龙永兴 董家齐 焦一鸣 石秉仁 王爱科 张锦华 郦文忠 ...
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相对论 Fokker-Plank 程序包 的开发与 应用 #. 龙永兴 董家齐 焦一鸣 石秉仁 王爱科 张锦华 郦文忠 （核工业西南物理研究院） # 国家自然科学重点基金（10135020）支持. 程序包的功能. 求解 没有相对论效应 的 Fokker-Plank 方程的程序包已于 2002年完成 [1,2]。 该程序包具有相对论效应，是反跳( bounce averaged) 平均的，考虑了 捕获电子效应和 各种不同加热模式 （ LHCD & ECRH） 下的准线性扩散系数[3-5] 。 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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龙永兴 董家齐 焦一鸣 石秉仁 王爱科 张锦华 郦文忠 （核工业西南物理研究院）# 国家自然科学重点基金（ 10135020 ）支持
相对论 Fokker-Plank 程序包 的开发与应用 #
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程序包的功能 求解没有相对论效应的 Fokker-Plank 方程的程
序包已于 2002 年完成 [1,2] 。 该程序包具有相对论效应，是反跳 (bounce
averaged) 平均的，考虑了捕获电子效应和各种不同加热模式（ LHCD & ECRH ）下的准线性扩散系数 [3-5] 。
程序包由意大利引进，可用于模拟等离子体中粒子的动力学过程，适用于磁约束环形装置等离子体辅助加热与电流驱动的动力学计算 ,对 HL-1M和 HL-2A 的实验数据分析非常有用。
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程序包的功能
我们将程序包成功移植，增加了计算功能，验证了程序的可靠性，并利用开发的编码程序对低杂波在托卡马克等离子体中的吸收和驱动效率进行了数值模拟，数值结果与理论分析完全一致，详细分析见文 [8] 。
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程序包的功能计算结果包括：1. ( 不同坐标系 ) 分布函数 2. 密度 , 能量密度3. 各向异性参数4. 加热功率5. 电流驱动效率6. 高能成份 , 能量传输等值 .
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参 考 文 献1. 龙永兴 石秉仁 董家齐等 ,“Fokker-Planck 程序包的开发与利
用”《科学技术与工程》 Vol.3No5,p257(2003).2. 石秉仁 龙永兴 董家齐等 ,“ Fokker-Planck study of tokamak
electron cyclotron resonance heating” ，《中国物理 Chinese Physics》 ,vol.12,no.11,(2003)
3． D. Farina, IFP Internal Report, FP 99/14, 2000.4． A. Simonetto et. IFP Internal Report, FP 00/08, 2000.5 ． A. Cardinali, Recent research Developments in Plasmas,
Trasnworld Research Network Magazine, Vol. 1 185 (2000).6 ． M. Shoucri, I. Shkarofsky, Comp. Phys. Comm. 82 287
(1994)7． Y. Peysson, M. Shoucri, Comp. Phys. Comm. 109 55 (1998)8. 焦一鸣 龙永兴 董家齐 石秉仁 高庆弟 ,” 捕获电子效应对
低杂波电流驱动的影响” ,2003 年 GF 报告，《物理学报》 2005,n0.1 待发表。
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Fokker-Planck 方程
ft
C( f , fs ) Q( f ) P( f ) 0
a) : collisional operator C( f , fs ) S c Sc
e / s
s
b) : diffusion operator Q( f ) S w
c) : dc field operatorP( f ) S E
qeE
mef
7
Fokker-Planck 方程
• 速度空间总流量是 :
• 表示为两项 :
S
S c
S W
S E
S Df
F f
8
Fokker-Planck 方程
• 波加热项只是扩散 .
• DC 电场只是磨擦力 .
