Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ’ Λυκείου

Νίκος Ντούσης

Θεωρία Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας Νίκος Ντούσης

- 1 -

Συναρτήσεις ΟΡΙΣΜΟΣ Συνάρτηση (function) είναι µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β.

ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε σηµεία ∆∈21, xx µε 21 xx < ισχύει )()( 21 xfxf < , και γνησίως φθίνουσα στο ∆, όταν για οποιαδήποτε σηµεία

∆∈21, xx µε 21 xx < ισχύει )()( 21 xfxf > . Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα

λέγεται γνησίως µονότονη.

ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει: Τοπικό µέγιστο στο Ax ∈1 , όταν )()( 1xfxf ≤ για κάθε x σε µια περιοχή του 1x , και τοπικό ελάχιστο στο

Ax ∈2 , όταν )()( 2xfxf ≥ για κάθε x σε µια περιοχή του 2x . Τα µέγιστα και τα ελάχιστα µιας συνάρτησης,

τοπικά ή ολικά, λέγονται ακρότατα της συνάρτησης.

Όριο Συνάρτησης Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν στο 0x όρια πραγµατικούς αριθµούς, δηλαδή αν 1)(lim

0

ℓ=→

xfxx

και

2)(lim0

ℓ=→

xgxx

όπου 1ℓ και 2ℓ πραγµατικοί αριθµοί, τότε αποδεικνύεται ότι:

• 21))()((lim0

ℓℓ +=+→

xgxfxx

• 1))((lim0

ℓkxkfxx

=→

• 21))()((lim0

ℓℓ=→

xgxfxx

• 2

1

)(

)(lim

0 ℓ

ℓ=

→ xg

xfxx

• νν

xxxf 1))((lim

0

ℓ=→

• νν

xxxf 1)(lim

0

ℓ=→

.

ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε 0x A∈ ισχύει 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x→

= .

Θεωρία Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας Νίκος Ντούσης

- 2 -

Η Έννοια της Παραγώγου ΟΡΙΣΜΟΣ

Το παρακάτω ονοµάζεται παράγωγος της f στο x0, συµβολίζεται µε )( 0xf ′ :

h

xfhxfxf

h

)()(lim)( 00

00

−+=′

→

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Αν ( )f x c= , τότε έχουµε 0)()( =−=−+ ccxfhxf , και για 0≠h , προκύπτει ότι ( ) ( )

0f x h f x

h

+ −= ,

οπότε 0)()(

lim0

=−+

→ h

xfhxfh

.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Αν ( )f x x= , τότε έχουµε hxhxxfhxf =−+=−+ )()()( , και για 0≠h , προκύπτει ότι

1)()(

==−+

h

h

h

xfhxf.

Εποµένως 11lim)()(

lim00

==−+

→→ hh h

xfhxf.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω η συνάρτηση )()( xcfxF = . Έχουµε

))()(()()()()( xfhxfcxcfhxcfxFhxF −+=−+=−+ , και για 0≠h

h

xfhxfc

h

xfhxfc

h

xFhxF )()()()(()()( −+=

−+=

−+.

Εποµένως

)()()(

lim)()(

lim00

xfch

xfhxfc

h

xFhxFhh

′=

−+=

−+→→

.

( ) 0c ′ =

( ) 1x ′ =

( ( )) ( )c f x c f x′ ′⋅ = ⋅

Θεωρία Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας Νίκος Ντούσης

- 3 -

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω η συνάρτηση )()()( xgxfxF += . Έχουµε

))()(())()(()()( xgxfhxghxfxFhxF +−+++=−+ ))()(())()(( xghxgxfhxf −++−+= ,

και για 0≠h , h

xghxg

h

xfhxf

h

xFhxF )()()()()()( −++

−+=

−+.

Εποµένως

).()()()(

lim)()(

lim)()(

lim000

xgxfh

xghxg

h

xfhxf

h

xFhxFhhh

′+′=−+

+−+

=−+

→→→

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 0)( =′c

1)( =′x 1)( −=′ ρρ ρxx

xx

2

1)( =′

xx συν)ηµ( =′

xx ηµ)συν( −=′ xx ee =′)(

xnx

1)( =′ℓ

)())(( xfcxcf ′=′

)()())()(( xgxfxgxf ′+′=′+

)()()()())()(( xgxfxgxfxgxf ′+′=′

2))((

)()()()(

)(

)(

xg

xgxfxgxf

xg

xf ′−′=

′

( ) )())(())(( xgxgfxgf ′⋅′=′

Εφαρµογές των Παραγώγων ΘΕΩΡΗΜΑ

• Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ∆ και ισχύει 0)( >′ xf για κάθε εσωτερικό ση-

µείο του ∆, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆.

• Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ∆ και ισχύει 0)( <′ xf για κάθε εσωτερικό ση-

µείο του ∆, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ∆.

ΘΕΩΡΗΜΑ

• Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν 0)( 0 =′ xf για ),(0 βαx ∈ , 0)( >′ xf στο ),( 0xα και 0)( <′ xf στο

),( 0 βx , τότε η f παρουσιάζει στο διάστηµα ),( βα για 0xx = µέγιστο.

• Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν 0)( 0 =′ xf για ),(0 βαx ∈ , 0)( <′ xf στο ),( 0xα και 0)( >′ xf στο

),( 0 βx , τότε η f παρουσιάζει στο διάστηµα ),( βα για 0xx = ελάχιστο.

( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x f x g x′ ′ ′+ = +

Θεωρία Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας Νίκος Ντούσης

- 4 -

Βασικές Έννοιες της Στατιστικής Τις µεταβλητές τις διακρίνουµε: • Σε ποιοτικές ή κατηγορικές µεταβλητές, των οποίων οι τιµές τους δεν είναι αριθµοί.

• Σε ποσοτικές µεταβλητές, των οποίων οι τιµές είναι αριθµοί και διακρίνονται:

i) Σε διακριτές µεταβλητές, που παίρνουν µόνο “µεµονωµένες” τιµές.

ii) Σε συνεχείς µεταβλητές, που µπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιµή ενός διαστήµατος πραγµατικών α-ριθµών ),( βα .

Παρουσίαση Στατιστικών ∆εδοµένων ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ

Συχνότητα iν , είναι ο φυσικός αριθµός που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή ix της εξεταζόµενης µεταβλη-

τής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Το άθροισµα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο µε το µέγεθος ν του δείγµατος, δηλαδή:

1 2 ... vκν ν ν+ + + =

ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ

Αν διαιρέσουµε τη συχνότητα iν µε το µέγεθος ν του δείγµατος, προκύπτει η σχετική συχνότητα if της τιµής ix ,

δηλαδή

, 1,2,...,iif i

νκ

ν= = .

Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

(i) 10 ≤≤ if για κi ,...,2,1= αφού ννi ≤≤0 .

(ii) 1...21 =+++ κfff , αφού

1...

...... 212121 ==

+++=+++=+++

ν

ν

ν

ννν

ν

ν

ν

ν

ν

νfff κκκ .

ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ

Στην περίπτωση των ποσοτικών µεταβλητών εκτός από τις συχνότητες iν και if χρησιµοποιούνται συνήθως και

οι λεγόµενες αθροιστικές συχνότητες iN και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες iF , οι οποίες εκφράζουν το

πλήθος και το ποσοστό αντίστοιχα των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες της τιµής ix .

Ισχύουν οι σχέσεις: ii νννN +++= ...21

ii fffF +++= ...21

1N Nκ κ κν −= −

1f F Fκ κ κ −= −

Για τον υπολογισµό το τόξο ενός κυκλικού τµήµατος σε ένα κυκλικό διάγραµµα, ισχύει ο τύπος:

360360

oo

i i ifα νν

= =

Θεωρία Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας Νίκος Ντούσης

- 5 -

ΟΜΑ∆ΟΠΟΙΗΣΗ Πλάτος µιας κλάσης c ονοµάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το ανώτερο όριο της κλάσης. Εύρος R του δείγµατος ονοµάζουµε τη διαφορά της µικρότερης παρατήρησης από τη µεγαλύτερη παρατήρηση του συνολικού δείγµατος. Αν κ είναι ο αριθµός των κλάσεων σε µια οµαδοποίηση, ισχύει ο τύπος: /c R κ= . ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (α) οµοιόµορφη (β) κανονική (γ) ασύµµετρη µε θετική ασυµµετρία (δ) ασύµµετρη µε αρνητική ασυµµετρία

(δ) (γ) (β) (α)

Το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το άθροισµα των συχνοτήτων, δηλαδή µε το µέγεθος του δείγµατος ν. Το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε 1.

