0 - длина волны. Согласно [13] формула (2.81) согласуется с экспериментом при

f hс cosθ< 30 . (2.83) В (2.83) частота f берется в МГц, hc - в метрах. Среднеквадратичное значение высоты неровностей должно быть определено через высоту морской волны или скорость ветра. Рекомендуется, исходя из синусоидальной формы волны, брать hс≈0,35 hм , где hм - максимальная высота морской волны.

Таблица 2.2. Эффективные коэффициенты отражения при больших углах падения плоской волны Вид шероховатой поверхности

Эффективный коэффициент отражения при углах падения 89о30’ и более длина волны

18-15 см длина волны

8-7 см длина волны

5 см длина волны

3-1,5 см Водная поверхность 0,95 0,88 0,75 0,33 Равнина, пойменные луга, солончаки

0,9 0,78 - - Ровная лесистая местность

0,7 0,5 0,4 0,2 Среднепересеченная лесистая местность

0,4 0,25 - -

72

Рис. 2.20 а. Зеркальное отражение от идеально плоской поверхности. Штриховыми линиями показаны лучи, описывающие падающую и отраженную волны.

Рис. 2.20 б. Отражение от неровной поверхности. Наряду с зеркально отраженными лучами возникают лучи, отраженные в различных направлениях.

73

h b1

a1

b

a

m m1

n1

n

B

A C

D

Рис. 2. 21. Зависимость эффективного коэффициента отражения от угла падения плоской волны на неровную земную поверхность (перпендикулярная поляризация).

Рис. 2. 22. К выводу критерия Релея. Штриховыми линиями показаны лучи падающей и отраженной волн.

74

2.9.2. Обратное рассеяние от неровной поверхности. При отражении от неровной земной поверхности поле рассеянной волны

распространяется и в направлении к источнику, что создает обратное отражение, которое чаще всего относится к мешающим сигналам. Для оценки интенсивности обратных отражений, создаваемых различными видами неровной земной поверхности, пользуются понятием ЭПР. Зависимость ЭПР от угла падения волны на поверхность при фиксированном положении точки отражения называют диаграммой обратного рассеяния поверхности. Часто пользуются понятием нормированной диаграммы обратного рассеяния, представляющей собой зависимость σэф=σ0f(θ) от угла падения волны θ, где σ0 —значение σэф при нормальном падении волны. Величины σэф определяются экспериментально. Результаты измерений, пример которых приведен на рис. 2.23, показывают, что ЭПР возрастает с увеличением отношения высоты неровности к длине волны [2].

Рис. 2.23 Диаграммы обратного рассеяния от морской поверхности: 1 – скорость ветра 10-20 км/ч, 2 - скорость ветра 20-30 км/ч, 3- скорость ветра 40 км/ч

2.9.3. Дифракция радиоволн на одиночном препятствии. Во многих практических случаях препятствие, на котором рассеивается

волна, может быть представлено моделью в виде идеально проводящего клина. Такая модель применяется для описания поля в зоне тени за зданиями, за горными хребтами и т.д. (рис. 2.24). Использование этой модели для количественного описания явления дифракции, строго говоря, справедливо при достаточно жестких условиях. Для замены реального

75

объекта идеальным проводником проводимость и, соответственно, модуль диэлектрической проницаемости объекта должны быть велики. Ребро клина в модели предполагается идеально острым, клин - бесконечно протяженным. Падающая на клин волна предполагается плоской. Тем не менее и в случаях, когда какие – то из перечисленных условий не выполняются, данная модель дает разумное качественное описание явления дифракции.

Явление дифракции плоской волны на идеально проводящем клине было строго проанализировано с помощью известного аналитического решения. На основе этого решения предложена очень наглядная физическая трактовка явления дифракции волн на объектах с острыми кромками [14 ].

Рис. 2.24. Модель радиотрассы с «усиливающим» препятствием Физический смысл этой трактовки заключается в следующем (см. рис.

2.25). Пусть на идеально проводящую полуплоскость падает под некоторым углом плоская волна. Если пренебречь явлением дифракции, то в приближении ГО все пространство разделяется на три области: область 1 в секторе углов 0≤θ<θо, в каждую точку которой приходит один падающий и один отраженный от полуплоскости ГО луч; область 2 : θо<θ<θп,, в каждую точку которой приходит только один падающий ГО луч; область 3: θп<θ<2π, называемая областью тени, в которую не попадают ГО лучи. Из теоретического анализа, подтверждаемого экспериментами, следует, что облучаемое падающей волной ребро клина может рассматриваться как источник цилиндрической волны, описывающей эффект дифракции. Поэтому по аналогии с классической ГО можно ввести новые, так называемые дифракционные лучи, траектории которых определяются, как и в обычной ГО, как линии, ортогональные фронту волны (в данном случае – фронту цилиндрической волны, созданной ребром клина). Амплитуды и фазы дифракционных лучей находятся из строгого решения электродинамической задачи и описываются почти всюду элементарными функциями.

Теория дифракции, использующая понятие дифракционных лучей, была развита в 50-х годах прошлого века американским ученым Дж. Б.

p q n m

r

76

Келлером и получила название «геометрической теории дифракции (ГТД)». Эта теория подробно изложена в [14], см. также параграф 6.12 в [2].

Согласно ГТД полное поле при облучении полуплоскости представляет собой результат интерференции обычных ГО и дифракционных лучей. В каждой точке области 1 интерферируют два ГО луча и один дифракционный луч, в точке области 2 - один ГО луч и один дифракционный луч, в точку области геометрической тени 3 приходит только дифракционный луч (см. рис. 2.25).

На рис. 2.26 приведены результаты строгого расчета дифракции плоской волны, падающей слева на препятствие в виде вертикальной полуплоскости. Напряженность электрического поля с учетом препятствия Е запишем в виде

Е=Е0V, (2.84) где Е0 - амплитуда падающего поля, V – множитель ослабления.

Множитель ослабления зависит от соотношения между радиусом первой зоны Френеля на препятствии и расстоянием от линии прямой видимости между точкой расположения излучателя и точкой приема (рис.

θоθп

θ

Рис. 2.25 Лучевая картина при падении плоской волны на полуплоскость. Угол θ отсчитывается от левой стороны полуплоскости по часовой стрелке. Сплошными прямыми линиями показаны лучи геометрической оптики, штриховыми - дифракционные лучи, созданные ребром полуплоскости.

77

1.1) до вершины препятствия d . Если препятствие ниже линии прямой видимости, радиотрасса называется открытой (рис. 2.26а) и величине d приписывается отрицательный знак, если препятствие выше линии прямой видимости, радиотрассу называют закрытой (рис. 2.26б) и величине d

приписывают положительный знак. Зависимость

12

RdV показана на рис.

2.26.

Рис. 2.26. Схемы открытой (а) и закрытой (б) радиотрасс с препятствием и

график для определения множителя ослабления V . Из рис. 2.26 следует, в соответствии с качественными рассуждениями

ГТД, что в случае открытой трассы (d<0) амплитуда поля в точке наблюдения В осциллирует вследствие интерференции падающего и дифракционного лучевых полей, а в случае закрытой трассы (d>0) поле за препятствием монотонно убывает с ростом высоты d, поскольку оно определяется только дифракционными лучами, амплитуды которых убывают как r/1 с ростом расстояния r от ребра полуплоскости до точки наблюдения В.

Наряду с дифракционными лучами, порождаемыми острыми кромками, в ГТД введено понятие о дифракционных лучах, проникающих в область тени гладких объектов. Описание этих лучей получено на основе анализа эталонных задач дифракции плоской волны на идеально проводящих цилиндре и шаре [3].

Используя понятия ГО и ГТД, легко проанализировать явления формирования полей в более общих ситуациях, например, вокруг одиночного здания, стоящего на плоской земле. Метод ГТД качественно правильно описывает явления дифракции и в более сложных случаях, например, для диэлектрических объектов, гладких искривленных поверхностей и т.д. В последние годы развито обобщение метода ГТД на объекты сложной

78

геометрии, основанное на численном решении эталонных задач, выходящих за рамки классической ГТД (дифракция на идеально проводящем или диэлектрическом клине с произвольной формой кромки и т.д.).

Эффект усиления препятствием. На трассах метровых и более коротких волн протяженностью 100—150

км, проходящих через горные хребты, наблюдается эффект, который называется «эффект усиления препятствием». Это явление заключается в том, что интенсивность электромагнитного поля радиоволны при некотором удалении от препятствия оказывается больше, чем на том же расстоянии от передатчика на трассе без препятствия. Схема трассы с усиливающим препятствием изображена на рис. 2.24. Физика явления «усиления препятствием» заключается в том, что гребень горного хребта служит естественным ретранслятором. Пусть передающая антенна расположена в точке q, а приемная – в точке p. Поле, возбуждающее гребень, слагается из двух волн: прямой qr и отраженной qтr. При падении плоской волны на острую кромку гребня возникает такое же явление дифракции, что и при падении на край экрана. В результате дифракции на краю экрана поле проникает за горный хребет в область ниже высоты хребта. При этом в место расположения приемной антенны р придут два дифракционных луча: прямой rр и отраженный от поверхности земли rnр.

В отсутствие препятствия расстояние 100—150 км обычно превышает предел прямой видимости и в точке наблюдения имеется только весьма слабое поле, обусловленное дифракцией на сферической поверхности Земли.

На участках трассы передающая антенна — гора и гора — приемная антенна распространение волн происходит за пределами прямой видимости благодаря дифракции на кромке хребта.

Расчеты и эксперименты показывают, что такое препятствие — ретранслятор может дать усиление напряженности электрического поля на 60—80 дБ по сравнению со случаем гладкой сферической земли. Исследования показали, что использование явления «усиления препятствием» оказывается экономически выгодным: оно избавляет от необходимости устанавливать высокогорные ретрансляционные станции.

2.9.4. Распространение радиоволн в городских условиях

Большой город с точки зрения распространения радиоволн можно

рассматривать как сильно пересеченную местность. Строгий расчет напряженности электрического поля в таких условиях практически невозможен. Многочисленные опыты показали, что в среднем напряженность

79

поля метровых и более коротких волн в городе меньше, чем на открытой местности, примерно в 3 – 5 раз. Поэтому для грубой оценки среднего уровня напряженности поля используют формулу Введенского (2.61), вводя в нее множитель η≈(0,2 – 0,3). Если имеется прямая видимость между передающей и приемной антеннами, то расчет можно вести по формуле Введенского, при этом высоту расположения антенны следует отсчитывать от среднего уровня крыш.

Разработаны более сложные и достоверные модели расчета полей в городских условиях, основанные на приближенных методах ГО и ГТД и учитывающие отражения электромагнитных волн от зданий и других препятствий, явления интерференции и дифракции.

Контрольные вопросы к п.2.9

1) Поясните качественно механизмы рассеяния волн шероховатой поверхностью.

2) Получите формулу для критерия Релея. Для какого вида неровностей справедлива эта формула?

3) Какой физической величиной характеризуется обратное рассеяние радиоволн неровной поверхностью?

4) Поясните понятие дифракционных лучей на примере падения плоской волны на идеально проводящую полуплоскость.

5) Что такое «эффект усиления препятствием», при каких условиях он наблюдается и как используется?

Задача На шероховатую поверхность с неровностями высотой не более 10 см

падает плоская волна (длина волны 3 см). Используя критерий Релея, определите сектор углов падения плоской волны, в котором отражение волны можно считать зеркальным. 3. ВЛИЯНИЕ ТРОПОСФЕРЫ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН.

3.1. Электрические параметры тропосферы.

Тропосферой называют область атмосферы, простирающуюся от поверхности земли до высот 10-15 километров.

Электрические параметры тропосферы определяются её составом и количеством молекул в единице объёма. В состав тропосферы входят молекулы азота (N2), кислорода (О2) и воды (Н2О). Небольшое количество

80

других газов (аргон, водород, углекислый газ) практически не влияет на параметры тропосферы.

Относительная магнитная проницаемость тропосферы равна единице. Относительная диэлектрическая проницаемость тропосферы равна ε=1+Δε, где положительная добавка Δε к диэлектрической проницаемости вакуума обусловлена поляризацией молекул азота, кислорода и водяного пара.

Молекулы азота и кислорода не имеют собственного дипольного момента. Поляризация этих молекул возникает только под действием внешнего электрического поля и обусловлена смещением электрических зарядов в молекулах относительно равновесного положения. Поэтому вклад азота и кислорода в диэлектрическую восприимчивость воздуха пропорционален только числу молекул каждого сорта а: Nа =pа/kT ( здесь pа – парциальное давление молекул сорта а, k – постоянная Больцмана).

Молекулы водяного пара имеют собственный дипольный момент, поэтому их поляризация зависит не только от смещения зарядов, но и от поворота молекулы во внешнем электрическом поле. С ростом температуры увеличивается скорость движения и затрудняется ориентация молекул водяного пара во внешнем поле. В результате вклад собственного дипольного момента молекул водяного пара в диэлектрическую восприимчивость воздуха оказывается пропорциональным величине Nв /Т= pв /kT2.

С учетом этих рассуждений относительная диэлектрическая проницаемость воздуха представляется формулой

2ввχχ11ε

kTp

kTp

++=ε∆+= , (3.1)

где χ – коэффициент поляризации молекул газов воздуха, обусловленный смещением зарядов молекул под действием внешнего электрического поля, χв - коэффициент, учитывающий изменение собственного дипольного момента водяного пара, p– давление воздуха, pв – парциальное давление водяного пара, Т – абсолютная температура воздуха.

Коэффициенты χ и χв определяются экспериментально. Если давление воздуха p и парциальное давление pв выразить в Паскалях, а температуру Т - в Кельвинах, то относительная диэлектрическая проницаемость воздуха определяется формулой

8в 1048001571ε −⋅

++=

Tpp

T (3.2)

Парциальное давление водяного пара pв зависит от абсолютной температуры Т

STpp s ⋅= )(в (3.3) где S – относительная влажность, pS(T) – давление насыщенного пара при заданной температуре Т, определяемое по специальным таблицам [15].

81

Диэлектрическая проницаемость тропосферы (3.1), таким образом, является функцией давления, температуры и относительной влажности, которые меняются с высотой и зависят от метеорологических условий.

Для упрощенной оценки влияния давления p и температуры Т на величину ε и на распространение радиоволн в тропосфере вводят понятие нормальной тропосферы, когда её параметры соответствуют некоторому среднему состоянию. Нормальной тропосфере приписывают следующие значения параметров:

а) атмосферное давление p у поверхности Земли равно p0=105 Па, с увеличением высоты уменьшается на 12∙ 103 Па/км;

б) температура у поверхности Земли Т0=288 К, с увеличением высоты уменьшается на 5,5 К/км;

в) относительная влажность S=0,6 и не меняется с высотой. Подставляя параметры нормальной тропосферы в (3.3), видим, что

величина ε превышает единицу на весьма малую величину ∆ε ≈ 10 - 4. При расчёте электромагнитного поля в тропосфере наряду с

относительной диэлектрической проницаемостью используется такой параметр, как показатель преломления ε=n . Так как ε = 1+ Δε и Δε <<1, то из (3.2) следует

8в 10480057812

11 −

++=

ε∆+≈ε∆+=

Tpp

T,n . (3.4)

В нормальной тропосфере профиль изменения n с высотой аппроксимируют линейной функцией. В средних широтах производная n по высоте - постоянная величина, равная

15км104 −−⋅−=dhdn , (3.5)

где h – высота над поверхностью земли. В связи с малым отличием показателя преломления от единицы в практических расчетах обычно используют величину

N =(n-1)·106 , (3.6) которую называют индексом преломления тропосферы. Величина N=1, соответствующая отклонению п–1=10–6, называется N - единицей. Значение индекса преломления на поверхности Земли колеблется в пределах 260 – 460 N единиц, градиент индекса преломления по высоте для нормальной тропосферы равен dN/dh = – 40 1/км. Для многих практических приложений оценка влияния тропосферы на работу радиолиний на основе модели нормальной тропосферы оказывается недостаточной и требуется уточнение модели тропосферы. Экспериментальные исследования показывают, что зависимость показателя преломления от высоты и горизонтальных координат определяется 1) средним профилем изменения N с высотой, 2) слоистыми неоднородностями и 3) турбулентными флуктуациями.

82

На высотах от 0 до 2 − 3 км над поверхностью Земли используют простой линейный закон аппроксимации изменения N с высотой

( ) hdhdNNzN += 0 (3.7)

что соответствует упомянутой выше модели нормальной тропосферы. Наряду с линейным законом (3.7) широко применяют

экспоненциальный закон изменения среднего профиля N с высотой )exp()( 00 h/h-NzN = . (3.8)

Параметры N0 и h0 определяются из экспериментальных данных для конкретных климатических условий. Согласно рекомендациям МСЭ при использовании профиля (3.8) на суше принимают следующие значения параметров относительно уровня моря N0=315, h0 = 7,35 км.

Слоистые горизонтальные неоднородности (слои) определяются отклонением N от среднего профиля. Толщина слоев составляет от единиц до сотен метров, а протяженность—от сотен метров до сотен километров. Отклонение индекса преломления в слое от среднего для данной высоты значения ΔNc составляет величину до 20 N единиц в интервале высот 0—1 км, уменьшаясь до 2N единиц в интервале высот 4—5 км. Слои перемещаются под действием ветра.

На величину показателя преломления слоев на относительно малых высотах (до 2–3 км) существенное влияние оказывают изменения температуры воздуха. Возможны ситуации, когда температура воздуха в определенном интервале высот заметно растет с увеличением высоты. Такое явление называется температурной инверсией. В этом интервале высот показатель преломления может резко падать с увеличением высоты.

Температурные инверсии могут появиться как вблизи земной поверхности, так и на высоте 2-3 км. Над сушей они возникают в вечерние часы, когда воздух вблизи земли после захода Солнца быстро охлаждается. Над морем они имеют место, когда с суши движется тёплый сухой поток воздуха. Температурные инверсии появляются нерегулярно, как любые метеорологические явления и предсказать точное время их появления не представляется возможным. Прогнозируется только вероятность их возникновения в определённом районе в данное время.

Флуктуации коэффициента преломления воздуха, вызванные его турбулентным движением, определяются средним квадратичным от-

клонением N от среднего значения - интенсивностью 2N∆ и масштабом неоднородности L0. Интенсивность и масштаб неоднородностей

лежат в пределах 2N∆ ≈ 0,1-1, L0 ≈0,01-500 м. Объем тропосферы заполнен такими мелкомасштабными неоднородностями.

Описанные варианты моделей тропосферы используются при расчете радиолиний, проходящих в тропосфере. Конкретные характеристики модели

83

тропосферы, необходимой для расчета радиолиний, выбираются с учетом рабочей частоты, длины радиолинии, специфики радиоэлектронного средства (РЭС). Для линий радиосвязи небольшой протяженности (порядка расстояния прямой видимости) основное значение имеет изменение коэффициента преломления тропосферы N с высотой. В этих случаях пользуются упрощенной моделью тропосферы, полагая, что ее параметры регулярны и меняются только с высотой. На работу радиолокаторов и радиовысотомеров оказывают влияние изменения и средних, и флуктуационных параметров тропосферы. Контрольные вопросы к п. 3.1.

1. Чем отличается поляризуемость молекул воды от поляризуемости молекул других газов, входящих в состав тропосферы?

2. Почему примеси газов мало влияют на диэлектрическую проницаемость тропосферы?

3. Через какие параметры диэлектрическая проницаемость тропосферы связана с метеорологическими условиями?

4. Что такое нормальная тропосфера? 5. Какова наиболее общая модель тропосферы, учитывающая как регулярные, так и нерегулярные изменения коэффициента преломления? Поясните качественно, как в этой модели коэффициент преломления тропосферы зависит от пространственных координат?

3.2. Затухание электромагнитного поля в тропосфере.

Электромагнитные волны с длиной волны менее 3 см испытывают в

тропосфере затухание, связанное с частичным преобразованием электромагнитной энергии волны в другие виды энергии и с рассеянием радиоволн.

Основной причиной затухания в тропосфере электромагнитных волн сантиметрового диапазона является наличие капель воды, снежинок, градин, присутствующих при различных метеорологических явлениях. Все эти частицы называются гидрометеорами.

При рассмотрении процессов затухания радиоволн, обусловленных гидрометеорами, различают два явления: поглощение электромагнитного поля в гидрометеорах и рассеяние электромагнитного поля на гидрометеорах. Поглощение радиоволн в гидрометеорах происходит вследствие того, что электромагнитные поля в каждом гидрометеоре возбуждают токи поляризации и проводимости. Потери в гидрометеорах обусловлены преобразованием электромагнитной энергии этих токов в тепло.

84

Токи поляризации и проводимости, наведенные в каждом гидрометеоре падающей электромагнитной волной, излучают электромагнитное поле в широком диапазоне углов, не совпадающих с направлением распространяющейся волны. Это приводит к рассеянию мощности и затуханию поля радиоволны в направлении распространения. Рассеяние тем больше, чем крупнее гидрометеоры и чем короче длина волны.

На затухание миллиметровых волн, кроме гидрометеоров, оказывает влияние поглощение в молекулах воды и кислорода. Как известно из курса физики, молекулы веществ имеют собственные резонансные частоты. При совпадении частоты радиоволны с собственной частотой молекул возникают резонансные явления, в результате которых энергия электромагнитного поля переходит во внутримолекулярную энергию. Это приводит к селективному (избирательному) поглощению электромагнитного поля волны на определённых частотах.

Учёт влияния ослабления электромагнитных волн в тропосфере в зависимости полей от расстояния описывается формулой

( )rrErE α−= )exp()( 0 (3.9) где )(0 rE - поле в тропосфере без поглощения, )(rE - поле в тропосфере с учетом поглощения, α - постоянная затухания, 1/м.

В такой сложной среде, как тропосфера, постоянная затухания определяется суммой трех постоянных, обусловленных различными механизмами поглощения

α=αг +αк +αв (3.10) В (3.10) αг определяет поглощение в гидрометеорах, αк и αв – селективное поглощение в молекулах кислорода и воды соответственно. Эти постоянные затухания по величине малы, поэтому в практических расчетах используют коэффициенты затухания, рассчитанные в децибелах на дистанции 1 км по формуле: Г = 20lgexp(1000α) = 8600α [дБ/км]. Аналогично (3.10) полное затухание в тропосфере на расстоянии 1 километр равно сумме

Г=Гг+Гк+Гв (3.11) Зависимости коэффициентов затухания радиоволн (в дБ/км) от длины

волны в гидрометеорах приведены на рис. 3.1, при селективном поглощении в молекулах кислорода и воды - на рис. 3.2. Коэффициент селективного поглощения в кислороде приведён для нормального атмосферного давления p=105 Па, коэффициент селективного поглощения в молекулах воды - для парциального давления pв = 0,01p, что является стандартной ситуацией для атмосферы в отсутствие осадков.

Из приведённых графиков видно, что затухание в гидрометеорах мало на длинах волн более 3 – 6 см и растет с уменьшением длины волны. Величина затухания на заданной длине волны зависит от интенсивности осадков, измеряемой в мм/ч. В средних широтах типичными являются дожди малой и средней интенсивности (менее 20 мм/ч).

85

Из графиков селективного поглощения рис. 3.2 следует, что интенсивное поглощение происходит на длинах волн 0,25 см и 0,5 см – в молекулах кислорода, на длине волны 1,35 см и волнах короче 0,2 см – в молекулах воды. Число линий резонансного поглощения на более высоких частотах растет и определяется не только молекулами кислорода и воды, но также молекулами азота и различных примесей в атмосфере. Поэтому в диапазонах волн короче 2 см для работы РЭС выбирают длины волн в так называемых окнах прозрачности, расположенных между областями селективного поглощения.

Рис.3.1. Зависимость коэффициента затухания Рис.3.2. Зависимость коэффициента радиоволн в гидрометеорах от длины волны. затухания радиоволн при селективном поглощении в молекулах кислорода и воды

Длины волн, соответствующие значительному селективному поглощению, не применяются для передачи сигналов в тропосфере на большие расстояния, однако могут быть использованы в РЭС, работающих на малых расстояниях, что обеспечивает решение проблемы электромагнитной совместимости.

Отметим, что эффекты молекулярного поглощения играют принципиальную роль при рапространении миллиметровых волн и более коротких длин волн, включая оптический диапазон волн. При этом селективное поглощение в воздухе определяется его реальным составом с учетом загрязнения выхлопными газами автомобилей и выбросами промышленных производств. Поэтому радиоволны КВЧ и более высокочастотных диапазонов используются для определения состава и уровня загрязнения воздуха.

Рис.3.1. Зависимость коэффициента затухания радиоволн в гидрометеорах от длины волны.

Рис.3.2. Зависимость коэффициента затухания радиоволн в атмосфере от длины волны при селективном поглощении в молекулах кислорода и воды.

86

Контрольные вопросы к п. 3.2. 1. Перечислите механизмы затухания в тропосфере. 2. Что такое гидрометеоры и каковы причины поглощения радиоволн в гидрометеорах?

3. Почему в тропосфере невозможна связь на значительном расстоянии при использовании длин волн 1,35 см, 0.5см, 0,25см?

4. Как по известному полю в среде без потерь рассчитать поле в тропосфере с поглощением?

Пример 1. Рассчитать затухание радиоволн длиной 1 см на расстоянии 30 км для прямолинейной радиотрассы, идущей вдоль поверхности Земли, без учета и с учетом осадков. Интенсивность дождя принять равной 5 мм/ч на расстоянии 5 км (область, занимаемая дождем). Решение. Вначале рассчитаем затухание на трассе без учета осадков. Согласно графику рис. 3.2. коэффициент затухания волны в кислороде составляет примерно 0,013 дБ/км, в водяном паре 0,07 дБ/км (данные получены путем грубой интерполяции графиков рис. 3.2.). Таким образом, суммарное затухание радиосигнала на длине трассы будет составлять ≈ 2,5 дБ. Далее оценим затухание в дожде. При интенсивности дождя 5 мм/ч коэффициент затухания составляет ≈ 1 дБ/км, следовательно, суммарное затухание в области дождя ≈ 5 дБ/км. Общее затухание по трассе с учетом дождя и поглощения в молекулярных компонентах воздуха составит ≈ 7,5 дБ. 3.3. Рефракция радиоволн в тропосфере. 3.3.1. Закон преломления лучей в неоднородной сферически слоистой тропосфере.

