State Key Laboratory of Integrated Services Networks

第六章 循环码的译码

循环码的译码

一般译码原理捕错译码大数逻辑译码

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一、一般译码原理

基本思想与线性分组码类似

1 、根据接收序列 R计算伴随式 S=RHT(n-k维向量 )

2 、根据伴随式 S寻找错误图样 E

3 、根据错误图样 E估计码向量 C’， 进而计算信息序列

伴随式计算的多项式表示

02

21

1 rxrxrxR nn

nn

R

02

21

1 cxcxcxC nn

nn

C

02

21

1 exexexE nn

nn

E

02

21

1 sxsxsxS knkn

knkn

S

系统循环码的一致校验矩阵 H

))((mod~,~,~,~ 0121 xgxxxxTTTnTn

H

xg

x

x

x

rrrn

n

nnT mod

~

~

~

,,

0

2

1

021

RHS

xg

x

x

x

eeexg

x

x

x

cccn

n

nn

n

n

nn mod

~

~

~

,,mod

~

~

~

,,

0

2

1

021

0

2

1

021

S 如何用多项式表示？0

循环码伴随式 可用除法电路实现

xgxExR

xExCxS

mod

由此可知：循环码的检错电路易于实现。

循环码计算伴随式电路的特点

定理：若 S(x) 是 R(x) 的伴随式， R(x) 的循环移位 xR(x) 的伴随式为 S1(x) ，则 S1(x) 是伴随式计算电路中无输入时右移一位的结果。

xgxxSxS mod1

循环码计算伴随式电路的特点

推论： xjR(x) 的伴随式 Sj(x)≡xjS(x) (mod g(x)) ， j=0 ， 1 ， …， n-1 。

而任意多项式 a(x) 乘 R(x) 所对应的伴随式 Sa(x)≡a(x)S(x) (mod g(x))

在 q 进制时， 若码要纠正≤ t 个错误， 则错误图样代表共有

使得循环码译码器的错误图样识别电路大为简化， 由原来识别 N2 个图样减少到 N1 个

1

1)1(

11 j

nqN j

t

j

jt

j

qj

nN )1(

12

Example: 循环码生成多项式 g(x)=x3+x+1 ，计算 E(x)=x6 和 E(x)=x5 的伴随式

1mod1 326 xxxx

1mod1 325 xxxxx

循环汉明码译码电路

xgxxxxxxxTTTTTTT

mod~~~~~~~ 0123456

H

[7,4,3] 循环汉明码的生成多项式为 x3+x+1

1001011

0101110

0010111

输入 R(x)

非门

与门

七级缓存门

循环汉明码译码电路 ( 需要 14 移位 )

Example ：设计一个由 g(x)=x4+x3+1生成的 [15,11] 循环汉明码译码电路。

基本要求：需要一个除法电路和一个逻辑电路

要设计逻辑电路，须知道该码可纠正的错误图样及伴随式

汉明码可纠一个错误，只需知道一个错误图样的伴随式

伴随式又可由校验矩阵 H 得到

扩展汉明码的译码

缩短循环码的译码

扩展汉明码的译码

扩展汉明码的码长是 8 的整数倍。扩展汉明码 d=4 ，能纠正一个错误同时发现两个错误。译码电路主要部分与循环汉明码译码器相同，需要加上检错电路。

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二、捕错译码

基本原理

xgxExExExRxS PI mod

knkn

nn

nnI xexexexE

22

11

02

21

1 exexexE knkn

knknP

基本原理

若错误集中在校验元的 n-k 位上，即 EI(x)=0, E(x)=EP(x)

xgxExExS P mod

此时，伴随式就是错误图样， C’(x)=R(x)-S(x)