Μέτρα Θέσης

ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ( x ) Όταν σε ένα δείγµα µεγέθους ν οι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής Χ είναι vttt ,...,, 21 , τότε η µέση τιµή συµβολίζε-

ται µε x και δίνεται από τη σχέση:

∑∑

=

= ==+++

=ν

ii

ν

ii

ν tνν

t

ν

tttx

1

121 1...

Σε µια κατανοµή συχνοτήτων, αν κxxx ,...,, 21 είναι οι τιµές της µεταβλητής Χ µε συχνότητες κvvv ,...,, 21 αντί-

στοιχα, η µέση τιµή ορίζεται ισοδύναµα από τη σχέση:

∑∑

∑

=

=

= ==+++

+++=

κ

iiiκ

ii

κ

iii

κ

κκ νxνν

νx

ννν

νxνxνxx

1

1

1

21

2211 1

...

...

Η παραπάνω σχέση ισοδύναµα γράφεται: ∑ ∑= =

==κ

i

κ

iii

ii fxν

νxx

1 1

ΣΤΑΘΜΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Εάν σε κάθε τιµή νxxx ,...,, 21 δώσουµε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται µε τους λεγόµενους συντελεστές

στάθµισης (βαρύτητας) νwww ,...,, 21 , τότε ο σταθµικός µέσος βρίσκεται από τον τύπο:

∑

∑

=

==+++

+++=

ν

ii

ν

iii

ν

νν

w

wx

www

wxwxwxx

1

1

21

2211

...

...

Θεωρία Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας Νίκος Ντούσης

- 6 -

∆ΙΑΜΕΣΟΣ (δ)

∆ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η µε-σαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός αριθµός, ή ο µέσος όρος (ηµιάθροισµα) των δύο µεσαίων παρατη-ρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθµός.

∆ΙΑΜΕΣΟΣ ΣΕ ΟΜΑ∆ΟΠΟΙΗΣΗ Την διάµεσο σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα τη βρίσκουµε από το ιστόγραµµα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων %.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

186 180 174 168 162 156 192

δ

Fi %

x

Μέτρα ∆ιασποράς ΕΥΡΟΣ (R) Το εύρος ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη µέγιστη παρατήρηση :

=R Μεγαλύτερη παρατήρηση-Μικρότερη παρατήρηση ∆ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ (s2)

Η διακύµανση ορίζεται από τον τύπο: ∑=

−=ν

ii xt

νs

1

22 )(1

Ο τύπος αυτός αποδεικνύεται ότι µπορεί να πάρει την ισοδύναµη µορφή:

−= ∑∑

=

=ν

i

ν

ii

iν

t

tν

s1

2

122 1

Όταν έχουµε πίνακα συχνοτήτων ή οµαδοποιηµένα δεδοµένα, η διακύµανση ορίζεται από τη σχέση:

∑=

−=κ

iii νxx

νs

1

22 )(1

ή την ισοδύναµη µορφή: .1

1

2

122

−= ∑∑

=

=κ

i

κ

iii

ii v

vxvx

vs

Θεωρία Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας Νίκος Ντούσης

- 7 -

ΣΧΟΛΙΟ Αν σε καθεµία από τις παρατηρήσεις vttt ,...,, 21 µιας µεταβλητής Χ , αφαιρέσουµε τη µέση τιµή x , τότε ο αριθµη-

τικός µέσος των διαφορών αυτών είναι ίσος µε µηδέν, διότι:

0...)(...)()( 2121 =−=−

+++=

−++−+−xx

v

xv

v

ttt

v

xtxtxt vv .

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ (s) Η διακύµανση δεν εκφράζεται µε τις µονάδες µε τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Αν όµως πάρουµε τη θε-τική τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης, θα έχουµε ένα µέτρο διασποράς που θα εκφράζεται µε την ίδια µονάδα µέτρησης του χαρακτηριστικού. Η ποσότητα αυτή λέγεται τυπική απόκλιση, συµβολίζεται µε s και δίνεται από τη σχέση:

2s s=

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

Αν η καµπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό που εξετάζουµε είναι κανονική ή περίπου κανονική, τότε ισχύ-ουν οι παρακάτω ιδιότητες:

i) το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα

),( sxsx +−

ii) το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα

)2,2( sxsx +−

iii) το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα

( 3 , 3 )x s x s− +

iv) το εύρος ισούται περίπου µε έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή sR 6≈ .