Как было указано выше в п. 3.1., отклонение показателя преломления

тропосферы от единицы по порядку величины равно 10 – 4. Казалось бы, такие малые отклонения не должны влиять на распространение радиоволн. Тем не менее изменение показателя преломления тропосферы в пространстве существенно влияет на распространение радиоволн на дециметровых и более коротких волнах. Причина в том, что размеры радиотрасс в этих диапазонах могут составлять сотни тысяч – миллионы длин волн. Так, при расстоянии 50 км и длине волны в свободном пространстве λ0 = 10 см длина трассы составляет ≈ 5∙105 λ0. Весьма малые, на длине волны, изменения показателя преломления при такой большой длине трассы дадут заметный накапливающийся эффект, приводящий к изменению характеристик электромагнитного поля.

87

Будем рассматривать распространение волн этих диапазонов в предположении, что потерями в среде можно пренебречь. Для анализа распространения радиоволн при этом широко используется метод ГО. Основное понятие метода ГО – понятие луча. Лучи вводятся как линии, перпендикулярные фазовому фронту волны. В однородной среде лучи являются прямыми. Так, поле любой антенны на больших расстояниях от нее – в дальней зоне представляет собой сферическую волну, идущую от точечного источника (см. формулу (1.5)). Поверхности постоянной фазы антенны в дальней зоне – концентрические сферы, лучи – ортогональные им прямые, выходящие из источника (см. рис 3.3а). Фаза поля меняется вдоль луча по линейному закону Ф= – k0nr, r – расстояние от источника до точки приема, k0 =2π/λ0 – волновое число свободного пространства, n – показатель преломления.

Метод ГО применим для неоднородной среды, если ее параметры (относительная диэлектрическая проницаемость или показатель преломления) медленно меняются на длине волны в среде λ=λ0/n. Это условие хорошо выполняется в тропосфере.

В неоднородной среде, как будет показано ниже, лучи искривляются (рис 3.3б). Линии постоянной фазы и распределение фазы поля в пространстве можно найти, вычисляя фазу поля по формуле

( )∫−=ΦL

dllnk0

0 , (3.12)

а) б) Рис. 3.3. Фазовые фронты и траектории лучей точечного источника а) в однородной среде, б) в неоднородной среде

A constФ = A constФ =

88

где n(l) - показатель преломления тропосферы, зависящий от высоты. Интегрирование в (3.12) ведётся по траектории луча от источника до точки наблюдения. Поэтому для расчета работы радиолинии нужно научиться находить траекторию луча в неоднородной среде.

Для большинства приложений вполне достаточной является модель сферически слоистой тропосферы, согласно которой показатель преломления тропосферы является функцией радиуса R сферической системы координат, связанной с центром Земли.

Чтобы выяснить, как искривляется луч в тропосфере, мысленно разобьем ее на тонкие сферические слои, в пределах которых показатель преломления n будем считать постоянным (рис.3.4). Для определенности примем в соответствии с моделью нормальной тропосферы, что показатель преломления убывает с ростом высоты.

Пусть из точки А на поверхности Земли излучается радиоволна, которая может быть описана прямолинейными лучами, так как среда с показателем преломления n1 – однородна. Эти лучи на границах раздела слоёв преломляются. В соответствии с законом преломления Снеллиуса (2.20) имеем на границах раздела следующие равенства:

n1 sinθ1 = n2 sinψ2, n2 sinθ2 = n3 sinψ3, ………………………..

ni sinθi = ni+1 sinψi+1, (3.13)

где iin ε= - показатели преломления слоёв, θi, ψi+1 – углы падения и преломления соответственно. Из этих равенств видно, что при уменьшении n с высотой ni+1 < ni. Поэтому из (3.13) следует

ii

ii n

n sinθsinψ1

1+

+ = , ii sinθsin 1 >ψ + или ii θ>ψ +1 . (3.14)

Следовательно, с уменьшением показателя преломления луч поворачивается в направлении земной поверхности.

Если среда однородна, то 1+= ii nn , ii θψ 1 =+ и луч является прямой линией. В слоисто неоднородной среде на каждой границе происходит преломление и луч искривляется. При стремлении толщин слоёв к нулю и одновременном увеличении числа слоёв ломаная линия А123… (на рис. 3.4) превращается в плавную кривую линию.

Явление искривления луча в неоднородной среде носит название рефракции.

Найдем закон, определяющий искривление луча. Для этого выразим isinψ через sinθi с помощью теоремы синусов. Для треугольника А11О

(рис.3.4) имеем ( )

0

1

1

1 sinsinRR

θ=

ψ−π или 0

111

sinθsinψR

R= . (3.15)

89

Здесь R0 – радиус точки расположения антенны, который мы считаем равным радиусу Земли (рис. 3.4).

Аналогично для треугольников 1О2 и 2О3 теорема синусов даёт:

1

222

sinθsinR

R=ψ , 2

333

sinsinR

R θ=ψ

Рис.3.4. К выводу закона преломления луча в сферически-слоистой среде

и так далее.

Подставляя эти значения sinψi в (3.13), получим систему уравнений

333222111 sinθsinθsinθ RnRnRn == …. (3.16) Так как из (3.15) следует, что constsinψsinθ 101111 == RnRn , то для произвольного радиуса R согласно (3.16) получаем уравнение

( ) ( ) constsinθ =⋅⋅ RRRn , (3.17) которое называется законом преломления лучей в сферически-слоистой среде.

Подчеркнем, что разбиение тропосферы на отдельные однородные слои является вспомогательным приемом. В сферически слоистой неоднородной тропосфере показатель преломления n и «локальный» угол падения θ, входящие в закон преломления лучей в сферически слоистой среде (3.17) –непрерывные плавно меняющиеся функции радиуса R. В непрерывной среде для произвольной точки на луче угол падения θ – это угол между направлением движения луча и направлением изменения показателя преломления в среде.

Закон преломления (3.17) позволяет качественно понять, как происходит рефракция радиоволн в плавно неоднородной среде. Если показатель преломления падает с ростом высоты, то угол θ увеличивается

2Ψ3Ψ

0R1R

2R 3R

1n2n

3n1

2 3

A

1θ

2θ 3θ

O

1Ψ

4Ψ4n

90

и траектория луча поворачивает к земной поверхности, если же показатель преломления увеличивается с ростом высоты (такая ситуация может возникнуть, если в определенном интервале высот температура резко уменьшается с высотой), то траектория луча отклоняется вверх от прямолинейной траектории.

3.3.2. Траектории лучей в неоднородной сферически слоистой тропосфере.

Для количественного расчета радиотрассы в неоднородной

тропосфере необходимо получить уравнение траектории луча. Рассмотрим бесконечно малый элемент луча dl (рис.3.5) в

сферически-слоистой тропосфере. Ему соответствуют элемент дуги dS радиуса R, dRdS tgθ= и элемент центрального угла dγ сферической системы координат

RdRtg

RdSd θ

==γ . (3.18)

Используя уравнение (3.17), выразим tgθ через коэффициент преломления n(R)

( ) 2220

1tgθρ−

=RRn

,где 0000 sinψ=ρ nR .

Подставляя этот результат в (3.18), получим уравнение луча в дифференциальной форме.

( ) 20

220γ

ρ−

ρ=

RnRR

dRd . (3.19)

Интегрируя последнее уравнение по R, получим:

( )∫

ρ−ρ=γ

R

R RnRR

dR

020

220 . (3.20)

Здесь угол γ – центральный угол сферической системы координат- отсчитывается от оси, проходящей через точку А (см. рис.3.5), 0R - радиус точки расположения антенны А, R - текущий радиус, поэтому γ = 0 при

0RR = . Если среда однородна ( 0nn = =const), то, интегрируя (3.19), можно

показать, что уравнение луча (3.20) описывает прямую линию. В случае произвольного закона изменения n с высотой с помощью

(3.20) можно рассчитать семейство лучей путём численного интегрирования, задавая различные значения угла ψ0.

91

3.3.3. Радиус кривизны лучей в тропосфере. Понятие радиуса кривизны луча позволяет в ряде случаев упростить

расчет траекторий лучей и облегчает интерпретацию процесса распространения лучей. Радиус кривизны луча определяется как радиус окружности, касательной к траектории луча в данной ее точке [9].

Для вывода радиуса кривизны луча используем геометрические рассуждения. Рассмотрим сферические поверхности, отстоящие друг от друга на высоту Δh, на которой коэф. преломления меняется на величину dn. Центр этих поверхностей совпадает с центром земного шара и находится в точке О. Рассмотрим далее малый отрезок луча Δl в слое Δh тропосферы (рис.3.6), расположенный между граничными точками отрезка луча a и b. Примем, что в точке a угол падения волны равен θ, в точке b – равен θ+dθ. По определению радиус кривизны находится как предел отношения отрезка Δl к центральному углу Δγ1 [9] (см. рис. 3.6)

11

limγ∆

∆=ρ

∞→γ∆

l , (3.21)

dR

γd

dS

A

Ψ

dlθ

0R

R

γ

O Рис. 3.5. К выводу уравнения луча в неоднородной среде

92

1γ∆

1O

O

γ∆

l∆

θ

θθ d+

ρ

R

b

ac h∆

Рис. 3.6. К выводу выражения для радиуса кривизны луча. здесь Δγ1 – центральный угол окружности с центром в точке О1. Угол Δγ1, как доказывается из геометрии задачи, равен Δγ+ Δθ. Длину отрезка Δl определим из треугольника abc

( ) sinθΔθθsinγ∆

≈+γ∆

=∆RRl .

Подставляя последнее соотношение в определение (3.21), получим

( ) ( )sinθθ1sinθθlimlim

11 1 d/dRRlγ+

γ∆=

∆+γ∆γ∆

=γ∆

∆=ρ

∞→γ∆∞→γ∆. (3.22)

Далее нужно найти производную dθ/dγ и исключить ее из (3.22). Чтобы найти dθ/dγ, продифференцируем вначале закон преломления лучей (3.17) по γ

sinθcosθsinθ

γ

+γ

+γθ

=γ d

dRnddnR

ddRn

ddRn .

93

Из последнего соотношения найдем производную dθ/dγ

+−=

+

γ−=

γ11tgθθ

nR

dhdn

nR

dhdn

ddh

Rdd (3.23)

В (3.23) учтено, что, как следует из треугольника abc, dh/Rdγ=tgθ . Подставив (3.23) в (3.21), окончательно получим следующее выражение для радиуса кривизны луча в неоднородной среде

( )sinθdh/dnn

−=ρ (3.24)

Знак «минус» в (3.24) означает, что траектория имеет положительную кривизну, т.е. искривляется по направлению к земной поверхности.

В тропосфере явление искривления траектории луча в наибольшей степени проявляется при скользящих углах (θ→90о), кроме того, в (3.24) можно положить n≈1. В результате выражение (3.24) упрощается до

dh/dn1

−=ρ (3.25)

Когда показатель преломления меняется линейно с высотой

(dn/dh=const), радиус кривизны луча является постоянной величиной, т.е. траектория луча представляет собой окружность радиуса ρ. В этом приближении существенно упрощается анализ траекторий лучей на радиотрассах, идущих вблизи поверхности Земли. В нормальной тропосфере ρ ≈ 25 000 км.

Контрольные вопросы к п. 3.3.

1. Сформулируйте понятие луча для электромагнитного поля. 2. Как рассчитывается распределение фазы электрического поля в пространстве для однородной и неоднородной среды?

3. Выведите закон преломления луча для сферически слоистой среды. 4. Используя закон преломления луча, покажите, что в однородной среде лучи – прямые линии, а в неоднородной среде – лучи искривляются.

5. Дайте определение радиуса кривизны луча 6. Докажите, что в модели тропосферы с линейным коэффициентом преломления траектории лучей – окружности.

7. Как зависит радиус кривизны луча в тропосфере от диэлектрической проницаемости?

94

3.4. Расстояние прямой видимости в неоднородной тропосфере. Понятие эквивалентного радиуса Земли.

Расстояние прямой видимости (см. п. 2.3, формулы (2.15), (2.16))

является важной характеристикой потенциальных возможностей радиолинии. В случае однородной среды, когда траектории лучей являются прямыми, расстояние прямой видимости зависит от высоты расположения h1 и h2 антенн 1A и 2A над поверхностью Земли (см. рис. 3.7а) и даётся формулой (2.15)

( )2100 2 hhRr += , где R0 - радиус Земли.

В условиях рефракции расстояние прямой видимости меняется. Для его определения рассмотрим луч A1K (рис. 3.7б), который является дугой окружности радиуса ρ с центром в точке O', проходящей через точку A1 и касающейся поверхности Земли в точке K, а также аналогичный луч KA2. Для определенности мы положили ρ > R0. На рис. 3.7б ОК = R0 – радиус Земли; ρ=′KO – радиус кривизны луча; ОА1= R0+h1, ОА2 = R0+h2. Введём также обозначения d = ОО´ = ρ - R0, rKAA ′=21 . Расстояние r' по лучу

21KAA между точками 1A и 2A и есть расстояние прямой видимости. Найдём вначале расстояние A1K . По теореме косинусов из OOA ′∆ 1

( ) 1222

10 2 ϕρ−ρ+=+ cosddhR . Здесь φ1 = KOA ′∠ 1 . Заменим в последнем соотношении d на ρ - R0 . После преобразований оно сведется к виду

( )( )102101 cos122 ϕ−−ρρ=+ RhRh

Последнее выражение упростим с учетом того, что h1<<R0,

2sin2cos1 12

1ϕ

=ϕ− = 2

21ϕ

≈ в силу малости φ1. В результате получим

21001 )-ρ(ρ2 ϕ= RRh .

Теперь можно определить угол φ1

( )0

011 -ρρ

2RRh

=ϕ ,

95

1A 2AK 2r1r

2h1h

O

0R

1A 2A

K2r1r

2h1h

OэR

O′

0R

0R

0R 0R0R

эR

а) б)

Рис. 3.7. Определение радиуса прямой видимости: а) в однородной среде, б) в неоднородной среде.

а через него длину дуги 11 ρϕ=KA

0011 1

12R/

RhKAρ−

= .

Аналогично определяется длина дуги KA2

0022 1

12R/

RhKAρ−

= .

Таким образом, расстояние прямой видимости по искривлённому лучу равно

( )210

0210 ρ/112 hh

RRKAKAr +

−=+=′ . (3.26)

Введем в последней формуле множитель, который будем называть эквивалентным радиусом Земли

ρ−=

/RRRЭ

0

01

, (3.27)

здесь радиус кривизны луча ρ определен формулой (3.24). Радиус (3.27) назван эквивалентным, поскольку расстояние прямой

видимости для искривлённых в неоднородной тропосфере лучей (3.26) можно записать в виде, аналогичном (2.15) для однородной тропосферы

( )210 2 hhRr Э +=′ (3.28) Последняя формула полностью совпадает с (2.15), если эквивалентный радиус Земли RЭ заменить на радиус Земли R0.

96

Проведенные выше рассуждения существенно опирались на предположение о постоянстве радиуса кривизны луча в неоднородной тропосфере, что справедливо при линейном законе изменения показателя преломления с высотой. Понятие эквивалентного радиуса Земли можно ввести не только для лучей, касающихся поверхности Земли, но и для произвольных лучей в тропосфере. Для этого положим

const0 =+=dhdn,h

dhdnnn (3.29)

и запишем закон преломления лучей в сферически слоистой тропосфере в следующей форме

( ) ( ) ( ) 0100100 sinθsinθ ⋅+=⋅++

+ hRnRhhRh

dhdnn . (3.30)

Здесь учтено, что источник излучения находится на высоте h1 над поверхностью Земли и расстояние h отсчитывается от высоты h1. Приведем далее (3.30) к виду

( ) 0100

sinθsinθ111 =⋅

+

+

+ R

hRhh

dhdn

n.

Далее, раскрывая скобки и пренебрегая малым членом порядка h2, а также учитывая, что n ≈ n0 ≈ 1, R0+h1≈ R0, преобразуем последнее выражение к

00

sinθsinθ11 =

++ h

Rdhdn (3.31)

Уравнение (3.31) можно трактовать, как закон преломления лучей в однородной тропосфере, если вместо реального радиуса Земли ввести эквивалентный радиус, определяемый соотношением

dhdnR

RRRdh

dnR

0

0Э

0Э 1или11

+=+= . (3.32)

Последнее соотношение совпадает с (3.27) при θ→90о, n0 ≈1.

Контрольные вопросы к п. 3.4.

1. Сравните определение прямой видимости в однородной и неоднородной тропосфере с линейным изменением коэффициента преломления. Поясните понятие эквивалентного радиуса Земли.

2. Оцените увеличение расстояния прямой видимости в нормальной тропосфере по сравнению с однородной тропосферой.

97

3.5. Виды тропосферной рефракции.

В зависимости от величины градиента показателя преломления dhdn

различают следующие виды тропосферной рефракции. 1. Отрицательная рефракция:

0>dhdn , 0ρ < , ρ−

=0

01 R

RRЭ , 0RRЭ < .

Показатель преломления растёт с высотой и траектория луча обращена выпуклостью вниз (при этом ρ - отрицательная величина). Эквивалентный радиус Земли меньше истинного (рис.3.8а), расстояние прямой видимости в неоднородной тропосфере уменьшается по сравнению с однородной тропосферой. Влияние рефракции на распространение радиоволн при протяженных трассах можно оценить по формуле Введенского (для модели сферической Земли), если подставить в нее вместо реального – эквивалентный радиус Земли. При положительной рефракции приведенная высота антенны (см. п. 2.8) оказывается меньше соответствующей величины без рефракции и согласно (2.29) напряжённость поля в точке приёма уменьшается.

2. Нормальная тропосферная рефракция:

041R

dhdn −= , 04ρ R= , 034 RRЭ = .

Для нормальной тропосферы формула расстояния прямой видимости (3.28) принимает вид

( )210 154 hh,r +=′ , км. (3.33) В (3.33) высоты антенн берутся в метрах, расстояние прямой видимости

выражается в километрах. Таким образом, в нормальной тропосфере вследствие рефракции расстояние прямой видимости увеличивается по сравнению с однородной средой примерно на 16%. Напряжённость поля в точке приёма в этом случае увеличивается по сравнению со случаем отсутствия рефракции (рис 3.8б). Картина распространения радиоволн, качественно аналогичная случаю нормальной рефракции, будет наблюдаться

в интервале градиентов показателя преломления 01

0<<−

dhdn

R.

3. Критическая рефракция:

0

1Rdh

dn−= , 0ρ R= , ∞=ЭR .

Так как ∞=ЭR (рис.3.8в), эквивалентная поверхность Земли является плоской. Напряжённость поля в точке приёма рассчитывается по алгоритму, изложенному в главе 2, где рассмотрена модель плоской Земли.

98

АА

ЭR

0RЭR

0R

ЭL

ρLЭL

ρL

O O′ а) отрицательная рефракция б) нормальная рефракция

0>dhdn ; 0RRЭ < 04

1R

dhdn −= ; 034 RRЭ =

А АρL

ЭL

0R

ρ

0R

∞=ЭR

ρLЭL ЭR

O O′

в) критическая рефракция г) сверхрефракция 01 Rdhdn −= ; ∞=ЭR 01 Rdhdn −< ; 0<ЭR Рис.3.8. Виды тропосферной рефракции. На рисунках толстой сплошной линией показана поверхность реальной Земли, тонкой сплошной – траектория луча над реальной Землей. Штриховыми линиями показаны соответственно поверхность эквивалентной Земли и прямая траектория луча над ней.

99

4. Сверхрефракция:

0

1Rdh

dn−< , 0ρ R< , 0<ЭR .

В этом случае в реальной среде искривленный луч возвращается на Землю и может многократно отражаться при распространении вдоль поверхности Земли. Эквивалентный радиус Земли оказывается отрицательным, а эквивалентная поверхность Земли не выпуклой, а вогнутой (рис.3.8г). В эквивалентном представлении прямолинейный луч ЭL попадает на вогнутую эквивалентную поверхность Земли. Расстояние от антенны до точки встречи луча с земной поверхностью называется скачком. В месте встречи луча с поверхностью Земли происходит отражение от земной поверхности. Так как угол падения луча θ равен углу отражения (см. рис.3.9), то для пологих лучей, когда угол падения близок к 90о, коэффициент отражения для любой поляризации вектора E

r оказывается

близким по модулю к единице (см. гл. 2, § 2.4). Поэтому радиоволна, пройдя расстояние скачка АО, полностью отразится от поверхности земли в точке О и будет распространятся путём последовательных отражений на большое расстояние без существенного уменьшения амплитуды при условии, что малы потери в тропосфере. Это явление наблюдается в дециметровом и сантиметровом диапазонах волн. Условия, необходимые для появления сверхрефракции, связаны с метеорологическим состоянием тропосферы. Резкое убывание показателя преломления с высотой, при котором может

выполняться условие сверхрефракции

−<

0

1Rdh

dn , имеет место при

температурной инверсии.

Контрольные вопросы к п. 3.5.

1. Поясните классификацию видов рефракции, поведение траекторий лучей для каждого вида рефракции и соответствующее им описание рефракции с помощью понятия эквивалентного радиуса Земли. 2. При каких метеорологических условиях возникает сверхрефракция? Задачи 1. Рассчитайте эквивалентный радиус земли и расстояние прямой

видимости для тропосферы, в которой 04

1Rdh

dn= , если высоты

расположения антенн мhh 3621 == .

100

2.Рассчитайте эквивалентный радиус земли и расстояние прямой

видимости для тропосферы, у которой 061

Rdhdn −

= , мhh 3621 == .

3.6. Тропосферный волновод.

Когда область сверхрефракции существует на значительном

расстотнии вдоль земной поверхности, дециметровые и сантиметровые радиоволны могут распространяться на весьма большие расстояния от передатчика. Распространение радиоволн происходит путём большого числа скачков, каждый из которых состоит из двух этапов: рефракции луча в тропосфере и отражения от земной поверхности. Чтобы произошёл поворот луча в сторону земли, необходимо, чтобы выполнялось условие поворота луча, которое мы сейчас рассмотрим.

Рассмотрим закон преломления лучей в сферически слоистой тропосфере (см. формулу (3.16)) в условиях сверхрефракции (рис. 3.9). Из него следует, что по мере увеличения высоты (радиуса R) угол θ между направлением луча и градиентом показателя преломления увеличивается. Максимальное значение, которое принимает угол θ на траектории, равно 90о, оно и определяет условие поворота луча, при этом луч идет по касательной к линии постоянного коэффициента преломления. При дальнейшем движении луч поворачивается к земной поверхности и начинает уходить в сторону больших коэффициентов преломления.

Таким образом, условие поворота луча из (3.16) и требования θ= 90о может быть записано в следующем виде:

Rп n(Rп)= R0 n(R0)sinψ0 (3.34) или

00п

0п sin)( ψ= n

RRRn (3.35)

В (3.34), (3.35) введено обозначение Rп для радиуса точки поворота. Оценим теперь высоту тропосферного волновода. Рассмотрим тропосферу с линейным изменением n с высотой (закон изменения n определен (3.29)) и предположим также, что источник находится на поверхности Земли. Величину радиуса для произвольной точки луча R так же выразим через высоту h

0

01

1RhR

R+

= .

Подставим последнее выражение в (3.35) и сократим 0n в левой и правой частях

000

sin111 ψ=

+

+

Rhh

dhdn

n.

101

После перемножения в левой части последнего уравнения величиной порядка h2 можно пренебречь в силу её малости. Кроме того, можно положить n0=1. В результате получим для высоты hп, на которой происходит поворот луча, следующее соотношение

( )0

0

0п ρ

ρsinψ1 R

Rh ⋅

−−

=

Вместо угла 0ψ , который для пологих лучей близок к 90°, удобно ввести угол, называемый углом места, 0ψ90 −=∆ , который для пологих

лучей мал. При этом ( )( ) 220 500,5sin2cos1sinψ1 ∆≈∆=∆−=− , . Таким

образом, условие поворота примет вид

( ) 2ρ2ρ Э

2

0

02

пR

RRh ∆

−=−

∆≈ . (3.36)

В (3.36) учтено определение эквивалентного радиуса Земли (3.27). Условие поворота требует выполнения условия RЭ<0, т.е. 0ρ R< . Это означает, что точка поворота лежит внутри области инверсионного слоя с резким изменением коэффициента преломления, т.е. условие поворота выполняется только для очень пологих лучей, выходящих из точки источника почти параллельно поверхности земли.

Найдём расстояние, пройденное радиоволной за скачок – длину дуги CA1 вдоль земной поверхности (рис. 3.9). Угол ∆=′∠ COO , так как радиус

перпендикулярен касательным к дугам CA1 и CA2 . По теореме синусов из треугольника COO ′ определим угол θ

ρsinΔ

ρsinθ

0 −=

R.

Так как θ - малый угол, sinθ ≈θ и

ρ−∆

≈0

ρθR

Длину дуги CA1 обозначим cr , ее вычисление с учетом (3.27) дает

∆=−

∆== Эc R

RRRr 2

ρρ2θ20

00 .

С учётом (3.33) получаем окончательно

Эп0

0п 22ρ

ρ22 RhR

Rhrc =−

= (3.38)

102

O

O′

0R

CA C′1Anz

∆0Ψ

∆ ρ

2A

γ

Рис. 3.9. Расчет длины скачка в тропосферном волноводе.