可用捕错译码循环码必须满足

1 、错误必须集中在任意连续的 n-k 位上可利用循环码的特点将错误移到后 n-k 位上

2 、 k < n/t 或 t < n/k 或 R < 1/t

错误集中在 n-k个校验元上的条件

纠正 t 个错误的 GF(q) 上的 [n,k] 循环码，捕错译码过程中，已把 t 个错误集中在 Ri(x) 的最低次 n-k 位以内的充要条件是：

txSw i

其中 w(Si(x)) 是伴随式 Si(x) 的重量

01

11

1 exexexexE knkn

knkn

nn

若前面 k 位没有错误，则可用捕错译码实现

若前面 k 位也有错误，此时伴随式 S(x) 为：

xSxExgxExExS IPIP mod

若 EI(x) 和 SI(x) 已知，可由此得到 EP(x) ，进而确定 E(x)= EI(x) +EP(x) ，即是修正捕错译码

修正的捕错译码

当循环码的信息比特数 k 等于 n/t 或比 n/t 稍大时，可采用某种方法，将大部分错误集中在 n-k 位上，而把个别错误集中在固定的某几位上，即可实现修正的捕错译码

大部分错误固定几位错误

修正捕错译码原理

xQx

exex

xexexE

kn

knk

kkn

knkn

nnI

1

1

11

xgxQxxS knI j

mod

修正捕错译码原理

因此，如果能找到一个 k-1 次多项式 Q(x) ，使错误图样 E(x) 或 E(x) 的循环移位在前 k 位码段内与 Q(x) 一致，即可找到最终的错误图样

覆盖多项式的数目

对于纠正 t个错误的 GF(q) 上的 [n, k] 循环码，当且仅当 R<2/t时，覆盖多项式集合必存在。对于 t=2 ，覆盖多项式 {Qj(x)} 中，最少的多项式数目为

/(2( ))j n n k

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三、大数逻辑译码原理

大数逻辑译码

1 0 1 1 0 0 0

1 1 1 0 1 0 0

1 1 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 1

H

0

1 0 1 1 0 0 0

1 1 0 0 0 1 0

1 0 0 0 1 0 1

H

4 3 2( ) 1g x x x x

1 3 6 4 3

2 1 6 5 1

3 2 0 6 2 0

A s e e e

A s e e e

A s s e e e

0 0TH C

大数逻辑译码

A1=c6+c4+c3=0

A2=c6+c5+c1=0

A3=c6+c2+c0=0

该校验方程的特点： c6 含在每一方程中， c5, c4, c3, c2, c1, c0 只含在某一方程中。称为正交于 c6 码元位的正交校验方程。 H0 称为正交一致校验矩阵。

定义：若某一特定码元位出现在 H0 矩阵中 J 行的每一行中，其他码元位至多在其中一行出现，则称 H0 为正交于该码元位的正交一致校验矩阵。

大数逻辑译码

假设正交位为 en-1, 若奇偶校验和的绝对多数为 1 ，则差错位 en-1 被译码为 1 ；否则被译码为 0 。一个循环码若在任一位上能建立 J 个正交一致校验和式，则该码能纠正 t≤J/2 个错误。最小距离 d=J+1 的码为一步完备可正交码一步大数逻辑可译码的纠错个数，与码参数之间的关系 :

汉明码的对偶码，极长码

1

2( 1)ev

nt

d

大数逻辑译码

如果某一码元位置集合 {ci1,ci2,…,cil} 的线性组合 ai1ci1+ai2ci2+…+ailcil

在 A1 ， A2,…,AJ 的一致校验和式中均出现，而其余码元位置集合至多在其中一个校验和式中出现，则说 A1 ， A2,…,AJ 在集合 {ci1,ci2,…,cil} 上正交，称 A1 ， A2,…,AJ 是正交于该码元位置集合的正交一致校验和式。

