МетодичкаКратные интегралы

Государственный комитет Российской ФедерацииПо высшему образованию

Калмыцкий государственный университет

КРАТНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Лабораторные работы по математическому анализу

Элиста 2011

ГЛАВА1 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ1.1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.1.1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВПусть D замкнутая ограниченная область с границей r: Sr=0, функция

f(x,y) ограниченна в области D. Разобьём область D конечным числом кривых ri:Sri=0 на частичные области Di , i=1,2..r. Эти области Di квадрируемые, т.е. имеют площадь.Обозначим через ΔDi ПЛОЩАДЬ ЧАСТИЧНОЙ

ОБЛАСТИ Di через di= и назовём

ДИАМЕТРОМ РАЗБИЕНИЯ области D на частичные области Di. В каждой частичной области Di возьмём точку Mi и составим сумму :

Эта сумма называется ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММОЙ функции f(x,y) при разбиении области D на частичные области Di и выборе точек Mi из частичных областей Di зависит от разбиения и выбора точки MiÎDi def1: Число I называется ПРЕДЕЛОМ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ при d®0 области D на частичные области Di на частичные области Di если для "e>0, $ d>0, что для " разбиения области D на частичные области Di с диаметром d<d и для " набора точек MiÎDi выполняется условие: def2: Если существует конечный предел при d®0, то говорят, что функция f(x,y) ИНТЕГРИРУЕМА по области D т.е. fÎR(D), а этот предел называется ДВОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ от функции f(x,y) по области D

Если область D задана неравенствами a£x£b y1(x)£y£y2(x), где y1(x), y2(x) интегрируемые функции на [a,b], то соответствующий двойной интеграл может быть вычислен по формуле:

следующие свойства двойных интегралов

1)

2) , где С=const.

3) Если область интегрирования D разбита на две области D1 и D2, то

ri ri+1

Di r

Пример1 Вычислить

Решение:

Пример2: Вычислить , если область D ограниченна линиями:

y= 2-x2 , y= 2x-1Решение: построим область D. Первая линия- парабола, симметричная относительно оси Oy с вершиной в точке (0,2) Вторая линия- прямая.Решая систему двух уравнений

найдём координаты точекпересечения A и B: A(-3;-7), B(1,1)

Пример3: Поменять порядок интегрирования

Решение: область интегрирования ограничена линиями: x=-1, x=1, y= 1-x2, . Изменим порядок интегрирования, для чего заданную область

представим в виде двух областей D1 огран. слева и справа ветвями параболы , ограниченную дугами окружности .

Тогда

Задания1) Вычислить

1.

2.

3.

4.

5.

у=2х-1

у=2-х2

2

6.

7.

8.

9.

10.

2) Вычислить

1. , где

2. , где P ограниченна линиями


4. , обл Р ограниченна прямыми х=0, у=х,

5.


7. , где D ограниченна линиями х=2, у=х, ху=1

8. , где Р ограниченна линиями у=0, у=х, х+у=2

9.

10.

3) Поменять порядок интегрирования

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

4) Расставить пределы интегрирования в том и в другом порядке в двойном

интеграле для указанных областей S:

1. S трапеция с вершинами О(0;0),А(2;0), В(1;1), С(0;1).2. S прямоугольник с вершинами О(0;0),А(2;0), В(2;1), С(0;1).3. S треугольник с вершинами О(0;0),А(1;0), В(1;1)..4. S параллелограмм с вершинами А(1;2), В(2;4), С(2;7),D(1;5).5. S круговой сектор ОАВ с центром в точке О(0;0), у которого концы

дуги А(1;1), В(-1;1).6. S круговое кольцо, ограниченное окружностями радиусов r=1 и R=2 c

общим центром (0;0).7. Область S заданна неравенством 8. Область S ограниченна линиями 9. S ограниченна гиперболой (имеется

ввиду область, содержащая начало координат).10.область S ограниченна линиями х=0, у=0,

Ответы

1) 1. 2) 1. 1

2. 2. 4а

3. 50,4 3. (е-1)2

4. 4. -2

5. 5.

6. 6.

7. 7.

8. 8.

9. 9.

10. 10. 1

1.1.2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ

Преобразование двойного интеграла от ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ х, у к ПОЛЯРНЫМ КООРДИНАТАМ связанным с прямоугольными координатами соотношением: , осуществляется по формуле:

Если область интегрирования D| ограниченна двумя лучами, выходящими из полюса, и двумя кривыми и

, где и однозначные функции при

, то двойной интеграл вычисляется по формуле:

где , причём сначала вычисляется интеграл

, в котором считается постоянным.

Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то её разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.Пример1: Перейдя к полярным координатам, вычислить

, если D первая четверть круга

Решение: полагая имеем:

Пример2: В двойном интеграле перейти к полярным

координатам и записать интеграл в виде:

Р ешение:

ЗАДАНИЯ

1) С помощью перехода к полярным координатам вычислить двойные

интегралы:

1. , где D круг

2. , где D круг .

3. , где D часть кольца .

4. , где D часть круга , лежащая в 1-ом квадранте.


6. , где D верхний полукруг радиуса a с центром в точке (a,0)

а

7. , где D полукруг радиуса a с центром в начале координат,

лежащей выше оси Ox.

8. , где D полукруг диаметра a с центром в точке С( , 0).

9. , D окружность .

10. D: , .

2) В данных задачах перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке.