При hп =50 м, ρ=0,8R0 (RЭ = - 4 R0) получим rc ≈ 100 км. Таким образом, волна за один скачок проходит 100 км, а за три скачка 300 км, что намного превышает расстояние прямой видимости при высоте расположения антенны порядка нескольких десятков метров.

По аналогии с металлическими волноводами в тропосферных волноводах существует критическая длина волны. На длинах волн выше критической распространение в тропосферных волноводах отсутствует. Для типичных тропосферных волноводов над морской поверхностью критическая длина волны λкр связана с высотой волновода hв соотношением

23в

4кр 108 /h−⋅=λ , (3.39)

в этой формуле длина волны и высота волновода выражены в метрах. Отметим, что для эффективного излучения электромагнитного поля

под малыми углами к поверхности земли (порядка единиц градусов) необходимо иметь узкую диаграмму направленности с шириной того же порядка, чтобы уменьшить отражённое от поверхности земли поле (см. раздел 2). Этого можно достичь в сантиметровом и дециметровом диапазонах волн. Экспериментальные попытки реализовать устойчивую связь за счёт тропосферного волновода закончились неудачно в силу нерегулярного появления инверсионных слоёв большой протяжённости. Но это явление необходимо знать, так как оно может служить причиной появления взаимных помех в радиосистемах, работающих в указанных диапазонах волн и расположенных на больших расстояниях. Кроме того, появление тропосферного волновода может являться помехой для работы

103

радиолокационных станций. Если антенна радиолокатора расположена внутри тропосферного волновода, то летящий объект радиолокационного наблюдения (самолёт или ракета), находящийся выше тропосферного волновода, может быть не обнаружен, так как сигнал, излучаемый радиолокатором, будет перехвачен тропосферным волноводом.

Ещё один интересный эффект может наблюдаться на радиолокационных станциях, расположенных на берегу моря. При малых углах ∆ радиолокатор за счёт тропосферного волновода будет обнаруживать объекты на морской поверхности на больших расстояниях (рис.3.10). Это расстояние равно mrс, где m – число скачков (на рис. 3.10 m=3), но интерпретироваться это наблюдение будет, как объект, удалённый на расстояние rс и расположенный на высоте h=mrсΔ, куда направлен максимум диаграммы направленности антенны радиолокатора.

Подобные наблюдения называются фантомами и часто обсуждаются в средствах массовой информации как неопознанные летающие объекты. Отметим, что движение фантома на экране радиолокатора определяется не только скоростью корабля, но и изменениями в тропосферном волноводе. В частности, изображение может двигаться со скоростями, недоступными для реальных объектов и совершать фантастические «маневры».

∆

03rh

cr cr crA r Рис. 3.10. Кажущаяся высота цели при наблюдении фантома Контрольные вопросы к п. 3.6.

1. Что такое точка поворота луча в неоднородной тропосфере? Сформулируйте условие поворота.

2. Рассчитайте угол места ∆, при котором реализуется условие поворота луча, если высота тропосферного волновода мh 50в = ,

0

2Rdh

dn−= .

104

3. Рассчитайте критические длины волны для тропосферных волноводов высотой 10, 30, 50 м.

4. Почему эффект тропосферного волновода наблюдается в основном в сантиметровом и дециметровом диапазонах волн?

5. Объясните эффект наблюдения радиолокационных фантомов в условиях тропосферного волновода.

3.7. О роли рефракции и других эффектов влияния тропосферы на

работу радиосистем. Выше на примере сферически слоистой тропосферы был рассмотрен основной

эффект влияния тропосферы – рефракция радиоволн в регулярно неоднородной среде. Он приводит к изменению дальности работы РЭС, а также к ошибкам при наблюдении объектов радиолокаторами. Последний вопрос будет подробно рассмотрен в главе 5.

Более сложные модели регулярно неоднородной тропосферы, учитывающие отличие параметров тропосферы от сферически слоистой среды, приводят к количественным уточнениям явления рефракции и анализируются методом ГО.

Принципиально новые эффекты появляются при учете рассеяния радиоволн на трехмерных неоднородностях (флуктуациях показателя преломления) тропосферы. Рассеянием на неоднородностях тропосферы объясняется явление дальнего тропосферного распространения радиоволн на расстояниях свыше прямой видимости. Это явление, обнаруженное экспериментально в середине прошлого века, заключается в относительно высоком, по сравнению с предсказаниями теории дифракции на земной поверхности, уровне радиосигнала за пределами прямой видимости (в зонах полутени и тени). Увеличение уровня радиосигнала вызвано рассеянием радиоволн на флуктуациях показателя преломления в направлениях, близких к направлению прямолинейного распространения. На основе этого явления были построены системы радиосвязи дециметрового и сантиметрового диапазонов волн с дальностью 1000- 2000 км [2,8], однако с развитием космической связи эти системы потеряли свое значение.

Явления распространения радиосигналов через флуктуирующую тропосферу существенно влияют на работу радиолокаторов и радиовысотомеров, определяя, наряду с другими факторами, реальную разрешающую способность этих РЭС. 4. ВЛИЯНИЕ ИОНОСФЕРЫ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН 4.1. Структура, модели, методы исследования ионосферы.

4.1.1. Формирование и структура ионосферы.

В ионосфере, т.е. на высотах более 50-60 км, кроме нейтральных частиц присутствуют свободные заряженные частицы – электроны, а также положительные и отрицательные ионы. Число электронов, содержащихся в единице объема воздуха, называется электронной плотностью или концентрацией электронов и обозначается Nэ, а плотности положительных и

105

отрицательных ионов обозначаются соответственно Nи+ и Nи– . Количество положительно и отрицательно заряженных частиц одинаково, так что в целом ионосфера представляет собой плазму, которая в пределах макрообъемов электрически нейтральна.

Поскольку масса электрона в тысячи и десятки тысяч раз меньше массы ионов и нейтральных частиц, то электроны наиболее подвижны, и именно свободными электронами в первую очередь определяются условия распространения радиоволн в ионосфере. Поэтому основными параметрами ионосферной плазмы являются электронная плотность Nэ (1/м3) и эффективная частота соударений νэфф (1/с) электронов с тяжелыми частицами. Свободные заряды появляются в атмосфере в результате процесса ионизации, т. е. отрыва одного или нескольких электронов с наружных оболочек молекул или атомов за счет воздействия внешних источников энергии, главный из которых – Солнце. Основной причиной ионизации атмосферы является ультрафиолетовое и рентгеновское излучение Солнца (фотоионизация) в диапазоне волн короче 0,1 мкм. Более длинноволновое излучение имеет меньшую энергию квантов и не может произвести необходимую работу ионизации. Вторым по значимости фактором ионизации являются выбрасываемые с поверхности Солнца потоки протонов и электронов, образующих корпускулярное излучение (солнечный ветер). При столкновении корпускул с атомами и молекулами воздуха происходит ударная ионизация. Роль ударной ионизации проявляется главным образом в приполярных районах, куда потоки заряженных частиц отклоняются магнитным полем Земли.

Существенно меньшее значение имеют два других источника ионизации: галактические космические лучи (корпускулы) и метеоры. Космические лучи имеют высокую энергию, но их плотность мала, поэтому они влияют только на ионизацию нижней ионосферы. Метеоры, которые с высокой скоростью вторгаются в земную атмосферу, создают местную ионизацию в столбах газа (метеорные следы). Метеорные следы быстро расширяются и рассеиваются, несколько повышая средний уровень ионизации на высотах около 100 км.

Одновременно с процессом ионизации протекает обратный ему процесс рекомбинации. При тепловом движении частицы с зарядами противоположных знаков оказываются на малых расстояниях друг от друга. Под действием кулоновской силы они соединяются, превращаясь в нейтральные молекулы и атомы.

Сведения о строении ионосферы получены в основном экспериментальным путем. На высотах от 250 до 400 км имеется основной максимум ионизации, называемый слоем F2. Области ионосферы, расположенные выше и ниже основного максимума ионизации, называются соответственно внешней и внутренней ионосферой.

Процесс образования ионизированного слоя понятен из следующих качественных соображений. Плотность атмосферы убывает с увеличением высоты. Поток энергии падающего извне на атмосферу излучения Солнца, ионизируя ее, наоборот, убывает с уменьшением высоты. А так как

106

количество поглощаемой энергии, идущей на ионизацию, пропорционально плотности газа, то степень ионизации должна иметь максимум на некоторой высоте, где ионизирующее излучение еще не сильно ослаблено, а плотность нейтральных частиц еще не очень мала. Такая идеализированная модель с одним максимумом на конечной высоте называется простым слоем (слоем Чепмена). Однако реальная картина значительно сложнее. Во-первых, атмосфера состоит из частиц различного сорта, ионизируемых одновременно разными участками спектра солнечной энергии, имеющими разную интенсивность, и, во- вторых, состав атмосферы и процессы рекомбинации зависят от высоты. Эти обстоятельства приводят к существенному усложнению распределения концентрации электронов с высотой. В результате электронная плотность по высоте изменяется, причем внутренняя ионосфера имеет несколько более или менее выраженных максимумов ионизации. На различных высотах в ионосфере формируются слои с неодинаковой электронной плотностью. Самый нижний ионизированный слой принято обозначать латинской буквой D, а более высокие – соответственно буквами E, F1 и F2 (рис. 4.1). Эти слои по разному влияют на распространение радиоволн различных диапазонов.

Часто днем (а ночью всегда ) слой F1 отсутствует, в таком случае слой F2 называют просто слоем F. Основной источник электронов в слое F – ионизация O и N2 солнечным излучением с длиной волны от 14 до 80 нм. Это основной максимум электронной концентрации в ионосфере. Он располагается на высоте примерно 250 – 300 км (максимум слоя F1 на высоте 160 – 180 км). Слой E (90 – 130 км) ионизируется излучением с длиной волны менее 14 нм и от 80 до 102,7 нм. Излучение с длиной волны более 102,7 нм (порог ионизации O2) не может ионизировать основные газы и не играет большой роли в ионообразовании, за одним исключением. Интенсивная линия солнечного спектра (так называемая линия Lα ) с длиной волны 121,6 нм вследствие слабого поглощения верхними слоями глубоко проникает в атмосферу и играет определенную роль в образовании слоя D (ниже 90 км ). Другими источниками ионизации слоя D являются коротковолновое излучение с длиной волны менее 1 нм, ионизирующее окись азота, а также поток проникающих космических лучей, ионизирующих O2 и N2.

До последнего времени сведения об ионосфере получали главным образом путем радиозондирования, осуществляемого с помощью ионосферных станций, установленных на земной поверхности [5,8]. Такой метод не позволяет исследовать строение ионосферы выше верхнего максимума ионизации, т.е. выше примерно 300 км. Полное представление о строении ионосферы было получено с помощью геофизических ракет и спутников.

Усредненные параметры ионизированных слоев приведены в таблице 4.1, а полученная путем измерений зависимость электронной плотности (в см-3) от высоты над поверхностью Земли показана на рис. 4.1. Там же схематически (вертикальными стрелками) указаны основные источники ионизации каждого из слоев, упомянутые выше. В таблице 4.1 наряду с основными параметрами ионосферных слоев приведены и их критические

107

частоты. Критическая частота– это максимальная частота, на которой радиоволна, излучаемая с Земли вертикально вверх,

Таблица 4.1 Основные параметры ионосферных слоев

Название слоя D E F1 F2 Высота слоя h (км ) 60 – 80 100 - 120 160 – 230 220 - 400 Электронная плотность Nэ (м-3)

108 – 109

( 5 - 20)∙ 109

( 2 - 4)∙1011

(2 - 20)∙1011

Число столкновений ν (с-1)

107

105

103 – 104

103 –104

Критическая частота f ( МГц )

0,1 – 0,7

0,6 – 4,0

4,0 – 6,0

4,0 – 6,0

Рис.4.1. Изменение электронной плотности с высотой (сплошная кривая – день, пунктир – ночь).

NЭ (см-3)

h, км

108

отражается от соответствующего слоя ионосферы. Более подробно понятие критической частоты будет пояснено ниже, в п. 4.3.1.

На рисунке 4.1 высота и электронная плотность отложены в логарифмическом масштабе. На графике видны три максимума ионизации. Самый верхний, отчетливо выраженный максимум ионизации, относится к слою F. Это основной слой, отражающий декаметровые волны и обусловливающий возможность связи в этом диапазоне на расстояниях в тысячи и даже десятки тысяч километров. Второй, меньший максимум, расположенный на высоте 120 км, относится к слою E, от которого отражаются в ночные часы гектометровые волны. Самый нижний максимум ионизации находится на высоте 80 км – это слой D, от него отражаются только километровые и более длинные волны.

Параметры ионосферных слоев изменяются в соответствии с регулярными суточными и сезонными изменениями излучения Солнца. Днем степень ионизации значительно выше. В ночное время слой F не имеет резкой границы, а нижняя граница ионосферы поднимается до высоты около 100 км, при этом благодаря процессу рекомбинации исчезает слой D; слой E сохраняется, но электронная плотность в его максимуме уменьшается. Слой F1 в средних широтах наблюдается только в летние дни. В остальное время он сливается со слоем F2 , образуя единую область F. Для всех слоев, кроме слоя F, наибольшая плотность электронов наблюдается в полдень летом. Слой F имеет наибольшую плотность электронов в полдень зимой. В зависимости от солнечной активности (11-летний цикл), сезона и времени суток распределение электронной плотности варьируется. Пределы изменения высоты максимума электронной концентрации и максимального значения Nэ на рис.4.1 показаны перекрещивающимися стрелками.

Регулярная структура ионосферы может нарушаться. Аномальные существенные отклонения электронной плотности от средних значений и нарушения самой структуры ионосферы называют ионосферными возмущениями и бурями. На работу радиолиний наибольшее влияние оказывают возмущения корпускулярной природы. Эти возмущения появляются, когда в атмосферу Земли проникают корпускулярные потоки, излученные из активных областей возмущенного Солнца. Корпускулы, будучи заряженными частицами, достигая области действия магнитного поля Земли, начинают двигаться по спиралям вокруг магнитных силовых линий и направляются к полярным областям. Корпускулярные потоки вызывают не только ионосферные, но и магнитные бури (возмущения магнитного поля Земли), поэтому часто говорят о магнитно- ионосферных возмущениях [ 8].

Временами в ионосфере на высоте 90 – 110 км появляется нерегулярный так называемый спорадический слой Es, представляющий собой скопления ионизированного газа большей электронной плотности, чем электронная плотность окружающей среды на той же высоте. Этот слой

109

имеет небольшую толщину, возникает и перемещается под действием ветров. Чаще всего такой слой появляется в дневные часы летом в средних и южных широтах, а в северных широтах – при возмущениях магнитного поля Земли и полярных сияниях.

4.1.2. Методы исследования ионосферы. Исследование ионосферы с помощью ионосферных станций. Работа ионосферной станции основана на методе вертикального

зондирования. Ионосферная станция излучает вертикально вверх пачку импульсов. В пределах пачки несущая частота меняется от импульса к импульсу по линейному закону. С увеличением частоты импульсы отражаются от более высоких ионосферных слоев. Измеряя время запаздывания отраженных импульсов, получают высотно-частотные характеристики (ВЧХ), т. е. зависимости между частотой и действующей высотой отражения По ВЧХ определяют критические частоты ионосферных слоев. Отметим, что действующая высота отражения отличается от истинной высоты отражения волны, так как скорость движения радиосигнала в ионосфере меньше скорости света в свободном пространстве (см. п. 4.2.3), а действующая высота вычисляется в предположении, что импульс распространяется в ионосфере со скоростью, равной скорости света в свободном пространстве. Многолетние измерения, проводимые с помощью ионосферных станций, позволили получить обширные сведения о строении внутренней ионосферы. Более подробные сведения о методе вертикального зондирования и результатах исследований можно найти в [5,8]. Данные об усредненных значениях критических частот ионосферных слоев приведены в табл. 4.1. Исследования ионосферы с помощью искусственных спутников Земли.

Измерение электронной плотности при помощи ракет и спутников проводят, наблюдая за прохождением радиоволн через ионосферные слои. Для этого используются диапазоны метровых и более коротких волн, не отражающихся от ионосферы. На ракете устанавливается передатчик, генерирующий основную частоту и ее гармонику. На отечественных высотных ракетах и спутниках устанавливались передатчики, генерирующие основную частоту 48 МГц и третью гармонику частотой 144 МГц. На прохождение волны с частотой 144 МГц ионосфера влияет незначительно и можно считать, что волна распространяется со скоростью света в свободном пространстве. Скорость волны частотой 48 МГц существенно зависит от электронной плотности ионосферы. В приемнике частоту сигнала 48 МГц умножают на три и смешивают с принятым сигналом на частоте 144 МГц. Сигналы распространяются с различными скоростями и приходят в разной

110

фазе, причем разность фаз зависит от плотности электронов. Измеряя разность фаз и наблюдая за высотой ракеты, определяют распределение электронной плотности с высотой.

Мощным дополнительным импульсом к изучению ионосферы и тропосферы в последнем десятилетии двадцатого века послужило создание широко используемой во всем мире спутниковой навигационной системы для определения местоположения объекта GPS (The Global Positioning System). Основная задача GPS – определение точных координат объекта в любой момент времени и в любой точке земного шара. Созданная первоначально для военных целей, она все больше служит решению гражданских задач. Система состоит из 24 спутников, находящихся на круговых орбитах с радиусом около 20000 км и расположенных так, что в любой точке Земли в любое время в зоне видимости находятся по крайней мере 4 спутника. Базовая частота системы 10,23 МГц. Она умножается на 154 и 120 для получения двух рабочих частот L1 (1575,42 МГц) и L2 (1227,60 МГц). Благодаря применению двух частот удается измерить абсолютную величину времени запаздывания при распространении сигнала от спутника к приемнику и с высокой точностью рассчитать параметры ионизированных слоев [16].

4.1.3. Модели ионосферы.

Фактическое распределение электронной плотности в ионосфере является очень сложным, в общем случае его нельзя выразить с помощью простых математических функций.

В связи со сложностью и многообразием процессов, происходящих в ионосфере, разработаны различные подходы к моделированию ионосферных параметров.

Широко используются эмпирические (или статистические) модели, основанные на статистическом анализе результатов измерений в различных точках земного шара за длительный период времени. Понятно, что эмпирические модели описывают некоторые средние состояния ионосферы, поэтому их нельзя использовать для описания, например, ионосферных возмущений. Тем не менее такие модели получили широкое распространение. Наиболее полной эмпирической моделью является IRI (International Reference Ionosphere). Модель IRI доступна через Internet в on-line режиме на сайте: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/space/model/models/iri.html, а также на сайте: ftp://nssdcftp.gsfc.nasa.gov/models/ionospheric/iri/.

Модель IRI разрабатывается более двух десятилетий и ежегодно обновляется. Модель позволяет определить концентрацию электронов и другие параметры ионосферы на высотах от 50 до 2000 км для различных географических координат (широты и долготы), а также для различных временных выборок : по году, месяцу, дню года, дню месяца, часу дня. Сравнение с экспериментальными данными показывает, что модель IRI дает наилучшее согласие расчетных концентраций электронов с измерениями на средних широтах и для спокойной ионосферы, но и в этом случае погрешность определения концентрации составляет не лучше 30%.

111

Для практических целей определения текущего состояния ионосферы применяются так называемые адаптивные модели. Такие модели базируются на описании ионосферы некоторыми элементарными или специальными функциями, содержащими свободные постоянные, непрерывных измерениях параметров ионосферы и коррекции модели путем подбора свободных постоянных по результатам измерений. Адаптивные модели должны давать достаточно точную информацию о распределении электронной концентрации в тех областях Земли, которые обеспечены средствами диагностики. В последнее время адаптивные модели базируются на измерениях параметров ионосферы с помощью приемников системы GPS. Использование GPS открывает широкие возможности для изучения состояния ионосферы потому, что постоянно растет количество непрерывно действующих наземных GPS приемников. Благодаря этому накапливается большой экспериментальный материал о текущем состоянии ионосферы. В областях с большой плотностью расположения GPS приемников адаптивные модели обеспечивают определение концентрации электронов с погрешностью около 10%. В перспективе с увеличением числа приемников следует ожидать уменьшения погрешности определения концентрации электронов до единиц процентов.

Основным параметром ионосферы, измеряемым с помощью приемников системы GPS, является так называемое полное электронное содержание (Total Electron Content, сокращенно – TEC). Физический смысл этого параметра – число электронов в столбе ионосферы высотой до 2000 км сечением 1 м2. Таким образом, TEC имеет размерность эл/м2. При практических оценках полное электронное содержание принято измерять в единицах TECU (Total Electron Content Unit) – 1 TECU=1016 эл/м2.

Карты распределений TEC и другая информация о параметрах ионосферы могут быть получены по Интернет на сайте http://iono.jpl.nasa.gov.

Аналитические модели. Для многих целей, особенно для теоретических исследований и в учебном процессе, предпочтительно использование относительно грубых модельных профилей электронной плотности, описываемых элементарными функциями. При этом стремятся подбирать такие простейшие аппроксимации реальных распределений Nэ(h), для которых решения задач распространения радиоволн получаются в замкнутой (аналитической) форме. К таким профилям относятся линейный, экспоненциальный, параболический, косинусный и ряд других. Изучение процессов распространения радиоволн в ионосфере с помощью аналитических моделей позволяет выяснять закономерности распространения радиоволн с минимальными затратами времени, не прибегая к громоздким вычислениям. В п. 4.2.2 будет проведен анализ распространения радиоволн в ионосфере с параболическим профилем концентрации электронов.

Контрольные вопросы к п.4.1

1. Что является основным источником ионизации ионосферы ? Какие основные ионизирующие факторы вам известны?

2. Какая модель ионосферы называется простым (чепменовским ) слоем? Какова реальная структура ионосферы?

3. Почему электроны оказывают существенно большее влияние на распространение радиоволн, чем ионы?

112

4. Какие методы используются для измерений параметров ионосферы?

5. Что такое действующая высота отражения и почему именно она, а не реальная высота отражения измеряется с помощью ионосферной станции?

6. Какие модели ионосферы применяют при анализе распространения радиоволн? 7. Поясните смысл параметра «полное электронное содержание».

4.2 Электрические параметры ионизированного газа, комплексная постоянная распространения радиоволны. 4.2.1.Диэлектрическая проницаемость ионизированного газа без учета магнитного поля Земли

Ионосфера представляет собой плазму, т.е. частично ионизированный

электрически нейтральный газ, который в дальнейшем будет интересовать нас как среда, в которой происходит распространение радиоволн. Плазма по своим свойствам отличается от обычных газов. Из-за наличия свободных зарядов плазма обладает большей, чем у обычных газов, электрической проводимостью. Кроме того, под влиянием постоянного магнитного поля она может проявлять анизотропные свойства. Предполагая, что плотность газа достаточно велика, так что среднее расстояние между частицами много меньше длины волны, будем рассматривать ионосферную плазму как сплошную среду, обладающую относительной диэлектрической проницаемостью ε и удельной проводимостью σ.

В отсутствие переменного электромагнитного поля заряженные частицы движутся хаотически. При прохождении радиоволны заряженные частицы (электроны, положительные и отрицательные ионы) начинают двигаться в такт с изменением поля волны и возникает (конвекционный) ток. При этом токами, образованными ионами, можно пренебречь по сравнению с токами, образованными электронами (из-за большой массы ионов их вклад в полный ток крайне незначителен). Таким образом, предполагаем, что газ содержит только свободные электроны с электронной плотностью Nэ, причем за единицу времени (1 с) электрон испытывает в среднем ν неупругих столкновений с нейтральными частицами.

Выделим мысленно куб единичного объема (1м3 ) и предположим, что плоская электромагнитная волна с электрическим векторомE , параллельным оси z, движется вдоль оси x (Рис. 4.2). Под влиянием электрического поля с напряженностью ti

me ω= EErr

на каждый свободный электрон действует сила EFrr

e= . Взаимодействием электронов с магнитным полем волны можно пренебречь (см. задачу 4.2.1). Кроме того, при каждом неупругом

113

соударении с нейтральными частицами электрон теряет порцию импульса, равную V

rm . Так как электрон сталкивается с нейтральными частицами ν раз

в секунду, то общие потери импульса в секунду будут равны ν Vr

m . Эта величина может рассматриваться как сила “внутреннего трения”, действующая на электрон в направлении, противоположном его скорости V

r.

Тогда уравнение движения электрона на основании второго закона Ньютона может быть записано в следующем виде

VEV rrr

medtdm ν−= , (4.1)

где e и m – соответственно заряд и масса электрона. В установившемся режиме все величины (смещение, скорость)

пропорциональны tie ω и дифференцирование по времени соответствует простому умножению на iω. Поскольку и вектор напряженности электрического

Рис. 4. 2. К распространению радиоволн в однородной плазме.

поля, и перемещение электрона совпадают с осью z, получим вместо (4.1) скалярное уравнение

iωmV = eE - νmV, (4.2) из которого находим скорость электрона под воздействием поля волны в направлении оси z

V = ω)(ν im

eE+

. (4.3)

Общий заряд единицы объема составляет eNэ. По определению объемной плотностью тока называется количество электричества (заряд), проходящее через единицу площади поперечного сечения за одну секунду (предполагается, что электроны двигаются равномерно со скоростью, равной

z

y

x

e,m Er

114

ее мгновенному значению V). При скорости 1 м/с в направлении оси x за одну секунду через, например, правую на рис. 4.2 грань куба пройдет заряд, равный eNэ , а при скорости V – заряд eNэV, т.е. плотность электрического (конвекционного) тока будет равна

jэ = eNэV = Eim

Neω)(νэ

2

+ = ( ) E

miNe

)ω(νν

22э

2

+

ω− . (4.4)

В соответствии с первым уравнением Максвелла э

0 jEHrotrrr

+ωε= i (4.5)

имеем

+ωε= EHrot 0rr

iz( )E

)(ν

22э

2 r

ω+ν

ω−

miNe . (4.6)

Первый член в правой части этого выражения – это ток смещения в вакууме, который существовал бы и в отсутствие заряженных частиц. Второй член – конвекционный ток - обусловлен движением электронов под воздействием поля электромагнитной волны.