v) Η µέση τιµή ισούται µε τη διάµεσο: x δ= . ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ (CV)

ή ό100% 100%

έ ή

sCV

x

τυπικ απ κλισηµ ση τιµ

= ⋅ = ⋅

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

i) Αν 0x < , τότε ο τύπος του CV γίνεται: 100%s

CVx

= ⋅

ii) Ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής θα είναι οµοιογενές, εάν ο συντελεστής µεταβολής δεν ξεπερνά το 10%.

iii) Αν έχουµε δυο δείγµατα Α και Β και ισχύει ότι A BCV CV< , τότε λέµε ότι το δείγµα Α έχει µεγαλύτερη

οµοιογένεια.

x s x s x s x x s x s x s− − − + + +3 2 2 3

99,7% 95% 68%

s s

Θεωρία Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας Νίκος Ντούσης

- 8 -

∆ειγµατικός Χώρος - Ενδεχόµενα ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος τύχης, λέγεται δειγµατικός χώρος και συµβολίζεται συ-νήθως µε το γράµµα Ω. Αν δηλαδή κωωω ,...,, 21 είναι τα δυνατά αποτελέσµατα ενός πειράµατος τύχης, τότε ο

δειγµατικός χώρος του πειράµατος θα είναι το σύνολο:

,...,, 21 κωωωΩ = .

ΕΝ∆ΕΧΟΜΕΝΑ Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσµατα ενός πειράµατος τύχης λέγεται ενδεχόµενο. Ένα ενδεχόµενο λέγεται απλό όταν έχει ένα µόνο στοιχείο και σύνθετο αν έχει περισσότερα στοιχεία. Ο δειγµατικός χώρος Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόµενο. Το κενό σύνολο ∅ λέγεται αδύνατο ενδεχόµενο. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΝ∆ΕΧΟΜΕΝΑ • Το ενδεχόµενο BA ∩ , που διαβάζεται “Α τοµή Β” ή “Α και Β” και πραγµα-τοποιείται, όταν πραγµατοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β. • Το ενδεχόµενο BA ∪ , που διαβάζεται “Α ένωση Β” ή “Α ή Β” και πραγµατοποιείται, όταν πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β.

• Το ενδεχόµενο A′ , που διαβάζεται “όχι Α” ή “συµπληρωµατικό του Α” και

πραγµατοποιείται, όταν δεν πραγµατοποιείται το Α. Το A′ λέγεται και “αντίθετο του Α”.

• Το ενδεχόµενο BA − , που διαβάζεται “διαφορά του Β από το Α” και πραγ-µατοποιείται, όταν πραγµατοποιείται το Α αλλά όχι το Β.

Είναι εύκολο να δούµε ότι BABA ′∩=− .

A B∩

Ω

B A

A B∪

Ω

B A

Ω

A΄ A

A B−

Ω

B A

Θεωρία Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας Νίκος Ντούσης

- 9 -

Στον παρακάτω πίνακα τα Α και Β συµβολίζουν ενδεχόµενα ενός πειράµατος και το ω ένα αποτέλεσµα του πειρά-µατος αυτού. Στην αριστερή στήλη του πίνακα αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα Α και Β διατυπωµένες στην κοινή γλώσσα, και στη δεξιά στήλη αναγράφονται οι ίδιες σχέσεις αλλά διατυπωµένες στη γλώσσα των συνόλων.

Το ενδεχόµενο Α πραγµατοποιείται Το ενδεχόµενο Α δεν πραγµατοποιείται Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγµατο- ποιείται Πραγµατοποιούνται αµφότερα τα Α και Β ∆εν πραγµατοποιείται κανένα από τα Α και Β Πραγµατοποιείται µόνο το Α Η πραγµατοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγµατοποίηση του Β

Aω∈ Aω ′∈ (ή Aω∉ )

BAω ∪∈

BAω ∩∈ BAω ∪∈ ( )΄

BAω −∈ (ή BAω ∩∈ ΄)

BA ⊆

ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ ΕΝ∆ΕΧΟΜΕΝΑ

∆ύο ενδεχόµενα Α και Β λέγονται ασυµβίβαστα, όταν ∅∅∅∅====∩∩∩∩ BA . ∆ύο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα λέγονται επίσης ξένα µεταξύ τους ή αµοιβαίως αποκλειόµενα.