2. , где D является общей частью 2-х кругов , .

3. , где D треугольник ограниченный прямыми y=x, y=-x, x=1.

4. , где D: .


6. , где D область ограниченная прямыми y=x, y=0, x=1.

7. , где D: y=x, y=2x, , .



10. , где D меньший из 2-х сегментов, на которые прямая x+y=2

рассекает круг

3) В двойном интеграле , перейти к полярным

координатам r и φ, и записать интеграл в виде :

1.2.3.

4.

5.6.7.8.9.

10.

ОТВЕТЫ.1)

1. πr2h 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10. 0

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КАК ПЛОЩАДЬ

Площадь плоской области D равна . Если область D

определена, например неравенствами , то:

Если область D в полярных координатах определена неравенствами , то:

Прамер1: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,x+y=6.

Решение: определим точки пересечения данных линий=>x=6-y

6-y=4y-y2

y2-5y+6=0

=> В(3,3), А(4,2) - точки пересечения

Пример2: вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями

ρ=1, (вне окружности ρ=1)

Решение: найдём координаты точки А, пересечения окружностей

. Тогда

Пример3: Найти площадь фигуры, ограниченной линией x3+y3=axy (петля).

Решение: примем за параметр переменную x и преобразуем наш интеграл в определённый интеграл. Из уравнения параболы находим

dy=4xdx. Поэтому

Пример4: Найти площадь, ограниченную петлёй декартового листаРешение: Преобразуем данное уравнение к полярным координатам

.

Т. е.

Оси симметрии петли является луч , а поэтому

Ответ:

1) Найти площадь плоских фигур, ограниченных заданными ниже кривыми:

1. xy=4, x+y-5=02. x=y, x=2y, x+y=a, x+3y=a (a>0)3. xy=a2, xy=b2, y=m, y=n4. y=x, y=5x, x=1

5.

6. y2=10x+25, y2=6x+9

7.

8. y=0, x=0, x+y=19.10. x2=ay, x2=by, y=m, y=n, 0<a<b, 0<m<n.

2) Вычислить площади плоских фигур, ограниченных заданными кривыми, с помощью преобразования к полярным координатам:

1. (x2+y2)2= 2a2(x2-y2)2. (x2+2y2)3= xy4

3.

4. x2+y2=2x, y2+x2=4y, y=0, y=x5. (x+y)3=xy, (x≥0, y≥0)

6.

7. (x2+y2-ax)2=a2(x2+y2), (внутри каждой из этих кривых)8. (x2+y2)2= a2x2+b2y2

9. x4+y4= 2a2xy

10.

3) Найти площадь области ограниченной кривыми:

1. r=a(1+cosφ), r=acosφ, (a>0)2. r= cosφ=1, r=2 (имеется в виду область, не содержащая полюса)3. ρ=acosφ, ρ=bcosφ, b>a>04. ρ=2(1-cosφ), ρ=2 (вне кардиоиды)5. ρ=2(1+cosφ), ρ=2cosφ6. ρ=asin3φ, a>07. ρ=a(1-cosφ), ρ=a (вне кардиоиды)8. ρ=acos2φ,9. ρ=4sinφ, ρ=2sinφ10. ρ2=a2 sin2φ

ОТВЕТЫ

1)

1.

2.

3.

4. 2

5. πab

6.

7.

8.

9.

10.

2)

1. 2a2

2

3. 27π

4. 3

5.

6. 6

7.

8.

9.

10.

3)

1.

2.

3.

4. 8-π

5. 5π

6.

7.

8.

9. 3π

10. a2


НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В МЕХАНИКЕ

Если пластинка занимает область D плоскости xOy и имеет переменную поверхностную плоскость , то МАССА М пластинки выражается двойным интегралом:

Пусть на плоскости xOy задана система материальных точек А1(х1; у1), А2(х2; у2),…., Аn(хn; уn) с массами m1, m2,…, mn.

def1: СТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ Мm ЭТОЙ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты:

(1)

Аналогично определяется СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ Оу:

(1|)

СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ Мх, Му ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ Ох, Оу вместо сумм (1) и (1|) выражаются соответствующими двойными интегралами:

В случае однородной пластинки γ=const, которую принимают равной γ=1.

def 2 : МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ Ix, Iy СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ Ох, Оу называется сумма произведения масс точек на квадраты их расстояний от соответствующей оси:

(2)

(2|)

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ Ix, Iy СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ Ох, Оу вместо (2) и (2|) выражается соответствующими двойными интегралами:

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ пластинки относительно НАЧАЛА КООРДИНАТ равен:

ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ:

КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ пластины можно вычислить по формулам:

; , где М масса пластинки, Мх, Му её статические моменты

относительно осей координат.В случае однородной пластинки формулы имеют вид:

, где S площадь области D.

Пример1Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями y2=4x+4y, y2=-2x+4.

Решение: поскольку фигура симметрична относительно оси Ох, то Остаётся найти . Найдём площадь данной фигуры

Тогда

Пример2: Вычислить момент инерции фигуры, ограниченной кардиоидой ρ=а(1+cosθ), относительно оси Ох.

Решение: момент инерции относительно оси Ох равен

Перейдём к полярным координатам . Тогда

Пример3: Найти момент инерции круга радиуса R относительно точки, лежащей на окружности.