例： [7,4,3] 循环汉明码，两步大数逻辑可译码

大数逻辑可译码

RM 码极长码（汉明码的对偶码）差集循环码复数旋转码

RM 码

G0 是长为 N 的全 1 矢量， G1是 m×2m 阶矩阵，其各列由 2m

个 m 重矢量组成； Gi 是从 G1中选取 i 行进行矢量与运算所得到的矢量构造的。r 阶 RM 码

r 阶 RM 码是 r+1 步大数逻辑可译码

0

1

...

r

G

GG

G

0

r

i

mk

i

2mn

1

0

m r

i

mn k

i

极长码

对任何整数 m>=2 ，均存在有如下参数的极长码： n=2m-1 ， k=m, d=2m-1 。码的生成多项式 g(x)=(xn-1)/p(x) 。 p(x) 是一个 m 次本原多项式。极长码是汉明码的对偶码。一步大数逻辑译码

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四 软判决译码

软判决译码

能够充分利用接收信号波形信息比硬判决译码能得到额外的 2 ～ 3dB 的增益适合中等码长和中等纠错能力的码信噪比可以在很宽的范围内变化硬判决译码 < 软判决译码 < 最大后验概率译码

软判决译码准则

码字错误概率最低：广义最小距离译码、 Chase译码码元错误概率最低： APP 译码、逐位译码、重量删除译码

几类最佳译码

最小欧几里德距离译码

最大内积译码（最大相关译码）

2

1

max ( | ) min ( )n

l i lii

p R C r c

min maxE ld R C

软判决译码

软判决译码是最佳译码的折衷

软判决译码

软判决距离：二进制输入 Q 元输出的 DMC 中，最大似然译码近似等价于最小软判决距离译码软判决重量 wls

软重量和汉明重量关系： wls=(Q-1)wlh

一个最小距离为 dh 的二进制 [n,k] 线性分组码，有最小软距离 ds=(Q-1)dh,它一定能纠正软重量为ts<(Q-1)dh/2 的任何错误图样有最小距离为 dh 的二进制线性分组码，在 Q 进制输出的 DMC 中，当信噪比很高时，应用最小软判决距离译码，能纠正 dh-1 个硬判决错误

编码增益和软判决增益

在某一误码率下，应用一定的纠错码系统后，相对于没有应用时所获得的信噪比减少的分贝数称为此纠错码的编码增益高信噪比时所获得的编码增益称为渐进编码增益码率 R, 纠 t 个错误， AWGN 信道，硬判决译码

未应用纠错码， AWGN 信道

硬判决渐进编码增益：未量化信道的渐进编码增益：

1 1/ 2 10( ((2 / ) ))t t

b e bp Kp K Q RE N

' ' 1/ 20[(2 / ) ]b bp KQ E N

110lg ( 1) 10lg ( )

2hd

G R t R

10lgs hG Rd

码字错误概率最小的软判决译码

GMD 译码算法：逐字判决的软判决译码算法设由解调器输出的实数序列 ， 送入一个似然比估值器， 计算码元的对数似然函数比

对 Li量化， i=q(Li)

令 =(,…,n) 是输入至译码器的实数序列，其中 |i|<=1, 则至多只有一个码字 Cl (n,k,d∈ h) 满足

)~,,~,~(~

21 nrrrR

)1|~(

)0|~(log

i

ibi rP

rPL

l hC n d

GMD 译码过程

Step1 ：从量化器输出的序列删去 i 个最不可信的码元，并按 i 的正负号，把序列变成由 -1 、 1 、 0 元素组成的试探序列’Step2 ：通过纠错纠删译码器得到已译码字 C1‘

Step3 ：检测 GMD 条件是否满足，满足，输出C1‘ ，不满足，在序列删除 i+1 个最不可信码元，重新回到 step1.

试探次数

Chase 译码算法

用硬判决纠错译码器代替 GMD 中的纠删或纠错纠删译码器，且试探序列的选择稍有不同基本原理：利用硬判决译码器，根据不同的试探序列产生几个候选码字，把它们与接受序列比较，挑选一个与接收序列有最近软距离的候选码字作为译码器的输出