Βασικές Εφαρμογές Και Ασκήσεις - Ρευστά - Γ Λυκείου

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ

Α) Υδροστατική πίεση

Α.1) Γεμίστε ένα ποτήρι μέχρι το χείλος του με νερό. Βάλτε ένα φύλλο χαρτιού στα

χείλη του ποτηριού. Πιέστε με την παλάμη σου το χαρτί στα χείλη του ποτηριού και

αναποδογυρίστε το ποτήρι πάνω από μια λεκάνη. Το νερό δε χύνεται. Μπορείτε να

εξηγήσεις γιατί συμβαίνει αυτό;

Απάντηση: Στην περίπτωση αυτή (όταν το ποτήρι είναι αναποδογυρισμένο) ασκούνται

δύο δυνάμεις στο χαρτί. Η δύναμη λόγω της υδροστατικής πίεσης που οφείλεται στο

νερό που βρίσκεται στο ποτήρι και έχει κατακόρυφη διεύθυνση και φορά προς τα κάτω

και η δύναμη λόγω ατμοσφαιρικής πίεσης με κατακόρυφη διεύθυνση και φορά προς τα

πάνω.

P

P

F

F

P

P

F

F (1)

Γνωρίσουμε ότι PaP 510.

Πόση είναι όμως η υδροστατική πίεση λόγω μιας στήλης νερού μέσα σε ένα ποτήρι; H

απάντηση προκύπτει από τη σχέση της υδροστατικής πίεσης:

hgP

Ένα ποτήρι έχει ύψος γύρω στα mcmh 15,015 . Επομένως:

PaPams

m

m

kghgP 3

23105,1150015,0101000

Άρα, 1

P

PPP

Επομένως με τη βοήθεια της σχέσης (1) προκύπτει:

1P

P

F

F

1F

F FF

Άρα η συνισταμένη δύναμη στο χαρτί είναι προς τα πάνω με αποτέλεσμα το νερό να

μην χύνεται.

Η δύναμη λόγω ατμοσφαιρικής πίεσης δίνεται από

τη σχέση: PF (1)

Η δύναμη λόγω υδροστατικής πίεσης δίνεται από

τη σχέση: PF (2)

Διαιρούμε τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη:

ποτήρι

χαρτί

F

F



Προσοχή! Για να πετύχει το συγκεκριμένο πείραμα απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή έτσι

ώστε κατά το αναποδογύρισμα του ποτηριού να μην περάσει ατμοσφαιρικός αέρας

μεταξύ του νερού και του χαρτιού. Αν συμβεί αυτό το χαρτί θα δέχεται μηδενική

συνισταμένη δύναμη λόγω ατμοσφαιρικής πίεσης με αποτέλεσμα το νερό να χυθεί.

Α.2) Δύο ίδια δοχεία περιέχουν νερό και υδράργυρο. Το ύψος στο οποίο φθάνουν το

νερό και ο υδράργυρος στα δύο δοχεία είναι το ίδιο. Η υδροστατική πίεση στον

πυθμένα του δοχείου που περιέχει το νερό είναι PaP 500 . Με βάση τα δεδομένα

αυτά, πόση θα είναι η υδροστατική πίεση στον πυθμένα του δοχείου που περιέχει τον

υδράργυρο;

Δίνεται η πυκνότητα του νερού 3/1000 mkg , του υδραργύρου 3/13 cmg και η επιτάχυνση της βαρύτητας 2/10 smg .

ΛΥΣΗ

Επειδή όλα τα δεδομένα της άσκησης βρίσκονται σε μονάδες S.I. εκτός από την

πυκνότητα του υδραργύρου, πρέπει να την μετατρέψουμε. Άρα:

3

3

3

63

36

3

32

3

3

3

31013101013

10

1013

)101(

1013

)1(

101313

m

kg

m

kg

m

kg

m

kg

cm

kg

cm

g

Σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης τα δύο υγρά βρίσκονται στο ίδιο ύψος.

