Разрывы в шкале вероятностей.

Интервальный анализ

Об интервальной арифметике для

вписанных интервалов и средних значений

2

•Нобелевский лауреат Kahneman

констатировал (2006) ), что

в экономической теории, в теории полезности

до сих пор не удалось

удовлетворительно решить

целый ряд проблем

в т.ч. парадоксы Алле и Эллсберга.  

Интервальный анализ

• Дана величина {v(Xk)} : k=1, …K, на интервалах Xk.

• Распределение ρ(Xk) этой величины равно

• ρ(Xk) нормировано на 1

1 1

1

( )( ) 1

( )

K Kk k

k Nk k

n nn

X wid XX

X wid X

( ) ( )k k kX X wid X

О возможных дополнениях к интервальной арифметике.

Вписанные интервалы и средние значения

Даны интервалы X1 и X2 :

12 XX

1 1 1( )X wid X

121

2 2 2( )X wid X

Формула Новоселова. Вывод

0)(2

112

nnn MX

12

2

112

2

1

MMXn

nn

nn

2

1

12

nnnXM

2

121

n nn

wid M wid X

Формула Новоселова

1...1

N

N n nn

M X

1..

1

N

N n nn

M X

N

nnnN XwidMwid

1...1

1...1

N

N n nn

P mid p p

1...1

N

N n nn

mid M mid X

7

•Нобелевский лауреат Kahneman и Thaler констатировали (2006) ), что

в экономической теории

до сих пор не удалось

удовлетворительно решить

целый ряд проблем в т.ч. парадоксы Алле и Эллсберга.

 

Эти проблемы часто наблюдаются

у границ шкалы вероятностей.

Теорема о существовании разрывов

у границ шкалы вероятностей (2010 г.)

дает новый путь для их решения

Теорема о существовании разрывов

• На отрезке [A, B] величина {v(xk)} известна с точностью до ненулевого интервала X, такого, что

min( ) 0k

kx X

x C

min

min min

( )

( )(1 )

M P C

P M C C

min

( )M P P P C

B wid P C

Аналогия. Вибрации вблизи твердой стены

• Электродрель, автомат, стиральная машина с твердыми боковыми стенками.

• Можно ли приблизить дрель к твердой стене:

А) на расстояние 0,1 мм? Б) вплотную?

• Выключенную (Off): Конечно да.

• Включенную (On) (Амплитуда

вибраций равна 1 мм): Из-за вибраций (из-за разброса значений координат)

А) Среднее расстояние >0,1 мм. Б) В шкале возможных средних расстояний появится разрыв.

9

Простейший пример

• Дан интервал [A, B].

• На этом интервале даны три точки:

• Левая xLeft

• Правая xRight=x Left +2σ

• Средняя M=(x Left +x Right)/2

• Разброс  xRight - xLeft  = 2σ > 0 

Очевидно, что A ≤ x Left

(То есть: Левая точка не может быть левее левой границы интервала)

и x Right ≤ B

(То есть: Правая точка не может быть правее правой границы интервала)

Очевидно, что

A+σ ≤ M ≤ B-σТо есть:

Средняя точка  M  не может приближаться к любой границе интервала ближе, чем на половину величины разброса (то есть на  σ).Или

Середина полосы разброса не может быть на границе интервала.Или

Для средней точки  M  возле каждой из границ интервала существует запрещенная зона, разрыв величиной  σ.

16

Пример

разрывов у границ шкалы вероятностей

Простейший пример подобных разрывов – стрельба в мишень в одномерном приближении:

Пусть размер мишени равен 2L>0, а разброс попаданий, при точном прицеливании, подчиняется нормальному закону с дисперсией σ2. Тогда максимальная вероятность попадания в мишень Pin_Max равна: