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第四讲 纳什均衡

上海财经大学 经济学院

第四讲纳什均衡

• 1. 纳什均衡

• 2. 纳什均衡：信念的协调

• 3. 古诺均衡

• 4. 对称博弈

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3. 古诺竞争• 市场上只有两家企业生产某一产品，企业 1 和企业 2

• 两家企业同时选择产量： q1 和 q2 。

– 每家企业的决定自己的产量时不知道对方的产量选择

• 企业 i 生产 qi 的成本是 Ci(qi).

• 市场价格由总产量决定： P(Q), 其中 Q=q1+q2.

3. 古诺竞争

• 策略式表示：– 参与者 : I={1,2}

– 策略集 :

• 策略： q1 ， q2

• q1 S1=[0, +∞), q2 S2=[0, +∞)

– 支付（利润函数）

• i= qi*p(q1+q2) – C(qi) i=1,2

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3. 古诺竞争

• 企业 i 的最优反应函数– Max qi0 i= qi*p(q1+q2) – C(qi) i=1,2

St: p(Q) =a-q1-q2

C(qi)= cqi

– b2(q1)= (a-c-q1)/2 = (a-c)/2 -q1/2

– b1(q2)= (a-c-q2)/2 q2

q1

(a-c)/2

(a-c)

b2(q1)

q1

b2(q1)

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3. 古诺竞争• 企业 i 的最优反应函数

– b1(q2)= (a-c-q2)/2 q2= a-c- 2q1

– b2(q1)= (a-c-q1)/2

• NE:– q*1 = b1(q*2) = (a-c-q*2)/2

– q*2 = b2(q*1) = (a-c-q*1)/2

q*1 = q*2 =(a-c)/3

– NE: ((a-c)/3 , (a-c)/3)

– p*=(a+c)/3

– *1= *

2 =(a-c)2/9

q2

q1

(a-c)/2

(a-c)

b2(q1)

b1(q2)

q*2

q*1

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N- 家企业的古诺竞争• 一个产品由 n 家企业生产。企业 i 的产量为 qi 。

每家企业同时选择产量。

• 市场价格为： P(Q)=a-Q, 其中 a 是常数， Q=q1+q2+...+qn.

• 每家企业具有相同的技术：– 企业 i 生产 qi 的成本 Ci(qi)=cqi.

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4. 对称博弈

• 一个策略式博弈，如果所有参与者拥有相同的策略集，而且给定任意策略组合的支付只取决于策略本身而与谁选择了该策略无关。

• 例： 古诺竞争（ N=2）– 对称情形：两家企业具有相同的技术

• Q= qH +qL （不确定哪家企业选择了 qH ）

• (qH)= qHp(Q) – c·qH

–利润只跟产量选择有关，与身份无关– 不对称情形：两家企业具有相同的技术

• (qH)i = qHp(Q) – ci·qH

–利润不仅与产量选择有关，而且与身份相关

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4. 对称博弈• 定义 2 (对称博弈 ) A 一个策略式博弈，如果所有参与者拥有相同的策略集 (S1 = S2 = . . . = SI = S) ，而且支付函数满足 ui(si, s−i) = uj(sj , s−j), 其中 si = sj ， s−i = s−j ， i, j I. 那么我们称该博弈是对称博弈。

• 我们记对称博弈为： [I, S, u(·)]

• 例： 分饼博弈– S1 = S2 =[0, 100]

– S=(si ,sj )

– u1(40, 60) = u2(60, 40),

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4. 对称博弈• 例：囚徒困境

-1 , -1 -4 , 0

0 , -4 -3 , -3Suspect 1

Suspect 2

Fink (d)Quiet (c)

Quiet (c)

Fink (d)

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4. 对称博弈• 例： the stag hunt

 

(2, 2) 

(0, 1) 

(1, 0) 

(1, 1)

stag

hare

harestag

Hunter 1

Hunter 2

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4. 对称纳什均衡

• 定义 49.2 (对称纳什均衡 )

– 策略式对称博弈的一个策略组合 s∗ 构成一个对称纳什均衡，如果 s∗ 是一个纳什均衡，同时每个参与者的均衡策略都相同。

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N-家企业的古诺竞争• 策略式表示

– 参与者集合 : { 企业 1, ... 企业 n}

– 策略集 : Si=[0, +∞), for i=1, 2, ..., n

– 支付函数ui(q1 ,..., qn)=qi(a-(q1+q2 +...+qn)-c) i=1, 2, ..., n

• 企业 i 的最优反应函数 Max qi (a – (qi +Q-i))qi - ciqi

1( )2 2

N

jj ii i

qa cq Q

i=1,…,N

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N- 家企业的古诺竞争• 对称古诺均衡： q1= q1=…= qN

1( )

( 1)cNq a c

N

1 1cN

a Np c

N N

a c

1 ( 1)

2 2

cc NN

N qa cq

c

N

N

0

( )( 1)

cN

NQ a c

N

N