Επομένως εξισώνοντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει:

g

P

g

P

PP

PP

PP

3

3

3

1000

1013500

m

kgm

kgPa

PP

Pa

m

kgm

kgPa

500.6

10

1013500

3

3

3

3

Το ύψος στο οποίο βρίσκεται το νερό στο πρώτο δοχείο

υπολογίζεται από τη σχέση της υδροστατικής πίεσης:

g

PhhgP

(1)

Ομοίως το ύψος στο οποίο βρίσκεται ο υδράργυρος στο

δεύτερο δοχείο είναι:

g

PhhgP

(2)

h h

Νερό Υδράργυρος



Β) Ο υδραυλικός ανυψωτήρας

Β.1) Έστω ένας υδραυλικός ανυψωτήρας με εμβαδά εμβόλων 2

1 100cm και 2

2 5,0 m . Αν ασκηθεί δύναμη NF 4001 στο έμβολο εμβαδού 1 πόση θα είναι η

δύναμη που θα ασκηθεί στο έμβολο εμβαδού 2 ;

ΛΥΣΗ

Για να επιλύσουμε το πρόβλημα πρέπει να δύο εμβαδά να βρίσκονται στην ίδια μονάδα

μέτρησης. Μπορούμε να μετατρέψουμε είτε το εμβαδό 2

1 100cm σε 2m είτε το

εμβαδό 2

2 5,0 m σε 2cm . Θα ακολουθήσουμε τη δεύτερη διαδικασία δηλαδή της

μετατροπής του εμβαδού 2

2 5,0 m σε 2cm .

Άρα: 23242222

2 105105,0)10(5,0)1(5,05,0 cmcmcmmm

Με τη βοήθεια της αρχής του Pascal υπολογίζουμε τη δύναμη στο έμβολο εμβαδού 2

.

2121

2

2

1

1 FFFF

1

21

1

21 FF

2

23

1

212

100

105400

cm

cmNFF

2

32

210

105104 NF NNF 43

2 1021020

Β.2) Άσκηση 3.18 σχολικού βιβλίου: Το μικρό έμβολο υδραυλικού ανυψωτήρα που

χρησιμοποιείται για την ανύψωση αυτοκινήτων έχει διατομή εμβαδού 3 cm2 ενώ το

μεγάλο έχει διατομή εμβαδού 200 cm2. Πόση δύναμη πρέπει να ασκηθεί στο μικρό

έμβολο ώστε το μεγάλο να ανυψώσει ένα αυτοκίνητο βάρους 10000 Ν;

ΛΥΣΗ

Για να ανυψωθεί το αυτοκίνητο θα πρέπει 000.102F

Με τη βοήθεια της αρχής του Pascal υπολογίζουμε τη δύναμη στο μικρό έμβολο

εμβαδού 1 .

2121

2

2

1

1 FFFF

Ncm

cmFF 150

200

3000.102

2

2

121

Β.3) Χρυσός κανόνας της Μηχανικής. Με δεδομένη τη διατήρηση της ενέργειας να

συγκριθούν τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται στο μικρό και στο μεγάλο έμβολο

μιας υδραυλικής αντλίας ή ενός υδραυλικού πιεστηρίου, καθώς επίσης και τις

αντίστοιχες μετατοπίσεις τους. Τι συμπέρασμα προκύπτει;

ΛΥΣΗ

Στο παρακάτω σχήμα περιγράφεται η λειτουργία της υδραυλικής αντλίας, όπως την

γνωρίσαμε στο κεφάλαιο 4:



Έστω ότι ασκούμε μία δύναμη 1F στο έμβολο εμβαδού

1 . Επομένως στο υγρό της

αντλίας θα ασκείται (εκτός από την ατμοσφαιρική πίεση) και πίεση 1

11

F

P . Όμως

σύμφωνα με την αρχή του Pascal η πίεση 1P ασκείται σε κάθε σημείου του υγρού.

Επομένως το υγρό θα ασκεί πίεση 2P στο έμβολο με εμβαδό επιφάνειας

2 , που είναι

ίση με την 1P , δηλαδή

12 PP (αφού λόγω της αρχής του Pascal η πίεση 1P ασκείται σε

κάθε σημείο του υγρού). Όμως λόγω της πίεσης 2P , ασκείται στο έμβολο εμβαδού

2

δύναμη 2F .

Άρα προκύπτει το παρακάτω συμπέρασμα:

1

1

22

1

1

2

212 FF

FFPP

(1)

, όμως 11

221

.

