华东师大初中教材概率统计的新安排

华东师范大学数学系 李俊

概率统计在人教版新课程中所占课时数与百分比

小学 初中高中

必修 选修 1 选修 2

课时数 38 49 24 14 22

总课时数 721 354 180 72 108

课时百分比 5 ％ 14 ％ 13 ％ 19 ％ 20 ％

华东师大初中 62/414=15%

8 年级教过数据表示、数据分析和概率的学生百分比 1999

用统计图表表示和解释数据

算术平均数 简单的概率——理解和计算

国家和地区美国比利时加拿大中国台湾捷克

9686911149

9393811288

79247247

英国中国香港意大利日本韩国

9965844395

9330623878

901049399

荷兰新加坡

8797

7788

4617

国际平均 75 70 43

测试题：用统计表表达下列信息2002 年部分地区录像制品出版情况如下：北京： VCD 种数为 361 种，数量为 1476.0 万盒； DVD 种数为 32 种，数量为 54.4 万盒。上海： VCD 种数为 622 种，数量为 318.3 万盒； DVD 种数为 33 种，数量为 20.8 万盒。广东： VCD 种数为 1565 种，数量为 3244.7 万盒； DVD 种数为 159

种，数量为 312.4 万盒。

总体667

7年级 8年级 10年级 11 年级普通107

重点55

普通102

重点100

普通78

重点116

普通54

重点55

119（ 17.8

）7

（ 6.5）8

（ 14.5）

13（ 12.7

）

14（ 14.0

）

11（ 14.1

）

32（ 27.6

）

12（ 22.2

）

22（ 40.0

）

学生均未专门学过统计表的知识

2002 年部分地区录像制品出版情况统计表

录像制品城市

VCD DVD

种数 盒数 种数 盒数

北京 361 1476 万 32 54.4 万上海 622 318.3 万 33 20.8 万广东 1565 3244.7 万 159 312.4 万

图表的标题；分类并给栏目起名；选择合适的统计图表

利用概率知识帮助判案在瑞典的一次庭审中，管理泊车的警察作证说他记录了一辆车某一边的两个轮胎气阀的位置。后来等他重新回到该处时，气阀还在原来的位置。（这个警察的做法是把气阀的位置记成最接近的“钟点”位置。例如在下图中，气阀是在“ 10:00” 和“ 3:00” 。）在这种情况下他开了一张超时泊车的罚单。但是车主却声称他已经在其间用过车子，只不过停回到了原来的泊车位。

驾车人被判无罪

2004 河南省中考题在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，如下图所示是其中的甲、乙台阶路的示意图。请你用所学过的统计知识 ( 平均数、中位数、方差、标准差等 ) 回答下列问题：(1) 两段台阶路有哪些相同点和不同点 ?

(2) 哪段台阶路走起来更舒服 ? 为什么 ?

(3) 为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议。

三个问题（ 1 ）求 20 ， 21 ， 21 ， 22 ， 22 ， 22 ， 22 ， 23 ，

23. 这组数据的平均数、中位数和众数；（ 2 ） 9 位学生的鞋号由小到大是： 20 ， 21 ， 21 ，

22 ， 22 ， 22 ， 22 ， 23 ， 23. 这组数据的平均数、中位数和众数中哪个指标是鞋厂最不感兴趣的？哪个指标是鞋厂最感兴趣的？

（ 3 ）某鞋厂在你们全年级中随机抽取 2 个班级，调查并记录每个学生的鞋号，你认为这组数据的平均数、中位数和众数中哪个指标是鞋厂最不感兴趣的？哪个指标是鞋厂最感兴趣的？鞋厂据此调查数据组织生产一定与现在你们全年级学生所需各种尺码鞋子的数量一致吗？

全国标准、上海市标准、美国标准• 到小学高年级， 3 份标准的分化开始显现。开展统计活动，学习统计图表并用于交流，这是 3 份课程标准共同的内容。全国课程标准提出了“理解平均数、中位数、众数的意义”，但上海市的标准没有学习中位数和众数的要求，把它移后到初中阶段。上述这些是我们都熟悉的安排，但美国标准令我们感到意外。首先，除了学习各式统计图表之外，它还要求学生注意观察数据的分布，最小值、最大值分别是什么，数据比较集中在哪一段上，对两组数据的分布进行比较。其次，除了要求学生知道中位数、众数、平均数各反映了一组数据的什么特征并恰当选用外，美国标准在这个阶段把重点放在中位数上，因为它认为理解平均数意义是比较困难的，需要用较长时间来学习。

