العمليات الحسابية لألعداد الصحيحة

الجمع:

إليجاد مجموع 2 ،5 ،32 ،193 ،18 ،10 ،100

كانت تتبع الخطوات التالية:

الجمع بالطريقة الهندية:

0 + 8 + 3 + 2 + 5 + 2مجموع اآلحاد = +0 = 20

0 + 1 + 1 + 9 + 3مجموع العشرات = = 14

1 + 1مجموع المئات = = 2

مجموع المجاميع = 360

الجمع:

كان الع--رب يكتب--ون المجم--وع أعلى األع--داد المجموع--ة كم--ا ك--انوا يس--تخدمون مجم--وع

األرقام للتحقق من صحة الناتج. ك--انت تتب--ع 2343 + 5687فلجم--ع الع--ددين

الخطوات التالية:

الجمع بالطريقة العربية:

2 8030

83

56872343

الجمع بالطريقة الجمع:العربية:

2 8030

83

56872343

العم-ود األخ-ير يوض-ح طريق-ة التحق-ق بجم-ع أرقام كل عدد كالتالي:

يكون :5687بالنسبة للعدد

7 + 8 + 6 + 5 = 26 ، 6 + 2 = 8

يكون :2343بالنسبة للعدد

3 + 4 + 3 + 2 = 12، 2 + 1 = 3

8 + 3 = 11، 1 + 1 = 2 = 8 + 0 + 3 + 30: 8030وبجم---ع أرق---ام المجم---وع

11، 1 + 1 = 2

L ولكن هذه الطريقة ليست صحيحة دائما

الجمع:الجمع بالطريقة

العربية:وبطريقة أخرى:

L ثم تجمع كان يكتب فيها مجموع كل عمود منفصًال

المجاميع.

وكانت األعداد األكبر تكتب من أعلى.

كم-ا ك-انت توض-ع نق-اط لبي-ان عملي-ة الحم-ل من خان-ة أخ-رى

.

والمثال التالي يوضح هذه الطريقة.

الجمع بالطريقة الجمع:العربية:

8379 968 34

21 16

12 8

9381

34 + 968 + 8379لنجم--------ع

الطرح

2 2 1 2

4 3 1 1 8

2 2 1 2

4 3 1 1 8

الطرح باالستالف واإلضافة الى العدد

المطروح منه: من خان---ة 1 ال تص---لح. نس---تلف 4 – 2*

(2العشرات )

ون---رده إلى خان---ة العش---رات في الع---دد

.4السفلي فيصبح من خان---ة 1 ال تص---لح. نس---تلف 4 – 2*

(1المئات )

ونرده--ا خان--ة المئ--ات في الع--دد الس--فلي

. 2فيصبح

42

2 2 1 24 3 1 1

:1134 – 2122لطرح

12ويك+ون

–4 = 8

12ويك+ون

–4 = 8

الطرح

2 2 1 2

4 3 1 1 9

الطرح باالستالف واإلضافة الى العدد

المطروح منه: من خان---ة 1 ال تص---لح. نس---تلف 2 – 1*

(2اآلالف )

ون-رده إلى خان-ة اآلالف في الع-دد الس-فلي

.2فيصبح *2 – 2 = 0

42

2 2 1 24 3 1 1

8 8

:1134 – 2122لطرح

11ويك+ون

–2 = 9 ويك++ون

988ناتج الطرح =

2

وه++ذه الطريق++ة اس++تخدمها الع++رب

مثل القلصاوي

الطرح

82 – 3 = 79

5 2 8 4

- 9 3

56 – 8 = 48

5 2 6 5

- 9 3 8

6 8 7 4

الطرح من اليسار إلى اليمين

تتبع الخطوات التالية839 – 5625لطرح

95 – 9 = 86

5 9 7 4

- 9

الضربنش++أت عملي++ة الض++رب كعملي++ة جم++ع تك++راري

ومضاعفات لألعداد الصحيحة :

* الضرب بالطريقة المصرية القديمة.

* الضرب بطريقة المعداد.

* الضرب التصالبي.

* الضرب بطريقة الشبكة

* الضرب بطريقة التجزيء.

الض++++رب بالطريق++++ة المص++++رية الضربالقديمة:

ريق-ة على عملي-ة التض-عيف وجم-ع اعتم-دت ه-ذه ال-ط

المضاعفات .

L : في حال-ة ض-رب ك-انت تتب-ع الخط-وات 15 × 17فمثًال

التالية:

17 ×1 =17 1 1717 × 2 = 34 ضاعف 2 3434 × 2 = 68 ضاعف 4 6868 × 2 = 136 ضاعف 8 136

15 255

الض++++رب بالطريق++++ة المص++++رية الضربالقديمة:

يع-ني تك-رار الع-دد 15 × 17وه-ذا يع-ني أن حاص-ل ض-رب

مرة. 15( 17)

م+رة ثم يطرح+ون من 16( 17وأحيان+اI ك+انوا يك+ررون الع+دد )

كما يلي:17الناتج العدد

1 17

2 34

4 68

8 136

16 مرة16 مكرر 17العدد 272

طرح مرة 17العدد واحدة

1 -17

15 مرة15 مكرر 17العدد 255

الضربالضرب بطريقة المعداد:

ك+++انت عملي+++ة الض+++رب تتم على ج+++دول يش+++به لوح+++ة

الشطرنج.