Επομένως ασκώντας μικρή δύναμη στο έμβολο εμβαδού 1 ασκούμε μεγάλη δύναμη

στο έμβολο εμβαδού 2 , δηλαδή η δύναμη πολλαπλασιάζεται. Τι συμβαίνει όμως με

τα έργα των 2 δυνάμεων;

Έστω ότι η δύναμη 1F , μετατοπίζει το έμβολο εμβαδού

1 κατά 1x και ότι η δύναμη

2F , μετατοπίζει το έμβολο εμβαδού 2 κατά

2x .

Γνωρίζουμε ότι τα υγρά είναι ασυμπίεστα. Άρα ο όγκος του υγρού κατά τη διάρκεια

της διεργασίας αυτής δεν μειώνεται. Ας δούμε τι σημαίνει αυτό πρακτικά:

Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα η

υδραυλική αντλία αποτελείται από δύο

δοχεία διαφορετικών διαστάσεων που

επικοινωνούν. Μέσα στην υδραυλική

αντλία υπάρχει υγρό που είναι

περιορισμένο σε αυτήν μέσω δύο

εμβόλων στην κορυφή κάθε δοχείου με

εμβαδά 1 και

2 όπου 21 .

Από τη στιγμή όπου το υγρό δεν

συμπιέζεται, δηλαδή δεν μειώνεται ο

όγκος του, οι όγκοι μεταξύ αρχικής και

τελικής θέσης του εμβόλου 1 και

αρχικής και τελικής θέσης του εμβόλου

2 είναι ίσοι!

Δηλαδή 21 VV

Όμως ο όγκος κυλινδρικού

αντικειμένου ισούται με εμβαδό βάσης

x ύψος. Άρα:

1F

2F

Επιφάνεια

εμβαδού 1

Επιφάνεια

εμβαδού 2

Αρχική θέση

εμβόλου 1

Όγκος 1V

Όγκος 2V

Τελική θέση

εμβόλου 1

Αρχική θέση

εμβόλου 2

Τελική θέση

εμβόλου 2



221121 hhVV (2)

Επομένως το έργο της δύναμης 1F θα είναι:

111 hFWF (3)

Λύνουμε τη σχέση (1) ως προς 1F :

2

2

111

1

22 FFFF

(4)

Και τη σχέση (2) ως προς 1h :

1

2212211

hhhh (5)

και αντικαθιστούμε τις σχέσεις (4) και (5) στη σχέση (3):

(3) 111 hFWF

1

22

2

211

hFWF 221 hFWF

Όμως το έργο της δύναμης 2F είναι:

222 hFWF

Επομένως τα έργα των δύο δυνάμεων είναι ίσα! Δηλαδή: 21 FF WW .

Το αποτέλεσμα αυτό ήταν αναμενόμενο σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της

ενέργειας καθώς όση ενέργεια δίνει η δύναμη 1F στο έμβολο εμβαδού

1 , τόση

ενέργεια πρέπει να δίνει η δύναμη 2F στο έμβολο εμβαδού

2 (από τη στιγμή που τα

υγρά είναι ασυμπίεστα δηλαδή δεν καταναλώνεται έργο για συμπίεση).

Η σχέση μεταξύ των μετατοπίσεων των δύο εμβόλων είναι η σχέση (2): 2211 hh

Αν λύσουμε τη σχέση αυτή ως προς 1h ,

1

221

hh , βλέπουμε ξεκάθαρα ότι

21 hh ,

διότι

11

221

. Άρα το έμβολο μικρού εμβαδού μετατοπίζεται πολύ περισσότερο

από το έμβολο μεγάλου εμβαδού.

Γ) Άνωση

Γ1) Μία βάρκα μάζας kg100 επιπλέει στο στη θάλασσα. Να υπολογιστούν:

α) Η άνωση που της ασκείται.

β) Ο όγκος της βάρκας που είναι βυθισμένος στο νερό.

Δίνεται η πυκνότητα του θαλασσινού νερού, 3

. /1020 mkg και η επιτάχυνση

της βαρύτητας 2/10 smg .

