ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄...
TRANSCRIPT
Διαμαντής Α. Τσεκούρας
1
Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα
Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T.
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013
ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & Β΄ΟΜΑΔΑΣ ΕΠΑ.Λ. Τρίτη 2 Απριλίου 2013
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)
ΘΕΜΑ Α
Α1 . Θεωρούμε τη συνάρτηση
f (x) = x ν
, νΝ – {0,1}.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο
και ισχύει
f ΄(x) = ν x ν – 1
. ΜΟΝΑΔΕΣ 10
Α2 . Να διατυπώσετε τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης της
γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο + ∞. ΜΟΝΑΔΕΣ 5
Α3 . Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας
στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος
1. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και
παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, θα λέμε ότι η συνάρτηση f
στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, εάν η f είναι
γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ 2
2. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα Δ. Eάν η f
δεν είναι «1 -1» στο Δ υπάρχει x 0Δ ώστε f ΄(x0) = 0.
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
Διαμαντής Α. Τσεκούρας
2
Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα
3. Εάν η f συνεχής στο [α,β], ισχύει
f (x t) dt
= f (x – α) – f (x – β).
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
4. Εάν Α (x1 ,y1) και Β (x 2 ,y2) ,Ο (0,0) είναι οι εικόνες των
μιγαδικών z1 = x1 + y1 i , z2 = x2 + y2 i , τότε ΟΑ ΟΒ, τότε ισχύει
Re(z1 2z ) ≠ 0.
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
5. Εάν η f έχει πεδίο ορισμού το , τότε δεν έχει κατακόρυφη
ασύμπτωτη.
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
ΘΕΜΑ Β
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w και u για τους οποίους
ισχύει
(2z + 3 + i) (2 z + 3 – i ) + |(1 + i)w + 1 + 2i | i = 36 + i 2
και
u = λ + μ i + 4
i με λ, μ[– 2 , 2 ] και
μ2 = ( 2 – λ)( 2 + λ) .
Β1 . Nα βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z, w
και u.
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
Β2 . (i) Nα αποδείξετε ότι
|u |2 + |u
2 – 16 | = 20 .
ΜΟΝΑΔΕΣ 5
(i i) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μέτρου | z – w|.
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
Διαμαντής Α. Τσεκούρας
3
Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα
Β3 . Επίσης θεωρούμε τους μιγαδικούς u 1 , u2 για τους οποίους ισχύει
ότι
η εικόνα του u1 κινείται πάνω στην ευθεία
(ε1): 10x – 2y + 5 = 0 και
ισχύει η ισότητα
u2 = (1 + i)u1 + 1u .
(i) Να βρείτε την ευθεία (ε 2) πάνω στην οποία κινείται η εικόνα
του μιγαδικού u 2 .
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
(i i) Να βρείτε τη σχετική θέση των γεωμετρικών τόπων των
μιγαδικών z, w με τον γεωμετρικό τόπο του μιγαδικού u 2 .
ΜΟΝΑΔΕΣ 3
(i i i) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή των
|z – u2 | και |w – u2 | .
ΜΟΝΑΔΕΣ 5
ΘΕΜΑ Γ
Θεωρούμε τις συναρτήσεις
f (x) = 4x2lnx –
4
3x
3 – 2x
2 + 4x + 5, x(0,+ ∞).
g (x) = x3 + λx – 6x lnx, x(0 ,+ ∞) με λ .
Γ1 . Να μελετηθεί η f ως προς τη κυρτότητα στο (0,+ ∞) , επίσης
να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το ακρότατο
της.
ΜΟΝΑΔΕΣ 5
Γ2 . Nα βρείτε το πλήθος των ακροτάτων της g για τις διάφορες
τιμές της παραμέτρου λ.
ΜΟΝΑΔΕΣ 7
Γ3 . Να υπολογίσετε τα όρια
x 0lim
[f (x) f ΄(x) f ΄΄(x)] και
xlim
(g (x) f (x) ημ1
f ( x )) .
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
Γ4 . Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
12x2 lnx = 4x
3 + 6x
2 – 12x – 15.
ΜΟΝΑΔΕΣ 5
Διαμαντής Α. Τσεκούρας
4
Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα
Γ5 . Για λ = 4, να υπολογίσετε το εμβαδόν E (Ω) του επίπεδου
χωρίου που περικλείεται από την g τον άξονα των x και τις ευθείες
x = 1 και x = e.
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
ΘΕΜΑ Δ Βελτιωμένο
Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει
2
2
1
(f (t) 2e )dt = 2e
και
e – x
x f ΄(x) + (x + 1)2 ≥ 1, για κάθε x .
καθώς επίσης και τη δύο φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση
Η (x) =
x 2
1
2
(x 1) x 1g(t)dt 2015 , x 1
2 3
2015μ , x = 1
,
για την οποία ισχύουν
3Η ΄(1) = Η ΄΄(1 ) = 2 , όπου μ(0,+ ∞)
και g παραγωγίσιμη στο .
Δ1 . Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση x
x
1
f (t)dt
xe = e – x
f (x) + x,
έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (1,2).
ΜΟΝΑΔΕΣ 6
Δ2 . Εάν x0 είναι η μοναδική ρίζα του ερωτήματος Δ1 , να αποδείξετε
ότι υπάρχει ξ(1,x0) τέτοιο ώστε f (ξ) > 0 0
0
x f (x )
x 1.
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
Δ3 . Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου μ, όταν μ(0,+ ∞).
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
Διαμαντής Α. Τσεκούρας
5
Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα
Δ4 . Να βρείτε την εξίσωση (ε) της εφαπτομένης της γραφικής
παράστασης της g στο σημείο της Α(1 ,g (1)).
ΜΟΝΑΔΕΣ 3
Δ5 . Eάν επίσης δίνεται συνάρτηση h παραγωγίσιμη στο (0,+ ∞)
με h (1) = 2017, για την οποία ισχύει
2g ΄(x) + h ΄(x) = 2019 + 2
1 ln x
x
, για κάθε x(0,+ ∞)
και η ευθεία (ε) που υπολογίσατε στο ερώτημα Δ4 , εκτός από
εφαπτομένη της g στο σημείο της Α(1,g (1)) είναι ταυτόχρονα και
ασύμπτωτη της g στο + ∞.
(i) Να βρείτε την ασύμπτωτη της h στο + ∞.
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
(i i) Εάν επίσης η g είναι γνησίως φθίνουσα στο , να
αποδείξετε ότι η εξίσωση h (x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (0,1).
ΜΟΝΑΔΕΣ 6
KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Όλα τα Θέματα Προσομοίωσης του Συγγραφέα
Διαμαντή Α. Τσεκούρα θα τα βρείτε στο blog
tsekuras-frontistiria.blogspot.com
Για παραγγελίες των βιβλίων 2103801529
Διαμαντής Α. Τσεκούρας
6
Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα
Για παραγγελίες των βιβλίων 2103801529
Για παραγγελίες των βιβλίων 2103801529
Διαμαντής Α. Τσεκούρας
7
Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα
Νέα έκδοση Μάρτης 2012
Επανέκδοση Σεπτέμβρης 2012
Για παραγγελίες των βιβλίων 2103801529
Διαμαντής Α. Τσεκούρας
8
Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα
Για παραγγελίες των βιβλίων 2103801529