Η Έννοια της Πιθανότητας ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα αποτελέσµατα ορίζουµε ως πιθανότητα του ενδεχοµένου Α τον αριθµό:

)(

)(

νΠεριπτώσεω∆υνατώνΠλήθος

νΠεριπτώσεωΕυνοϊκώνΠλήθος)(

ΩN

ANAP == .

Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ Από τον προηγούµενο ορισµό προκύπτει άµεσα ότι:

1. 1)(

)()( ==

ΩΩ

ΩN

NP

2. 0)(

0)( ==∅

ΩNP

3. 1)(0 ≤≤ AP

ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Έστω ,...,, 21 νωωω=Ω ένας δειγµατικός χώρος µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδεχόµε-

νο iω αντιστοιχίζουµε έναν πραγµατικό αριθµό, που τον συµβολίζουµε µε )( iωP , έτσι ώστε να ισχύουν:

• 1)(0 ≤≤ iωP

• 1)(...)()( 21 =+++ νωPωPωP .

Τον αριθµό )( iωP ονοµάζουµε πιθανότητα του ενδεχοµένου iω .

Ως πιθανότητα )(AP ενός ενδεχοµένου ∅≠= ,...,, 21 καααA ορίζουµε το άθροισµα

)(...)()( 21 καPαPαP +++ , ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχοµένου ∅ ορίζουµε τον αριθµό

0)( =∅P .

Θεωρία Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας Νίκος Ντούσης

- 10 -

Κανόνες Λογισµού Πιθανοτήτων

1. Για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα µεταξύ τους ενδεχόµενα Α και Β ισχύει:

)()()( BPAPBAP +=∪

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Αν κAN =)( και λBN =)( , τότε το BA ∪ έχει λκ + στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α και Β δε θα ήταν ασυµβίβα-

στα. ∆ηλαδή, έχουµε )()()( BNANλκBAN +=+=∪ .

Εποµένως:

)(

)()(

ΩN

BANBAP

∪=∪

)(

)()(

ΩN

BNAN +=

)(

)(

)(

)(

ΩΩ N

BN

N

AN+= .

)()( BPAP += .

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόµος και ισχύει και για περισσότερα από δύο ενδεχόµενα. Έτσι, αν τα ενδεχόµενα Α, Β και Γ είναι ανά δύο ασυµβίβαστα θα έχουµε )()()()( ΓPBPAPΓBAP ++=∪∪ .

2. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A′ ισχύει:

)(1)( APAP −=′

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Επειδή ∅=′∩ AA , δηλαδή τα Α και A′ είναι ασυµβίβαστα, έχουµε διαδοχικά, σύµφωνα µε τον απλό προσθετικό νόµο:

)()()( APAPAAP ′+=′∪

)()()( APAPP ′+=Ω

)()(1 APAP ′+= .

Οπότε )(1)( APAP −=′ .

3. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει:

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

A B∪

Ω

B A

Ω

A΄

A

Θεωρία Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας Νίκος Ντούσης

- 11 -

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Για δυο ενδεχόµενα Α και Β έχουµε

)()()()( BANBNANBAN ∩−+=∪ , (1)

αφού στο άθροισµα )()( BNAN + το πλήθος των στοιχείων του

BA ∩ υπολογίζεται δυο φορές. Αν διαιρέσουµε τα µέλη της (1) µε )(ΩN έχουµε:

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

ΩΩΩΩ N

BAN

N

BN

N

AN

N

BAN ∩−+=

∪

και εποµένως

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ .

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόµος. 4. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει:

Αν A B⊆ , τότε ( ) ( )P A P B≤

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Επειδή BA ⊆ έχουµε διαδοχικά:

)()( BNAN ≤

)(

)(

)(

)(

ΩΩ N

BN

N

AN≤

)()( BPAP ≤ .

5. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει

( ) ( ) ( )P A B P A P A B− = − ∩

. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Επειδή τα ενδεχόµενα BA − και BA ∩ είναι ασυµβίβαστα και ABABA =∩∪− )()( , έχουµε:

)()()( BAPBAPAP ∩+−= .

Άρα )()()( BAPAPBAP ∩−=− .

A B∪

Ω

B A

Ω

B A

A B−

Ω

B A