ΛΥΣΗ

α) Η βάρκα επιπλέει, δηλαδή ισορροπεί στο νερό. Επομένως η συνισταμένη των

κατακόρυφων δυνάμεων που της ασκούνται είναι μηδέν. Οι δύο κατακόρυφες δυνάμεις

που της ασκούνται είναι το βάρος της και η άνωση οι οποίες έχουν ίσα μέτρα ίδια

διεύθυνση και αντίθετη φορά. Άρα,

Ns

mkggmFy 10001010000

2

β) Ο βυθισμένος όγκος υπολογίζεται εύκολα από τη σχέση της άνωσης:

3

2223

.. 098,0

200.10

1000

101020

1000m

sm

kg

N

s

m

m

kg

N

gVVg



Γ2) Μία μικρή μεταλλική σφαίρα όγκου 3200cmV και βάρους N20 κρέμεται από

ένα σχοινί. Να υπολογιστεί το φαινόμενο βάρος της σφαίρας όταν βρίσκεται βυθισμένη

μέσα σε μια λεκάνη με νερό.

Δίνεται η πυκνότητα νερού, 3/1000 mkg και η επιτάχυνση της βαρύτητας 2/10 smg .

ΛΥΣΗ

Το πρώτο βήμα είναι να μετατρέψουμε τον όγκο της σφαίρας σε μονάδες S.I. Άρα:

34362363233 1021010210200)10(200)1(200200 mmmmcmcmV

Για να υπολογίσουμε το φαινόμενο βάρος, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε την άνωση

που ασκείται στη σφαίρα:

Nmsm

kgm

s

m

m

kgVg 210210102101000 34

22

434

23.

Άρα από τη σχέση (1) προκύπτει:

NNNF 18220.

Επομένως, το φαινόμενο βάρος θα είναι NF 18.. .

Γ3) Ένας κύβος με ακμή cmx 20 επιπλέει στη θάλασσα. Ο μισός όγκος του κύβου

είναι βυθισμένος στο νερό. Να υπολογιστούν:

α) η άνωση που ασκείται στον κύβο από το νερό

β) και το βάρος του.

Δίνεται η πυκνότητα του θαλασσινού νερού, 3

. /1020 mkg και η επιτάχυνση

της βαρύτητας 2/10 smg .

Το φαινόμενο βάρος της σφαίρας προσδιορίζεται

από την ένδειξη του δυναμομέτρου. Το πραγματικό

βάρος της σφαίρας είναι N20 . Όμως, λόγω του

γεγονότος ότι είναι βυθισμένη στο νερό, δέχεται τη

δύναμη της άνωσης και το φαινόμενο βάρος,

δηλαδή η ένδειξη του δυναμομέτρου είναι

μικρότερη. Η σφαίρα ισορροπεί υπό την επίδραση

τριών δυνάμεων. Του βάρους της , της άνωσης

και της δύναμης που ασκεί το ελατήριο του

δυναμομέτρου (μέσω του σχοινιού) .F

Επομένως:

.. 00 FFFy (1)

.F

Δυναμόμετρο



ΛΥΣΗ

α) Το πρώτο βήμα είναι να υπολογίσουμε τον όγκο του κύβου που είναι βυθισμένος

στο νερό. Ο κύβος έχει ακμή mcmx 2,020 , άρα ο όγκος του θα είναι:

333333133 108102)102()2,0( mmmmxV

Σημείωση: Ο όγκος του κύβου υπολογίστηκε σε 3m , επειδή όλες οι μονάδες του

προβλήματος είναι στο S.I. Επομένως για να υπολογίσουμε την άνωση που δέχεται

σωστά πρέπει όλα τα μεγέθη να βρίσκονται στο ίδιο σύστημα μονάδων.

Ο βυθισμένος στον νερό όγκος του κύβου θα είναι ο μισός του πραγματικού του

όγκου:

3333

. 1042

108

2m

mVV

Επομένως η άνωση που δέχεται θα είναι:

NNNms

m

m

kgVg 8,4010108,401040800104101020 33333

23.

β) Ο κύβος επιπλέει άρα ισορροπεί στο νερό. Επομένως η συνισταμένη δύναμη των

κατακόρυφων δυνάμεων που δέχεται θα είναι μηδέν. Άρα:

NFy 8,4000

Γ4) Ένα σώμα με όγκο 310dmV είναι βυθισμένο κατά το 50% του όγκου του σε υγρό.