• 碰撞项包含了扩散与磨擦力。
F W 0
F E
qeE
me; DE 0
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Fokker-Planck 方程
fFf
vD
v
fDS
fFf
vD
v
fDS
S
vv
Sv
vS
v
v
v
vvvv
v
vvvvv
v
1
1
sin
sin
11
:
sin ;cos ;
:
2
2
||2||
22
碰撞项表示为
速度空间
10
Fokker-Planck 方程
fFv
fD
v
fDS
fFv
fD
v
fDS
v
S
v
Sv
vS
||||
||||||||
||||
||
||1
项表示为准线性扩散
11
准线性扩散系数
LHCD ：
归一化按其中扩散系数
使用简单公式
20
2||10
2
||2
2
0
1
2||||
the
lh
kve
eWlh
vD
elsewhere
vvvDD
Em
qD
12
准线性扩散系数• ECRH:
the
ceres
eff
in
n
eff
thin
resec
p
nN
A
P
pA
A
enA
PD
N
NN
NDD
||||
||2
0
0
3
2||
2||||
||
velocitygroup theand surfaceflux the tonormal ebetween th angle cos
electrons by theseen area effective
A. area surfaceflux given aon incident Power
cos
4
ln
exp1
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数值方法 利用有限差分方法求解 Fokker-
Planck 方程。空间差分近似为中心差分，时间轴采用 Crank-Nicholson 差分格式。
对差分方程采用 5 点（ 9 点）强隐式方法 , 这是一个高精度算法 [6,7] 。
Fokker-Planck 系数及其导数通过分布函数和 Rosenbluth 势的 Legendre系列展开求得。
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F-P 方程 (code)
0
0
0
0 0 1
2 20 0 02
0 0 0 0
* 20
0 0 0 0 00 0 0 0
2 20 0
0 0 0 0
*
0
( , )
1 1( ) ( 1 )
1[ ] [ ( ) ( ) ]
1(1 )[ ( (1 ) ) ]
(0) (0)
1 { [
M
P
p LH
cCY
LH
fS I f f
t
S p S Sp p p
s f f fs f D A p F p f
p p p
B f B n fD
P B p p B
ss f D
20 0
0 00 0 0 0 0
20
0 0
202
0 0 0
1 ( )] [1 ( )]
[ (1 ) ](0)
(0)[ (1 ) ) ]}
(0)
t
cCY
cCY
f f B p f
p p p p
B n fD
P B p
B B n fD
p P B B
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F-P 方程的离散化
, 0 0
0 0
0 max 0
0 1
0 2
max
1 2
( , , ),
cos
0 , 1 1
( 1) , 1,2,...,
1 ( 1) , 2,..., 1
2,
( 1) ( 2 1)
i j i j
i
j
f f p t
p p
p i p i N
j j N
Pp
N N
16
差分格式1/ 2, 1, ,
, 1/ 2 , 1 ,
, 1/ 2 , 1 , 1, 1 1, 1 1, 1,
1/ 2, 1, , 1, 1 1, 1 , 1 , 1
1( )
2 4
1( )
2 4
i j i j i j
i j i j i j
i j i j i j i j i j i j i j
i j i j i j i j i j i j i j
f f f
p p
f f f
f f f f f f f
p p p p
f f f f f f f
17
差分方程* 2 2, , 1/ 2 , 1/ 2, 1/ 2 , 1/ 2,
2
2 21/ 2 , , 1/ 2 1/ 2 , , 1/ 2
,
1
2
1
1 11
____________________ 2,3,......, 1
____________________ 2,3,......, 1
i j i j i p i j i p i j
i
j i j j i j
i ji
f f p S p S
t p p
S SI
p
i N
j N
18
九点差分方程* * * *
1, 1 , 1 1, 1 1,
* * * *, 1, 1, 1 , 1
*1, 1
1
2
___________ 2,3,......, 1
___________ 2,3,......, 1
ij i j ij i j ij i j ij i j
ij i j ij i j ij i j ij i j
ij i j ij
A f A f A f B f
C f D f E f E f
E f q
i N
j N
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五点差分方程
* * * * *, 1 1, , 1, , 1
* * * *1, 1 1, 1 1, 1 1, 1
1
2
______________ 2,3,......, 1
______________ 2,3,......, 1
ij i j ij i j ij i j ij i j ij i j
ij ij i j ij i j ij i j ij i j
A f B f C f D f E f
q A f A f E f E f
i N
j N
20
输入参数• N1: 在 P 方向的离散点数 .• N2: cos 方向的离散点数， u(2)=-1,u(N2-1)=1.• DT: 时间步长 .• PRINT: 结果输出频率 .• ITS: 计算的时间的总步数。• TRAP: =1 包含了捕获电子效应 .• TRAP: =0 没有捕获电子效应 .