人民教育出版社教材一例

案例 77 探索平均数的意义假设我们得到了 2 个数据。令 为平均数，证明 a 是 x 与 y 这 2 个数据差的平方和达到最小的实数，即对任意的实数 b 有

≤ 。

[ 说明 ] 平均数使误差平方和达到最小。

2

yxa

22 )()( ayax 22 )()( bybx

初中阶段的统计 差异更加明显• 初中阶段的统计，在描述数据的工具方面，美国课程标准引入了我国初中标准中没有的茎叶图、箱线图、散点图，并利用这些新的数据表示法继续学习两个总体特征的比较、不同样本同一特征的比较，对同一样本内两个变量之间关系做出猜测，等等。这里有些内容如茎叶图、散点图、变量之间关系都是我国高中统计教学的内容。我国的两份标准在初中阶段要求学习加权平均数、方差等统计量，学习频数分布直方图。国家标准明确有抽样调查的要求，要求学生体会抽样的必要性和样本估计总体的思想，但上海市标准虽多次提到统计的意义和统计与现实生活的联系，却没有提抽样调查，“总体与样本和随机抽样方法”等是安排在高中学习的，所以教学重点似乎还是数据整理（如中位数、众数、方差、标准差等概念）与统计图表的制作与信息读取。

修改稿案例 79 身高比较比较自己班级与别的班级同学的身高状况。• [ 说明 ] 对于两个班级学生身高状况比较，通常可以通过平均值来判断，但有时候仅仅通过平均数是不够的，如果一个班同学之间身高差异很大，而另一个班同学之间身高差异很小，即使前一个班的平均高一些，也不能说这个班的整体状况很好。因此，在判断身高状况时，不仅要看平均值，还需要参考方差。

• 通过数据之间的比较，可以引导学生逐渐深入地进行数据分析，从而理解数据分析的道理。因为计算量比较大，可以利用计算器或者计算机。如果学生基础比较好，可以进一步要求学生把身高分段，画出频数直方图，并引导学生讨论：通过直方图是否能得到更多的信息？

初中生能够学习散点图并直观地判断变量之间的关系吗？

下图是根据某一小队学生的身高体重所绘制的统计图，

观察图形，回答下列问题： 1 、这一组中，身高最高的同学体重大致为 公斤；最矮的同学体重大致有 公斤；

2 、这一组中，身高最高的同学是体重最重的吗？ ；身高最矮的同学是最轻的吗？ ；

3 、观察上图，请你描述一下这组同学身高与体重的关系？

某组学生身高体重统计图

130

140

150

160

170

180

30 40 50 60 70 80公斤

厘米

关琪的研究结果• 她对上海市区一所初中的 217名没有学过统计初步的 6～ 8 年级学生的调查发现，学生并没有因为以前没学过这一类型的统计图而感到困难，在一道要求学生读取一张散点图的数据信息之后再描述一下这组同学身高与体重的关系的测试题中，除 6 年级普通班的学生读取信息正确率在 52％， 6 年级重点班学生正确率在 71％外，其余 7 、 8 年级学生的正确率均在 80％以上，但是，这些学生中的绝大多数都没有给出 “身高体重成正比例关系” 或类似的回答，据访谈和学生答卷分析得知，有一部分学生认为要成正比例关系，那么所有的点就应该都在一条直线上，但是因为给出的散点图不满足这个要求，所以不能说身高与体重有什么关系。

抽样调查要不要在初中教 • 美国： 1989 年的标准是把抽样和推断安排在 5－ 8 年级， 2000 年的标准是安排在 6－ 8 年级。

• 全国初中新课程教材实验情况• 巴桑卓玛博士论文中的发现

–她对 1847 位来自 1－ 8 年级共八个年级的中小学生进行了测试问卷调查，获得有效问卷 1256 份。她的其中一个研究内容是学过统计（已进入新课程实验）和没学过统计（尚未进入新课程实验）的学生对样本和抽样方法的认识情况，具体地，她考察了学生如何直观地认识样本大小、他们怎么选择样本和他们如何判断样本的好坏这三个方面。