Εάν το βάρος του σώματος είναι N100 , να υπολογιστεί η πυκνότητα του υγρού στο

οποίο επιπλέει το σώμα και η πυκνότητα του σώματος. Δίνεται η επιτάχυνση της

βαρύτητας 2/10 smg .

ΛΥΣΗ

Ο βυθισμένος όγκος είναι το 50% του ολικού όγκου, δηλαδή:

333

. 5105,010100

50

100

50dmdmdmVV

Το πρώτο βήμα είναι η μετατροπή του όγκου 35dmV σε 3m για να είναι όλα τα

μεγέθη του προβλήματος σε μονάδες S.I.

Άρα: 333133 105)101(5)1(55 mmdmdmV

Το σώμα επιπλέει στο νερό. Η συνθήκη πλεύσης είναι:

3

2

2

4233

2.

. 1020

105

100

10510

100

m

kg

s

m

N

ms

m

N

VgVgA



3

3102m

kg

Η πυκνότητα του σώματος προκύπτει από τη σχέση: V

m (1)

Ο όγκος του σώματος είναι γνωστός:

32333133 101010)101(10)1(1010 mmmdmdmV

Επομένως για τον υπολογισμό της πυκνότητας πρέπει να υπολογιστεί η μάζα του

σώματος. Από τη σχέση του βάρους προκύπτει:

kg

s

m

N

gmgm 10

10

100

2

Άρα από τη σχέση (1) προκύπτει: 3

3

3

2

32101010

10

10

m

kg

m

kg

m

kg

V

m

Σημείωση: Παρατηρούμε ότι . Για το λόγο αυτό το σώμα επιπλέει.

Γ5) Δύο όμοια ποτήρια Α και Β περιέχουν νερό και οινόπνευμα αντίστοιχα. Έστω ότι

στα δύο ποτήρια τοποθετούμε δύο όμοια μικρά αντικείμενα πυκνότητας 3. 900

m

kg

.

α) Σε ποιο από τα δύο ποτήρια θα επιπλέει το αντικείμενο;

β) Στο ποτήρι στο οποίο το αντικείμενο επιπλέει να υπολογιστεί το ποσοστό του όγκου

που βρίσκεται έξω από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού.

Δίνεται η πυκνότητα του νερού, 3/1000 mkg και η πυκνότητα του

οινοπνεύματος 3

. /800 mkg .

ΛΥΣΗ

α) Για να επιπλέει ένα αντικείμενο σε ένα υγρό πρέπει η πυκνότητά του να είναι

μικρότερη από την πυκνότητα του υγρού στο οποίο βρίσκεται. Επομένως, επειδή:

.

..

Το αντικείμενο στο ποτήρι με το νερό θα επιπλέει το αντικείμενο, ενώ στο ποτήρι με

το οινόπνευμα θα βουλιάξει.

β) Το σώμα επιπλέει στο νερό. Η συνθήκη πλεύσης είναι:

gmVgA . (1)

Όμως : VmV

m .. (2)



Άρα, αντικαθιστώντας τη σχέση (2) στη σχέση (1) προκύπτει:

gVVg .. VV ..

VV

m

kg

Vm

kg

VV 9,0

1000

900

.

3

3.

.

Επομένως το αντικείμενο είναι βυθισμένο στο νερό κατά 90%.

Δ) Παροχή - Εξίσωση της συνέχειας

Δ1) (Σχολικό βιβλίο του Δρη) Η παροχή του καταρράκτη του Νιαγάρα είναι 8000

m³ / s και η χωρητικότητα της τεχνητής λίμνης του Μαραθώνα 44·106 m³ .

Υπολογίστε το χρόνο που απαιτείται ώστε τα νερά του Νιαγάρα να γεμίσουν την

λίμνη του Μαραθώνα .

ΛΥΣΗ

α) Ο όγκος του νερού στη λίμνη του Μαραθώνα (όταν είναι γεμάτη θα είναι):

361044 mV .

Άρα,

t

V ss

s

m

mVt

t

V500.5105,5

108

10440 3

33

36

Δ2) Σε ένα κυκλικό σωλήνα με μεταβλητό εμβαδό διατομής ρέει νερό που τον γεμίζει

εντελώς παντού. ΄

α) Σε κάποια θέση η ακτίνα της διατομής του σωλήνα είναι m2,0 . Πόσο είναι το μέτρο

της ταχύτητας σε αυτό το σημείο, αν η παροχή όγκου στο σωλήνα είναι sm /6,0 3 ;

β) Σε κάποιο άλλο σημείο του σωλήνα, η ταχύτητα του νερού έχει μέτρο sm /8,3 . Πόση

είναι η ακτίνα της διατομής στο σημείο αυτό;

ΛΥΣΗ

α) Το εμβαδό διατομής του σωλήνα στο σημείο όπου mr 2,01 θα είναι:

22212

11 1056,1210214,3 mr

Από την εξίσωση της παροχής προκύπτει:

1

11111 sm

m

s

m

/77,41056,12

6,0

22

3



β) Από την εξίσωση της συνέχειας ισχύει:

21

2

12221

s

ms

m

8,3

6,03

2

2

2 16,0 m

Άρα,

mm

rr 22,014,3

16,0 2

22

2

22

Δ3) Άσκηση 3.19 (Σχολικό βιβλίο): Η ταχύτητα με την οποία ρέουν τα νερά ενός

ποταμού σταθερού πλάτους σε ένα σημείο όπου το μέσο βάθος είναι h1 = 1,5m είναι

υ1 = 1,3m/s .Πόσο είναι το μέσο βάθος σ' ένα άλλο σημείο όπου τα νερά τρέχουν με

ταχύτητα υ2 = 0,3m/s

ΛΥΣΗ

Από την εξίσωση της παροχής προκύπτει:

21 2211 (1)

Το πλάτος του ποταμού είναι σταθερό, άρα 21 xx

Το εμβαδό διατομής του ποταμού σε βάθος 1h θα είναι: 111 hxA (2)

Το εμβαδό διατομής του ποταμού σε βάθος 2h θα είναι: 222 hxA (3)

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2) και (3) στην (1) προκύπτει:

222111 hxhx msm

smmhhhh 5,6

/3,0

/3,15,1

2

1122211

Δ4) Άσκηση 3.20 (Σχολικό βιβλίο): Η παροχή ενός πυροσβεστικού κρουνού είναι

0,012m3/s. Το λάστιχο της πυροσβεστικής καταλήγει στο ελεύθερο του άκρο σ' ένα

στένωμα εσωτερικής διαμέτρου 2,2 cm. Με τι ταχύτητα εκτοξεύεται το νερό από το

στένωμα;

ΛΥΣΗ

m2102,2

Το εμβαδό διατομής του στενώματος είναι:

4

102,214,3

2

222

2 mr

4

102,214,3

2

222

2 mr

24108,3 m

smm

sm/6,31

108,3

/101224

33



E) Εξίσωση Bernoulli

E1) Γιατί ο δυνατός άνεμος παρασέρνει τις στέγες των σπιτιών;

Ο δυνατός άνεμος όταν συναντά το σπίτι περνά πάνω από αυτό, με αποτέλεσμα η

φλέβα του αέρα να στενεύει στη θέση Σ2 πάνω από τη στέγη, άρα η ταχύτητά του υ2 να

είναι μεγαλύτερη από τις ταχύτητες υ1 και υ3 που έχει στις θέσεις Σ1και Σ3, αντίστοιχα,

πριν και μετά απ' αυτήν (εξίσωση συνέχειας).

Επειδή στη θέση Σ2 η ταχύτητα του ανέμου είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα στις

θέσεις Σ1 και Σ3, σύμφωνα με το νόμο του Bernoulli η πίεση στο Σ2 θα είναι μικρότερη

από αυτήν στις θέσεις Σ1, και Σ3. Η πίεση πάνω από τη στέγη θα είναι ακόμη μικρότερη

από αυτήν που επικρατεί στο εσωτερικό του σπιτιού όπου ο αέρας είναι ακίνητος. Η

ισορροπία δυνάμεων που διατηρεί τη στέγη στη θέση της διαταράσσεται, με

αποτέλεσμα η στέγη να τείνει να ανυψωθεί.

E2) Ποια δύναμη ανυψώνει τα αεροπλάνα;

Οι πτέρυγες των αεροπλάνων είναι έτσι σχεδιασμένες ώστε, όταν κινούνται,

οι ρευματικές γραμμές του αέρα να παρουσιάζουν πύκνωση στο επάνω μέρος τους και

αραίωση στο κάτω Η πίεση στο άνω μέρος των πτερύγων είναι μικρότερη από αυτήν

στο κάτω μέρος. Η δύναμη που δέχονται οι πτέρυγες λόγω αυτής της διαφοράς πίεσης

λέγεται αεροδύναμη ενώ η κατακόρυφη συνιστώσα της λέγεται δυναμική άνωση. Οι

πιέσεις που αναπτύσσονται είναι συνάρτηση της ταχύτητας του ρευστού, στην

περίπτωσή μας του αέρα, ή, αν το δούμε αντίστροφα, της ταχύτητας του αεροπλάνου

ως προς τον αέρα.

Αν η ταχύτητα του αεροπλάνου είναι τέτοια ώστε η δυναμική άνωση που προκύπτει να

είναι μεγαλύτερη από το βάρος του αεροπλάνου, το αεροπλάνο ανυψώνεται.Στην

πραγματικότητα το φαινόμενο είναι πολυπλοκότερο. Η ροή του αέρα πάνω και κάτω



από τις πτέρυγες είναι τυρβώδης και για να υπολογισθεί ακριβέστερα η δυναμική

άνωση απαιτούνται πολύπλοκοι υπολογισμοί.

E3) To ισόγειο μιας κατοικίας υδροδοτείται με ένα σωλήνα εσωτερικής διαμέτρου 2cm

υπό πίεση Pa5104 . Ο σωλήνας που οδηγεί στο μπάνιο του δεύτερου ορόφου, 5m

υψηλότερα έχει διάμετρο 1cm. Όταν η ταχύτητα ροής από το σωλήνα εισόδου είναι

2m/s βρείτε:

α) την ταχύτητα ροής,

β) την πίεση και

γ) την παροχή όγκου

στο μπάνιο.

ΛΥΣΗ

Συμβολίζουμε με 1 το σημείο στο σωλήνα εισόδου και με 2 το σημείο στο μπάνιο.

Άρα, cm21 , PaP 5

1 104 , cm12

α) Από την εξίσωση της συνέχειας προκύπτει:

21

2

2

21

2

12211

22

2

2

21

2

1

sm /82

2

1

2

12

β) Από την εξίσωση Bernoulli προκύπτει:

2

11

2

222

1

2

1 PghP 2

11

2

222

1

2

1 PghP

.).(

2

2

2

1122

1 IS

ghPP PaP 5335

2 102,35101060102

1104

γ) Η παροχή όγκου είναι: smdt

dV/103,6

2

34

2

2

222

E4) Το ροόμετρο του Ventouri. Το παρακάτω σχήμα δείχνει μία διάταξη που

χρησιμεύει για τη μέτρηση της ταχύτητας ροής σε ένα σωλήνα. Αν είναι γνωστές οι

διατομές Α1και Α2, του σωλήνα και η υψομετρική διαφορά h στη στάθμη των δύο

κατακόρυφων ανοιχτών σωλήνων Β και Γ, να βρεθεί η ταχύτητα ροής στην περιοχή

του σωλήνα που έχει διατομή Α1.



ΛΥΣΗ

Εφαρμόζοντας την εξίσωση του Bernoulli στα σημεία 1 και 2 που βρίσκονται στο ίδιο

ύψος έχουμε:

2

22

2

112

1

2

1 PP (1)

Από την εξίσωση της συνέχειας προκύπτει:

2

1122211

(2)

Επίσης, 11 gyPP atm (3)

22 gyPP atm (4)

όπου y1 το ύψος της στήλης του νερού πάνω από το σωλήνα μετρημένο από το

σημείο 1 και y2 το ύψος της στήλης του νερού μετρημένο από το σημείο 2.