Решение: составим уравнение окружности, проходящей через начало координат, х2+у2=2rx и вычислим момент инерции I0. Получим:

. Вычислим интеграл I0 в полярных координатах. В

полярной системе координат уравнение данной окружности представляется в

виде ρ=2rcosφ. Получим:

ЗАДАНИЕ1)

1. Найти координаты центра тяжести круглой пластинки х2+у2≤а2, если плотность её вещества в точке М(х,у) пропорциональна расстоянию от точки М| до точки А(а;0)

Замечание: применяем полярные координаты2. найти статический момент однородного тела, имеющего форму

прямого конуса (основание радиуса R, высота H) относительно плоскости, проходящей через вершину параллельно основанию.

3. Вычислить статический момент пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами ОА=а, ОВ=b, относительно катета ОА, если плоскость её в любой точке равна расстоянию точки от катета ОА.

4. Найти массу квадратной пластины со стороной а, если плотность вещества пластины в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин квадрата и равна μ0 в центре квадрата.

5. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми ay=x2, x+y=2a (a>0)

6. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми , х=0, у=0.

7. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки,

ограниченной кривыми , (х≥0, у≥0).

Замечание: использовать замену х=acos3t, y=asin3t, 0≤t≤ , взять перед

интегралом знак “-” в следствии того, что возрастанию параметра t от 0 до

соответствует убывание переменной х от а до 0.8. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки,

ограниченной кривой , (петля).

9. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой , (х≥0, у≥0).

Замечание: перейти к полярным координатам.10. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки,

ограниченной кривыми ρ=a(1+cosφ), φ=0.2)

1. Найти центробежный момент инерции Ix,y однородной фигуры, ограниченной кривыми: ax=x2, ax=y2 (a>0).

2. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой ,

3. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки,

ограниченной кривой .

4. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми , (0≤t≤2π), у=0.

5. найти статические моменты относительно координатных осей четверти круга радиуса R.

6. Найти статические моменты круга относительно его касательной.

7. Найти статические моменты полукруга относительно его диаметра.

Найти статические моменты относительно координатных осей части плоскости, ограниченной линиями y=x2, y+x=2, y=2.

8. Найти статический момент правильного шестиугольника со стороной а относительно стороны (γ=1).

9. Найти статические моменты относительно координатных осей части плоскости, ограниченной линиями y=x2, y+x=2, y=2.

10. Найти статические моменты однородного тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a,b,c относительно его граней.

3)

1. Вычислить момент инерции прямоугольника со сторонами a и b относительно его сторон.

2. Вычислить момент инерции квадрата со стороной а относительно одной из вершин.

3. Вычислить момент инерции треугольника, ограниченного прямыми х+у=2, х=2, у=2 относительно оси Ох.

4. Вычислить момент инерции полукруга относительно его диаметра.

5. Вычислить момент инерции круга относительно его центра.

6. Вычислить момент инерции круга относительно касательной.

7. Вычислить момент инерции фигуры, ограниченной кривой относительно начала координат.

8. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями , х+у=3, у=0.

9. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями у=4-х2, у=0, относительно оси Ох.

10. Вычислить момент инерции площади эллипса

относительно его большой оси.

1.2. Тройные интегралы.


ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

def 1 : ТРЁХМЕРНЫЙ КООРДИНАТНЫМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ называется множество точек (х1, х2, х3)ЄR3 удовлетворяющих условию:аi≤хi≤bi , i=1,2,3 ai, bi ЄR и этот параллелепипед обозначим:

П=[a1, b1]*[a2, b3]*[a3, b3]Пусть задана функция f(x)= f(x1, x2, x3) в трёхмерной области ПÌR3.

Возьмём разбиение Т данного П плоскостями х=хi параллельными координатным гиперплоскостям. Разобьём на частичные параллелепипеды. В каждом Пj возьмём точку РjÌПj, где Рj=(ej

1, ej2, ej

3). Обозначим через μ(Пj)-

объем частичного параллелепипеда . Составим сумму

-это ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА функции f,

соответствующая данному разбиению Т и выбору точек Рj из частичных параллелепипедов Пj.

Обозначим через -ДИАМЕТР РАЗБИЕНИЯ Т, где

-ДИОГАНАЛЬ частичного параллелепипеда.def 2 : Число I называется ПРЕДЕЛОМ интегральных сумм при

диаметре λ→0, если для "ε>0 $δ>0, что для "разбиения Т диаметр которого λ<δ и для " набора точек {Pj} PjЄПj выполняется неравенство:

def 3 : Функция f(x1, x2,x3) называется ИНТЕГРИРУЕМОЙ в трёхмерном прямоугольном координатном параллелепипеде, если существует конечный предел

и этот предел называется ТРЁХКРАТНЫМ ИНТЕГРАЛОМ функции f(x1, x2,x3) по трёхмерному прямоугольному параллелепипеду и обозначается:

Пусть x1=х, x2=у, x3=z.

Если функция f(x,y,z) непрерывна, область D ограниченна и определена неравенствами: x1≤х≤ x2 у1(х)≤у≤у2(х), z1(x,y)≤z≤z2(x,y), где у1(х),у2(х),

z1(x,y),z2(x,y) непрерывные функции, то тройной интеграл от функции f(x,y,z), распространенный на область D, может быть вычислен по формуле:

Иногда удобно также применять формулу:

где S(x) сечение области D плоскостью х=const.

При переходе от декартовых координат x,y,z к ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ φ,z, связанным с x,y,z соотношениями:

х=ρcosφ,y=ρsinφ,

z=z.где 0≤ρ≤+∞, 0≤φ≤2π, -∞≤z≤+∞, якобиан равен I=ρ и формула преобразования тройного интеграла к ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ ИМЕЕТ ВИД:

При переходе от декартовых координат к СФЕРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ ρ,φ,θ связанными с x,y,z соотношениями:

х=ρsinθcosφ,y=ρsinθsinφ,

z=ρcosθ,где 0≤ρ≤+∞, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤π. Якобиан преобразования равен: I=ρ2 sinθ и формула преобразования тройного интеграла к СФЕРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ имеет вид:

Пример1: Вычислить V: z=xy, y=x, x=1, z=0

Пример2: Вычислить , если Т шар х2+у2+z2≤r2.

Решение: введём сферические координаты х=ρsinθcosφ, y=ρsinθsinφ, z=ρcosθ. Якобиан преобразования I=ρ2 sinθ.

ЗАДАНИЕ1)Вычислить:

1. , Т=[(x,y,z):x+y+z=1, z=0, y=0,x=0].

2. ,Т: , x2+y2+z2≤3a2

3. T: x2+z2=1, y=0,y=1.

4. , T: z=0, z=a, x=0, y=0, x+y=b (a>0, b>0).

5. , T: y2=x, y=x2, z=xy, z=0.

6. , T: z=xy, x+y=1, z=0 (z≥0).

7. , T: x=0, z=0, y=0, y=h, x+z=a

8. ,T: y=0, z=0,

9. , T: x+y+z=1, z=0, x=0, y=0.

10. , T: x+y=1, x+y=0, y=0, z=0, z=3.

2) Вычислить интеграл с помощью перехода к цилиндрическим или сферическим координатам.

1. , G: x2+z2=1, y=0, y=1.

2.

, G: , z=2.

3. , G: x2+y2+z2≤r2.

4. , G: x2+y2+z2≤1

5. G: x2+y2≤2az, x2+y2+z2≤3a2

6. G: x2+y2+z2≥r2 , x2+y2+z2≤2rz

7. , G: , z≥1.

8. , G: , 0≤z≤h.

9. , G: x2+y2+z2≤r2 , y2+z2≤x2 , x≥0.

10. , G: x2+y2≤2z, 0≤z≤2.

3) расставить пределы интегрирования в последовательности x,y,z; y,x,z; z,y,x для указанной области V.

1. V: x2+y2=r2 , z=0, z=H

2. V: , z=0, x=0, y=0 (a>0, b>0, c>0)

3. V: x2+y2=1, z=0, z=1 (x≥0, y≥0)

4. V: z=0

5. V: z= 1-x2-y2, z=06. V: 2x+3y+4z=12, z=0, y=0, x=0.7. V: y2+2z2=4x, x=2.8. V: x2+y2=z2, z=19. V: x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.10. V: x2+y2=r2 , z=3, z=5.

ОТВЕТЫ

1) 1. 6.

2. 7.

3. 1.5π 8.

4. 9. 0.5

5. 10. 3

2) 1. 1.5π 6.

2.

7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.


ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЛЕЧИН ПОСРЕДСТВОМ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

ОБЬЁМ области Т определяется по формуле:

Если плотность тела переменная: γ=γ(x;y;z), то МАССА тела, занимающего область Т вычисляется по формуле:

КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ тела определяются по формулам:

При γ=I имеем:

координаты геометрического центра тяжести).МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ тела V| относительно координатных

плоскостей называется, соответственно интеграл:

(*)

.

МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ относительно КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ:Ix= Ixy+Ixz

Iy=Iyx+Iyz

Iz= Izx+Izy

МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ тела V| относительно НАЧАЛА КООРДИНАТ называется интеграл:

Используя (*) получаем:I0=Ixy+Iyz+Izx

Пример1: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:hz=x2+y2, z=h.

Решение: данное тело ограниченно снизу параболоидом z= ,

сверху плоскостью z=h и проектируется в круг x2+y2≤h2 плоскости хОу. Используем цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида

имеет вид z= . Объём тела равен

Пример2: найти массу прямоугольного параллелепипеда 0≤х≤а, 0≤у≤b, 0≤z≤c, если плотность в точке (x;y;z) пропорциональна сумме координат этой точки.

Решение: в данном случае γ(x;y;z)= r(x+y+z).

Следовательно получим: m=

.

ЗАДАНИЯ1) Найти объём тела ограниченного поверхностями:

1. , z=x2+y2

2. z=0, x=0.5(x2+y2), x2+y2+z2=4 (внутри цилиндра)3. z=4-y2, z=y2+2, x=-1, x=24. z=x2+y2, z= x2+2y2, y=x, y=2x, x=1.5. z=x2+y2, z= 2x2+2y2, y=x2, y=x.6. x2+y2+z2=r2, x2+y2=r(r-2z), (z≥0)7. z=x2+y2, z2=xy8. az=x2+y2, z= , a>09. x+y+z=a, x+y+z=2a, x+y=z, x+y=2z10. x2+y2+4z2=1

2) 1. Найти массу куба 0≤х≤а, 0≤у≤а, 0≤z≤а, если плотность в точке

(x;y;z) есть γ(x;y;z)=x+y+z.2. Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна

расстоянию от центра шара, причём на расстоянии единицы от шара плотность равна 2.