كانت تتبع الخطوات التالية:23 × 4600فمثالI لضرب

CMمئات اآلالف

XMعشرات اآلالف

Mآالف

Cمئات

Xعشرا

ت

Iآحاد

4600 4 6

3 × 62 × 63 × 42 × 4

118

122

8

حاصل الضرب

10 5 8

×23 2 3

الضربالضرب بطريقة المعداد:

105800 = 23 × 4600وبذلك يكون الناتج

XMمئات اآلالف

XMعشرات اآلالف

Mآالف

Cمئات

Xعشرا

ت

Iآحاد

4600 4 6

3 × 62 × 63 × 42 × 4

118

122

8

حاصل الضرب

10 5 8

×23 2 3

الضرب

3

2

2

5

الضرب التصالبي: ه+ذه الطريق+ة في الض+رب ، 1494اس+تخدم باس+يولي

وهي طريق++ة ص++عبة تحت++اج إلى ق++درات عددي++ة

كب+يرة خاص+ة إذا ك+انت األع+داد مكون+ة من أرق+ام

عديدة.

800

5 × 2 = 10

5 × 30 = 150

20 × 2 = 40

20 × 30 = 600

نتبع الخطوات التالية:25 × 32فمثالI : إليجاد

الضرب

9 4 1 2 5 3

8 2 2 1 0 2

الضرب بطريقة الشبكة:اس+تخدم الهن+ود والع+رب والص+ينيون واألوربي+ون ه+ذه

نتبع الخطوات التالية:74 × 735فمثالI : إليجاد الطريقة.

7

3

5

2

1

4

9

2

0

1

2

2

84

7 3 5

93

4

5

الضرب

9 4 1 2 5 3

8 2 2 1 0 2

الضرب بطريقة الشبكة:54390 = 74 × 735فيكون الناتج

7

3

5

2

1

4

9

2

0

1

2

2

84

7 3 5

93

4

5

الضربالضرب بطريقة التجزيء:استخدم األغريق والعرب هذه الطريقة.

نتب+++ع 143 ×265فمثالI : إليج+++اد حاص+++ل ض+++رب

الخطوات التالية:

200 2400 8000

500 6000 20000

5 6 2

3 4 1

= 143 × 265أي أن 37895

15 0 18 600715 8580

28600 =

37895

100 40

200 60

القسمة.القسمة بطريقة القدماء المصريين

القسمة بطريقة جربرت.طريقة القسمة على العوامل.

القسمة بالطريقة العربية.القسمة بطريقة جالي )السفينة

الشراعية(.

القسمةالقس++مة على طريق++ة الق++دماء

تع+د ه+ذه الطريق+ة من أق+دم ط+رق القس+مة وك+انت المصريين:

تعتمد على التضعيف والتصنيف.

نتبع الخطوات التالية:8 ÷ 19فمثالI : إليجاد

بحيث يك++ون الن++اتج 8نبحث عن أع++داد تض++رب في

ونسير كاآلتي 19قريباI من

القس++مة على طريق++ة الق++دماء القسمةالمصريين:

4

16

2 3/8 =8 ÷ 19أي أن

2

8

1

3/8 2

8 × 2 = 16

1

2

1/2

1/41/8

19

8 × 1/4 =28 × 1/8 = 12 + 1/4 + 1/8 = 3/8 2

القسمةالقسمة على طريقة جربرت:

م وهي 980تنس+++ب ه+++ذه الطريق+++ة الى جرب+++رت

شبيهة بالقسمة المطولة.

نتبع الخطوات التالية:8 ÷ 900فمثالI : إليجاد

ونسير كاآلتي 2 - 10 = 8نجري العملية باعتبار

القسمةالقسمة على طريقة جربرت:

90010 - 2

900 -

180

9

0180180 -

36

+18

36

+3

30 - 66 + 6 = 12

+1

10 - 22 + 2 = 4

½ =112 +

(

4/

8

)

القسمةطريقة القسمة على العوامل:استخدمت هذه الطريقة في العصور الوسطى .

تعتم+د ه+ذه الطريق+ة على قس+مة الع+دد المقس+وم

والمث++ال الت++الي يوض++ح كيفي++ة الس++ير في ه++ذه على عوامل المقسوم عليه.

الطريقة :

3 × 8 = 24 نتبع الخطوات التالية:24 ÷ 216لقسمة

216 ÷ 8 = 27

27 ÷ 3 = 9

9 = 24 ÷ 216وبذلك يكون