Вводя относительную комплексную диэлектрическую проницаемость

ωεσ

−ε=ε0

i~ , (4.7)

перепишем уравнение (4.5) в виде

EεωεHrot 0rr ~i= , (4.8)

где относительная комплексная диэлектрическая проницаемость ионосферной плазмы в отсутствие магнитного поля Земли выражается следующей формулой

)ωω(νε

ν)ω(νε

1ε 220

2

220

2

+−

+−=

mNei

mNe~ ээ (4.9)

Сопоставляя последнее выражение с (4.7), определим параметры ионизированного газа

)ω(ν

1ε 220

э2

+ε−=

mNe ; (4.10)

)ω(ν

νσ 22

2

+=

mNe э . (4.11)

115

Подставляя в (4.10) и (4.11) числовые значения заряда e и массы m электрона, а также электрической постоянной ε0 , перепишем эти формулы в виде

22 ων31831ε

+−= эN ; (4.12)

228

ωνν108182σ

+= − эN*, . (4.13)

На достаточно высоких частотах, когда ω2 >>ν2 , эти формулы можно упростить, пренебрегая ν2 по сравнению с ω2 . В результате получим:

22 811ω

31831εfNN ээ −≈−= ; (4.14)

28

ω108182σ ν

= − эN*, . (4.15)

Как видно из данных табл. 4.1, максимальное значение ν, наблюдаемое в слое D, имеет порядок 107 с-1, так что последними формулами можно пользоваться, начиная с частот свыше 3 МГц, т. е. в диапазонах декаметровых и более коротких волн. В высокочастотной области, как видно из (4.14), (4.15), проводимость и отклонение диэлектрической проницаемости от единицы (1– ε), убывают обратно пропорционально квадрату рабочей частоты.

Наоборот, в области низких частот, когда ω2 << ν2 , можно пренебречь величиной ω2 по сравнению с ν2 . Тогда формулы (4.12), (4.13) принимают вид:

2ν31831ε эN

−= ; (4.16)

ν

108182σ 8 эN*, −= . (4.17)

В этом случае электрические параметры ионизированного газа не зависят от частоты, как это бывает в обычных диэлектриках.

Обратим внимание на следующий важный факт. Диэлектрическая проницаемость ионосферы, как следует из формулы (4.10), меньше диэлектрической проницаемости свободного пространства: ε < 1 и может принимать нулевое и даже отрицательные значения. Это связано с тем, что конвекционный ток (4.4) имеет две составляющих – реактивную и активную, причем реактивная составляющая за счет инерции электронов отстает по

116

фазе от поля на 900 , как это видно из (4.4), и, соответственно, отстает на 1800 от тока смещения (см. формулу (4.6)). Активная составляющая, как следует из той же формулы, совпадает по фазе с полем и представляет собой ток проводимости и именно этим током обусловливаются тепловые потери. Этот ток и связанные с ним потери обращаются в нуль при отсутствии столкновений, когда ν = 0. В этом случае равна нулю и удельная проводимость σ (4.11), а для диэлектрической проницаемости (4.10) получим простую формулу

2

20ωω1ε −= , (4.18)

где

mNe э

0

20 εω = (4.19)

- собственная частота ионизированного газа (плазменная частота, частота Ленгмюра).

Отсюда, в частности, видно, что при больших значениях электронной плотности диэлектрическая проницаемость может оказаться равной нулю. Это произойдет, если рабочая частота совпадет с собственной частотой ионизированного газа. При более низких частотах диэлектрическая проницаемость ионизированного газа становится отрицательной.

Такому поведению диэлектрической проницаемости можно дать простую физическую интерпретацию. Представим себе конденсатор, заполненный плазмой без потерь (ν=0). В отсутствие электронов (Nэ=0) в конденсаторе – вакуум (относительная диэлектрическая проницаемость ε =1). В этом случае через конденсатор течет только емкостный ток смещения (первое слагаемое в правой части формул (4.5) и (4.6)). Если концентрация электронов в конденсаторе не равна нулю, то под влиянием переменного электрического поля электроны колеблются, возникает переменный ток, который называют конвекционным.

Конвекционный ток в ионосфере отличается от тока проводимости. В проводниках свободные электроны сильно взаимодействуют с частицами вещества и при движении испытывают большую силу “трения”. В результате, когда напряженность электрического поля в проводнике обращается в нуль, в тот же момент прекращается направленное движение электронов и ток проводимости становится равным нулю. Таким образом, в проводнике плотность тока совпадает по фазе с напряженностью поля E . В ионосфере электроны испытывают слабое торможение при колебаниях, так как газ в ионосфере сильно разрежен и столкновения электронов с частицами происходят редко. Ускоренные полем E электроны продолжают движение при обращении поля в нуль и плотность конвекционного электронного тока не совпадает по фазе с напряженностью поля E.

Таким образом, вследствие инерции электронов скорость их колебательного движения отстает по фазе на 900 от напряженности поля радиоволны, а конвекционный ток имеет индуктивный характер (второй член в правой части (4.6) при σ = 0) и находится в противофазе с током смещения. Поэтому эквивалентной схемой конденсатора с плазмой является параллельный колебательный контур, в котором емкость соответствует емкостному току смещения в вакууме, а индуктивность – индуктивному конвекционному электронному току.

Если емкостный ток смещения больше электронного тока, суммарный ток конденсатора сохраняет емкостный характер, но будет меньше, чем емкостный ток вакуума, чему соответствует условие 0<ε<1. При равенстве тока смещения и конвекционного тока электронов (равенстве рабочей частоты и собственной частоты плазмы) имеет место резонанс – полный ток и диэлектрическая проницаемость среды равны нулю. Когда рабочая частота становится ниже собственной частоты

117

плазмы, суммарный ток конденсатора носит индуктивный характер – диэлектрическая проницаемость среды отрицательна.

Используя понятие собственной частоты ионизированного газа, формулу (4.18) можно переписать в более удобном для расчетов виде:

2

201ε

ff

−= , (4.20)

где эNf 812

0 ≈ (4.21) Здесь, как и везде выше, концентрация электронов измеряется в 1/м3, а частота – в Гц. Легко, однако, заметить, что последние формулы остаются справедливыми, если концентрацию электронов Nэ в них подставлять в 1/см3, а частоту – в кГц. Концентрация электронов в ионосфере такова, что собственная частота ионизированного газа обычно лежит в радиодиапазоне. Это можно усмотреть из табл. 4.1 (последняя строка), поскольку критическая частота слоя равна его собственной частоте в максимуме электронной концентрации. 4.2.2. Постоянная распространения радиоволны в ионизированном газе. Затухание радиоволн в ионосфере

Знание электрических параметров ионизированного газа, а именно его

диэлектрической проницаемости и удельной проводимости, позволяет определить комплексную постоянную распространения электромагнитных волн в ионизированном газе. Пусть в такой среде распространяется плоская волна, которую можно записать в стандартном виде

)γ(ω rtimeEE −= , (4.22)

где γ - комплексная постоянная распространения αβεγ 0 i~k −== , (4.23)

а β и α - фазовая постоянная и постоянная затухания соответственно. Как показывает практика, во многих интересных с точки зрения радиотехники ситуациях на рабочей частоте выполняется условие νω >> , так что в формулах для диэлектрической проницаемости можно приближенно положить 0ν = . Это так называемая модель бесстолкновительной плазмы, для которой 0σ = , а диэлектрическая проницаемость, определяемая по (4.21), всегда действительна и меньше единицы. Здесь целесообразно отдельно рассмотреть два случая.

118

Докритическая плазма. Концентрация электронов эN сравнительно невелика, так что рабочая частота ω больше собственной частоты ω0, а диэлектрическая проницаемость ε>0. Постоянная распространения

2

20

0ωω1γ(ω) −= k и, соответственно,

2

20

0ωω1β(ω) −= k , 0α(ω) = . (4.24)

При этом фазовая скорость может быть вычислена по известной

формуле

2

20

ф

ω

ω1β(ω)ω)(

−

==ωcV . (4.25)

Здесь необходимо отметить два момента, существенно отличающих процесс распространения электромагнитной волны в ионизированном газе от аналогичного процесса в обычных средах. Фазовая скорость, во-первых, зависит от частоты, а, во-вторых, она больше скорости света в вакууме и стремится к бесконечности при 0ωω→ . Последнее обстоятельство не входит в противоречие с известным положением теории относительности, согласно которому скорость света в вакууме является предельно допустимой в природе. Дело в том, что фазовая скорость не связана с перемещением каких-либо материальных объектов или переносом энергии – это скорость передвижения волнового фронта (воображаемой поверхности равных фаз). Поэтому ограничения, налагаемые принципом относительности, не могут распространяться на величину фазовой скорости.

Закритическая плазма. В случае, когда 0ωω < , относительная диэлектрическая проницаемость ε принимает отрицательные значения, а постоянная распространения γ становится чисто мнимой величиной

1ωωγ(ω) 2

20

0 −±= ik .

Выбирая в этом выражении единственно допустимый в соответствии с (4.22) знак “минус”, из сравнения с (4.23) получим:

1ωωα(ω) 2

20

0 −= k , 0β(ω) =

(4.26)

119

Поскольку фазовая постоянная β в рассматриваемом случае равна нулю, то волновой процесс в закритической плазме не существует, амплитуда поля экспоненциально убывает (пропорционально exp(–αr)). Фаза поля от расстояния r не зависит и одинакова для любых значений r в любой момент времени, что можно формально интерпретировать как бесконечно большую величину фазовой скорости.

Важно подчеркнуть, что экспоненциальное убывание амплитуды поля не связано с тепловыми потерями. Это явление обусловлено чисто фазовыми эффектами – колеблющиеся электроны создают вторичное поле, которое, интерферируя с полем падающей волны, стремится его компенсировать.

Модель бесстолкновительной плазмы, рассматриваемая нами, является хотя и полезной, но все же не всегда достаточной. Для более точного и полного описания явлений, происходящих при распространении радиоволн в реальной ионосфере, необходимо, в первую очередь, учесть влияние столкновений электронов с нейтральными молекулами газов. При этом электродинамические свойства ионизированного газа будут описываться комплексной диэлектрической проницаемостью в соответствии с полученной выше формулой (4.9).

Необходимо особо подчеркнуть, что комплексная постоянная распространения γ будет по-прежнему определяться формулой (4.23), однако значение квадратного корня в ней должно выбираться таким образом, чтобы параметр γ находился в четвертом квадранте комплексной плоскости.

Заметим, что мнимая часть комплексной относительной диэлектрической

проницаемости в (4.7) при любых частотах отрицательна. Действительная же ее часть в соответствии с (4.9) может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Таким образом, комплексное число ωεσεε0

i~ −= располагается либо в четвертом, либо

в третьем квадрантах комплексной плоскости, а его аргумент в любом случае может быть

записан как σεωεarctg

2πεarg 0+−=~ . Отсюда очевидно, что из двух возможных

значений квадратного корня в (4.23) необходимо выбрать то, для которого

σεωεarctg

21

4πεarg 0+−=~ , поскольку именно оно располагается в четвертом

квадранте. Второе возможное значение квадратного корня, как легко видеть, соответствует коэффициенту распространения (4.23) с положительной мнимой частью. Амплитуда такой волны (4.22) при распространении в среде с поглощением не убывает, а возрастает с расстоянием, что противоречит физическому смыслу. Такой корень должен быть отброшен как посторонний.

С учетом изложенного запишем окончательное выражение для

постоянной распространения (4.23) плоской волны в плазме с учетом столкновений:

120

)]σεωεarctg

21

4π(exp[)

ωεσ(εγ 04 2

0

20 +−+= ik , (4.27)

откуда для фазовой постоянной β и постоянной затухания α будем иметь

)σεωεarctg

21

4πsin()

ωεσ(εβ(ω) 04 2

0

20 ++= k ; (4.28)

)σεωεarctg

21

4πcos()

ωεσ(εα(ω) 04 2

0

20 ++= k . (4.29)

Путем простых тригонометрических преобразований формулы (4.28) и

(4.29) сводятся к формулам (2.5). Исследуем частотную зависимость постоянной распространения и,

постоянной затухания радиоволн в ионизированном газе, представляющих наибольший интерес с точки зрения проектирования линий радиосвязи.

В области высоких частот (ω>>ν) можно пренебречь в (4.9) слагаемым ν2 по сравнению ω2. Тогда для постоянной распространения из (4.23) найдем

30

202

0

203

0

2

20

200

ωε2ν

ωε1

ωεν

ωε1εγ

mNeik

mNek

mNei

mNek~k ээээ −−≈−−≈= .

(4.30) Таким образом, для постоянных фазы β и затухания α будем иметь

следующие приближенные выражения:

26

20

2

20

2 ν101340ων

21α;

ω1ωβ

fN*,

mсNe

mNe

cэээ −≈

ε≈

ε−≈ (4.31)

В области низких частот ( ω<<ν) в (4.9) можно, наоборот, пренебречь

ω2 по сравнению с ν2 . Принимая, кроме того, во внимание, что электронная плотность Nэ всегда на много порядков превышает число столкновений электронов ν ( см. табл. 4.1), замечаем, что мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости в (4.9) значительно больше величины ее действительной части. Поэтому можно приближенно считать

2

0

2

0

2

ωνωνεε /iээ e

mNe

mNei~ π−

ε=−≈ . (4.32)

Тогда для постоянной распространения можно записать следующее

приближенное равенство

121

4

0

200 ωνε

εγ /iэ emNek~k π−≈= (4.33)

и, следовательно,

ν10333

νε2ω1αβ 7

0

2ээ fN*,

mNe

с−≈≈≈ . (4.34)

Таким образом, в низкочастотной части радиодиапазона (ω < ν) постоянная затухания возрастает с увеличением частоты, а в высокочастотной области (ω > ν) – убывает обратно пропорционально квадрату частоты. Следовательно, в промежуточной области ω ≈ ν, кривая зависимости постоянной затухания от частоты должна иметь максимум.

На рис. 4.3а,б приведены частотные зависимости постоянной затухания в широком диапазоне частот для параметров ионосферной плазмы

1739 c10νм105 −− =⋅= ,Nэ , что соответствует слою D (рис.4.3а), и 311м10 −=эN , 15с10ν −= , что соответствует средним значениям параметров

слоя F (рис. 4.3б). Сплошные кривые – результаты расчетов по точной формуле (4.29). На этих же рисунках приведены результаты вычислений по приближенным формулам – низкочастотная асимптотика (4.34), изображенная короткими штрихами, и высокочастотная асимптотика (4.31) (пунктир). Из рассмотрения этих рисунков можно заключить, что общий характер зависимостей соответствует проведенному анализу. Более того, нетрудно заметить, что простые приближенные формулы, полученные выше, с удовлетворительной точностью могут быть использованы в весьма широком диапазоне частот.

Характер зависимости α(ω) понятен и из физических соображений. Действительно, при ω < ν время свободного пробега электрона τ меньше периода Τ колебаний электромагнитного поля. За время τ < Τ электрон приобретает лишь очень малую часть энергии электромагнитного поля, и эта энергия передается тяжелым частицам малыми порциями. При ω > ν и τ > Τ электрон несколько раз переизлучает энергию, не отдавая ее тяжелым частицам, что приводит к уменьшению α. При частоте ω, близкой к ν, наблюдается явление, в какой-то мере подобное резонансу, что приводит к наиболее интенсивному поглощению радиоволн. Постоянная затухания имеет здесь максимум, хотя и не ярко выраженный. В ионосфере ν имеет порядок 103 – 107 с-1, так что максимум поглощения, например, для ν = 107 с-

1 наблюдается на частоте f ≅ 1,5 МГц, поэтому в диапазоне декаметровых волн (короткие волны) с ростом частоты поглощение уменьшается, а в гектометровом и километровом диапазонах (средние и длинные волны) постоянная затухания, наоборот, растет с частотой. Это отчетливо видно и из приведенных рисунков.

122

Рис.4.3а. Частотная зависимость постоянной затухания радиоволн в ионосфере при Nэ=5·109 м-3, ν=107 с-1.

Рис.4.3б. Частотная зависимость постоянной затухания радиоволн в ионосфере при Nэ=1011 м-3, ν=105 с-1.

4.2.3. Дисперсия. Фазовая и групповая скорости распространения радиоволн в ионизированном газе

Диэлектрическая проницаемость ионосферы зависит от частоты, т.е. ионосфера является диспергирующей средой (дисперсия – это зависимость параметров среды и, следовательно, скорости распространения радиоволн от частоты). Это явление связано с тем, что электроны, обладая

(Гц)f

( )1мα −

( )1мα −

(Гц)f

123

конечной массой, проявляют свои инерционные свойства. С повышением частоты упорядоченная скорость движения электронов, а, следовательно, и конвекционный ток уменьшаются, и свойства ионосферы приближаются к свойствам свободного пространства.

Для того, чтобы упростить анализ и сделать его результаты более наглядными, будем рассматривать плазменную среду без потерь на частотах выше плазменной, что справедливо в наиболее интересном для практики случае распространения радиоволн короче 100 м (это рассмотренная выше модель бесстолкновительной плазмы).

Пусть плоская электромагнитная волна распространяется в среде без потерь. Любая из проекций, например, электрического вектора на оси прямоугольной системы координат имеет вид

)β(ω ztimeEE −= , (4.35)

где ось z принята за направление распространения волны. Отсюда следует, что изменение фазы поля вдоль направления распространения определяется величиной zt βω − . Зафиксировав поверхность равных фаз или фронт волны

constzt =− βω , найдем скорость перемещения фазового фронта, или фазовую скорость. Взяв полный дифференциал от последнего выражения, получим общую формулу для определения этой скорости

βω

==dtdzVф . (4.36)

Рассмотрим теперь более сложный вопрос о распространении колебаний произвольной формы т.е. сигналов. Помимо фазовой скорости, необходимо ввести понятие групповой скорости распространения, которая характеризует быстроту продвижения энергии волны. Название “групповая скорость” подчеркивает то обстоятельство, что эта скорость проявляется при распространении “группы волн” или импульса конечной длительности. Такой сигнал может быть разложен на элементарные гармонические колебания, т.е. представлен в виде интеграла Фурье. Если сигнал распространяется в недиспергирующей линейной среде, то все его гармонические составляющие, независимо от частоты, распространяются с одинаковыми скоростями, проходят одинаковые расстояния и при сложении элементарных колебаний в точке приема воссоздают импульс первоначальной формы. Группа волн в этих условиях распространяется, не претерпевая искажений. В противоположность этому в диспергирующей среде гармонические составляющие распространяются с различными фазовыми скоростями и при сложении в точке приема образуют импульс, форма которого отлична от первоначальной, т.е. возникают искажения передаваемого сигнала.

С целью упрощения анализа рассмотрим распространение узкополосного сигнала, спектральная плотность которого, как известно,

124

концентрируется вблизи некоторой центральной частоты ω0 . Простейшему описанию сигнала такого типа соответствует выделение из него узкополосной группы, состоящей всего из двух гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и близкими частотами ω1 и ω2

)βcos(ω 111 ztAE −= , )βcos(ω 222 ztAE −= , Здесь предполагается, что относительная разность частот мала

( 1ωωω 121 <<− / ), а поэтому малой является и относительная разность постоянных распространения β1 и β2. Результирующее поле можно записать в виде

)2ββ

2ωωcos()

2ββ

2ωωcos(2 21212121

21 ztztAEEE +−

+⋅

−−

−=+= . (4.37)

Для любого фиксированного момента времени t зависимость результирующей напряженности поля (4.37) от расстояния представляет собой картину биений двух частот, изображенную на рис. 4.4.

Рис.4.4. К определению групповой скорости распространения радиоволны.

Действительно, первый косинусоидальный сомножитель

характеризуется частотой значительно более низкой, чем ω1 или ω2. Частота же второго сомножителя равна среднему арифметическому обеих этих частот и практически совпадает с любой из них. На этом рисунке можно выделить низкочастотную огибающую и высокочастотное заполнение. Однако рассматриваемый процесс носит волновой характер. Поэтому как огибающая, так и заполнение являются волнами, распространяющимися вдоль оси z c различными в общем случае скоростями.

125

Рассмотрим распространение огибающей. Характерная картина распределения огибающей волнового процесса двух близких по частоте гармонических составляющих называется группой волн. На рис.4.4 отдельные группы волн показаны пунктиром.

Вычислим скорость распространения групп волн вдоль оси z, которая и называется групповой скоростью. Уравнение плоскости постоянной фазы для огибающей из (4.37) имеет вид const)β(β)ω(ω 2121 =−−− zt . Отсюда, вычисляя, как и выше, полный дифференциал, найдем

21

21гр ββ

ωω−−

==dtdzV .

Переходя в этом выражении к пределу при стремлении к нулю разности между частотами двух спектральных составляющих, получим

1)dωdβ(ω −=

β=

ddVгр . (4.38)

Что касается скорости распространения высокочастотного заполнения, то она равна фазовой скорости плоской волны (4.36).

Из сравнения (4.36) и (4.38), в частности, следует, что в любых средах, в которых зависимость постоянной распространения от частоты линейна, групповая и фазовая скорости тождественно равны. Примером может служить плоская волна, распространяющаяся в неограниченном однородном диэлектрике. В этом случае

εωβc

= (4.39)

и, следовательно,

грф εVcV == . (4.40)

Вернемся к рассматриваемой нами модели бесстолкновительной плазмы, для которой закон частотной дисперсии определяется формулой (4.24), или в более удобном виде

εωωω1ωβ(ω) 2

20

cc=−= . (4.41)

Вычисляя производную ωβ/dd , находим по (4.38)

εωω1 2

20

гр ссV =−= . (4.42)

Поскольку в плазменной среде 1ε < , скорость распространения сигнала в такой среде всегда меньше скорости света.

Подставляя (4.41) в (4.36), найдем фазовую скорость плоской волны

126

ε

ω

ω1 2

20

фccV =

−

= (4.43)

Из сопоставления двух последних формул запишем соотношение между фазовой и групповой скоростями распространения волн в ионизированном газе

2фгр cVV =⋅ , (4.44)

т.е. произведение фазовой скорости волны на групповую скорость равно квадрату скорости света в пустоте. Отсюда, в частности, следует, что

,cnV =гр (4.45)

где фV/cn = - показатель преломления среды.

Контрольные вопросы к п. 4.2. 1. Что такое собственная частота ионизированного газа и чем она определяется? 2. Почему относительная диэлектрическая проницаемость ионизированного газа меньше единицы и может принимать нулевое и отрицательные значения? 3. Дайте определение фазовой и групповой скоростей, каково соотношение между ними в ионизированном газе? 4. Ионизированный газ (плазма) является диспергирующей средой. Что это означает, и к каким эффектам приводит наличие дисперсии с точки зрения распространения радиоволн? 5. Какими факторами определяется затухание электромагнитных волн в ионосфере? 6.Частотная зависимость постоянной затухания имеет максимум. Каково физическое объяснение такого характера его поведения? Задача 4.2.1

Электрон движется в поле плоской электромагнитной волны. На него действуют силы как со стороны электрического, так и со стороны магнитного поля волны. Показать, что взаимодействие электрона с магнитным полем волны пренебрежимо мало по сравнению с его взаимодействием с электрическим полем.

127

Задача 4.2.2 В бесстолкновительной плазме (ионосфере) с электронной

концентрацией Nэ = 2∙1012 м-3 одно и то же расстояние L=1000 км проходят два прямоугольных радиоимпульса глобальной навигационной системы GPS с рабочими частотами 1575,42 МГц и 1227,60 МГц соответственно. Определить величину ∆t – разность времен прохождения этой трассы данными импульсами. Для сравнения вычислить время прохождения этой трассы таким же импульсом на базовой частоте системы 10,23 МГц . Задача 4.2.3 Используя известные тригонометрические тождества показать, что формулы (4.28), (4.29) для постоянных фазы β и затухания α совпадают с соответствующими выражениями из (2.5). 4.3 Преломление и отражение радиоволн в ионосфере 4.3.1. Траектории радиоволн в ионосфере без учета влияния магнитного поля Земли

Как было установлено выше, электронная плотность, а вслед за ней и относительная диэлектрическая проницаемость ионосферы, меняются в пределах толщи ионосферы по сложному закону. В среднем диэлектрическая проницаемость уменьшается с высотой во внутренней ионосфере и увеличивается – во внешней. При этом ее величина может изменяться в широких пределах в зависимости от состояния ионосферы и частоты распространяющегося электромагнитного поля. В неоднородной среде траектория волны искривляется (обычно достаточно плавно, в этом случае говорят о рефракции волн). В соответствии с законом изменения ε с высотой во внутренней ионосфере траектория приближается к Земле, а во внешней – отклоняется от нее.

Рефракция во внутренней ионосфере может оказаться такой, что волна, падающая на нижнюю границу ионосферы под некоторым углом θ0, возвратится обратно на Землю. Это явление называют отражением от ионосферы. Сразу подчеркнем, что такое “отражение” происходит не от нижней границы ионосферы, а в ее толще за счет искривления траектории волны.

Рассмотрим траекторию распространения волны в неоднородной ионосфере. Для простоты будем считать Землю плоской, а ионосферу – плоско-слоистой, т.е. параметры ионосферы меняются с высотой (координата z на рис. 4.5), а в горизонтальном направлении (ось x) остаются постоянными. Задача двумерная, так что зависимость от третьей координаты отсутствует. Потерями на соударения будем пренебрегать.