3. Из октана шара x2+y2+z2≤r2 (x≥0, y≥0, z≥0) вырезано тело,

ограниченное координатными плоскостями (a≤c, b≤c). Найти массу

этого тела, если плотность в каждой точке (x;y;z) пропорциональна аппликате этой точки.

4. Определить массу тела, ограниченного поверхностями z=h, x2+y2-z2=0, если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки.

5. Определить массу пирамиды, образованной плоскостями x+y+z=a, x=0, y=0, z=0, если плотность в каждой её точке пропорциональна аппликате этой точки.

6. Определить массу сферического слоя между поверхностями x2+y2+z2=а2 и x2+y2+z2=4а2, если плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат.

7. вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым цилиндром радиуса R, высоты H, если его плотность в любой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки от центра основания цилиндра.

8. определить момент инерции относительно координатных

плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями , x=0,

y=0, z=0, a,b,c>0.Замечание: использовать замену x=aρcos2φ, y=bρsin2φ, z=z,

(0≤φ≤2π, ρ≥0).9. определить момент инерции относительно координатных

плоскостей однородного тела ограниченного поверхностью:

Замечание: использовать замену x=aρsinθcosφ, y=bρsinθsinφ, z=cρcosθ, (0≤φ≤2π, ρ≥0, 0≤θ≤π).

10. Определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями:

, z=0

Замечание: использовать замену x=aρcosφ, y=bsinφ, z=z, (0≤φ≤2π, ρ≥0).

II1 Найти массу куба , если плотность в точке

есть .2 Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна

расстоянию от центра шара, причем на расстоянии единицы от шара плотность равна 2.

3 Из октана шара вырезано тело,

ограниченное координатными плоскостями и плоскостью .

Найти массу этого тела, если плотность его в каждой точке (x;y;z) пропорциональна аппликате этой точки.

4 Определить массу тела, ограниченного поверхностями z=h, , если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате этой

точки.5 Определить массу пирамиды, образованной плоскостями x+y+z=a,

x=0, y=0, z=0, если плотность в каждой ее точке пропорционально аппликате этой точки.

6 Определить массу сферического слоя между поверхностями и , если плотность в каждой его точке обратно

пропорциональна расстоянию точки то начала координат.7 Вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым цилиндром

радиуса R, высоты H, если его плотность в любой точке пропорциональна расстоянию точки от начала координат.

8 Определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями

.

Замечание: использовать замену .9 Определить момент инерции относительно координатных

плоскостей однородного тела ограниченного поверхностью:

Замечание: использовать замену .

10 Определить момент инерции относительно координатных

плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями:

Замечание: использовать замену .

III1 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного плоскостями

2x+3y-12=0, x=0, y=0, z=0 и цилиндрической поверхностью .2 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного

поверхностями , x=5, y=5, z=0.3 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного

поверхностями x+y=1, x=0, y=0, z=0.4 Найти координаты центра тяжести восьмой части однородного

эллипсоида , расположенной в первом октанте.

5 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями .

6 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями

7 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного

поверхностями

8 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного

поверхностями .



ОтветыI

II

к - коэффициент пропорциональности

III

2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ2.1. Криволинейные интегралы

2.1.1. Лабораторная работа

Криволинейные интегралы первого родаПусть l спрямляемая кривая, кривая не имеет самоналогания и

самопересечения. Пусть данная кривая задана параметрически:

.

И для определенности точка A(φ(a),ψ(a),s(a)) начальная точка, а точка B(φ(b),ψ(b),s(b)) конечная точка, т.е. l=AB.

Пусть на данной кривой l заданы функции f(x,y,z), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) . В силу того, что l ограниченное, замкнутое множество, функции f,P,Q,R равномерно непрерывны.

Кривую l разобьем на дуги так, чтобы на дуге χ появятся точки . Точка совпадает с точкой A, точка совпадает с точкой B. частичные дуги. Через обозначим ДЛИНЫ этих ЧАСТИЧНЫХ ДУГ:

ДИАМЕТР РАЗБИЕНИЯ кривой. В каждой частичной дуге берем точку , где , где .

Составим интегральные суммы:

Def1: число I называется ПРЕДЕЛОМ интегральной суммы , если для не зависящее от выбора точки , что для всех

разбиений с диаметром выполняется неравенство .Def2: конечный предел интегральной суммы при называется

КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ ПЕРВОГО РОДА функции f(x,y,z) по кривой и обозначается:

.

Если функция f(x,y,z) определена и непрерывна в точках гладкой кривой С:

x=x(t)y=y(t)z=z(t) ,

и - дифференциал дуги, по определению полагают:

Особенность этого интеграла состоит в том, что он не зависит от направления кривой С.

Свойства

Физический смысл криволинейного интеграла первого рода представляет собой массу кривой L, линейная плотность кривой L равна p(x,y,z).

Если p=p(x,y,z) линейная плотность в текущей точке (x,y,z) кривой С, то МАССА кривой С равна:

КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ этой кривой выражаются формулами:

Пример 1

Вычислить если

Решение: найдем

Пример 2

Найти массу дуги кривой , линейная

плотность которой меняется по закону .

Решение: .

Пример 3Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды

.Решение: координаты центра тяжести однородной дуги кривой К

вычисляется по формулам:

, где длина дуги.

