Задачи линейного программирования
DESCRIPTION
Задачи линейного программирования. Лекция 3. Методы линейного программирования используют в прогнозных расчетах, при планировании и организации производственных процессов. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Задачи линейного программирования
Лекция 3
Линейное программирование
Методы линейного программирования используют в прогнозных расчетах, при планировании и организации производственных процессов.
Линейное программирование – это область математики, в которой изучаются методы исследования и отыскания экстремальных значений некоторой линейной функции, на аргументы которой наложены линейные ограничения.
Такая линейная функция называется целевой, а набор количественных соотношений между переменными , выражающих определенные требования экономической задачи в виде уравнений или неравенств, называется системой ограничений.
Слово программирование введено в связи с тем, что неизвестные переменные обычно определяют программу или план работы некоторого субъекта.
Совокупность соотношений, содержащих целевую функцию и ограничения на ее аргументы, называется математической моделью задачи оптимизации.
ЗЛП записывается в общем виде так:
при ограничениях
1 1 2 2( ) ... ... m a x(min)j j n nF x c x c x c x c x
11 1 12 2 1 1 1
12 2 22 2 2 2 2
1 1 2 2
... ... ,
... ... ,
...............................................................,
... ... ,
...............................
j j n n
j j n n
i i ij j in n i
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
1 1 2 2
.
...............................,
... ...
0, 1, , 1, .
m m mj j mn n m
j
a x a x a x a x b
x i m j n
Здесь -неизвестные, -заданные постоянные величины. Ограничения могут быть заданы уравнениями.
Наиболее часто встречаются задачи в виде: имеется ресурсов при ограничениях. Нужно определить объемы этих ресурсов , при которых целевая функция будет достигать максимума (минимума), т. е. найти оптимальное распределение ограниченных ресурсов. При этом имеются естественные ограничения >0.
jx , , ij i ja b c
n m
jx
При этом экстремум целевой функции ищется на допустимом множестве решений, определяемом системой ограничений, причем все или некоторые неравенства в системе ограничений могут быть записаны в виде уравнений.
В краткой записи ЗЛП имеет вид:
при ограничениях
1
( ) max(min)n
j jj
F x c x
1
,
0, 1, , 1, .
n
ij j ij
j
a x b
x i m j n
Для составления математической модели ЗЛП необходимо :
1)обозначить переменные; 2)составить целевую функцию; 3)записать систему ограничений в
соответствии с целью задачи; 4)записать систему ограничений с учетом
имеющихся в условии задачи показателей. Если все ограничения задачи заданы
уравнениями, то модель такого вида называется канонической. Если хоть одно из ограничений дано неравенством, то модель неканоническая.
Примеры задач, которые сводятся к ЗПЛ.
1. задача оптимального распределения ресурсов при планировании выпуска продукции на предприятии (задача об ассортименте);
2. задача на максимум выпуска продукции при заданном ассортименте;
3. задача о смесях (рационе, диете и т.д.);4. транспортная задача;5. задача о рациональном использовании
имеющихся мощностей;6. задача о назначениях.
1.Задача оптимального распределения ресурсов.
Предположим, что предприятие выпускает различных изделий. Для их производства требуется различных видов ресурсов (сырья, рабочего и машинного времени, вспомогательных материалов). Эти ресурсы ограничены и составляют в планируемый период условных единиц. Известны также технологические коэффициенты , которые указывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства изделия j-го вида. Пусть прибыль, получаемая предприятием при реализации единицы изделия j-го вида , равна . В планируемый период все показатели предполагаются постоянными.
n
m
1 2, , ..., mb b b
ija
jc, , ij i ja b c
Требуется составить такой план выпуска продукции, при реализации которого прибыль предприятия была бы наибольшей.
Экономико-математическая модель задачи
1
1
max,
, 1, ,
0, j=1, .
n
j jj
n
ij j ij
j
F c x
a x b i m
x n
Целевая функция представляет собой суммарную прибыль от реализации выпускаемой продукции всех видов. В данной модели задачи оптимизация возможна за счет выбора наиболее выгодных видов продукции. Ограничения означают , что для любого из ресурсов его суммарный расход на производство всех видов продукции не превосходит его запасы.
Примеры
Допустим, что будет изготовлено изделий вида А, -изделий вида В и -изделий вида С. Тогда для производства такого количества изделий потребуется затратить
станко-часов фрезерного оборудования.
Так как общий фонд рабочего времени станков данного типа не может превышать 120, то должно выполняться неравенство
1x
2x 3x
1 2 32 4 5x x x
1 2 32 4 5 120.x x x
Рассуждая аналогично, можно составить систему ограничений
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4 5 120,
8 6 280,
7 4 5 240,
4 6 7 360.
0, 0, 0.
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
Теперь составим целевую функцию. Прибыль от реализации изделий вида А составит 10 , от реализации -изделий вида В -14 и от реализации -изделий вида С-12
Общая прибыль от реализации всех изделий составит
1x2x
3x3x
1x2x
1 2 310 14 12F x x x
Таким образом, приходим к следующей ЗЛП:
Требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств
найти такое, при котором целевая функция
принимает максимальное значение.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4 5 120,
8 6 280,
7 4 5 240,
4 6 7 360.
x x x
x x x
x x x
x x x
1 2 310 14 12F x x x
Пример 2
Продукцией гормолокозавода являются молоко, кефир и сметана, расфасованные в тару. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно1010,1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 часов.
Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 часов. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции нет ограничений.
Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.
Решение Пусть завод будет производить т
молока, т кефира и т сметаны.
Тогда ему необходимо
кг молока.
Так как завод может использовать ежедневно не более 136000 кг молока, то должно выполняться неравенство
1x2x 3x
1 2 31010 1010 9450x x x
1 2 31010 1010 9450 136000x x x
Ограничения на время по расфасовке молока и кефира
и по расфасовке сметаны .
Так как ежедневно должно вырабатываться не менее100 т молока, то .
По экономическому смыслу
1 20,18 0,19 21,4x x
33,25 16,25x
1 100x
2 30, 0.x x
Общая прибыль от реализации всей продукции равна руб. Таким образом, приходим к следующей задаче:
при ограничениях
Так как целевая функция линейная и ограничения заданы системой неравенств, то эта задача является ЗЛП.
1 2 330 22 136x x x
1 2 330 22 136 maxF x x x
1 2 3
1 2
2
1
1 2 3
1010 1010 9450 136000,
0,18 0,19 21,4,
3, 25 16,25,
100,
0, 0, 0.
x x x
x x
x
x
x x x
Задача о смесях.
Имеется два вида продукции , содержащие питательные вещества
(жиры, белки и т.д.)
1 2, P P
1 2 3 4, , , s s s s
Таблица
Решение Общая стоимость рациона
при ограничениях с учетом необходимого минимума питательных веществ
1 23 4 minF x x
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2 10,
3 2 8,
2 9,
2 2 11,
0, 0.
x x
x x
x x
x x
x x
Математическая постановка задачи: составить дневной рацион , удовлетворяющий системе ограничений и минимизирующий целевую функцию.
В общем виде к группе задач о смесях относятся задачи по отысканию наиболее дешевого набора из определенных исходных материалов, обеспечивающих получение смеси с заданными свойствами. Полученные смеси должны иметь в своем составе n различных компонентов в определенных количествах, а сами компоненты являются составными частями m исходных материалов.
1 2( ; )X x x
Введем обозначения: -количество j-го материала, входящего в смесь; -цена материала j-го вида; -это минимально необходимое содержание i-го компонента в смеси.
Коэффициенты показывают удельный вес i-го компонента в единице j-го материала
jxjc
ib
ija
Экономико-математическая модель
задачи.
Целевая функция представляет собой суммарную стоимость смеси, а функциональные ограничения являются ограничениями по содержанию компонентов в смеси: смесь должна содержать компоненты в объемах, не менее указанных.
1
1
( ) min,
, 1, ,
0, 1, .
n
j jj
n
ij j ij
j
F X c x
a x b i m
x j n
Задача о раскрое На швейной фабрике ткань может быть
раскроена несколькими способами для изготовления нужных деталей швейных изделий. Пусть при j-ом варианте раскроя изготавливается деталей i-го вида, а величина отходов при данном варианте раскроя равна Зная, что деталей i-го вида следует изготовлять штук, требуется раскроить ткань так, чтобы было получено необходимое количество деталей каждого вида при минимальных общих отходах. Составить математическую модель задачи.