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输入参数
使用数值方法的选取：• MODE: =5 使用五点格式 .• =9 使用九点格式 .
• APARAM: 方法收敛参数 ( 通常取 60).
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输入参数• PMAX: P 的最大值 .• PMIN: P 的最小值，通常 =0
• TRUNC: =1 包含 E-E 碰撞项（动量守恒）• =0 没有 E-E 碰撞项
• EEPS ： Ohmic 电场参数 •
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输入参数• Ti: 粒子温度
• Te: 电子温度
• Z: 有效电荷
• COLLF: 碰撞损失项
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输入参数
• LHCD
• V1: 速度的最小值
• V2: 速度的最大值
• DDIF: 扩散系数。
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输入参数 ECRH • DNRES: . 共振折射指数
• DNPAR: 共振宽度
• DPERP: 扩散系数
• OMC: 波频率
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输入参数
• DELTA: SHAFRANOV 漂移 .
• RMIN: 小半径 .
• RMAJ: tokmak 的主半径
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输入参数
输入与捕获电子效应有关的数据
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实例计算• 利用开发的 code 对低杂波在托卡马克等离子体中的吸收和驱动效率进行了 Fokker-Planck 计算， 考查了环形托卡马克装置的纵横比对波功率沉积和电流驱动效率产生的作用。研究表明，捕获电子效应对低杂波电流驱动的影响与波驱动的功率谱结构有关。捕获电子的平行速度较低，优化的功率谱可以在共振的电子数和捕获电子之间取得折中。捕获电子效应可以使低杂波电流驱动效率减少 30%, 详细分析见 [8] 。
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分布函数 F 图
30
分布函数 F 平面图（ v||-v ））
31
分布函数 F 平面图（ v||-v ））
32
分布函数 F 图 (trapped particles)
33
分布函数 F 平面图（ v||-v ））
(trapped particles)
34
分布函数 F 平面图不同的 v
10-7
10-6
10-5
0.0001
0.001
0.01
2 3 4 5 6 7 8 9 10
FTU DATA Dql
=0.5 (3-8.5)
fdd at v_per=0fdd at v_per=+2fdd at v_perp=+4fdd maxwellian at v_per=0
no
rma
lize
d e
lectr
on
dis
trib
utio
n f
un
ctio
n
v||
FIG. 1
35
at fixed v||
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
0.0001
0.001
0.01
0.1
0 2 4 6 8 10 12
FTU DATA Dql
=0.5 (3-8.5)
fdd at v_par=-8fdd at v_par=-6fdd at v-par=-4fdd at v_par=-2fdd at v_par=0fdd at v_par=+2fdd at v_par=+4fdd at v_par=+6fdd at v_par=+8fdd at v_par=0 Maxwellian
no
rma
lize
d e
lectr
on
dis
trib
utio
n f
un
ctio
n
vFIG. 2
分布函数 F 平面图
36
分布函数 F 平面图 integrated over v
10-6
10-5
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
-15 -10 -5 0 5 10 15
FTU DATA Dql
=0.5 (3-8.5)
fdd integrated over v
fdd Maxwellian
no
rma
lize
d e
lectr
on
dis
trib
utio
n f
un
ctio
n
inte
gra
ted
ove
r v
v||
37
分布函数 F 平面图for several values of the angle integrated over v
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
0.0001
0.001
0.01
0.1
0 5 10 15
FTU DATA Dql
=0.5 (3-8.5)
norm
aliz
ed
ele
ctr
on
dis
trib
utio
n f
un
ctio
na
t se
ve
ral a
ng
les
v
38
今 后 工 作1. 对 ECRH 部分公式进行完善，结合 HL-2A物理实验开展数值模拟工作。
2 . 增加一个真实空间（ 3D-FP 模型）。
39
谢谢！