Имеем:

Тогда

Пример 4Найти с помощью криволинейного интеграла длину астроиды

.

Решение: воспользуемся формулой . В нашем случае

Поскольку кривая симметрична относительно координатных осей, то

Пример 5Вычислить площадь части боковой поверхности круглого

цилиндра , срезанного снизу плоскостью xOy, а сверху поверхностью

.

Решение: задача сводится к вычислению криволинейного интеграла от

функции по окружности . Так как срезающая сверху

поверхность симметрична относительно плоскостей xOz и yOz, то можно ограничиться вычислением интеграла только по дуге одной четвертой части окружности расположенной в первой четверти плоскости xOy. Получим:

ЗАДАНИЯI ВЫЧИСЛИТЬ

1 , где L первый виток винтовой линии

2 , где L четверть окружности ,

лежащая в первом октанте.

3 , где L первый виток конической винтовой линии

x=tcost, y=tsint, z=t.

4 , где L четверть окружности

лежащая в первом октанте.

5 , где C дуга кривой .

6 , где C первый виток винтовой линии x=accost,

y=asint, z=bt.

7 , где C окружность

8 , где

9 ,где от точки

А(0,0,0) до точки В

10 , где .

II1 Найти массу первого витка винтовой линии x=accost, y=asint, x=bt,

если плотность в каждой равна радиус-вектору этой точки.

2 Найти массу дуги параболы , лежащей между точками (1;0,5) и

(2;2), если линейная плотность .

3 Найти массу первого витка винтовой линии x=cost, y=sint, z=t, если плотность в каждой точке равна радиус-вектору этой точки.

4 Вычислить массу четвертой части эллипса , лежащей в

первом квадранте, если линейная плотность ρ(x,y)=xy.5 Найти массу дуги винтовой линии x=accost, y=bsint, z=bt ,

если плотность в каждой ее точке равна квадрату аппликаты.6 Найти массу дуги окружности x=cost, y=sint , если линейная

плотность в ее точке ρ(x,y)=y.

7 Найти массу участка цепной линии между точками с

абсциссами , если плотность линии в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки, причем плотность в точке (0;a) равна 0.

8 Найти массу участка линии y=lnx между точками с абсциссами и ,если плотность линии в каждой точке равна квадрату абсциссы точки.

9 Вычислить массу всей цепной линии , если линейная

плотность ее .

10 Вычислить массу кривой на участке от t=0 до

t=1, если линейная плотность ее .

III1 Найти площадь части поверхности цилиндра , 2

3 Найти площадь боковой поверхности параболического цилиндра

, ограниченного плоскостями z=0, x=0, z=x, y=6.

4 Найти длину дуги конической винтовой линии от О(0,0,0) до А(а,0,а).

5 Найти длину дуги .

6 Вычислить площадь цилиндрической поверхности, ограниченной снизу плоскостью xOy, а сверху .

7 Вычислить площадь цилиндрической поверхности, ограниченной снизу плоскостью , а сверху .

8 Найти длину дуги .9 Найти длину дуги .10 Вычислить площадь цилиндрической поверхности, ограниченной

снизу плоскостью Oxy, а сверху поверхностями .

IV

1 Найти координаты центра тяжести однородной дуги кривой.

2 Найти координаты центра масс дуги однородной кривой .



5 Найти координаты центра масс дуги однородной кривой

.

6 Найти координаты центра масс дуги однородной кривой L, если

.

7 Найти координаты центра масс дуги винтовой линии , если ее плотность в каждой точке

пропорциональна аппликате этой точки.8 Найти координаты центра масс дуги

.

9 Найти координаты центра тяжести однородной дуги кривой y=chx, .

10 Найти координаты центра масс дуги однородной кривой L, если .

ОтветыI

II

III

IV

2.1.2. Лабораторная работа 2

Криволинейные интегралы второго родаDef1: Конечный предел называется

КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ ВТОРОГО РОДА функций P(x,y,z), (Q(x,y,z),R(x,y,z)) по кривой L и обозначается:

Сумма интегралов называется

ОБЩИМ КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ ВТОРОГО РОДА.ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Общий криволинейный интеграл второго рода представляет собой работу по перемещению материальной точки А в точку В по кривой L под действием силы с составляющими P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z).

F(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))Если функции P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) непрерывны в точках кривой

, пробегаемой в направлении возрастания параметра t , то полагают:

При изменении направления обхода кривой С этот интеграл изменяет свой знак на противоположный.

Если P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=du, где u=u(x,y,z) однозначная функция в области V, то независимо от вида кривой С, целиком расположенной в V, имеем:

Где начальная и конечная точка пути. В простейшем случае, если область V односвязная и функции P,Q,R обладают непрерывными частными производными первого порядка, для этого необходимо и достаточно, чтобы в области V тождественно выполнены следующие условия:

Тогда в простейшем случае стандартной параллелепидальной обл. V, функцию u можно найти по формуле:

, где некоторая фиксированная точка

области V и c-const.ПРИМЕР 1Найти работу силового поля в каждой точке (x,y) которого напряжение

(сила действующая на единицу массы) когда точка массы m описывает окружность x=accost, y=asint, двигаясь по ходу часовой стрелки.

Решение: Работа, совершаемая силой , действующей на точку при перемещении ее по дуге АВ

Подставляя в формулу (1) проекции силы , действующей на точку Fx=m(x+y), Fy=-mx, и преобразуя криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной t получим:

ЗаданияI Вычислить

1 , где L отрезок прямой от (1;1;1) до (2;3;4).