2100ì ijb2 ì .ijc
iB
Решение. Предположим, что по j-ому варианту раскраивается сотен ткани. Поскольку при раскрое ткани по j-ому варианту получается деталей i-го вида , по всем вариантам раскроя из используемых тканей будет получено
Общая величина отходов по всем вариантам раскроя составит
jx2ì
2100ì
ijb
1 1 2 2 ... ( 1, ).i i in n ib x b x b x B i m
1 1 2 2 ... .n nF c x c x c x
Таким образом, приходим к следующей задаче:
Найти минимум функции
при условии, что ее переменные
удовлетворяют ограничениям
1 1 2 21
...n
n n j jj
F c x c x c x c x
1
( 1, ),
0 ( 1, )
n
ij j ij
j
b x B i m
x j n
Общая задача линейного программирования.
Опр.1.Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции
(1) при условиях
(2)
где -заданные постоянные величины и
1
n
j jj
F c x
1
1
( 1, ),
( 1, ),
0 ( 1, , ),
n
ij j ij
n
ij j ij
j
a x b i k
a x b i k m
x j l l n
, , ij i ja b c
.k m
Опр.2.Функция (1) называется целевой, а условия (2)-ограничениями задачи.
Опр.3. Совокупность чисел
,
удовлетворяющих ограничениям задачи (1)-(2), называются допустимым решением (или планом).
1 2( , ,..., )nX x x x
Основная задача ЛП
Опр.4. Основной , или канонической ЗЛП называется задача, состоящая в определении значения целевой функции
при условии, что система ограничений представлена в виде системы уравнений:
1 1 2 2( ) ... ... max(min)j j n nF x c x c x c x c x
11 1 12 2 1 1 1
12 2 22 2 2 2 2
1 1 2 2
... ... ,
... ... ,
...............................................................,
... ... ,
...............................
j j n n
j j n n
i i ij j in n i
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
1 1 2 2
.
...............................,
... ...
0, 1, , 1, .
m m mj j mn n n
j
a x a x a x a x b
x i m j n
Если требуется для удобства или по смыслу задачи перейти от одной формы записи к другой , то поступают следующим образом.
Если требуется найти минимум функции, то можно перейти к нахождению максимума, умножив целевую функции на (-1).
Ограничение –неравенство вида можно преобразовать в равенство добавлением к его левой части неотрицательной дополнительной переменной , а ограничение неравенство вида - в ограничение- равенство вычитанием из его левой части дополнительной неотрицательной переменной.
Пример. Записать в форме основной задачи ЛП задачу: найти
максимум функции
при условиях
1 2 4 53 2 5F x x x x
1 3 4 5
1 3 4 5
2 3 4 5
1 4 5
1 2 3 4 5
2 2,
2 3,
2 2 6,
5 8,
, , , , 0.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
Перейдем от ограничений –неравенств к ограничениям-равенствам.
У нас имеется 4 неравенства, поэтому введем 4 дополнительные переменные.
Тогда запишем уже основную задачу линейного программирования: максимизировать функцию
при условиях1 2 4 53 2 5F x x x x
1 3 4 5 6
1 3 4 5 7
2 3 4 5 8
1 4 5 9
1 2 3 4 5
2 2,
2 3,
2 2 6,
5 8,
, , , , 0.
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
Свойства основной ЗЛП. Перепишем ЗЛП в векторной форме: найти максимум
функции при условиях
Здесь
1 1 2 2 ... n nF c x c x c x 1 1 2 2 0... ,
0 ( 1, ).
n n
j
x P x P x P P
x j n
1 11 12 1
2 21 22 20 1 2
1 2
; , ;...; .... ... ... ...
n
nn
m m m mn
b a a a
b a a aP P P P
b a a a
План называется опорным, если все компоненты базисного решения системы ограничений канонической задачи линейного программирования неотрицательны. Число положительных компонент опорного плана не может быть больше m, т.е.числа уравнений в ограничениях.
1 2( , ,..., )nX x x x
Опорный план называется невырожденным, если он содержит m положительных компонент. В противном случае он называется вырожденным.
План, при котором целевая функция ЗЛП принимает свое максимальное (минимальное ) значение , называется оптимальным.