她的发现是• 样本知识需要教，否则学生不理解。学过和没有学过统计的 1～ 2 年级的学生基本不理解样本，他们认为调查就要问所有人，不理解总体与样本的关系。学过和没有学过统计的 1～ 4 年级的学生对样本的理解水平没有统计意义的差异。

• 学生比较容易认识样本要具有代表性，但不太容易认识样本具有随机性的重要。学过统计的 4～ 8 年级的学生认识到样本随机性的学生比例明显高于没有学过统计的同龄学生，但在此比例最高的学过统计的 8 年级学生中，也只有 16％，在没有学过统计的学生中各年级均不超过 2％。

• 非随机的分层抽样思想从 3 年级起明显增多，在没学过统计的初中生中大概占 50%左右，在学过统计的初中生中，这个比例大约是 80% 。

具有随机抽样思想

具有分层抽样思想（非随机）

概率教学要求国家标准 上海市标准1－ 3年级：初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的；能够列出简单试验所有可能发生的结果；知道事件发生的可能性是有大小的；对一些简单事件发生的可能性作出描述，并和同伴交换想法。

1－ 2年级：无

4－ 6年级：体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可能性；能设计一个方案，符合指定的要求；对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己的理由

3－ 5年级：初步认识不确定现象体会不确定现象发生的可能性有大小；拓展内容：通过游戏列出简单事件所有可能发生的结果，渗透排列的感性认识。专题研究：通过大量的实验或计算机模拟实验，感知规律。

7－ 9年级：在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率；通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值；通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。

6－ 7年级：在“分数”的学习中，引入“可能性”问题，在“代数式”的学习中，进一步研究用字母表示“可能性”的问题。8－ 9年级：用枚举法探求等可能事件的概率，会用区域面积之比解决简单的几何概型；在具体情境中体验等可能事件的概率，解释所得概率的意义；能就给出的概率找一个相应的等可能事件或设计一个符合要求的方案。

美国标准• 与我国国家课程标准一样，概率教学持续的时间是所有学段。

在其 2000 年的那份标准中，它要求学前期至二年级，讨论与学生经验相关的可能与不可能的事件。在三至五年级，对事件可能或不太可能发生进行描述，并用肯定、等可能和不可能等讨论事件发生的可能程度；预测简单实验结果的概率值并验证预测的结果；理解一个事件发生的概率可以用 0～ 1来表示。在六至八年级，要求理解并运用适合的术语来描述互补事件（即对立事件）和互斥事件（即不相容事件）；用比例及对概率的基本理解来对试验和模拟结果做出推测；使用有组织的列表、树形图和面积模型计算简单的复合事件的概率。与我国国家标准要求相比，内容大体一样，对概率教学的安排呈现以下三个层次：体验不确定现象、定性描述可能性、定量描述概率，只是互补事件和互斥事件这两个概念我们安排在高中教。

概率教学有没有必要这么长 • 有教师反映：小学低年级、高年级学生在抛硬币，初中生还在抛硬币，师生早就没兴趣了

• 可以在小学高年级到初中这段时间学完，整合 • 巴桑卓玛发现：学过和没有学过统计的一至八年级的学生对根据已有的生活经验区分确定性和不确定性的认识水平没有差异，而且所有年级的学生理解的比例达到 95%-100% 。

• 全部集中安排在初中好不好？–确定性数学思维训练的影响；教育应该促进发展；需要充裕的教学时间

• 2003 年和 2005 年分别对数学课程的实施情况和有关数学课程改革问题进行问卷调查。 2005 年调查： – 72.4％的教师认同《数学标准》，认同程度城乡没有差异，而中小学之间存在差异，小学教师要比中学教师的认同程度高

– 51.4% 的教师认为新教材内容偏难。“教材中有的题综合性太强，还有的问题太多、繁琐，学生不能达到所要求的能力。”“有些内容过于超前，超过了学生已有的生活经验。”“数学教材对知识的要求，难度高于《数学标准》。” 39.5% 的教师认为实践领域实施有一定的困难。