2 , где К дуга винтовой линии от точки

пересечения линии с плоскостью z=0 до точки ее пересечения с плоскостью z=a.

3 вдоль прямой линии.

4 , где К окружность положительно

ориентированная на верхней стороне плоскости.

5 , где АО дуга окружности

расположенная по ту сторону от плоскости xOz, где y>0.

6 , где L эллипс

положительно ориентированный на верхней стороне плоскости.

7 , где L эллипс положительно

ориентированный на верхней стороне плоскости.

8 , где L эллипс положительно

ориентированный на верхней стороне плоскости.

9 , где K кривая положительно

ориентированная на внешней стороне цилиндра.

10 , где L кривая

положительно ориентированная на внешней стороне правой (x≥0) полусферы.

II Проверить является ли данные выражения полными

дифференциалами функции двух переменных, и если да, то найти эти функции.

III Найти первообразную функции U(x,y) по ее полному дифференциалу.

7.

8. 9.

10.

4) Вычислить с помощью криволинейного интеграла площадь фигур, ограниченных следующими кривыми:

1. y2=x, x2=y2. x=accost, y=bsint3.Площадь четырехугольника с вершинами А(6;1), В(4;5), С(1;6),

D(-1;1)4. Контуром ОАВСО, если А(1;3), В(0;4), С(-1;2), О(0;0). ОА, ВС, СО

отрезки прямых, а АВ дуга параболы у=4-х2.5. Площадь кардиоиды х=2rcost-rcos2t, y=2rsint-rsin2t6. (x+y)2=ax, (a>0) и осью Ох.7. x=acos3t, y=asin3t8. (x+y)3=axy9. (x+y)4=x2y10. (x+y)2=xy

5)

1. Поле образованно силой F= , направление которой составляет угол

с направлением радиус-вектора точки её приложения. Найти работу поля

при перемещении материальной точки массы m по дуге окружности x2+y2=a2 из точки (а;0) в точку (0;а).

2. В каждой точке плоскости действует сила F, проекция которой на координатные оси равны Fx=xy, Fy=x+y. Вычислить работу силы при перемещении точки с массой, равной единице, из начала координат в точку (1;1) по прямой у=х.

3. Проекция силы F на координатные оси равны Fx=2xy, Fy=x2. Показать, что силовое поле потенциальное и вычислить работу поля при перемещении точки массой, равной единице, из точки (1;0) в точку (0;3)

4. В каждой точке плоскости действует сила F, проекция которой на координатные оси равны Fx=xy, Fy=x+y. Вычислить работу силы при перемещении точки с массой, равной единице, из начала координат в точку (1;1) по параболе у=х2.

5. Поле образовано силой, имеющей постоянную величину F и направление положительной полуоси Ох. Найти работу поля, когда материальная точка описывает по ходу часовой стрелки четверть окружности х2+y2=r2 , лежащую в первом квадранте.

6. Найти работу, производимую силой тяжести при перемещении материальной точки массы m из положения А(x1;y1;z1) в положение В(x2;y2;z2) (ось Оz направлена вертикально вверх).

7. Найти работу упругой силы, направленной к началу координат, величина которой пропорционально удалению точки от начала координат, если точка приложения силы описывает против часовой стрелки четверть

эллипса , лежащую в первом квадранте.

8. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки её приложения от оси Оz, перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу силы при движении точки под действием этой силы по окружности х=cost, y=1, z=sint от точки М(1;1;0) до точки N(0;1;1).

9. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки её приложения от плоскости хОу и направлена к началу координат. Вычислить работу при движении точки под действием этой силы по прямой x=at, y=bt, z=ct, от точки М(a;b;c) до точки N(2a;2b;2c).

10. Силовое поле образованно силой F(х,у), равной расстоянию точки её приложения от начала координат и направленной в начало координат. Найти работу силы поля, затраченную на перемещение материальной точки единичной массы по дуге параболы у2=8х от точки (2;4) до точки (4;4 )

ОТВЕТЫ1) 1. 13 6. -16π

2. 0 7. -2 πa3

3. 3 8. -8π4.

πа2 9. πa2

5. r3 10. – a2

2)

1.F(x,y)= 8x3sin2y- 5y2+c

2. Не является полным дифференциалом

3. F(x,y)= Ln(x+y)- +c

4. F(x,y)= +c

5. F(x,y)= 4x3 y+ +c

6. F(x,y)= xe2y-5y2ex+c7. F(x,y)= x3 -x2y+xy2- y3+c

8. F(x,y)= +x2y-xy2- +c

9. F(x,y)= x2cosy+y2cosx+c

10. F(x,y)= +c

3)1. U=x-ex-y+sin(x-y)+2y+c2. U=x- ex-y+sinx+siny+c

3. U= x3-x2y2+3x+ x3+3y+c

4. U=x2 +y2-1.5x2y2+2xy+c5. U= chx+xchy+y+c

6. U= xarcsinx-yarcsiny+ - x2Lny+c

7. U= Ln|x-y|+

8. U= (x2-y2)2+c

9. U=Ln|x+y|-

10. U= x2cosy+y2cosx+c4)

1. 6. a2

2. πab 7. πa2

3. 22.5 8.

4. 9.

5. 6πr2 10.