128

Разобьем ионосферу на тонкие слои толщиной iz∆ , в пределах каждого из которых относительную диэлектрическую проницаемость будем считать постоянной и равной iε . Пусть плоская волна падает на границу раздела воздух – ионизированный газ под углом 0θ (как показано на рис. 4.5). На основании закона преломления можно записать

110 sinεsinθ ψ= . (4.46) Но угол преломления ψ1, как видно из рисунка, равен углу падения 1θ волны на следующую границу раздела (между первым и вторым слоями). Поэтому предыдущее равенство можно переписать как

110 sinθεsinθ = . Прослеживая дальнейшее продвижение волны, запишем цепочку равенств

nnsinθn...sinθnsinθnsinθ 22110 ==== или iin sinθsinθ0 = , (4.47) где iin ε= - показатель преломления слоя с номером i. Это выражение представляет собой в неявной форме уравнение траектории волны (“уравнение луча”) в неоднородной плоско-слоистой ионосфере. При уменьшении толщины слоев iz∆ , т.е. при плавном изменении ε траектория волны превратится в плавную кривую.

0θ

1θ

2θ

nθnΨ

2Ψ

1Ψ11 ε22 ε

∴

nn ε

x1x∆1=ε

1z∆

z

Рис.4.5. Плоско – слоистая модель ионосферы. Поскольку диэлектрическая проницаемость убывает с высотой, то на

каждый последующий слой волна будет падать под все большим углом, так что на некоторой высоте могут создаться условия для полного внутреннего отражения и направление движения волны изменится на противоположное –

129

волна начнет двигаться вниз, в сторону к Земле и, испытывая дальнейшую рефракцию, покинет пределы ионосферы и вернется на Землю.

Отражение может произойти, во-первых, только в той области ионосферы, где диэлектрическая проницаемость убывает с высотой и, соответственно, электронная плотность возрастает с высотой, т.е. ниже максимума электронной плотности ионосферного слоя, и, во-вторых, на той высоте, где угол падения пθ равен 900 и, следовательно, 1sinθп = . Тогда из уравнения траектории волны (4.47) можно записать условие отражения:

пп0 εsinθ == n , (4.48) которое связывает угол падения волны на нижнюю границу ионосферы с диэлектрической проницаемостью в толще ионосферы на той высоте, где происходит отражение волны.

Возможна и другая ситуация, когда условие отражения не выполняется нигде до максимума электронной концентрации слоя. Тогда волна проходит эту область ионосферы без отражения и переходит в ту ее часть, где электронная концентрация убывает, а диэлектрическая проницаемость возрастает с высотой. Траектория волны изменяет свою кривизну, и теперь, уже не приближаясь к Земле, а отклоняясь от нее, выходит за пределы ионосферного слоя, как это качественно изображено на рис. 4.6 (траектория 6).

Рис.4.6. Лучевые траектории на фиксированной частоте при различных углах падения луча на ионосферу 0θ Используя выражение для диэлектрической проницаемости

ионизированного газа без учета столкновений (4.21), перепишем условие отражения в виде

130

22

20

0 8111sinθfN

ff э−=−= . (4.49)

Следовательно, при определенной электронной плотности волна с данной частотой отразится только в том случае, если угол падения 0θ равен или превышает величину, определяемую (4.49). В частности, полагая в этой формуле 0θ0 = , получим условие отражения волны, направленной вертикально вверх :

эNff 900θ0 === . (4.50) т.е. при нормальном падении волны на слой ионосферы отражение происходит на той высоте, где рабочая частота равна собственной частоте плазмы и, следовательно, диэлектрическая проницаемость обращается в нуль. Понятно, что чем выше частота, тем большая электронная плотность необходима для выполнения условия (4.50) и, следовательно, на большей высоте происходит отражение волны. Максимальная частота, при которой волна еще отражается при вертикальном падении на ионосферный слой, называется критической частотой крf . При этом отражение происходит вблизи максимума ионизации

maxmax0кр 9 эNff == . (4.51) Если рабочая частота выше критической, то при нормальном падении волны на ионосферу отражения не происходит, волна проходит сквозь ионосферу, коэффициент отражения равен нулю. Таким образом, критическая частота ионосферного слоя прямо связана с электронной плотностью в его максимуме ионизации и наряду с последней может служить характеристикой слоя. Критические частоты ионосферных слоев E, F1 и F2, которые обозначаются 21 кркркр Ff,Ff,Ef , измеряются с помощью ионосферных станций. Данные об усредненных значениях критических частот ионосферных слоев приведены выше в табл. 4.1. Рассмотрим теперь случай падения электромагнитной волны на ионосферу под произвольным углом 0θ . Возводя в квадрат левую и правую части уравнения (4.49), после элементарных преобразований перепишем условие отражения в виде:

000

0θ secθ

cosθ0 fff == , или 0θ secθ90 эNf = . (4.52)

Это соотношение, называемое законом секанса, показывает, что при одной и той же плотности ионосферы при наклонном падении может отразиться волна, частота которой в 0secθ раз превышает частоту волны, отражающейся при вертикальном падении волны на слой. Это же соотношение является определяющим при выборе рабочих частот радиолиний в диапазоне декаметровых волн, поскольку на частотах,

131

превышающих (4.52), волна не отражается от данного ионосферного слоя, а уходит в верхнее пространство. Наиболее высокая частота, для которой такой поворот еще возможен, оценивается по формуле

0кр0maxmaxθ secθsecθ90 fNf э == . (4.53)

В практике радиосвязи эта частота называется максимальной применимой частотой (МПЧ). Поскольку концентрация электронов в наиболее существенной области F заметно изменяется от дня к ночи и сезонно, МПЧ днем (при более высокой электронной концентрации) повышается, ночью – снижается. Поэтому существуют так называемые дневные и ночные волны. Это поддиапазоны 10÷ 25 м и 35÷ 100 м соответственно. При фиксированной частоте глубина проникновения луча в ионосферу тем больше, чем меньше угол падения 0θ . Вернемся еще раз к рис. 4.6, на котором изображена серия лучевых траекторий, соответствующих различным углам 0θ при фиксированной частоте f . Величина 0θ убывает в порядке возрастания номера траектории. Интересно отметить, что расстояние между начальной и конечной точками луча (длина радиолинии) сначала уменьшается (траектории 1 и 2) до тех пор, пока оно не достигнет минимума (траектория 3), но при дальнейшем убывании 0θ это расстояние быстро возрастает (траектории 4 и 5), пока, наконец, волна не покинет слой (траектория 6). Существует, таким образом, некоторое минимально возможное расстояние, ближе которого на данной частоте луч упасть не может и, следовательно, сигнал, передаваемый ионосферной волной, не может быть принят. Поэтому вводят понятие зоны молчания (мертвой зоны). Для радиолиний, использующих только ионосферные волны, это круг, в центре которого - передающая антенна, а радиус равен указанному минимальному расстоянию.

На том же рисунке видно, что в любую точку на заданном расстоянии, превышающем радиус зоны молчания, приходят два луча, соответствующие двум различным значениям 0θ и распространяющиеся по двум различным траекториям – верхней или педерсеновской (типа 4 и 5) и нижней (типа 1 и 2).

На практике число отраженных волн, приходящих в одну точку, может оказаться значительно больше двух и доходить до двенадцати - по два (верхний и нижний), отраженных от каждого из трех слоев E, F1 и F2 . При этом, как мы увидим ниже, под влиянием магнитного поля Земли каждая из них может распадаться на две волны – обыкновенную и необыкновенную. Конечно, все волны, попадающие в одну точку, несколько отличаются по углу падения. Однако реально применяемые антенны имеют достаточно большую ширину диаграммы направленности. Поэтому все эти волны (или

132

часть из них) могут существовать одновременно. Эти волны проходят различные пути и приходят с различными фазами, причем разность фаз непрерывно меняется из-за изменения параметров среды (случайные флуктуации, изменения метеорологических условий). В результате интерференции этих волн непрерывно происходит изменение амплитуды принимаемого сигнала. Это явление, характерное для диапазона коротких (декаметровых) волн, называется замираниями.

Необходимо отметить, что из-за сферической формы Земли верхние значения угла падения на ионосферу ограничены некоторым максимальным значением. Для наиболее пологого луча, направленного по касательной к

поверхности Земли, угол падения определяется формулой hR

R+

=0

0max0sinθ ,

где h – высота нижней границы ионосферного слоя. Например, для h=200 км максимальный угол падения o

max0 875θ ,≈ , соответственно, 4secθ max0 ≈ .

Поэтому практически максимальная частота волны, которая еще отражается от ионосферы при наклонном падении, может не более чем в четыре раза превышать критическую частоту. 4.3.2. Уравнение лучей в плоско - слоистой ионосфере Для определения амплитуды, поляризации, относительной фазы, времени распространения и других параметров радиоволны необходимо найти траекторию луча, распространяющегося между передатчиком и приемником. В то же время закон преломления луча в виде (4.48) не дает наглядного представления об ее форме и не позволяет производить расчеты необходимых для проектирования радиолинии параметров. Поэтому найдем уравнение траектории волны (уравнение луча) в явном виде. Обратимся еще раз к рис.4.5. Пусть граница раздела воздух – ионосфера совпадает с плоскостью 0=z , т.е. координату z будем отсчитывать от начала ионосферы. Рассмотрим луч, падающий на ионосферу в точке x0 под углом 0θ . Как видно из рисунка, для первого слоя можно записать

1

11tgθ

zx

∆∆

= . (4.54)

Аналогично для слоя с номером i имеем

i

ii z

x∆∆

=tgθ . (4.55)

Замечание: формулы (4.54), (4.55) записаны для волны, падающей на ионосферу и рас- пространяющейся снизу вверх (восходящая ветвь траектории). После отражения, если оно имеет место, волны, движущейся сверху вниз (нисходящая ветвь траектории), из-за изменения знака z∆ в правых частях этих формул следует поставить знак “минус”.

133

Воспользовавшись уравнением (4.47), запишем

i

0ε

sinθsinθ =i и i

iii ε

θsinεθsin1cosθ 0

22 −

=−= . (4.56)

Подставим полученные выражения в (4.55):

0

20

θsinε

sinθtgθ−

±==∆∆

ii

i

izx , (4.57)

причем верхний знак выбирается на восходящей, а нижний – на нисходящей ветвях траектории луча.

Осуществим теперь предельный переход в (4.57) при стремлении к нулю толщин элементарных слоев разбиения iz∆ . При этом iε перейдет просто в текущее значение )ε(z . Итак, будем иметь:

0

20

θsinε(z)

sinθ

−±=

dzdx . (4.58)

В соответствии с изложенным могут представиться три различных ситуации. 1. Если параметры задачи таковы, что кр0cosθ ff > , то условие отражения в данном слое не выполняется, волна, рефрагируя, проходит сквозь ионосферный слой и уходит во внешнее пространство. Решение уравнения (4.58) в этом случае может быть записано в следующем виде:

∫−

+=z

z

dzxx0 0

200θsin)ε(

sinθ . (4.59)

2. В случае, если кр0cosθ ff < , найдется такая высота, где условие отражения выполняется, волна доходит до “точки поворота”, и по нисходящей ветви движется в сторону Земли. Решение уравнения (4.58) с учетом правила выбора знака должно быть записано так:

∫−

−∫−

+=z

z

z

z

dz

z

dzxxп

п

020

0 0200

θsin)ε(sinθ

θsin)ε(sinθ (4.60)

3. Условие кр0cosθ ff = - само по себе является условием отражения. Это критический случай и здесь не нужно анализировать траекторию волны. Это соотношение можно использовать двояко. Во-первых, если задана рабочая частота f , то можно определить критическое значение угла падения кр0θ , т. е. минимальный угол падения, при котором еще имеет место отражение. Тогда по известной высоте максимума электронной плотности слоя из

134

геометрических соображений можно оценить радиус зоны молчания. Во-вторых, при заданном расстоянии между корреспондентами можно найти (геометрически) требуемый угол падения, после чего легко вычисляется предельная (максимальная) частота, которая может быть использована для обеспечения радиосвязи.

Наиболее интересным и важным с точки зрения обеспечения радиосвязи является второй случай, когда радиоволна отражается от слоя ионосферы. Прежде всего найдем расстояние от точки входа луча в ионосферу x0 до точки его выхода xвых после отражения. Для определения координаты xвых , очевидно, достаточно в верхнем пределе второго интеграла (4.60) положить z=0. Кроме того, целесообразно переставить пределы интегрирования в этом интеграле и, соответственно, изменить знак перед ним. В результате получим:

∫−

=−п

0 0200выхθsin)ε(

sinθ2z

z

dzxx . (4.61)

Наибольший интерес представляет расстояние между точкой расположения передающей антенны и точкой приема отраженного от ионосферы сигнала, измеренное по поверхности Земли L (длина скачка). Для этого к выражению (4.61) достаточно добавить измеренные по Земле длины участков трассы, которые проходит луч при своем прямолинейном движении в однородной атмосфере от точки излучения до входа в ионосферу и от выхода из нее до точки приема на Земле. Эти отрезки равны, ибо угол, под которым луч покидает ионосферу, равен углу падения в силу очевидной симметрии траектории. Обозначив высоту от поверхности Земли до нижней границы ионосферного слоя через H0

, найдем

∫−

+=п

0 02000θsin)ε(

sinθ2tgθ2z

z

dzHL . (4.62)

Ниже будет приведен пример расчета и детального исследования траектории электромагнитной волны в неоднородной ионосфере (параболический слой). 4.3.3. Параболический слой

Рассмотрим более детально параболический слой. Такая аппроксимация имеет большое значение и особенно полезна при описании профиля около максимума электронной концентрации. Будем записывать параболический закон распределения электронной плотности в следующем виде

],)1(1[)( 2

0maxээ −−=

hzNzN

(4.63)

135

где maxэN - максимальное значение электронной плотности (в середине слоя), h0 – полутолщина слоя, z - координата, отсчитываемая (как и выше) от его нижней границы.

Зависимость диэлектрической проницаемости найдем по (4.21)

],)1(1[1)()ε( 2

02

22 −−−==

hz

f

fznz кр

(4.64)

здесь эmax2

кр 81Nf = – критическая частота ионосферного слоя (4.51). Очевидно, что диэлектрическая проницаемость равна единице в начале

(z =0) и в конце (z =2h0 ) слоя и принимает минимальное (зависящее от рабочей частоты) значение в его середине. Ниже для большей наглядности будет рассмотрен конкретный численный пример.

Пусть на этот слой под произвольным углом θ0 падает плоская волна. Траектория луча может быть определена по формулам (4.59) и (4.60). Рассмотрим луч на восходящей ветви (после точки поворота, если таковая имеется, траектория будет симметричной). Для рассматриваемого параболического слоя из (4.59) найдем:

∫

−−−−

+=∫θ−

+=zz

.

hz

f

f

dzxz

dzxx0

022

02

2кр

000 0

200

θsin])1(1[1

sinθsin)ε(

sinθ .

Входящий в это выражение интеграл после элементарных преобразований сводится к табличному и его решение записывается как “длинный логарифм”. В результате будем иметь:

−

+−−−

+=0

кр

20

2

00

22кр

2

00

кр0

0

0 cosθ1

2θcos1

lnsinθ

f

fhz

hz

ff

hz

ff

hx

hx . (4.65)

Введем обозначения

;;;00

00

0 hzz

hxx

hxx === (4.66)

и перепишем (4.65) в безразмерных (нормированных) координатах

136

−

+−θ−−

+=0

кр

20

22кр

2

0кр

0cosθ1

2cos1

lnsinθ

ff

zzffz

ffxx . (4.67)

Эта формула позволяет провести полное исследование траектории луча на его восходящей ветви. Удобнее перейти к обратной зависимости вида

)(xzz = . После несложных преобразований найдем

.xxf

fffxx

ff

ffz )

sinθ)exp(1cosθ(

21)

sinθ)exp(1cosθ(

211

0

0кр0

кр0

0кр0

кр

−−+−

−−+=

(4.68) Это выражение является однозначной функцией и может быть

использовано на всем протяжении траектории. Найдем прежде всего координаты точки поворота. Напомним, что точка поворота существует, когда крff <0cosθ . Используя (4.64), перепишем условие отражения (4.48) в виде

])1(1[1θsin 2п2

2кр

02 −−−= z

f

f.

При решении этого квадратного уравнения выбираем то значение корня, при котором ,z 1п < ибо отражение может произойти только в области ниже максимума электронной концентрации. В результате имеем

02

2кр

2п θcos11

ffz −−= . (4.69)

Подстановка этого выражения в (4.67) определяет вторую координату точки поворота

−

+

+=

0кр

0кр

0кр

0пcosθ1

cosθ1

lnsinθ

ff

ff

ffxx . (4.70)

Расстояние от точки входа луча в ионосферу 0x до точки выхода из нее выхx в силу симметрии траектории будет равно просто удвоенному расстоянию между координатами точки входа и точки поворота

)(2 0пов0вых xxxx −=− . (4.71)

137

Теперь нетрудно найти расстояние от точки излучения до точки падения луча на поверхность Земли, измеренное вдоль ее поверхности (“длину скачка”). Если нижняя граница слоя находится на высоте H0, то к (4.71) достаточно добавить измеренный вдоль Земли путь, проходимый лучом от точки излучения до точки входа в ионосферу при прямолинейном распространении в однородной среде 000 tgθHx = и такой же путь, пройденный лучом от точки выхода до поверхности Земли. В результате с учетом (4.71) длина скачка оказывается равной

)]cosθ1ln()cosθ1[ln(sinθtgθ2 0кр

0кр

0кр

00 ff

ff

ffHL −−++= . (4.72)

Здесь, как и выше, черта над символом означает нормировку по h0. Проиллюстрируем результаты проведенного анализа на конкретном

примере. Пример Пусть нижняя граница слоя ионосферы с параболическим законом

изменения электронной плотности расположена на высоте H0 = 300 км, полутолщина слоя h0 = 100 км. Максимальное значение электронной плотности в середине слоя Nэmax = 106 см-3 , так что критическая частота по (4.51) в нашем случае fкр= 9 МГц. На этот слой падает плоская электромагнитная волна с частотой f = 20 МГц. Построим серию лучевых траекторий для различных углов падения, проанализируем закономерности их угловой зависимости и оценим величину радиуса зоны молчания и ее зависимость от частоты.

Прежде всего для наглядности с помощью формул (4.63) и (4.64) построим графики зависимости электронной плотности (рис.4.7а) и диэлектрической проницаемости (рис.4.7б) от высоты.

а) б) Рис.4.7. Параметры слоя ионизированного газа. а) распределение электронной плотности по высоте, б) зависимость диэлектрической проницаемости от высоты

Z (км)

ε Nэ (см-3)

Z (км)

138

Напомним, что в последнюю формулу нужно подставлять электронную плотность в м-3 и частоту в Гц, или электронную плотность в см-3 и частоту в кГц.

На этих рисунках координата z отсчитывается от начала слоя. Диэлектрическая проницаемость в ионизированном газе меньше единицы, минимальна в середине слоя (в максимуме электронной концентрации), ее значение зависит от частоты и может принимать нулевое и отрицательные значения.

Для построения траектории лучей воспользуемся формулой (4.68). Подчеркнем, что представление (4.68) справедливо только в области внутри ионосферы, вне слоя (от поверхности Земли до его нижней границы и выше слоя для прошедшей волны) волна распространяется по прямолинейным траекториям. На рис. 4.8а изображены траектории лучей для нескольких значений углов падения от 80о до 60о. Жирными горизонтальными линиями отмечены уровни начала слоя и его середины (максимум электронной плотности), так что отражение может произойти только в этих пределах. Видно, что с уменьшением угла падения от 80о до 65о (кривые 1,2,3,4) на рисунке наземная дальность уменьшается (это “нижние” лучи). Луч, направленный под углом 60о , не отражается и выходит за пределы ионосферы. Это понятно, ибо критический угол, до которого только и возможно отражение, определяемый из условия кркр0cosθ ff = , в нашем случае равен приблизительно 63,3о. Таким образом, целесообразно более детально рассмотреть область углов падения в диапазоне от 65о до 60о, что и сделано на рис. 4.8б. Легко заметить, что в этой весьма узкой области углов падения при уменьшении угла падения наземная дальность быстро увеличивается (“верхние” лучи 2 и 3) вплоть до прекращения отражения (луч 4, для которого угол падения, равный 62,5о, меньше критического), когда условно можно считать наземную дальность равной бесконечности.

Из рассмотрения этих рисунков видно, что минимальное расстояние, на котором в нашем случае еще может быть принят сигнал, составляет приблизительно 2000 км. Это и есть радиус “зоны молчания”. А для корреспондентов, расположенных на таком расстоянии, наша частота 20 МГц является максимальной применимой частотой (МПЧ).

Для наглядности на рис.4.9 приведена рассчитанная по формуле (4.72) зависимость наземной дальности L от угла падения. Видно, что для частоты 20 МГц минимальная дальность (радиус зоны молчания) действительно около 2000 км. Там же приведены аналогичные расчеты для других частот. Из этих расчетов очевиден вполне понятный факт, что с уменьшением рабочей частоты радиус зоны молчания уменьшается и для частот, меньших критической, зона молчания отсутствует.

139

а) 1 - °= 80θ0 , 2 - °= 75θ0 , 3 - °= 70θ0 , 4 - °= 65θ0 , 5 - °= 60θ0 . С уменьшением угла падения наземная дальность уменьшается (нижние лучи). б) 1 - °= 650θ , 2 - °= 640θ , 3 - °= 5.630θ , 4 - °= 5.620θ , 5 - °= 600θ . С уменьшением угла падения наземная дальность увеличивается (верхние лучи). Рис.4.8. Лучевые траектории на фиксированной частоте при различных углах падения

1 2

3 4

5

°= 80θ0

°= 60θ0

L (км)

h (км)

1

2

3

4 5

°= 600θ °= 650θ

L (км)

h (км)

140

Вообще, нужно заметить, что, во – первых, зонаы молчания – не круг, а кольцо, потому что на небольших расстояниях сигнал может быть принят не как отраженный от ионосферы (ионосферная волна), а как прямой (земная волна). И, во – вторых, в самой зоне молчания могут быть обнаружены слабые поля, вызванные рассеянием на неоднородностях ионосферы (в частности, в настоящее время действуют линии связи, использующие, например, отражение радиоволн от ионизированных метеорных следов).

Рис.4.9. Зависимость наземной дальности от угла падения для различных частот Контрольные вопросы к п. 4.3

1.Что такое рефракция радиоволн? Если волна отражаетcя от ионосферы, где происходит отражение – на нижней границе слоя, в максимуме электронной концентрации, ниже или выше него? 2.Запишите условие отражения волны в ионосфере. Каковы возможные виды траектории волны в слое ионосферы и когда они реализуются? 3.Что такое зона молчания, какова ее конфигурация и как оценить ее размеры? Пример Высота максимума электронной концентрации ионосферы равна H = 400 км, а величина максимума электронной концентрации составляет Nэmax= 106 эл/см3. Оценить внешний радиус зоны молчания для рабочих частот f1 =20 МГц, f2 = 15 МГц, и f3 = 12 МГц.

F=12 МГц

F=15 МГц

F=20 МГц

θ0о

L (км)

141

Решение Критическая частота слоя МГцNf экр 99

max== . Минимальный (или

критический) угол падения, при котором еще возможно отражение, определим из соотношения (4.53) ( )f/fкркр0 arccosθ = . Для заданных рабочих частот эти углы будут соответственно равны 63,260, 53,130 и 41,40. Предполагая, что волны распространяются по прямолинейным траекториям, а отражение происходит вблизи максимума электронной концентрации на высоте H, из геометрических соображений найдем радиус зоны молчания кр0м.з tgθ2HR . = . Для указанных частот эти цифры соответственно составят 1590 км, 1066 км и 705 км. Замечание Понятно, что эти и им подобные расчеты являются очень приближенными и могут быть использованы только для грубых оценок. Действительно, мы не учитываем структуру ионосферного слоя и рефракцию волн. Сравним эти результаты с точными расчетами для параболического слоя с теми же параметрами (рис.4.9). Видно, что минимальные значения длины скачка достигаются при углах падения 66,20, 56,90 и 44,10, а радиусы зоны молчания соответственно равны 1950 км, 1350 км и 940 км.

Обратимся еще раз к рис.4.8а (рассмотрим, например, траектории 3 и 4). Легко заметить, что, во-первых, движение радиоволны по криволинейной траектории можно рассматривать как прямолинейное движение по эквивалентному треугольнику, вершина которого (высота отражения) находится выше, чем реальная высота отражения. Это так называемая “действующая” высота отражения. Более того, можно, во-вторых, показать, что время, затрачиваемое радиоволной на прохождение криволинейного пути в ионосфере, равно времени, которое затратила бы волна, распространяющаяся со скоростью света в свободном пространстве по эквивалентному треугольному пути. Эти два положения составляют содержание так называемых “теорем эквивалентности” [8]. Задача 1 При каких углах падения на нижнюю границу ионосферу θ1=300, θ2=450 , θ1=600 произойдет отражение от ионосферы радиоволны с частотой f=10 МГц, если величина максимума электронной концентрации составляет 4,9 ∙105 эл/см3

Задача 2 Определить протяженность зоны молчания для радиоволн частоты 12 МГц, если высота максимума электронной концентрации равна 250 км, а величина максимума электронной концентрации составляет 3,6 ∙105 эл/см3

142

Задача 3 Отразятся ли от ионосферы радиоволны с частотами f1= 6 МГц,

f2=12 МГц, f3=18 МГц, если угол падения на нижнюю границу ионосферы равен 60о, а величина максимума электронной концентрации составляет 4,9∙105 эл/см3? 4.4 Влияние магнитного поля Земли на распространение волн в ионосфере 4.4.1 Влияние постоянного магнитного поля на электрические параметры ионизированного газа

Выше мы рассматривали распространение радиоволн в ионосфере без учета влияния магнитного поля Земли. Однако реально ионизированный газ ионосферы находится в постоянном магнитном поле Земли 0H

r,

напряженность которого в среднем составляет величину, приблизительно равную 40 А/м. Выясним теперь, к каким новым физическим эффектам приводит это влияние. Можно считать, что указанная величина всегда значительно превосходит величину напряженности магнитного поля H распространяющейся в ионосфере электромагнитной волны. Рассмотрим сначала происходящие явления на физическом уровне. Если в постоянном магнитном поле имеется свободный заряд (электрон), движущийся со скоростью V

r, то на него со

стороны магнитного поля действует сила Лоренца ]HV[F 00

rrrµ= eH , (4.73)

которая направлена перпендикулярно векторам Vr

и 0Hr

. Если электрон движется вдоль силовых линий магнитного поля, то сила Лоренца равна нулю, и электрон не “замечает” подмагничивающего поля. Но если скорость электрона перпендикулярна направлению силовых линий магнитного поля, то сила HF

r имеет максимальную величину и направлена по нормали как к

направлению движения электрона, так и к направлению магнитного поля. Такая сила не производит работы, она не изменяет абсолютного значения скорости, но изменяет ее направление. Поэтому электрон начинает двигаться по окружности, плоскость которой перпендикулярна 0H

r. Радиус этой

окружности R легко определяется из второго закона Ньютона, который в

нашем случае имеет вид 00

2

VHeR

mVµ= , откуда

00He

mVRµ

= . (4.74)

143

Отсюда найдем период обращения электрона 00μ

2π2Hem

VRTH

π== и частоту

его вращения (частоту гиромагнитного резонанса или гирочастоту):

mHe

Tf

HH π

==2μ1 00 и

mHe

H00μω = . (4.75)

Как видно из последнего выражения, гиромагнитная частота зависит от напряженности магнитного поля Земли и не зависит от скорости движения электрона. Кстати заметим, что под воздействием магнитного поля Земли электрон вращается по часовой стрелке, если смотреть в направлении магнитных силовых линий. В средних широтах ( 400 ≈H А/м) гиромагнитная частота равна 1,4 МГц (длина волны 214 м), т. е. находится в диапазоне гектометровых волн.

В общем случае, когда направление движения электрона составляет произвольный угол относительно магнитных силовых линий, сила Лоренца (4.73) искривляет первоначально прямолинейную траекторию движения электрона, превращая ее в винтовую линию, как это показано на рис. 4.10. Важно подчеркнуть, что теперь при распространении электромагнитной волны электрон не совершает прямолинейное колебательное движение в направлении вектора E

r, как это было бы в отсутствие магнитного поля

Земли, а, сохраняя элементы вращательного движения, двигается по более сложной - спиральной траектории. Поскольку сила Лоренца (4.73) зависит от угла между вектором 0H

r и вектором E

r распространяющейся волны, а,

следовательно, и направлением ее распространения, то волны, движущиеся в различных направлениях, наводят различные токи. Это означает, что диэлектрическая проницаемость и проводимость ионосферы оказываются зависящими от направления распространения. Такие среды называются анизотропными.

Рис.4.10. Движение электрона в магнитном поле: а – спиральное движение, б – силы, действующие на электрон.

0Hr

0Hr

Vr

RmV 2

0HVe

rµ

144

Диэлектрическая проницаемость анизотропной среды не является скалярной величиной. Поэтому для описания электрических параметров ионизированного газа используется более сложный объект - тензор. 4.4.2. Тензор диэлектрической проницаемости ионосферы

Формально случай наличия магнитного поля 0Hr

отличается от рассмотренного в п. 4.2.1 случая отсутствия магнитного поля только тем, что в уравнение движения электрона должно быть добавлено слагаемое, учитывающее силу Лоренца (4.73). Пренебрегая для упрощения анализа столкновениями электронов с тяжелыми частицами (полагая 0=ν ), вместо (4.1) будем иметь

]HV[μEV00

rrrr

eedtdm += . (4.76)

Введем прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось z совпадала с направлением вектора напряженности 0H

r магнитного поля

Земли, так что 000 zH Hrr

= . (4.77) Нас будет интересовать скорость V

r, чтобы, как это делалось ранее,

вычислить плотность электрического тока VeNj э

э rr= . (4.78)

Векторное произведение в (4.76) имеет две составляющих 00000 ][ HVyHVxHV xy

rrrr−=

(здесь и ниже 000 ,, zyx rrr - единичные векторы вдоль соответствующих осей координат). Учитывая, кроме того, гармоническую зависимость поля электромагнитной волны от времени, перепишем (4.76) в виде следующей системы уравнений:

xyx eEVHeVmi =− 00μω ; yxy eEVHeVmi =+ 00μω ; (4.79)

zz eEVmi =ω . Рассмотрим вначале эту систему как однородную, т. е. найдем решение уравнения движения электрона в постоянном магнитном поле без “вынуждающей силы”, при отсутствии электромагнитной волны ( 0=== zyx EEE ) . В этом случае будем иметь

000 =− yx VHeVmi µω ; 000 =+ yx VmiVHe ωµ ; (4.80)

0=zVmiω .

145

Из третьего уравнения следует 0=zV , что естественно, ибо в продольном по отношению к магнитному полю направлении сила Лоренца отсутствует. Условие существования решения в поперечной плоскости есть условие равенства нулю определителя системы из первых двух уравнений:

0)μ(ω)( 200

2 =+ Hemi . Это условие выполняется на частоте

m

HeH

00μ=ω=ω . (4.81)

Точно такое же выражение мы получили ранее (см. (4.75)) из элементарных физических соображений и эту частоту назвали гиромагнитной частотой. Подставляя это значение частоты в любое из первых двух уравнений (4.79), найдем, что поперечные составляющие скорости связаны соотношением

xy iVV = , (4.82) из которого следует, что свободное движение электрона в постоянном магнитном поле есть вращение с постоянной скоростью вокруг магнитных силовых линий, поскольку компоненты его скорости (4.82) находятся в пространственно – временной квадратуре ( xV и yV ортогональны и сдвинуты по времени на π/2). Таким образом, строгий анализ подтвердил справедливость всех выводов, сделанных выше на основе физических соображений. Дадим теперь более четкое определение: гиромагнитная частота – это собственная частота вращения электрона вокруг силовых линий магнитного поля Земли в отсутствие других полей.

Вернемся теперь к системе уравнений (4.79) и рассмотрим поведение электрона в случае, когда в подмагниченной ионосфере распространяется электромагнитная волна. Третье уравнение системы является независимым и его решение будет использовано ниже. Систему первых двух уравнений можно переписать в следующем виде

xyHx EmeVVi =+ ωω ; yxHy E

meVVi =− ωω . (4.83)

(Здесь принято, что с учетом отрицательного знака заряда электрона

гиромагнитная частота (4.81) mHe

mHe

H0000 µµ

ω −== ).

Решение этой системы находится элементарно:

yH

Hx

Hx E

meE

meiV

)ω(ω)ω(ω 2222 −

ω+

−

ω−= ;

146

yH

xH

Hy E

meiE

meV

)ω(ωω

)ω(ωω

2222 −−

−−= .

Добавляя сюда еще решение третьего уравнения (4.79)

zz Eim

eVω

= ,

найдем по (4.78) составляющие вектора плотности электрического тока эjr

, связанного с движением электронов:

yH

эHx

H

эxэ

эx E

mNeE

mNeiVeNj

)ω(ωω

)ω(ωω

22

2

22

2

−+

−−== ;

yH

эx

H

эHyэ

эy E

meNiE

mNeVeNj

)ω(ωω

)ω(ωω

2222

2

−−

−−== ; (4.84)

zэ

zээz E

miNeVeNjω

2== .

С учетом этих выражений уравнение Максвелла э

0 jEωεHrotrrr

+= i (4.85) можно расписать по координатам в таком виде

yH

эHx

H

эxx E

mNeE

mNeiEi

)ω(ωω

)ω(ωωωεHrot 22

2

22

20

−+

−−=

r;

yH

эx

H

эHyy E

meNiE

mNeEi

)ω(ωω

)ω(ωωωεHrot 2222

20

−−

−−=

r ; (4.86)

zэ

zz EmNieEiω

ωεHrot2

0 −=r

.

По аналогии с тем, как это делалось в случае отсутствия магнитного поля, можно ввести относительную диэлектрическую проницаемость ионосферы и в данной ситуации, переписав уравнение Максвелла (4.85) в виде

EεωεHrot 0rrˆi= . (4.87)

Однако теперь ионосфера представляет собой анизотропную среду, она характеризуется тензором относительной диэлектрической проницаемости ε , который (это следует из сравнения (4.87) с (4.86)) может быть записан в виде матрицы размерности 3∙3

zz

yyyx

xyxxˆ

ε000εε0εε

ε = . (4.88)

147

Отличные от нуля компоненты тензора удобно записать в виде

2

20ωω1ε;εε;εε −=−=−=== zzyxxyyyxx iab , (4.89)

где для сокращения дальнейших выкладок введены обозначения

2H

2

20ωω

ω1−

−=b ; )ωω(ω

ωω2H

2H

20

−=a . (4.90)

Отметим, что в направлении магнитного поля (ось z), где сила Лоренца отсутствует, компонента тензора диэлектрической проницаемости εzz совпадает с диэлектрической проницаемостью ионосферы без магнитного поля. Заметим также, что диэлектрическая проницаемость является комплексным тензором даже в отсутствие поглощения ( 0ν = ). 4.4.3.Распространение электромагнитных волн в ионосфере при наличии магнитного поля Земли

До сих пор для упрощения мы рассматривали распространение

радиоволн в ионосфере, пренебрегая влиянием магнитного поля Земли. Теперь нам предстоит выяснить, к каким новым эффектам приводит это влияние.

С учетом найденного выше тензора диэлектрической проницаемости система уравнений Максвелла может быть записана в виде

EεωεHrot 0rrˆi= ; HωμErot 0

rri−= . (4.91)

В прямоугольной системе координат вместо (4.91) будем иметь шесть скалярных уравнений:

yxyz EiaibEi

zH

yH )(ωεωε 00 −+=

∂

∂−

∂∂ ;

yxzx bEiEiai

xH

zH

00 ωε)(ωε +=∂

∂−

∂∂ ;

zzzxy Ei

yH

xH

εωε0=∂

∂−

∂

∂; (4.92)

xyz Hi

zE

yE

0ωμ−=∂

∂−

∂∂ ;

yzx Hi

xE

zE

0ωμ−=∂

∂−

∂∂ ;

148

zxy Hi

yE

xE

0ωμ−=∂

∂−

∂

∂.

Будем искать решение уравнений Максвелла в виде плоских волн, распространяющихся в однородной подмагниченной ионосфере. Решение этой задачи в общем случае произвольного направления распространения весьма громоздко и рассматривается в специальной литературе. Мы ограничимся рассмотрением двух частных случаев - продольного и поперечного по отношению к направлению магнитного поля распространения радиоволн. Это, во-первых, позволит нам выяснить все основные особенности распространения ионосферных волн и, во-вторых, эти два случая часто реализуются в практике радиосвязи.

Продольное распространение. Пусть плоская электромагнитная волна распространяется в направлении

постоянного магнитного поля (вдоль оси z). Так как напряженность поля вдоль поперечных координат (x,y) не изменяется, то, полагая в (4.92)

0=∂∂

=∂∂

yx, будем иметь

yxy EiaibEi

zH

)(ωεωε 00 −+=∂

∂− ; (4.93)

yxx bEiEiai

zH

00 ωε)(ωε +=∂

∂ ;

0=zE ;

xy Hi

zE

0ωμ=∂

∂;

yx Hi

zE

0ωμ−=∂

∂ ;

0=zH . Из третьего и шестого уравнений следует, что векторы электрического

и магнитного полей продольных составляющих не имеют, т. е. искомая волна является поперечной, как и в изотропной среде. Будем искать решение системы (4.93) в виде

zimeEE γ−=

rr; zi

meHH γ−=rr

. (4.94)

Такая векторная запись означает, что ;; γγ zi

ymyzi

xmx eEEeEE −− == ziymy

zixmx eHHeHH γγ ; −− == .

(4.95) Наша задача – найти постоянную распространения γ и исследовать

структуру и свойства этой волны. Сложность заключается в том, что среда

149

анизотропная, диэлектрическая проницаемость характеризуется тензором и постоянная распространения не может быть выражена так просто, как это было в случае изотропной среды.

Использование выражений (4.95) приводит (4.93) к виду: ymxmym EabEiHi 00 ωωγ ε+ε= ;

ymxmxm bEiEaHi 00 ωεωεγ +−=− ; (4.96) xmym HiEi 0ωμγ −= ; ymxm HE 0ωµ=γ .

Подставляя ymH из четвертого уравнения в первое, а xmH - из третьего во второе, после элементарных преобразований получим систему двух уравнений

0)ωεωμγ(ω 0

0

20 =−+ε ymxm EbiiEa ; (4.97)

0ωε)ωεωμγ( 00

0

2=−− ymxm EaEbii .

Это однородная система алгебраических уравнений относительно xmE и ymE . Приравнивая нулю ее определитель, найдем два значения для постоянной распространения:

)()(μεωγ 2000

2221 abkab, ±=±=

или abk += 01γ , abk −= 02γ . (4.98)

Используя далее любое из уравнений (4.97), найдем соотношения между комплексными амплитудами полей

11 xmym iEE = ; 22 xmym iEE −= (4.99)

и по (4.95) перейдем к их мгновенным значениям )γsin(ω);γcos(ω 111111 ztEEztEE mymx −−=−= ; (4.100) )γsin(ω);γcos(ω 222222 ztEEztEE mymx −=−= . (4.101)

Выражения (4.100) с индексом 1, соответствующим знаку «плюс» в (4.98), описывают волну с круговой поляризацией левого вращения (против часовой стрелки, если смотреть вдоль направления распространения), а аналогичные соотношения (4.101) – волну с круговой поляризацией правого вращения (по часовой стрелке).

Таким образом, в ионосфере в направлении магнитного поля могут распространяться две волны с круговой поляризацией и противоположным направлением вращения векторов поля. При этом их фазовые скорости

150

различны и для волн левого и правого направлений вращения соответственно равны:

111ф γω

nc

abсV =+

== ; 22

ф2 γω

nc

abсV =−

== ;

(4.102) где

abn +=1 и abn −=2 (4.103) - эффективные показатели преломления для волн левой и соответственно правой круговой поляризаций. Поэтому каждая из этих волн распространяется в ионосфере как в изотропной среде с эффективной относительной диэлектрической проницаемостью

abn ,, ±== 22121ε (4.104)

Особый интерес представляет случай, когда две такие волны распространяются одновременно. Вычислим суммарное поле по (4.100) и (4.101), полагая, что их амплитуды равны.

=−+−=+= )]γcos(ω)γ[cos(ω 2121 ztztEEEE mxxx

)2γγ)cos(ω

2γγcos(2 2121 ztzEm

+−

−= ;

(4.105) =−+−−=+= )]γsin(ω)γsin(ω[ 2121 ztztEEEE myyy

)2γγ)cos(ω

2γγsin(2 2121 ztzEm

+−

−= .

Отсюда видно, что компоненты xE и yE изменяются синфазно, и, следовательно, суммарное поле имеет линейную поляризацию. Однако направление электрического вектора зависит от координаты z и угол его поворота φ относительно, например, плоскости xz легко вычисляется. Очевидно, что

−

==ϕ zEE

x

y2γγtgtg 21 ,

откуда

znnkz22

γγ 210

21 −=

−=ϕ . (4.106)

Подставляя сюда 2π=ϕ , можно определить путь, по прохождении которого плоскость поляризации поворачивается на 3600

21

02

λ2nn

z−

=π , (4.107)

где λ0 – длина волны в свободном пространстве.

151

Подставляя в (4.103), (4.104) значения компонент тензора диэлектрической проницаемости (4.89), найдем явные выражения для эффективных параметров

ωω

±−==ε

H,, n

1

1)ωω(1 202

2121 . (4.108)

Таким образом, при продольном распространении электромагнитной волны в ионосфере происходит поворот плоскости поляризации. Этот эффект известен как эффект Фарадея. Среды, в которых этот эффект проявляется, носят название гиротропных (вращающих) сред, так что ионосфера – гиротропная среда.

Плоскую линейно поляризованную волну можно представить как суперпозицию двух волн круговой поляризации с противоположными направлениями вращения. Распространяясь в ионосфере в присутствии постоянного магнитного поля, эти две волны испытывают различное поглощение, что приводит к появлению эллиптической поляризации результирующего поля. По ходу движения волны из-за эффекта Фарадея происходит поворот большой оси эллипса поляризации и его расширение за счет более интенсивного поглощения одной из составляющих волн. В пределе эллиптическая поляризация может перейти в круговую.

Поперечное распространение. Пусть, как и раньше, магнитное поле Земли направлено вдоль оси z , а

плоская электромагнитная волна теперь распространяется вдоль оси x (поперечное распространение). Запишем для нее, подобно (4.94),

ximeEE γ−=

rr; xi

meHH γ−=rr

. (4.109)

Полагая в (4.92) 0=∂∂

=∂∂

zy и используя представление (4.109), получим

систему уравнений Максвелла в следующем виде : ymxm aEbEi 00 ωεωε0 += ; ymxmzm bEiaEHi 00 ωεωε +−=γ ;

zmzzym EiHi εωεγ 0=− ; (4.110) xmH=0 ; ymzm HiEi 0ωμγ −= ; zmym HiEi 0ωμγ −=− . Нетрудно заметить, что составляющие ymH и zmE входят только в

третье и пятое уравнения, а составляющие ymxm E,E и zmH - в первое, второе и шестое уравнения, так что система (4.110) распадается на две

152

независимые системы уравнений. Будем рассматривать их по отдельности. Первая из этих систем имеет вид

zmzzym EiHi εωεγ 0=− ; ymzm HiEi 0ωμγ −= (4.111)

и из условия ее совместности определяется постоянная распространения, которую мы обозначим γоб

zzzz k εεεμωγ 000об == (4.112) Векторы поля имеют только поперечные (по отношению к

направлению распространения x) компоненты, которые по (4.109) записываются в виде

xizmz eEE обγ−= ; xi

ymy eHH обγ−= . (4.113) Фазовая скорость и волновое сопротивление соответственно равны:

zz

cVεγ

ω

обоб == ; (4.114)

zzyz

HEZ

εεμ

0

0об =

−= . (4.115)

Таким образом, волна, описываемая уравнениями (4.111), ничем не отличается от обычной плоской волны в изотропной среде с параметрами µ0 , ε0εzz . Поэтому она называется обыкновенной волной.

Существенно отличается от нее волна, описываемая второй из упомянутых выше систем уравнений:

ymxm aEbEi 00 ωεωε0 += ;

ymxmzm bEiaEHi 00 ωεωεγ +−= ; (4.116)

zmym HiEi 0ωμγ −=− . Прежде всего, в отличие от обыкновенной, эта волна имеет продольную

составляющую электрического поля Ex, которая, как следует из первого уравнения (4.116), сдвинута по фазе на π/2 по отношению к поперечной составляющей Ey . Следовательно, вектор напряженности электрического поля вращается в плоскости xy, и конец его описывает в этой плоскости эллипс. Такая волна называется необыкновенной, и она оказывается эллиптически поляризованной в плоскости падения.

Подставляя во второе уравнение (4.116) выражения для mxE и mzH , полученные из первого и третьего уравнений, определяем постоянную распространения и фазовую скорость необыкновенной волны:

babk

20необγ −= ; (4.117)

153

bab

cV2необ

необ γω

−

== . (4.118)

Вспоминая явные выражения для компонент тензора диэлектрической проницаемости (4.89), найдем с помощью (4.114) и (4.117) показатели преломления обыкновенной и необыкновенной волн:

2

20

обоб

ωω1ε −=== zzV

cn ; (4.119)

20

2

2H

22

20

2

необнеоб

ωωωωω

ω1

−−

−=−==b

abV

cn . (4.120)

Таким образом, если на ионосферный слой падает плоская линейно поляризованная волна в направлении, перпендикулярном магнитному полю, то преломленное (прошедшее в ионосферу) поле является суперпозицией полей обыкновенной и необыкновенной волн. Явление раздвоения преломленных волн называют двойным лучепреломлением.

Квазипродольное и квазипоперечное распространение. Мы рассмотрели два частных случая – продольного и поперечного относительно направления магнитного поля Земли распространения электромагнитных волн. В общем случае вектор 0H

r составляет угол γ с направлением распространения волны,

и анализ такой ситуации оказывается весьма громоздким. Однако практические расчеты в подавляющем большинстве случаев можно производить в приближении квазипродольного (QL) или квазипоперечного (QT) распространений.

Вектор 0Hr

можно разложить на две составляющих – продольную и поперечную по отношению к направлению движения волны:

cosγ0прод HH = ; sinγ0поп HH = . (4.121) Тогда в квазипродольном случае, т. е. когда направление

распространения близко к продольному относительно земного магнитного поля (примерно север – юг при пологом распространении) можно пользоваться формулами чисто продольного распространения, заменив в них ωΗ на ωпрод =ωΗ cosγ. Аналогично в квазипоперечном случае (примерно восток – запад при пологом распространении) справедливы формулы чисто поперечного распространения с заменой в них ωΗ на ωпоп = ωΗsinγ.

Большое практическое значение приближений QL и QT определяются тем, что реально они имеют гораздо более широкую область применения. Так, при распространении декаметровых и более коротких волн, когда

154

ω<<ω0 , условие применимости QL выполняется в широком диапазоне углов γ в слоях, от которых волны не отражаются. Например, для метровых и более коротких волн во всех слоях ионосферы условие QL справедливо, если γ ≤ 89о , т. е. распространение практически в любых направлениях является квазипродольным. На декаметровых волнах условие QL выполняется в слоях D и E, которые они проходят без отражения, если угол γ<70о÷75о .

В области отражения обыкновенной волны обычно выполняется условие QT, так как в этой области ω ≈ ω0. В результате при расчете радиолиний декаметровых волн обычно полагают, что в нижних слоях имеет место квазипродольное распространение, а в отражающем слое – квазипоперечное . Кроме того, как можно видеть из полученных выше формул, при условии ω >> ωΗ, влиянием магнитного поля можно пренебречь.

Замечание: Строго говоря, условие ω >> ωΗ является недостаточным для пренебрежения влиянием магнитного поля Земли. В современных высокоточных радиотехнических системах приходится учитывать влияние магнитного поля Земли на распространение радиосигналов даже при выполнении этого условия, если интегральное изменение структуры поля радиосигналов под действием магнитного поля Земли способно сказаться на функционировании систем. Пример такого рода рассмотрен в главе 5.

Контрольные вопросы к п.4.4

1.Какие среды называются анизотропными? Каковы физические причины анизотропии ионосферы при наличии постоянного магнитного поля Земли? 2.Какие явления наблюдаются при распространении радиоволн в направлении, совпадающем с направлением силовых линий постоянного магнитного поля Земли, и в направлении, перпендикулярном к силовым линиям этого поля? 3.”Необыкновенная” волна имеет продольную составляющую электрического поля и эллиптически поляризована в плоскости распространения. Вспомните, где еще Вы встречались с волнами, обладающими такими свойствами? 4.Поясните, как выглядит изображение необыкновенной волны на высотно-частотной характеристике? 5.Что такое квазипродольное и квазипоперечное распространение? В каких случаях можно на практике использовать эти приближения?

155

4.5. Распространение декаметровых волн 4.5.1. Особенности распространения радиоволн декаметрового диапазона

К диапазону декаметровых волн относятся радиоволны с длиной волны

от 100 до 10 м (частота от 3 до 30 МГц). Именно в этом диапазоне наиболее существенным образом сказывается влияние ионосферы. Действительно, земная волна в этом диапазоне очень быстро затухает (что связано с большими потерями в полупроводящей земной поверхности и в процессе дифракции волн вдоль Земли). При обычно используемых мощностях передатчиков протяженность радиолинии на земной волне не превышает нескольких десятков километров. В то же время ионосферные декаметровые волны могут распространяться на многие тысячи километров путем многократных последовательных отражений от ионосферы и от земной поверхности (так называемое скачковое распространение). Это их свойство широко используется для построения систем дальней радиосвязи.

Имеется, однако, ряд неблагоприятных особенностей, которые снижают эффективность использования этого диапазона. Это прежде всего многолучевость, которая является причиной глубоких замираний уровня сигнала, ограниченность неискаженной полосы передачи и скорости передачи информации, подверженность влиянию ионосферных возмущений и др. Остановимся кратко на некоторых из этих особенностей.

Для того, чтобы электромагнитное поле было принято в точке приема, должно выполняться условие его отражения от ионосферы и должна быть обеспечена требуемая устойчивость работы радиолинии. И здесь мы сталкиваемся с одной из основных особенностей радиолиний декаметрового диапазона – ограничение рабочих частот. Для отражения электромагнитной волны необходимо, чтобы рабочая частота не превышала значения, определяемого по (4.53). Из этого условия выбирается максимальная применимая частота (МПЧ), которая и определяет верхнюю границу рабочих частот для данного расстояния. МПЧ зависит от длины трассы, высоты отражения и критической частоты слоя. Рабочие частоты следует выбирать ниже МПЧ, так как точные значения МПЧ на момент проведения радиосвязи заранее неизвестны.

Поскольку (см. (4.31)), затухание радиоволн в рассматриваемом диапазоне растет обратно пропорционально квадрату частоты, значительное снижение рабочей частоты нежелательно. Существует понятие наименьшей применимой частоты (НПЧ), т. е. частоты , при которой для данной

156

мощности передатчика напряженность поля в месте приема оказывается на грани допустимого уровня.

Таким образом, рабочая частота fраб выбирается так, чтобы удовлетворялось неравенство

НПЧ ≤ fраб≤ МПЧ. (4.122) Для надежного обеспечения радиосвязи используются так называемые

оптимальные рабочие частоты (ОРЧ), которые лежат ниже МПЧ приблизительно на 10–20 %. Величины ОРЧ выбираются из условия обеспечения отражения от ионосферы в течение 90% времени за месяц и рассчитываются с помощью месячных прогнозов и графиков суточного изменения МПЧ и НПЧ, которые готовятся специальными службами на основе измерений, осуществляемых ионосферными станциями.

