第六章 量纲分析与相似原理第六章 量纲分析与相似原理

§ 6-1 单位与量纲§ 6-2 量纲分析与定理§ 6-3 流动相似原理

21 VKdl

p

单位长度圆管的压强损失单位长度圆管的压强损失

或写成或写成

g

V

d

l

dg

p

2)(Re,

2

这就是圆管沿程损失的达西公式这就是圆管沿程损失的达西公式

)()(

2

Vddd

VK

例

题

6.1 单位与量纲

例 2. 已知圆球的流体阻力与圆球直径 d 、相对速度 V 、流体动力粘性系数及密度有关。试求圆球 阻力 FD 的表达式。

解 阻力可表达为 ),,,( VdfFD 问题涉及的变量数 n=5

基本量纲数 m= 3

无量纲 的个数是 n m=2

222111 21 ,cbacba

D

dVdV

F

由 定理有函数关系

0),( 21 F

应用 定理寻求更简洁的函数关系

选 、 V 、 d 作为基本的度量尺度， 可表示为

例

题

量纲关系量纲关系

由量纲一致性由量纲一致性 111 (L))(LT)(MLMLT : 1321

cba

解出解出Vd 2

3

11

1

2

ML

TML

LT

L

MLT

V

d

FD

222 (L))(LT)(MLTML : 13112

cba

221 dV

FD

a1=1, 3a1b1+3c1=1, b1= 2 (1)

a2=1, 3a2+b2+c2=1, b1=1 (2)

222

111

2

1

cba

cbaD

dV

dV

F

(Re)fCD

0),( 11 F

例

题

6.2 量纲分析与定理

例 3. 试用 定理求直圆管的压强差关系式。已知压强差与流体的密度 、粘度 、弹性模数 E 、平均速度 V 、管径 d 、管长 l 、粗糙高度 、重力 g 、表面张力有关。

解：按题意这一关系式可表达为

),,,,,,,,( EgldVfp

有 n=10 个变量， m=3 个独立变量

777111 71 ,,, cbacba dV

E

dV

p

无量纲 的个数是 n-m=7 ，设为

0),,,,,,( 7654321 F

，取、 V 、 d例题

根据量纲一致性原理确定基本量纲的指数

) , ,/

, , ,( 2

12 dd

l

E

VdVVd

gd

Vf

V

p

) , ,M , We,Re ,Fr(12 dd

lf

V

p

不可压缩圆管流粘性摩擦为主，忽略 Fr ， We ， M

g

V

d

l

dg

p

2),Re(

2

达西公式达西公式

),Re(32 df

d

l

V

p

),,Re(22 dd

lf

V

p

6.2 量纲分析与定理

例题

VddV

m

mmm

例 4. 风洞试验预报声纳传感器的阻力。实型球壳直径 d=10m ，深水拖曳速度 V=0.10

m/s 。若模型直径 dm=1m ，求在空气中模型的速度。若风洞试验的模型阻力为 6N ，试估算实型阻力。气温和水温均为 15C 。

解 . 忽略压缩性影响，实物与模型都应满足忽略压缩性影响，实物与模型都应满足

由实物与模型的雷诺数相等得模型速度由实物与模型的雷诺数相等得模型速度

)(22 Vd

fdV

FD

smd

VdV

mm

mm /77.12

再由阻力系数相等得到实型阻力的估算值再由阻力系数相等得到实型阻力的估算值

2222mmm

mDD

dV

F

dV

F

NFD 9.29

例题

p

ppp

m

mmmdVlV

船模的波浪阻力实验要求弗汝德数相等

若模型与实物比尺 lm/lp=1/10 ，则

10mm

m

p

pp

p

m

l

l

V

V

gl

VFr

16.3

1

p

m

p

m

gl

gl

V

V

船模的水池阻力实验要求雷诺数相等

例 5.

两个条件互相矛盾 !

必须针对具体问题，确定起主要作用的综合参数

6.2 量纲分析与定理

例题

例 . 已知直径 150mm 圆管中的水流速度 V=2.0m/s ，现以直径 50mm 的相似管路进行模化以求其阻力损失。问模型中用水和空气进行实验时应具有的速度。（已知：水 =0.01cm2/s ，空气 =0.156cm2/s ）

解：忽略重力和压缩性的影响，只需要

pm

VdVd)()(

用水进行实验 m=p=0.01cm2/s

p

m

m

ppm d

VdV

用空气进行实验 m=0.156cm2/s

Vmdm=Vpdp ， Vm=6m/s

sm /6.9301.0

156.0

50

0.2150

例

题