Кафедра математики и моделированияСтаршие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. ГусевКурс «Высшая математика»

Лекция 2.

Тема: Таблица истинности. Основные логические тождества.

Цель: Определить структуру таблицы истинности, рассмотреть основные логические тождества.

2. Определение высказывания. Таблица истинности для высказываний

Определение 1Переменная А, принимающая два значения – 0 или 1, называется логической (или булевой) переменной.Обозначаться логические переменные будут заглавными латинскими буквами с индексами или без них:

A B X Y A C, , , , , ,...2 3

Порядок действий1)Однотипные операции выполняются в порядке их следования.Например,

A B C D A B C D

2) Отрицание подразумевает скобки.

3) Конъюнкция связывает сильнее, чем дизъюнкция. Например,

A B C A B C 4) Дизъюнкция связывает сильнее, чем импликация.Например,

A B C D A B C D 5) Импликация связывает сильнее, чем эквивалентность.Например,

A B C A B C

Примеры

• 1)Избавиться от лишних скобок

• Ответ

• 2)Расставить порядок действий

))())((( CABCBA

)( CABCBA

CBACCBA )(1 2 3

4

5 67

Определение 2Таблица истинности для высказывания имеет вид F A A An1 2, ,...,

 

A1 A2 … An-1 An F(A1, A2,…, An-1, An)

0 0 … 0 0 F(0,0,…,0,0)

0 0 … 0 1 F(0,0,…,0,1)

… … … … … …

1 1 … 1 0 F(1,1,…,1,0)

1 1 … 1 1 F(1,1,…,1,1)

Если высказывание F построено из логических переменных

A A An1 2, ,..., , то будем обозначать это высказывание: F F A A An 1 2, ,...,Теорема

Наборов длины n из 0 и 1 существует 2n

3. Равносильные высказывания.

Определение 1

Высказывания F(A1,A2,…,An) и G(A1,A2,…,An) называются равносильными (или просто равными), если для любого набора

1 2, ,..., n имеет место равенство:

F Gn n 1 2 1 2, ,..., , ,..., .

Обозначим F A A A G A A An n1 2 1 2, ,..., , ,...,

Другими словами, два высказывания равны, если у них совпадают таблицы истинности.

Примеры

Доказательство

A B A B

 

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 1 1 1 

A B A B A B

Основные логические тождества

Идемпотентные законы: A A A A A A

A B B A A B B A

A B C A B C

A B C A B C

Коммутативные законы:

ABBA Ассоциативные законы:

CBACBA

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Законы Моргана:

A B A B

A B A B

Закон двойного отрицания:

A AЗакон противоречия:

A A 0Закон исключенного третьего:

A A 1

BAABBA

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

BABA

Дистрибутивные законы: ACABCBA CABABCA

Без названия:

16)

17)

Законы поглощения: AABA

Доказательство

AABAABA 1)1(

BABAA

Доказательство

BABABAAABAA )(1))((

ABAA )(

ABBAA

16)

17)

18)

19)

Тождества, содержащие константы:

A A 0 A 1 1

A 0 0 A A 1

A 1 1

1 A A0 1 AA A 0

A A 1A A 0

• Вопросы:

• Перечислить порядок действий в высказываниях.

• Сколько строк содержит таблица истинности для высказывания с 5 логическими переменными?