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2), (3) και (4) στην (1) προκύπτει:

2

1

2

2

12

2

112

1

2

1 gyPgyP atmatm

12

12

2

12

121 yyg

12

12

2

12

1gh

1

22

2

1

1

gh

E5) Άσκηση 3.22 (Σχολικό βιβλίο). Κατά τη διάρκεια καταιγίδας ο αέρας κινείται

πάνω από τη στέγη ενός σπιτιού με ταχύτητα 108 km/h. Ποια η διαφορά στην πίεση

κάτω και πάνω από τη στέγη; Υπολογίστε την ανυψωτική δύναμη που δέχεται η στέγη.



Η στέγη είναι επίπεδη και έχει εμβαδόν Α=100 m2. Θεωρήστε την πυκνότητα του αέρα

σταθερή και ίση με 1,2 kg/m3.

ΛΥΣΗ

Η ταχύτητα του αέρα πάνω από τη στέγη του σπιτιού είναι:

sms

m

h

km/30

3600

1000108108

Εφαρμόζοντας την εξίσωση του Bernoulli στα σημεία 1 και 2 που βρίσκονται ακριβώς

άνω και ακριβώς κάτω από στη στέγη και θεωρώντας την υψομετρική τους διαφορά

αμελητέα προκύπτει:

2

2

112

1PP (1)

Καθώς ο αέρας στο εσωτερικό του σπιτιού είναι ακίνητος.

Επομένως η εξίσωση (1) δίνει:

2

1122

1PP 2

12

1P 2

12

1P

.).(2

12

1 IS

F

NF 000.54100302,12

1 2

ΣΤ) Θεώρημα Torricelli

ΣΤ1) Υπολογισμός ταχύτητας εκροής υγρού από ανοικτό δοχείο

Για τα σημεία (Ε) και (Κ) εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli :

22

2

1

2

1 PghP (1)

Η ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η στάθμη του υγρού μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα

συγκριτικά με την ταχύτητα με την οποία ρέει το νερό στο Κ, δηλαδή 0 .

Επίσης ΡE = ΡK = Ρat ,

Άρα η σχέση (1) γράφεται:



ghgh 22

1 2

Δηλαδη, η ταχύτητα εκροής υγρού από στόμιο που βρίσκεται σε βάθος h από την

ελεύθερη επιφάνειά του είναι ίση με την ταχύτητα που θα είχε το υγρό αν έπεφτε

ελεύθερα από ύψος Λ.

ΣΤ2) Άσκηση 3.21 (Σχολικό βιβλίο): Από το πλευρικό άνοιγμα μιας ανοιχτής

δεξαμενής βγαίνει νερό με ταχύτητα 8,86 m/s. Με πόση ταχύτητα θα βγαίνει αν η πίεση

στην ελεύθερη επιφάνεια γίνει 2 atm; Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ = 103kg/m3 και

ότι 1 atm= 1,033 x105Pa.

ΛΥΣΗ

Για τα σημεία (Ε) και (Κ) εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli πριν το διπλασιασμό

της πίεσης στην ελεύθερη επιφάνεια:

22

2

1

2

1 PghP (1)

Η ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η στάθμη του υγρού μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα

συγκριτικά με την ταχύτητα με την οποία ρέει το νερό στο Κ, δηλαδή 0 .

Επίσης ΡE = ΡK = Ρat ,

Άρα η σχέση (1) γράφεται: g

hgh22

12

2

(2)

Για τα σημεία (Ε) και (Κ) εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli μετά το διπλασιασμό

της πίεσης στην ελεύθερη επιφάνεια:

22

2

1

2

1 PghP (3)

Και πάλι γ ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η στάθμη του υγρού μπορεί να θεωρηθεί

αμελητέα συγκριτικά με την ταχύτητα με την οποία ρέει το νερό στο Κ, δηλαδή 0

.

Επίσης atmPP 22



Επομένως, η σχέση (3) γράφεται:

2

2

12 PghP 2

2

1 ghP (4)

Αντικαθιστώντας τη σχέση (2) στη σχέση (4) προκύπτει:

22

2

1

2

ggP

222

P .).(22 ISP

sm /88,1686,810

10066,2 2

3

5

Επιμέλεια

Κοντομάρης Στέλιος - sciencephysics4all.weebly.com

Βασικές Εφαρμογές Και Ασκήσεις - Ρευστά - Γ Λυκείου

Documents