九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明( 三 )

阳泉市义井中学 高铁牛

1. 平行四边形 (2) 平行四边形的性质 , 等腰梯形的性质与判定

驶向胜利的彼岸

学好几何标志是会“证明”

证明命题的一般步骤 :(1) 理解题意 : 分清命题的条件 ( 已知 ), 结论 ( 求证 );(2) 根据题意 , 画出图形 ;

(3) 结合图形 , 用符号语言写出“已知”和“求证” ;(4) 分析题意 , 探索证明思路 ( 由“因”导“果” ,执“果”索“因” .);(5) 依据思路 , 运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程 ;

(6) 检查表达过程是否正确 , 完善 .

回顾与思考

11

我思，我进步！利用前面学过的公理和定理 , 我们可以证明许多与四边形的有关结论 .

如图 , 四边形 ABCD 四边的中点分别为 E,F,G,H, 四边形 EFGH 是怎样四边形 ?你的结论对所有的四边形ABCD 都成立吗 ?

A

B

C

H

D

E

F

G

平行四边形的性质 你还记得我们探索过的平行四边形的性

质及判别条件吗 ? 你能利用公理和已有的定理证明它们吗 ?

回顾 思考回顾 思考 1

心动 不如行动

驶向胜利的彼岸

平行四边形的性质 我思 , 我进步

11

定理 :平行四边形的对边相等 .

B

D

C

A

已知 :如图 ,四边形 ABCD 是平行四边形 .求证 :AB=CD,BC=DA.分析 :要证明 AB=CD,BC=DA 可转化全等三角形的对应边来证明 ,于是可作辅助线来达到目的 .证明 :连接 AC.∵四边形 ABCD 是平行四边形 ,∴AB CD,BC DA.∥ ∥∴∠1=∠2, ∠3=∠4.∵AC=CA,∴△ABC≌△CDA(ASA).∴AB=CD,BC=DA.

123

4

从上面的证明过程,你还能得到什么结论 ?

平行四边形的性质定理 :平行四边形的对角相等 .

′

驶向胜利的彼岸

我思 , 我进步

22

B

D

C

A1

23

4

已知 :如图 ,四边形 ABCD 是平行四边形 .求证 : BAC= BCD, B= D∠ ∠ ∠ ∠ .

∵∠1=∠2, ∠3=∠4.

证明 :∵△ABC≌△CDA( 已证 ).∴∠B=∠D.

∴∠BAC= BCD.∠

平行四边形的性质

′

驶向胜利的彼岸

我思 , 我进步

33

定理 :平行四边形的对角线互相平分 .已知 :如图 ,四边形 ABCD 是平行四边形 ,对角线 AC,BD 相交于点 O.求证 :CO=AO,BO=DO.分析 :要证明 AO=CO,BO=DO 可转化全等三角形的对应边来证明 .证明 :∵四边形 ABCD 是平行四边形 ,∴BC DA.∥∵∠1=∠2, ∠3=∠4.∴BC=DA,∴△BOC≌△DOA(ASA).∴CO=AO,BO=DO.

B

D

C

A

O1

2

3

4

平行四边形的性质

′

驶向胜利的彼岸

我思 , 我进步

44

定理 :夹在两条平等线间的平等线段相等 .已知 :如图 ,直线 MN∥PQ, 线段 AB∥CD, 且 AB,CD 与 MN,PQ 分别相交于点 A,D,B,C.求证 :AB=CD.分析 :可利用平行四边形边的对边相等来证明 .证明 :∴MN PQ,AB CD.∥ ∥∴四边形 ABCD 是平行四边形 .∴AB=CD.

B

D

C

AM N

P Q

等腰梯形的性质 我思 , 我进步

55

′

驶向胜利的彼岸

定理 :等腰梯形同一底上的两个角相等 .已知 :如图 ,在梯形 ABCD 中 ,AD∥BC,AB=DC.求证 : A= D, B= C∠ ∠ ∠ ∠ .分析 :可将两个角转化为同一三角形的内角 ,利用等腰三角形等边对等角来证明 ,于是可过 D作 AB 的平行线 .

B

D

C

A

证明 :过点 D作 DE∥AB, 交 BC 于点E.∴∠1=∠B.

∴四边形 ABED 是平行四边形 .∴AB=DE.∵AB=DC,∴DE=DC.∴∠1=∠C.