Поскольку состояние ионосферы, а, следовательно, МПЧ и НПЧ изменяются в течение суток, для обеспечения непрерывной работы декаметровой линии связи необходимо периодически производить смену рабочих частот.

Декаметровые волны могут приходить в точку приема по разным траекториям, испытывая разное число отражений от того или иного слоя ионосферы. Для различных типов траекторий (моделей распространения) вводят условные обозначения, например, 1E, 2E, 1F, 2F и т. д. Здесь цифра перед названием слоя указывает на число отражений от него. Например, для трасс протяженностью около 3000 км, в точку приема могут приходить три луча (реализуются траектории: 2E,1F,2F.) В зависимости от угла наклона и критических частот слоев ионосферы каждой траектории соответствует свое значение МПЧ, наибольшее из которых определяет МПЧ для всей трассы. Та или иная траектория наблюдается в точке приема, если для нее выполняется условие отражения, т. е. рабочая частота не превышает соответствующей этой траектории МПЧ. С увеличением рабочей частоты число траекторий (лучей) уменьшается, и при fраб ≈ МПЧ трассы имеет место однолучевой прием.

Прием в декаметровом диапазоне всегда сопровождается изменением уровня принимаемого сигнала во времени, т. е. замираниями. Они носят случайный характер. Различают быстрые и медленные замирания. Быстрые замирания имеют интерференционную и поляризационную природу. Причина интерференционных замираний – многолучевость. Интерферируют пришедшие в одну точку волны, претерпевшие различное число переотражений в ионосфере, волны, рассеянные на нерегулярностях ионосферы, обыкновенная и необыкновенная составляющие волны. Все эти волны проходят различные пути, фазы их неодинаковы. Изменения электронной плотности, непрерывно происходящие в ионосфере, приводят к изменению набега фаз каждой из волн, а, следовательно, и к изменению разности фаз между ними, что вызывает частые и глубокие колебания напряженности электрического поля.

157

Причиной поляризационных замираний является поворот плоскости поляризации волны при ее распространении вдоль силовых линий магнитного поля Земли. Излученная передающей антенной электромагнитная волна после прохождения в ионосфере претерпевает поворот плоскости поляризации. Угол поворота меняется с изменением электронной плотности ионосферы. Поэтому направление вектора напряженности электрического поля относительно приемной антенны непрерывно изменяется, что приводит к изменению наводимой в антенне электродвижущей силы.

Причиной медленных замираний является изменение поглощения радиоволн в ионосфере.

Наиболее эффективным методом борьбы с быстрыми замираниями является прием на разнесенные антенны. В диапазоне декаметровых волн в направлении, перпендикулярном трассе, масштаб пространственной корреляции замираний составляет 10 – 25 длин волн. Это означает, что в то время, когда в месте расположения одной антенны уровень напряженности поля мал, вблизи второй антенны на расстоянии в несколько длин волн от первой напряженность электрического поля оказывается достаточной для уверенного приема. На практике используют две антенны, разнесенные на расстояние порядка десяти длин волн. Сигналы складывают после детектирования. Иногда применяют разнесение антенн по поляризации, т. е. одновременный прием на вертикальную и горизонтальную антенны с последующим сложением сигналов.

4.5.2. Основы расчета декаметровых радиолиний

Расчет траекторий декаметровых радиолиний (начального угла наклона траектории к поверхности Земли и МПЧ) основывается на информации о критических частотах и действующих высотах отражения, получаемых методом вертикального зондирования на ионосферных станциях. В простейших случаях, пренебрегая сферичностью ионосферы, для определения МПЧ используют закон секанса (4.53). В инженерной практике при отражении от слоев E и F1 действующие высоты отражения принимают равными соответственно 110 и 240 км. При отражении от слоя F2 при ориентировочных оценках для среднеширотных радиолиний используют следующие усредненные значения действующей высоты [4] : зима, день – 250 км; зима, ночь – 350 км; лето, день – 400 км; лето, ночь – 250 км. Для более точных расчетов используются составленные на основе систематических измерений параметров ионосферы мировой системой ионосферных станций. Долгосрочный прогноз критических частот и высот ионосферных слоев публикуется в выпусках “Месячный прогноз распространения радиоволн”.

Для определения НПЧ необходимо определить частотную зависимость амплитуды вектора напряженности электрического поля в пункте приема.

158

Расчет производят по методике, аналогичной изложенной во второй главе (см. также [8]). При этом множитель ослабления |V| вычисляется по методу, предложенному А.Н.Казанцевым [8]

)exp()1(5,0 )1( Γ−+= −nRRV . (4.123)

Структура этой формулы проста и физически понятна. Коэффициент 0,5 учитывает влияние постоянного магнитного поля Земли. Действительно, излучаемая мощность делится приблизительно пополам на возбуждение в ионосфере обыкновенной и необыкновенной составляющих волны, но необыкновенная составляющая сильно поглощается и полезной для приема оказывается только половина излучаемой мощности. Далее, поляризация отраженной от ионосферы волны близка к круговой, а прием ведется на антенну с линейной поляризацией, поэтому используемая мощность уменьшается еще в два раза. Таким образом, за счет влияния магнитного поля Земли эквивалентная излученная мощность уменьшается в четыре раза, а напряженность поля и, соответственно, функция ослабления - в два раза, что и учитывает первый множитель в (4.123).

Второй множитель (в скобках) связан с влиянием земной поверхности вблизи передающей антенны (функция ослабления принимает максимальное значение, равное, как следует из результатов главы 2, единице плюс модуль коэффициента отражения). Следующий множитель учитывает потери энергии при отражении от поверхности Земли при переотражениях (n – число скачков).

Полный интегральный коэффициент поглощения Γ в каждом из регулярных слоев D, E, F1, F2 вычисляется как интеграл от коэффициента затухания вдоль траектории луча. При этом в нижних слоях используется квазипродольное, а в области поворота луча – квазипоперечное приближения. Распределение электронной концентрации принимается параболическим, а закон убывания числа столкновений ν - экспоненциальным.Зная уровень шумов, можно найти минимальное значение модуля напряженности электрического поля и вычислить максимально допустимый коэффициент затухания в ионосфере Γдоп , по которому и определяется НПЧ. 4.5.3. Волновое расписание

Суточные графики изменения МПЧ и НПЧ изображаются на одном и

том же рисунке. Эти графики дают представление о полосе рабочих частот, которые могут быть использованы в разное время суток.

159

Согласно международным правилам, для каждой радиолинии выделяется ряд фиксированных частот. Для протяженных магистральных линий число таких частот достигает четырех – пяти, а для менее ответственных линий – двух-трех. На каждый месяц составляется волновое расписание, которое устанавливает, на каких из выделенных частот следует работать в различные часы суток. Из закрепленного набора частот для разных периодов суток выбираются частоты ближе к ОРЧ, так как при этом повышается устойчивость работы.

Контрольные вопросы к п.4.5.: 1. Перечислите основные достоинства и недостатки линий радиосвязи на декаметровых волнах 2. Каковы причины замираний на декаметровых радиолиниях, и какие меры позволяют повысить устойчивость приема? 3.Поясните смысл МПЧ, НПЧ, ОРЧ. Из каких условий выбираются эти частоты? 4. Каковы основные положения метода расчета напряженности поля? Поясните структуру соответствующей формулы.? 5. Что такое волновое расписание?

Задача Из анализа высотно-частотной характеристики (ионограммы)

установлено, что критическая частота слоя E равна 3 МГц, а слоя F – 9 МГц. Высоты этих слоев – 120 км и 350 км соответственно. Расстояние между передающим и приемным центрами – 2000 км. Как выбрать рабочую частоту (указать допустимый диапазон частот), чтобы обеспечить отсутствие интерференционных замираний ?

Указание: Рассмотреть все возможные модели распространения 1E, 2E, 1F, 2F. 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН МЕТРОВОГО – САНТИМЕТРОВОГО ДИАПАЗОНОВ НА КОСМИЧЕСКИХ РАДИОЛИНИЯХ 5.1. Влияние тропосферы и ионосферы на измерение дальности (в применении к глобальным навигационным системам)

В настоящее время для определения точного положения объектов (судов, автомобилей, человека) используются спутниковые системы глобальной навигации (ГЛОНАСС и GPS) [17, 18]. Определение положения объектов основано на измерении задержки в распространении сигнала от спутников до точки расположения приёмника.

160

Точные координаты могут быть вычислены для места на поверхности Земли по измерениям расстояний от группы спутников, если их положение в космосе известно. Предположим, что расстояние от одного спутника известно и мы можем описать сферу заданного радиуса вокруг него. Если мы знаем также расстояние до второго спутника, то местоположение объекта будет расположено на окружности, задаваемой пересечением двух сфер. Третий спутник определяет две точки на этой окружности. Одна из этих точек может быть отброшена, так как имеет высокую скорость перемещения или расположена под поверхностью Земли. Таким образом, знание расстояний до трех спутников позволяет отыскать координаты приёмника в пространстве. Расстояние до спутников находится по измеренным задержкам во времени прохождения сигнала от спутников до приёмника. Для этого одновременно на спутнике и в приёмнике генерируется одинаковый псевдослучайный код. В приёмнике определяется время, когда в нем был сформирован код, совпадающий с принятым со спутника, и вычисляется время задержки сигнала. Расстояние до спутника определяется умножением времени задержки сигнала на скорость света.

Реально для определения местоположения объекта требуется не менее 4 спутников. При этом показания четвертого спутника используются для того, чтобы синхронизировать часы приёмника с часами спутников.

Положение приемника в системах глобальной навигации определяется с некоторой ошибкой. При вычислениях предполагается, что сигнал распространяется с известной скоростью – скоростью света в вакууме (c=299792458 м/с). Однако реальный сигнал идет не в вакууме, а в ионосфере и в тропосфере. Групповые скорости распространения сигналов в этих средах меньше скорости света в вакууме и, таким образом, мы получаем завышенные значения времени распространения и дальности по сравнению с вакуумом.

Рис. 5.1

161

Напомним (см. главу 4), что групповая скорость распространения

радиоволн в ионосфере равна

ε= сVгр , (5.1) где ε – диэлектрическая проницаемость ионосферы, которая определяется выражением:

2

20ωω1ε −= , (5.2)

а плазменная частота ω0 равна

mNe

0

э2

0 εω = (5.3)

Концентрация электронов Nэ меняется с высотой и зависит от координат расположения приемника, времени суток, времени года, солнечной активности. Поскольку рабочие частоты систем глобальной навигации лежат в интервале 1,2…1,6 ГГц и существенно превышают максимальные плазменные частоты ионосферы, время распространения радиосигнала определяется в приближении геометрической оптики

∫=с

0 гр )(

h

lVdlt , (5.4)

где hc – высота спутника над поверхностью земли, а интегрирование ведется вдоль траектории луча.

Формула (5.4) учитывает два основных эффекта: замедление импульсов и искривление (рефракцию) луча в неоднородной диспергирующей среде. Для спутников, которые находятся под большими углами места (угол места Δ отсчитывается от горизонтальной плоскости, касательной к поверхности земли в точке расположения приемника), искривлением траектории луча можно пренебречь, то – есть полагать, что луч распространяется по прямой. С учетом последнего предположения и связи групповой скорости с коэффициентом преломления п (см. (4.45)) формула (5.4) преобразуется к виду

( )∫∆

=c

0sin1 h

zndz

сt , (5.5)

где Δ – угол места, под которым мы наблюдаем спутник. Взаимное расположение приёмника и спутника и угол места изображены на рис. 5.2.

162

Отметим, что формула (5.5) получена в приближении плоской земли и плоскослоистой среды.

В системе GPS используются два сигнала на частотах f1=1575,42 МГц и f2=1227,60 МГц. Максимальное значение плазменной частоты, определяемой выражением (5.3), в ионосфере не превышает 20 МГц даже при мощных солнечных вспышках, а в обычных условиях составляет 6-10 МГц. Поэтому в первом приближении можно записать

2

20

2

20

2

20

2111;

211

ω

ω+≈

ε=

ω

ω−≈

ω

ω−=ε=

nn . (5.6)

Используя (5.5) и (5.6), преобразуем формулу (5.4) к виду

( ) .dzzNfmc

etc

htttth

h∫

∆π=∆

∆=∆+=

c

нэ2

02

2и

c0и0

1sinε8

;sin

;

(5.7) В (5.7) hн – высота нижней границы ионосферы, первое слагаемое – t0

представляет собой время распространения сигнала в свободном пространстве, второе – Δtи - поправку, учитывающую замедление сигнала в ионосфере.

Интеграл ( )∫ch

dzzN0э при расположении спутника значительно выше

максимума Nэ - это полное электронное содержание (ТЕС) (см. главу 4). График изменения TEC в течение суток летом на широте Москвы для года спокойного Солнца приведён на рис. 5.3.

Δ hc

Рис. 5.2.

Земля

спутник

приемник

163

Ошибка измерения дальности (расстояния от приемника до спутника), обусловленная влиянием ионосферы, в соответствии с (5.7) равна

∆≈∆=∆

sin4040

2ииf

ТЕС,tсl [м]. (5.8)

В формуле (5.8) частота берется в ГГц, полное электронное содержание – в единицах TECU.

Рассчитанная по (5.8) ошибка измерения дальности на двух частотах при TEC = 10 TECU и изменении угла места от 10о до 90о приведена на рис. 5.4. Как видно из рис. 5.4, ошибка резко возрастает с уменьшением угла места. Эту ошибку, связанную с влиянием ионосферы, можно скомпенсировать, если проводить измерения на двух частотах одновременно. Разница в задержке сигналов на двух частотах равна

0 4 8 12 16 20 24

Время суток (час)

4

6

8

10

12

TEC

(в ед.

TE

CU

)

Рис. 5.3

Рис.5.4

ошибка измерения дальности (м)

Δ

164

TECff

,t

−

∆=∆ 2

22

1

11sin001350 [мкс] . (5.9)

В (5.9) размерности частоты и ТЕС те же, что в формуле (5.8). Зная угол места спутника и измерив задержку в распространении

сигналов на двух частотах, можно по (5.9) определить величину TEC и ввести эту поправку в измеренное значение расстояния.

Этот метод компенсации влияния ионосферы на измерение расстояния одновременно позволяет найти ТЕС, то - есть дает информацию о состоянии ионосферы. В настоящее время указанный метод измерения ТЕС получил широкое распространение. Имеются международные центры, в базах данных которых накапливается информация о характеристиках ионосферы, в том числе и величины ТЕС, полученные указанным методом.

Следует иметь в виду, что в этом методе компенсации влияния ионосферы не учитываются искривления траекторий распространения радиоволн, которые будут различными на разных частотах. Однако указанный эффект мал при углах места свыше 5о - 10о.

Групповая скорость распространения радиоволн в тропосфере также отличается от скорости света в вакууме и равна

Vгр =с/п, (5.10) где коэффициент преломления п определяется полуэмпирической формулой (3.2) (см. главу 3). При углах места свыше 5о можно пренебречь рефракцией лучей в тропосфере и получить приближенную формулу для времени запаздывания сигнала в тропосфере, аналогичную (5.7). Выразим коэффициент преломления п через индекс преломления N : n=1+N*10-6 и примем экспоненциальный закон изменения N с высотой (3.8). При этих условиях время распространения сигнала в тропосфере определяется следующей из (5.4) формулой

−−

∆=∆

∆=∆+=

−

0

тр006

тртр

тр0тртр0тр exp1sin

10;sin

;hh

сhNt

сh

tttt , (5.11)

где t0тр – время распространения в вакууме до высоты тропосферы, Δtтр – запаздывание сигнала в тропосфере относительно сигнала в вакууме, hтр – высота тропосферы, N0=315, h0 = 7,35 км, с - скорость света в вакууме в м/с.

165

Второе слагаемое в формуле (5.10) определяет ошибку измерения дальности вследствие влияния тропосферы, равную

−−

∆==∆

−

0

тр006

тртр exp1sin

10hhhNсtl . (5.12)

Рассчитанная по формуле (5.12) ошибка измерения дальности приведена на рис. 5.5. Как следует из рис. 5.5, ошибка измерения дальности в тропосфере также резко увеличивается с уменьшением угла места спутника.

Рис. 5.5

В отличие от ионосферы коэффициент преломления в тропосфере практически не зависит от частоты (на частотах ниже 10 ГГц). Поэтому двухчастотный метод не может быть использован для исключения погрешности измерения расстояния, связанной с распространением волны в тропосфере. Ошибку измерения дальности, обусловленную тропосферой, минимизируют, используя сигналы со спутников, находящихся под большими углами места.

Следует отметить также, что в приведенных выше формулах использована простейшая модель плоскослоистой ионосферы и тропосферы. Для большей точности определения дальности используют модель сферически слоистой среды при сохранении предположения о

Δl (м)

Δ

166

прямолинейном распространении волн. Соответствующие формулы для расчета дальности приведены, например, в [17].

Контрольные вопросы к п.5.1.

1) Какие эффекты учитываются при анализе времени распространения радиосигнала в неоднородной диспергирующей среде в приближении геометрической оптики (формула (5.4))?

2) Какие допущения сделаны при выводе приближенной формулы (5.5) для времени запаздывания сигнала в среде?

3) Каким образом можно измерить полное электронное содержание двухчастотным методом?

Задача к п.5.1. Рассчитать погрешность в определении дальности до космического аппарата, находящегося на высоте 800 км над поверхностью Земли, при следующих данных: угол места ψ=30о, полное содержание электронов TEC =47 TECU, параметры тропосферы описываются экспоненциальным законом (3.7). Диапазон частот сигнала - от 300 МГц до 10 ГГц. На каких частотах погрешность определения дальности с 10% точностью не будет зависеть от состояния ионосферы? Искажения радиосигналов в ионосфере

Как уже упоминалось в главе 4, ионосфера является диспергирующей

средой вследствие зависимости диэлектрической проницаемости плазмы от частоты ε(ω). Дисперсия не только приводит к изменению скорости распространения радиосигналов (см. п. 5.1), но и вызывает искажения формы сигналов. Это явление называется дисперсионным расплыванием.

Рассмотрим искажения сигнала с узким спектром частот (квазимонохроматического сигнала). Такой сигнал запишем в виде:

E0(t)=U(t)cos(ωсt), (5.13) где ωс – несущая частота, U(t)– огибающая сигнала, которая по определению является медленно меняющейся функцией времени.

Пусть в начальном сечении диспергирующей среды z=0 падающая квазимонохроматическая волна задана в виде

( ) ( )∫ ωωπ

=∞+

∞−

ω dEtE tie21

00 , (5.14)

167

Спектральная плотность E0(ω) импульса (5.14) определяется интегралом Фурье

( ) ( )∫π

=ω∞+

∞−

ω− dttEE tie21

00 . (5.15)

Отметим, что E0(t) – действительная функция времени. Квазимонохроматический импульс определяется условием

Δω<<ωс, (5.16) где Δω – полоса сигнала. Отметим, что импульс конечной длительности имеет бесконечный спектр, поэтому нужно указать, как следует определять полосу сигнала. Для оценок можно найти полосу сигнала Δω из условия, что в ней содержится основная часть, например 90%, энергии сигнала. Пусть нам известна спектральная плотность огибающей. Она определяется по формуле (5.15) заменой E0(t) на U(t)

( ) ( )∫π

=ω∞+

∞−

ω− dttUU tie21 . (5.17)

Найдем спектральную плотность радиоимпульса (5.13). Подставив (5.13) в (5.14), получим с учетом (5.17) [1]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )cc

titi

ti

UU

dttU

dtttUE

cc

ω+ω+ω−ω=

∫ =+π

=

∫ =ωπ

=ω

∞+

∞−

ω+ω−ω−ω−

∞+

∞−

ω−

21

21

ee22

1

ecos21

c0

. (5.18)

Теперь запишем выражение для импульса, прошедшего некоторое расстояние в однородной плазме в направлении положительных z

( ) ( ) ( )( )∫ ωωπ

=∞+

∞−

ωΦ−ω dEtE tie21

0 . (5.19)

В (5.19) фазовая функция Ф(ω) имеет вид

( ) ( )znc

ωω

=ωΦ . (5.20)

Закон частотной дисперсии задается зависимостью п(ω). Для плазмы

( )2

01

ωω

−=ωn , (5.21)

здесь ω0 – плазменная частота.

168

В случае квазимонохроматического импульса фазовую функцию Ф(ω) разложим в ряд Тейлора в окрестности точки ω = ωс

( ) ( ) ( ) ( ) ....ccc

22

ΩωΦ ′′

+ΩωΦ′+ωΦ=ωΦ (5.22)

В (5.22)

,cω−ω=Ω ( ) ( )( ) zc

n ccc

′ωω=ωΦ′ . (5.23)

Аналогичное разложение применяется в окрестности точки ω = - ωс Рассмотрим вначале первое приближение, когда в (5.22) можно ограничиться первыми двумя членами разложения. Тогда

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )ccc

cti

cti

tic

ti

tic

ti

tic

tic

ti

ttU

tUtU

dU

dU

dUdU

dEtE

cccc

cccc

cccc

ωΦ−ωωΦ′−=

=ωΦ′−+ωϕ′−=

=∫

ωωω+ωπ

+

+∫

ωωω−ωπ

=

∫ ωω+ωπ

+∫ ωω−ωπ

=

=∫ ωωπ

=

ωΦ−ω−ωΦ−ω

∞+

∞−

ω+ωωΦ′−ωΦ−ω−

∞+

∞−

ω−ωωΦ′−ωΦ−ω

∞+

∞−

ωΦ−ω∞+

∞−

ωΦ−ω

∞+

∞−

ωΦ−ω

cos

e21e

21

ee41

ee41

e41e

41

e21

0

Таким образом, ( ) ( )( ) ( )( )ccc ttUtE ωΦ−ω⋅ωΦ′−= cos (5.24)

Учитывая определение фазы (5.20) и ее производной (5.23), перепишем выражение (5.24) в виде

( )

−ω⋅

−=

фгрcos

Vzt

VztUtE c , (5.25)

где ( )сn/cV ω=ф (5.26)

- фазовая скорость волны (высокочастотного заполнения импульса),

169

( )( )′ωω=

ссncVгр (5.27)

- групповая скорость импульса. В случае плазменного закона дисперсии

( )сncV ω⋅=гр (5.28) Приведенные выражения для групповой и фазовой скоростей сигнала в плазме были менее строгим способом выведены в главе 4.

Для анализа дисперсионного расплывания импульса необходимо учесть квадратичные поправки в разложении фазы сигнала (5.22). При этом интеграл (5.19) выражается через интегралы Френеля [25] В качестве конкретного примера рассмотрим импульс с прямоугольной огибающей

( ) [ ] ( ) [ ]220221 /T,/Tt,tU,/T,/Tt,tU −∉=−∈= , (5.29) где T=2π/ωс. Для огибающей (5.29) спектральная плотность U(ω) равна

( ) ( )2

sin T,TU ω=ξ

ξξ

=ω . (5.30)

Амплитуда прямоугольного радиоимпульса, прошедшего слой однородной плазмы, вычисляется аналитически:

( )

ωΦ ′′πξ

−

ωΦ ′′πξ−τ

=)()(2

1

ccFrFrtU , (5.31)

где Fr (x) =С(x)+i S(x), С(x) и S(x), - интегралы Френеля [9], а переменная ξ=Т/2+t-Ф′(ωc).

Учтем теперь неоднородность среды. На достаточно высоких частотах ( ω >> ω0) сдвиг фазы монохроматической волны в плавно неоднородной ионосфере в приближении геометрической оптики представляется интегралом

( )∫ ′ω=ωΦz

z'dzz,n

с0

ω)( . (5.32)

Здесь декартова координата z отсчитывается по вертикали вверх от нижней границы ионосферы. Расчет искажений сигнала в неоднородной ионосфере с фазовой функцией (5.32) далее сводится к вычислению функции (5.31) либо, более строго, интеграла (5.19).

Как показывает анализ, учет квадратичных поправок с помощью представления (5.31) описывает симметричное расплывание импульса. Если учесть поправки следующего порядка в разложении фазы по частоте – кубичные , то проявляется асимметричная деформация импульса. Практически проще исследовать искажения импульса путем прямого вычисления быстроосциллирующего интеграла (5.19).

170

На рисунках 5.6, 5.7 приведен вид огибающих прямоугольных радиоимпульсов, прошедших через слой ионосферы при ТЕС = 26,7 TECU. Расчет проводился по формуле (5.31) при длительности импульса 10 мс и несущих частотах 30 и 10 МГц соответственно.

Рис. 5.6

Рис. 5.7

Из рис. 5.6 и 5.7 видно, что ионосфера приводит к искажению формы сигнала по сравнению с исходной: появляются осцилляции огибающей сигнала. Отметим, что в данном случае групповое запаздывание сигнала по сравнению с прохождением сигнала в вакууме мало по сравнению с длительностью импульса.

171

Аналогичным образом рассчитывают искажения сложных широкополосных сигналов (с линейной частотной модуляцией и другими видами модуляции).

Контрольные вопросы к п.5.2.

1) Поясните на качественном уровне, как влияет неоднородная диспергирующая среда (ионосфера) на характеристики радиосигнала? 5.3. Влияние эффекта Фарадея на поляризацию радиоволн Как было показано в главе 4, при учете постоянного магнитного поля

Земли ионосфера является анизотропной средой, а ее диэлектрическая проницаемость является тензором. Тензорный характер диэлектрической проницаемости приводит к таким эффектам, как расщепление плоской волны на две волны с различными показателями преломления и вращение плоскости поляризации линейно поляризованной волны (эффект Фарадея) в случае продольного распространения волны относительно постоянного магнитного поля Земли. Последний эффект играет основную роль при распространении радиоволн на космических радиолиниях.