5)1. rπ 6. mg(z1-z2)

2. 7. (a2-b2)

3. 0 8. 0,5kLn2

4. 9.

5. FR 10. -14k-коэффициент пропорциональности

2.2. Поверхностные интегралы

2.2.1. Лабораторная работа №1

Поверхностные интегралы

def 1: Поверхность Φ называется полной, если фундаментальная последователь-ность точек из данной поверхности Φ сходится к точке принадлежащей Ф.

def 2: Поверхность Φ называется ограниченной, если существует шар, содержащий все точки данной поверхности.

Пусть задана поверхность Φ удовлетворяющая условиям:1. гладкая;2. без особых точек;3. двух сторонняя;4. полная;5. ограниченная.

и удовлетворяющая уравнению: x=x(u;v)y=y(u;v) (1)z=z(u;v)

или (1')На поверхности Ф определены и непрерывны 4 функции: f(x;y;z), P(x;y;z), Q(x;y;z), . Гладкими или кусочно гладкими кривыми разбиваем Ф на частичные поверхности . Рассмотрим точку . Через

обозначим площадь .

, где (2)

Формула (2) верна и для всей площади Ф.Составим суммы:

cos x, cos y, cos z компоненты единичного вектора нормали. вектор

нормали

def 3: Число называется пределом интегральных сумм

при А→0, если для что для разбиения Ф на Фi , диаметр разбиения которого и для набора точек выполняется неравенство

def 4: Если существует конечный предел суммы то говорят что функция f(x,y,z) интегрируема по поверхности Ф, а число называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) и

обозначается где дифференциал поверхности.

def 5: Если существует конечный предел суммы , то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функций P,Q,R соответственно и обозначается:

Если возьмем сумму , то получи общий поверхностный интеграл второго рода:

Если Ф кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность x=x(u;v), y=y(u;v), z=z(u;v) и f(x,y,z) функция определена и непрерывна в точках поверхности Ф, то

, где (3)

, где

В частном случае, если поверхность Ф имеет вид z=z(x;y) однозначная, непрерывно дифференцируемая функция,

то

Этот интеграл не зависит от выбора стороны поверхности Ф.Если S гладкая двухсторонняя поверхность, S+ ее сторона,

характеризуемая направлением нормали три функции,

определенные и непрерывные на поверхности S, то

(4)

При переходе к другой стороне S– поверхности S интеграл (4) меняет свой знак на противоположный.

Моментом инерции части поверхности относительно осей координат выражаются поверхностными интегралами:

Координаты центра тяжести части поверхности можно найти по формулам:

Пример 1.

Вычислить , где S часть конической поверхности

, заключенной между плоскостями z=0, z=1.

Решение:

Имеем

.

Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл:

Областью интегрирования D является круг

Пример 2.

Вычислить , где T внешняя сторона части

эллипсоида , расположенной в первом октанте.

Решение: Расчленяем данный поверхностный интеграл на 3 слагаемых интеграла:

и пользуясь уравнением поверхности Ф, и

формулой

I1=

I2=

I3=

I1=

I3=

Пример 3.Найти момент инерции полусферы относительно оси

OzРешение:

Областью интегрирования является проекция полусферы на плоскость xOy, т.е. круг , а поэтому, переходя к полярным координатам, получим:

Замечание: внутри интеграл вычисляется с помощью подстановки .

Пример 4.Вычислить координаты центра тяжести части плоскости z=x, огран.

плоскостями x+y=1, y=0, x=0.Решение:

Найдем площадь S указанной части плоскости

Задания:

I. Вычислить поверхностный интеграл первого рода:

1.

2.

3.

4.

5. лежащая внутри цилиндра


7. , лежащая между конусом и

параболоидом

8. лежащая между

плоскостями

9. , лежащая вне гиперболоида


II. Вычислить поверхностный интеграл второго рода:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

III. Найти:1. Координаты центра масс однородной полусферы .2. Момент инерции однородного сегмента сферы плотности ρ относительно Oz.

3. Координаты центра масс части однородной сферы .

4. Момент инерции однородного параболоида плотности ρ относительно Oz.5. Момент инерции относительно плоскости xy части однородного конуса

массой M.

6. Координаты центра масс верхней полусферы , если поверхностная плотность каждой ее точки равна расстоянию от этой точки до оси Oz/7. Момент инерции однородной поверхности плотности ρ относительно Oz.8. Координаты центра масс части однородной поверхности

.9. Момент инерции части однородной верхней полусферы

плотности ρ, лежащей внутри цилиндра относительно плоскости.

10.Координаты центра масс части однородного конуса .

Ответы:

I. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

II. 1.

2. 324

3. 88

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

III. 1.

2. 6.

7.

3.

4.

5.

8.

9.

10.

Литература

1. Зорич В.А. Математический анализ. т.2–М: Наука, 1984, стр. 113-165

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. т.2–М: Высшая школа, 1989, стр. 286-490

3. Никольский С.М. Курс математического анализа. т.2–М: Наука, 1991, стр. 7-85

4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М: Наука, 1990, стр. 406-471

5. Данко П.Е., Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов ВТУЗов. М: Высшая школа, 1986, стр. 6-66

6. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. т.2 Минск: Высшая школа, 1988, стр. 42-122

7. Миронский В.П. Сборник задач по высшей математике. стр. 233-248

8. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа М: Наука, 1985, стр. 213-247

МетодичкаКратные интегралы

Documents