∵AD BC,DE AB,∥ ∥

E1

∴∠B=∠C.∵∠A+∠B=1800,∠A+∠B=1800.∴∠A=∠ADC.

等腰梯形的性质 我思 , 我进步

66

′

驶向胜利的彼岸

定理 :等腰梯形的两条对角线相等 .已知 :如图 ,在梯形 ABCD 中 ,AD∥BC,AB=DC.求证 :AC=DB.分析 :可转化为利用全等三角形的对应边相等来证明 .证明 :

∴∠B=∠C.∵ AB=DC.

　 BC=CB,∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.

∵AD BC,∥B

D

C

A

等腰梯形的判定 我思 , 我进步

77

′

驶向胜利的彼岸

定理 :同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 .已知 :如图 ,在梯形 ABCD 中 ,AD∥BC, B=∠ ∠C.求证 :AB=DC.分析 :可将两个角转化为同一三角形的内角 ,利用等腰三角形等角对等边来证明 ,于是可过 D作 AB 的平行线 .

B

D

C

A

E1

证明 :过点 D作 DE∥AB, 交 BC 于点E.∴∠1=∠B.

∴∠1=∠C.∴ DE=DC.∵AD BC,DE AB,∥ ∥∴四边形 ABED 是平行四边形。∴AB=DE.

∵∠B=∠C.∴AB=DC.

等腰梯形的判定 我思 , 我进步

88

′

驶向胜利的彼岸

定理 :两条对角线相等的梯形是等腰梯形 .已知 :如图 ,在梯形 ABCD 中 ,AD∥BC,AC=DB.求证 :AB=DC.分析 :设法将两条相等的线段转化在同一三角形中,利用全等三角形的对应边相等来证明 .于是可过点 D作 AC 的平行线 .证明 :过 D作 DE∥AC, 交 BC 的延长线于点E.∴DE=AC,∠1=∠E.∵AC=DB,∴DB=DE.∴∠2=∠E.∴∠1=∠2.

∵AD BC, DE AC,∥ ∥ B

D

C

A

E2 1

∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AB=DC.

∵BC=CB,

平行四边形的性质定理 :平行四边形的对边相等 .

′

驶向胜利的彼岸

证明后的结论 ,以后可以直接运用 .

B

D

C

A

∵四边形 ABCD 是平行四边形 .∴AB=CD,BC=DA.定理 :平行四边形的对角相等 .∵四边形 ABCD 是平行四边形.∴∠A= C, B= D∠ ∠ ∠ .定理 :平行四边形的对角线互相平分.∵四边形 ABCD 是平行四边形.∴CO=AO,BO=DO.

B

D

C

A

O

定理 :夹在两条平等线间的平等线段相等.∵MN PQ,AB CD,∥ ∥∴AB=CD.

B

D

C

AM N

P Q

小结 拓展

等腰梯形的性质定理 :等腰梯形同一底上的两个角相等 .

定理 :等腰梯形的两条对角线相等 .

在梯形 ABCD 中 ,AD∥BC,∵AB=DC,∴AC=DB..

在梯形 ABCD 中 ,AD∥BC,∵AB=DC,∴∠A= D, B= C∠ ∠ ∠ .

B

D

C

A

B

D

C

A

证明后的结论 ,以后可以直接运用 .

小结 拓展

等腰梯形的判定定理 :同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 .

在梯形 ABCD 中 ,AD∥BC,∵∠A= D∠ 或∠ B= C∠ ,∴AB=DC.

定理 :两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形 ABCD 中 ,AD∥BC,∵AC=DB.∴AB=DC.

B

D

C

A

B

D

C

A

证明后的结论 ,以后可以直接运用 .

小结 拓展

P76 习题 3.1 1 题

驶向胜利的彼岸

1. 已知 :如图 ,□ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O, 过点 O的直线与 AD,BC 分别交于点滴 E,F.求证 :OE=OF.

证明 :

∴OB=OD,AD BC.∥∴ ∠1=∠2.∵∠3=∠4,∴△BOF≌△DOE(ASA).∴OE=OF.

∵四边形 ABCD 是平行四边形 ,

独立作业

B

D

C

A

O

E

F1

2

3

4

分析 :要证明 OE=OF, 可转化全等三角形的对应边来证明 .

结束寄语•严格性之于数学家 ,犹如道德之于人 .

•条理清晰，因果相应 ,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则 .

下课了 !