Угол поворота плоскости поляризации при распространении плоских волн в однородной среде вдоль статического магнитного поля определяется формулой, следующей из (4.106) и (4.108)

( )21

111

112

02

02

0021 zkzknnHH

ωω

−

ωω

−−

ωω

+

ωω

−==−

=φ . (5.33)

В (5.33) n1 и n2 - показатели преломления, соответственно, лево и право поляризованных волн.

На частотах свыше 100 МГц выполняется условие ωH<<ω0<<ω и показатели преломления волн мало отличаются от единицы, поэтому

20

20 zkH

ωω

ωω

≈φ . (5.34)

Формула (5.34) обобщается на случай неоднородной ионосферы и меняющегося с высотой статического магнитного поля Земли в предположении прямолинейного распространения лучей

172

∫=φ ,dssHsNfK

i ))(cosθ()(э2 (5.35)

где К =0,0297, Н - величина магнитного поля Земли, А/м2, NЭ - концентрация электронов, 1/м3, f - частота радиоволны, Гц, θi - угол между направлением распространения волны и вектором магнитного поля Земли, интеграл берется по пути распространения волны от спутника до Земли. Формула (5.35) справедлива при «квазипродольном» распространении плоской волны под углом θi к направлению магнитного поля Земли, когда выполнено условие

cos2 θi >> 0,25(fH / f)2, (5.36) где fH - гирочастота электронов. Максимальное значение гирочастоты равно ≈1,4 – 2 МГц. На частоте f=300 МГц оценка (5.36) сводится к 90о− θi

>> 0,18о, т.е. квазипродольное приближение оказывается справедливым практически всюду, кроме области, прилегающей к экватору шириной в десятые доли градуса.

Введем угол α между вертикалью к земле и направлением оси антенны. Тогда ds=(1/cosα)dh, h - координата, отсчитываемая по вертикали от земной поверхности (высота) и соотношение (5.35) примет вид

∫α

=φ dhhHhNfK i )()(

coscosθ

э2 . (5.37)

Если значение статического магнитного поля Земли на пути распространения волны в (5.37) взять постоянным и равным значению в области максимальной концентрации электронов в ионосфере, то формула (5.37) сводится к виду

∫αθ

=φ dh)h(NHfK i

эм2 coscos . (5.38)

В (5.38) ∫ dh)h(Nэ = TEC - полное электронное содержание в ионосфере, 1/м2, Hм – значение магнитного поля Земли на высоте максимума концентрации электронов в ионосфере.

Магнитное поле Земли приближенно описывается полем магнитного диполя, помещенного в центре Земли, ось которого пересекает поверхность Земли в точках A и B, определяемых как южный и северный магнитные полюсы Земли [19]. Магнитные полюсы имеют следующие координаты: A- координаты 78,3o S, 111o E, B- координаты 78,3o N, 69o W. Плоскость, проходящая через центр Земли перпендикулярно оси BA, называется дипольной экваториальной плоскостью. От этой плоскости отсчитывается магнитная широта Фм. Связь магнитной широты Фм с географическими координатами имеет вид sinΦм = sinθ∗sinθ0 + cosθ∗cosθ0∗cos(ϕ−ϕ0),

173

где θ0=78,3o N, ϕ0=291o E - географические координаты северного полюса, θ и ϕ - текущие географические координаты.

Напряженность магнитного поля Земли дается формулой

( )hhR

RHhH θ,sin31),( м2

3

0

00 Φ+

+

=θ , (5.39)

где H0 – величина магнитного поля на экваторе на поверхности Земли, h – текущая высота. В средних широтах значение H0 принимают равным 33,4 А/м.

Для оценок угла поворота плоскости поляризации рассмотрим случай спокойной ионосферы средних широт (ТЕС ≈ 1017 1/м2) при условии, что углы θi и α равны. Используя формулы (5.38), (5.39), получим, что угол поворота плоскости поляризации не превышает 7о на частоте 1 ГГц и 0,5о - на частоте 10 ГГц. В случае сильных ионосферных возмущений величина угла поворота плоскости поляризации растет пропорционально увеличению TEC и может увеличиваться на порядок.

Обсудим зависимость угла поворота плоскости поляризации от угла θi между направлением распространения волны и вектором магнитного поля Земли. В полярных широтах угол θi стремится к нулю, cos θi – к 1, т.е. согласно (5.38) угол поворота φ принимает максимальные значения. Вблизи экватора, напротив, cos θi → 0 и угол поворота плоскости поляризации минимален. Результаты расчета угла поворота плоскости поляризации φ на частоте f могут быть пересчитаны на другую частоту f0 с учетом того, что

2

20

0 ff

≡φφ (5.40)

Отсюда следует, что на частотах ниже 500 МГц величина угла поворота плоскости поляризации может быть более 30о даже в условиях спокойной ионосферы в средних широтах. В условиях сильных возмущений ионосферы угол поворота плоскости поляризации может значительно превышать 90о.

Полученные оценки показывают, что на космических радиолиниях, например, при передаче телеметрической информации с космических аппаратов на частотах ниже 500 МГц, нецелесообразно применять передающие и приемные антенны с линейной поляризацией, поскольку даже при стабилизации аппарата вследствие поворота плоскости поляризации волны в ионосфере возможна ситуация, когда поляризация сигнала, пришедшего с космического аппарата на наземную приемную антенну, окажется ортогональной поляризации приемной антенны. Во избежание потерь сигнала необходимо, чтобы по крайней мере одна из антенн (на космическом аппарате или на земле) имела круговую поляризацию. При этом поляризационные потери сигнала не превысят 3-х дБ.

174

Контрольные вопросы к п.5.3. 1)Поясните допущения, при которых получены формулы (5.35 21) и (5.38 24) для угла поворота плоскости поляризации линейно поляризованной волны в ионосфере. 2)Как зависит величина угла поворота плоскости поляризации от полного электронного содержания, частоты сигнала, угла между направлением распространения волны и направлением магнитного поля Земли? 3) Как эффект Фарадея может повлиять на работу космических радиоли- ний? Задача.

Для передачи телеметрической информации со спутника используется частота 330 МГц. Определите величину поворота плоскости поляризации линейно поляризованной волны в средних широтах при изменении полного электронного содержания ТЕС от 10 ТЕСU (спокойная ионосфера) до 100 ТЕСU (сильно возмущенная ионосфера). Можно ли при данных условиях использовать в качестве приемной и передающей антенны с линейной поляризацией?

5.4. Влияние рефракции радиоволн на работу космических радиолиний.

На частотах свыше 300 МГц при упрощенных оценках влияния среды на радиосигнал предполагается, что сигнал распространяется по прямолинейной траектории. Такой подход использовался в параграфах 5.1. – при оценке влияния среды на запаздывание сигнала и в 5.2 – при оценке влияния ионосферы на поворот плоскости поляризации линейно поляризованной волны. Однако реально сигнал распространяется в неоднородной ионосфере и тропосфере не по прямолинейной, а по криволинейной траектории. Отклонение реальной траектории сигнала от прямолинейной несущественно сказывается на оценках запаздывания и поворота плоскости поляризации, данных в п.п. 5.1 и 5.2. Наиболее важный аспект влияния искривления траектории в радиолокации - появление погрешности в определении горизонтальной координаты цели на земной поверхности или погрешности угловой координаты цели (Рис. 5.8). Смещение траектории луча происходит как в ионосфере, так и в тропосфере.

Рассмотрим случай, когда производится радиолокация земной поверхности со спутника (Рис. 5.8). Проведем оценку величины смещения луча на поверхности Земли за счет рефракции в ионосфере и тропосфере. Будем использовать сферически слоистую модель атмосферы. Уравнение для траектории луча в сферически слоистой среде c показателем преломления n=n(r) определяется формулой (см. гл. 3 или [20])

175

∫−

+=0

20

2200ρ)(

ργγr

r rnrr

dr (5.41)

В (5.41) r, γ - радиальная и угловая координаты в сферической системе координат, связанной с центром Земли, ρ0=r0 n(r0)sinα - прицельный параметр луча, выходящего из точки расположения антенны с координатами r=r0, под углом α относительно нормали к поверхности Земли, n(r) – показатель преломления среды. Траектория луча направлена к земле (r<r0). Далее положим γ0 =0 (см. рис. 5.8).

Введем расстояние вдоль поверхности Земли l= R0 γ. (5.42)

Здесь R0 - радиус Земли, равный 6370 км. С учетом (5.41), (5.42) длина пути вдоль поверхности Земли принимает вид

∫−

=0

20

2200ρ)(

ρr

r r nrr

drRl (5.43)

Используем формулу (5.43) для того, чтобы найти смещение луча на поверхности земли, вызванное рефракцией луча в ионосфере и тропосфере. Для этого представим показатель преломления среды функцией

n(r)=1+Δn(r), (5.44) где для ионосферы

Δn(r)= – 40,4Nэ /f-2 , (5.45) концентрация электронов Nэ берется в 1/м3 , частота f в Гц, а для тропосферы

Δn(r)= N010-6exp(-h/h0), (5.46) где N0=315, h0 = 7,35 км, h=r–R0 .

Если пренебречь рефракцией лучей в ионосфере и тропосфере, то расстояние вдоль поверхности земли l0 определяется интегралом (5.43) при n=1.

Смещение луча вследствие рефракции радиоволн в тропосфере найдем как разность расстояний (5.43), вычисленных для траекторий лучей в неоднородной и однородной средах

∫

−−

−=∆

0

20

220

2200ρ

1

ρ)(

1ρr

r rdr

rr nrRl (5.47)

Учитывая то, что поправка в показателе преломления мала :Δn(r)<<1, упростим соотношение (5.43), разложив корень, содержащий Δn(r), в ряд Тейлора по этому малому параметру. В результате получим

176

( )∫

−

∆−=∆

0

2320

200)ρ(

ρr

r / rdrrnrRl .

Далее учтем, что множитель r(r2-ρ02)3/2 практически не изменяется в

интервале высот ионосферы или тропосферы, если зенитный угол α не близок к 90о. Поэтому этот множитель можно вынести из-под знака интеграла, положив в нем r=r0. Кроме того, учтем, что при относительно малых высотах полета спутника (h<< R0) r0= h+ R0 ≈ R0. Окончательно получим

∫ ∆α

α−=∆

0)(

cossin

3

r

rdrrnl . (5.48)

Соотношение (5.48) пригодно для грубых оценок смещения луча на поверхности земли как в ионосфере, так и в тропосфере. В случае

О

γ

Δl

l0

спутник Траектория луча в неоднородной среде α

Траектория луча в вакууме

Рис. 5.8.

177

ионосферы координата r соответствует нижней границе ионосферы, координата r0 = hc + R0, hc – высота полета спутника. В случае тропосферы координата r= R0 соответствует поверхности земли, координата r0= hтр+ R0 определяется высотой тропосферы hтр. Окончательно получим для ионосферы

α

α≈∆ 32и

cossin4040

f TEC ,l , м, (5.49)

и для тропосферы

αcos

sinα10300

3тр

h Nl-

−≈∆ , м. (5.50)

В (5.49) значения ТЕС берутся в единицах TECU, частота в ГГц, в (5.50) приведенная высота h0 берется в километрах.

Отметим, что данные выше оценки смещения траектории луча могут быть получены и другим способом – через оценки углов рефракции траекторий лучей в ионосфере и тропосфере. Соответствующие оценки углов рефракции даны в [5] и приведенные выше формулы по порядку величины согласуются с ними.

Результаты расчетов смещений луча вследствие влияния ионосферы и тропосферы приведены на рис. 5.9. Из расчетов следует, что величина смещения луча за счет рефракции в ионосфере существенна на частотах ниже 1 ГГц и может составлять десятки - сотни м при увеличении угла α до 60о–80о. Величина смещения луча в тропосфере не зависит от частоты и для нормальной тропосферы меняется от 1 до 18 м с ростом угла α до 60о.

Следует отметить, что смещения лучей за счет влияния ионосферы и тропосферы имеют разные знаки. Поэтому найдутся частоты, на которых смещения лучей в ионосфере и тропосфере компенсируют друг друга [24]. Условие компенсации смещений лучей не зависит от угла α и согласно формулам (5.49) – (5.50) принимает вид

ГГц2000

,hN

TECf = , (5.51)

где ТЕС – в единицах TECU, h0 – в км.

Так, для типичных в средних широтах значений TEC = 10 TECU полная компенсация смещений луча имеет место на частоте f≈1,2 ГГц. Конечно, параметры ионосферы и тропосферы меняются во времени, поэтому оптимальная частота, на которой суммарное смещение луча равно нулю, также зависит от времени. Наибольшее влияние на изменение оптимальной частоты оказывают вариации ТЕС. Тем не менее выбор частоты космического радиолокатора в дециметровом диапазоне волн согласно

178

оценке (5.51) позволяет в определенной степени уменьшить ошибку, вносимую в измерение горизонтальной дальности средой распространения.

0 10 20 30 40 50 60 0

10

20

30

40

50

60

70

Тропосфера Ионосфера f = 0.6 ГГц Ионосфера f = 1ГГц Ионосфера f = 3 ГГц

м

град

Рис 5.9. Смещение луча на поверхности Земли, вызванное регулярной неоднородностью тропосферы и ионосферы. Величина смещения луча в тропосфере приведена по модулю.

Аналогично влиянию среды на смещение луча вдоль земной поверхности можно изучить влияние тропосферы и ионосферы на угловую координату цели. Грубая оценка погрешности измерения угловой координаты может быть получена весьма простым способом. Предположим, что неоднородный слой ионосферы или тропосферы заменен эквивалентным

однородным слоем с показателем преломления ∫ ∆=∆∆+=+hr

rndr

hn,nn 11 ,

где усреднение отклонения показателя преломления от единицы проводится на толщине ионосферы или, соответственно, тропосферы. Рассматривается зондирование земной поверхности со спутника, полагается, что в области расположения спутника среда может считаться вакуумом. Тогда при падении плоской волны из вакуума на такой слой погрешность определения угловой

179

координаты будет определяться углом рефракции Δα по закону Снеллиуса, согласно которому

( )α∆+α=α sinsin0 nn . (5.52)

Отсюда, учитывая, что n0=1, α<<α∆<<∆=− 11 nn , получим

α∆−≈α∆ tgn . (5.53)

Из (5.53) следует, что знак угла рефракции зависит от знака отклонения показателя преломления среды от единицы. При зондировании земной поверхности сверху угол рефракции положителен для ионосферы и отрицателен для тропосферы. Следует отметить, что при такой оценке пренебрегается сферичностью атмосферы.

Количественные оценки углов рефракции для ионосферы и тропосферы приведены в [23, 24]. Величина угла рефракции в тропосфере не зависит от частоты и составляет для стандартной тропосферы при углах падения α < 80о не более 6 угловых минут. Угол рефракции в ионосфере зависит от частоты и от состояния ионосферы и составляет при тех же углах падения не более 2-х угловых минут. Углы рефракции в ионосфере и тропосфере соизмеримы на частотах около 100 МГц, на больших частотах ионосферная рефракция уменьшается.

Приведенные выше оценки погрешности измерения положения объектов на земной поверхности и углов рефракции основаны на учете регулярного изменения параметров атмосферы по высоте. Наряду с регулярной составляющей погрешности имеет место и флуктуационная составляющая, обусловленная случайными изменениями показателя преломления ионосферы и тропосферы. Контрольные вопросы к п.5.4.

1) Как влияет рефракция луча в неоднородной ионосфере и тропосфере на погрешность измерения координат объекта на поверхности земли космическим радиолокатором?

2) Поясните, почему смещения лучей, обусловленные ионосферой и тропосферой, различаются знаками? Как это явление может быть использовано при выборе частоты космического радиолокатора дециметровых волн?

180

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Со времени создания электромагнитной теории Дж. К. Максвеллом не

прошло и ста пятидесяти лет. Свыше ста десяти лет назад были проведены первые опыты радиосвязи нашим соотечественником А.С. Поповым. За это время радиотехника достигла впечатляющих успехов и играет ведущую роль, наряду с проводными системами связи, в обеспечении человечества информацией.

Одной из тенденций радиоэлектроники является применение все более высоких частот. Освоены в практическом плане диапазоны волн до сантиметрового включительно, ведется интенсивное освоение миллиметровых и более коротких волн, включая наименее изученную область на стыке субмиллиметрового и инфракрасного диапазонов (терагерцовый диапазон).

Влияние процессов распространения радиоволн в естественных средах на функционирование РЭС – постоянно действующий фактор, который нужно учитывать уже на этапе проектирования РЭС.

В отведенное для чтения курса «Распространение радиоволн» время невозможно изложить все аспекты современных знаний в этой области. Упор сделан на изучении процессов распространения радиоволн в декаметровом – миллиметровом диапазонах волн, поскольку они имеют наибольшее практическое значение. Не рассмотрены явления распространения волн на частотах ниже 3 МГц. Хотя эти частоты используются в радионавигации, радиосвязи и радиовещании, их роль в современной радиотехнике относительно мала. С особенностями распространения радиоволн этих диапазонов можно ознакомиться по пособиям [5,8,10]. Не обсуждались подробно вопросы распространения волн длиной короче 1 мм, в том числе волн инфракрасного и оптического диапазонов. Закономерности распространения этих волн сходны с явлениями распространения волн миллиметрового диапазона (см. [5,8,15]). Не изложены вопросы распространения волн в урбанизированных зонах (см. [21]). Не затронуты проблемы влияния на работу РЭС искусственных плазменных образований, возникающих при полете объектов ракетной техники (см. [22])). Наконец, в пособие не включены вопросы воздействия естественных помех на работу радиосистем, так как они излагаются на радиотехническом факультете МЭИ(ТУ) в курсе «Электромагнитная совместимость».

Содержание пособия ограничено следующей целью - дать студенту понимание основных процессов распространения радиоволн и ориентировать его на самостоятельное изучение результатов исследований в этой области, которые могут понадобиться при проектировании, разработке и эксплуатации современных и перспективных РЭС.

181

ЛИТЕРАТУРА

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. –М.: Высшая школа. 1983. – 536 с. 2. Марков Г.Т., Петров Б.М., Грудинская Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн. –М.: Высшая школа. 1979. – 376 с. 3. Петров Б.М. Электродинамика и распространение радиоволн. –М.: Радио и связь.

2000. – 559 с. 4. Сазонов Д.М. Антенны. –М.: Энергия, 1975. – 528 с. 5. Черенкова Е.Л., Чернышев О.В. Распространение радиоволн. –М.: Радио и связь, 1988. –272 с. 6. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. –М.: Наука. 1970,–855 с. 7 . Солодухов В.В. Расчет напряженности поля радиоволн в «освещенной» части пространства // Радиотехнические тетради, 2006, .33 8. Грудинская Г.П. Распространение радиоволн. –М.: Высшая школа. 1975. –280 с. 9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука. 1980 – 976 с. 10. Долуханов М.П. Распространение радиоволн. –М.: Связь. 1972. –336 с. 11. Калинин А.И., Черенкова Е.Л. Распространение радиоволн и работа радиолиний. –М.: Связь, 1971. –438 с. 12. Справочник по радиорелейной связи. –М:. Радио и связь. 1981.–415 с. 13. Справочник по радиолокации. /Под ред. М. Сколника. Т.1. – М.: Сов. Радио, 1976, –456 с. 14. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. –М.: Связь. 1978. –247 с. 15. Зуев В.Е. Распространение видимых и инфракрасных волн в атмосфере. –М.: Сов. Радио, 1970. – 496 с. 16. Яковлев О.И. Космическая радиофизика. – М.: Научная книга. 1998. –432 с. 17. Синякин А.К. Принципы работы глобальных систем местоопределения (GPS). – Новосибирск.: СГГА. 1996. –57 с. 18. ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования. /Под ред. А.И.Перова, В.Н.Харисова. Изд. 3-е, перераб. –М.: Радиотехника, 2005, –688 с 19. Дэвис К. Радиоволны в ионосфере. –М.: МИР. 1973. –501 с. 20. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. –М.: Наука. 1980. – 304 с. 21. Пономарев Г.А., Куликов А.Н., Тельпуховский Е.Д. Распространение УКВ в городе. –Томск.: МП «РАСКО». 1991. –222 с. 22. Энергетические характеристики космических радиолиний./ Под ред. О.А.Зенкевича. –М.: Советское радио. 1972. –436 с. 23. Колосов М.А., Арманд Н.А., Яковлев О.И. Распространение радиоволн при космической связи. –М:. Связь, 1969. – 155 с. 24. Арманд Н.А., Колосов М.А., Шабельников А.В. Влияние рефракции на определение координат наземных излучателей при радиометричексом методе исследования природных ресурсов с ИСЗ. //XI Всесоюзная конференция по распространению радиоволн. Тезисы докладов. Часть 1. Казань, изд. Казанского университета, 1975, с. 111-115. 25. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. -М.: Наука, 1967, – 683 с.

182

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Перечень основных обозначений и сокращений 4 1. ВВЕДЕНИЕ В ПРОБЛЕМЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН 7 1.1.Цель и задачи курса. Основные определения. 7 1.2. Диапазоны радиоволн. Общее представление об условиях распространения радиоволн в различных средах. 10 1.3.Распространение радиоволн в свободном пространстве. Характеристики антенн.

13 1.4. Распространение радиоволн в свободном пространстве. Основные типы радиолиний.

18 1.5. Влияние среды на характеристики передаваемых сигналов. 22 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 26 2.1 Электрические параметры земной поверхности. 26 2.2. Область, существенная для распространения радиоволн. 29 2.3. Модели радиолиний над земной поверхностью. Расстояние прямой видимости. 35 2.4. Виды поляризации радиоволн 40 2.5. Отражение плоских волн на границе раздела двух сред 44 2.6. Поле излучателя, поднятого над плоской земной поверхностью 49 2.6.1. Общий подход к анализу поля излучателя над плоской земной поверхностью 49 2.6.2. Излучение вертикального электрического диполя. 53 2.6.3. Излучение горизонтального электрического диполя. 56 2.7. Интерференционная формула Введенского 57 2.8. Учёт кривизны земной поверхности при пользовании интерференционными формулами

61 2.9. Влияние неровностей земной поверхности и препятствий на распространение радиоволн 69 2.9.1. Отражение от неровной поверхности. Критерий Релея 69 2.9.2. Обратное рассеяние от неровной поверхности. 74 2.9.3. Дифракция радиоволн на одиночном препятствии. 74 2.9.4. Распространение радиоволн в городских условиях 78 3. ВЛИЯНИЕ ТРОПОСФЕРЫ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН 79 3.1. Электрические параметры тропосферы. 79 3.2. Затухание электромагнитного поля в тропосфере. 83 3.3. Рефракция радиоволн в тропосфере. 86 3.3.1. Закон преломления лучей в неоднородной сферически слоистой тропосфере. 86 3.3.2. Траектории лучей в неоднородной сферически слоистой тропосфере. 90 3.3.3. Радиус кривизны лучей в тропосфере. 91 3.4. Расстояние прямой видимости в неоднородной тропосфере. Понятие эквивалентного радиуса Земли. 94 3.5. Виды тропосферной рефракции. 96 3.6. Тропосферный волновод. 100 3.7.О роли рефракции и других эффектов влияния тропосферы на работу радиосистем. 104

183

4. ВЛИЯНИЕ ИОНОСФЕРЫ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН 104 4.1. Структура, модели, методы исследования ионосферы. 104 4.1.1. Формирование и структура ионосферы. 104 4.1.2. Методы исследования ионосферы. 109 4.1.3. Модели ионосферы. 110 4.2 Электрические параметры ионизированного газа. Комплексная постоянная распространения радиоволны. 112 4.2.1.Диэлектрическая проницаемость ионизированного газа без учета магнитного поля Земли 112 4.2.2. Постоянная распространения радиоволны в ионизированном газе. Затухание радиоволн в ионосфере 117 4.2.3. Дисперсия. Фазовая и групповая скорости распространения радиоволн в ионизированном газе 122 4.3 Преломление и отражение радиоволн в ионосфере 127 4.3.1. Траектории радиоволн в ионосфере без учета влияния магнитного поля Земли 127 4.3.2. Уравнение лучей в плоско - слоистой ионосфере 132 4.3.3. Параболический слой 134 4.4 Влияние магнитного поля Земли на распространение волн в ионосфере 142 4.4.1 Влияние постоянного магнитного поля на электрические параметры ионизированного газа 142 4.4.2. Тензор диэлектрической проницаемости ионосферы 144 4.4.3.Распространение электромагнитных волн в ионосфере при наличии магнитного поля Земли 147 4.5. Распространение декаметровых волн 155 4.5.1. Особенности распространения радиоволн декаметрового диапазона 155 4.5.2. Основы расчета декаметровых радиолиний 158 4.5.3. Волновое расписание 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН МЕТРОВОГО – САНТИМЕТРОВОГО ДИАПАЗОНОВ НА КОСМИЧЕСКИХ РАДИОЛИНИЯХ 159 5.1. Влияние тропосферы и ионосферы на измерение дальности (в применении к глобальным навигационным системам) 159 5.2. Искажения радиосигналов в ионосфере 166 5.3. Влияние эффекта Фарадея на поляризацию радиоволн 171 5.4. Влияние рефракции радиоволн на работу космических радиолиний 174 Заключение 180 Литература 181

184

Учебное издание Пермяков Валерий Александрович

Солодухов Вячеслав Васильевич Бодров Вадим Викентиевич, Исаков Михаил Владимирович

РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН

Учебное пособие

по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн»

Для студентов всех специальностей радиотехнического факультета по направлению «Радиотехника»

Редакторы В.А.Пермяков, В.В.Солодухов Редактор издательства

_____________________________________________________________________________ Темплан издания МЭИ (ТУ) 2006 (I), учебн. Подписано в печать Физ. печ. л. 13 Тираж экз. Изд. Цена руб. _____________________________________________________________________________