מה במצגת? שקופית לחונך

? שקופית במצגת מהמרובע חסום במעגל לחונך

: שקופיות 16מספר

טיפים + '' ''2– 3שקופיות ישר משפט

פתרון 2 – 4- 5שקופיות ללא קלות חישוב בעיותהפוך – 6שקופית משפטחוסם – 7שקופית מעגל להם שיש המרובעים פרוטלפתרון + 3 – 7בעיות – 8- 19שקופיות רמזים

חשובים :דגשים

2

הגדרה:

– מרובע שכל ארבעת קודקודיו נמצאים על מעגלמרובע חסום במעגל

180: בכל מרובע החסום במעגל ,סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא משפט

A

B

C

O

D

A , B , C , Dאם

קודקודי מרובע הנמצאים על היקף 4מעגל

180

180

360 נזכור גם שסכום זוויות מרובע:

3

D

A

B

C

O

180

A

B

C

O

D

180

: לפעמים נוח יותר לתרגם את המשפט ל

הוא מיתר סכום זוויות היקפיות משני צידי 180

) לא תמיד שמים לב שנוצר מרובע (

כדאי לשים לב!

- הזווית הצמודה לזווית הנגדית שווה גם ל

1

1

:מתקיים גם 11 DB

4

o

K

A

B

C

D

80

1

12

2

30

1תרגיל

.O חסום במעגל ABCDמרובע

על פי הנתונים שבשרטוט משמאל

ABCD חשב את זוויות המרובע

5

oK

A

B

C

D

25

70

501

1

2

3

12

2

2תרגיל

משיקO . BK חסום במעגל ABCDמרובע

על פי הנתונים שבשרטוט משמאל

ABCD חשב את זוויות המרובע

6

משפט הפוך:

אז ניתן לחסום אותו 180אם במרובע יש זוג אחד של זוויות נגדיות שסכומן במעגל

A

B

C

O

D

180

כך ש:ABCDנתון מרובע

קיים מעגל העובר דרך

הנקודות

A , B , C ,D

A

B

C

O

D

מרכז המעגל החוסם במקרה זה יהיה

פגישת שני אנכים אמצעיים של שני צלעות המרובע

) כל ארבעת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת- מרכז המעגל (

7

למרובעים הבאים יש מעגל חוסם:

ריבוע , מלבן

: נקודת פגישת מרכז המעגל החוסםהאלכסונים

: מחצית האלכסוןאורך הרדיוס

– קטרים במעגל החוסםהאלכסונים

O

A B

CD

O

A B

CD טרפז שווה שוקיים

:מרכז המעגל החוסם

נמצא על האנך האמצעי של הבסיסים

מרכז המעגללא : פגישת האלכסונים

קוטר של המעגללא – הוא האלכסון

A B

C

O

D

8

A

B

C

O

F

K

תרגיל 3

O חסום במעגל ABFCהמרובע

,AC = ABנתון גם ש:

K בנקודה CF חותך את צלע AOהמשך .

יש מעגל חוסם.BFKOהוכח : למרובע

1

1

1

1

1

2

2

2

1

9

- רמזים 3תרגיל לפתרון O חסום במעגל ABFCהמרובע

,AC = ABנתון גם ש:

K בנקודה CF חותך את צלע AOהמשך .

יש מעגל חוסם.BFKOהוכח : למרובע

צ.ל. : F1 = 180 + O1

AOC AOB .צ.צ.צ

= A2 = A1

2- 180 = = F1 סכום זוויות נגדיות במרובע החסום-

במעגל

2 = O1 מהיקפית2 - זווית מרכזית – פי

F1 = 180 + O1

A

B

C

O

F

K

1

1

1

1

1

2

2

2

1

2

2- 180

10

A

B C

O

F

K

1

1

1

1 2

2

2

1

T

תרגיל 4AK הוא גובה במשולש ABC

O כקוטר בנו מעגל AKעל

.T ב- AC ואת צלע F ב-ABהחותך את צלע

אפשר לחסום FTCB את המרובע הוכח:במעגל

שיקופית לדיון...

11

A

B C

O

F

K

1

1

1

1 2

2

2

1

T

– שיקופית 4תרגיל לדיון

AK הוא גובה במשולש ABC





3

21

12

A

B C

O

F

K

1

1

1

1 2

2

2

1

T

– רמזים 4תרגיל לפתרון

AK הוא גובה במשולש ABC




3

21

- 90

KT גובה שמשולש ישר זווית AKC

= K2 = c1 - משלימות ל - 90 עם K1

= C1 = F1

C1 = 180 + F2

13

A

BC

O

K

T

תרגיל ABCנתון משולש 5

כקוטר בנו מעגל BCעל

T ב- AC ואת K ב-ABהחותך את צלע

BT היא אמצע הקשת Kנתון גם ש-

הוא משולש שווה AKT משולש הוכח:שוקיים

1

1

11

22

21

3

1


14

A

BC

O

K

T

– שיקופית 5תרגיל ABCנתון משולש לדיון





1

1

11

22

21

3

1

3

3

15

– רמזים 5תרגיל ABCנתון משולש לפתרון





A

BC

O

K

T

1

1

11

22

21

3

1

3

3

KOT BOK )צ.צ.צ. ) לקשתות שוות שייכים מיתרים שווים

= O3 = O1

=C1 ז' היקפית –חצי מהז' המרכזית -

= K3 = C1 צמודה לזווית נגדית במרובע - BKTC

= T1 = B1 צמודה לזווית נגדית במרובע - BKTC

= K1 = B1 משולש - BOKש''ש

-ל BOK -ו AKT אותן זוויות

דרך נוספת:

= O1 = C1

AC l l OK

OKקטע אמצעיים

BK=KT= AK

16

A

B C

F

K

6תרגיל

BKו CF - הם גבהים לצלעות AC -ו AB

.ABCבמשולש

יש מעגל חוסם BCKFהוכח כי למרובע

ומצא את מרכזו

17

A

B C

FK

– רמזים לפתרון 6תרגיל

ABC משולש נתון:

BC BK , BC CF

יש מעגל חוסם BCKF כי למרובע הוכח

ומצא את מרכזו

BCK -ו BFC משולשים ישרי זווית

.BC בעלי אותו יתר

מעגל שמרכזו באמצע BC חוסם את

C , ו- B, F , K הקודקודים 4 המשולשים הנ''ל

נמצאים על היקף המעגל הזה. BC את אמצע Oדרך נוספת : נסמן ב-

BCK -ו BFCT משולשים ישרי זווית

.BC בעלי אותו יתר

במשולש ישר זווית -התיכון ליתר שווה למחצית היתר

KO=BO=CO=FO המשולשים הנ''ל

הנקודה O נמצאת במרחקים שווים מהנקודותB, F , K -ו , C

O

18

A

B C

O

K T

F

N

7תרגיל

חסום משולש שווה שוקיים Oבמעגל שמרכזו ב-ABC ) AC = AB (.

T ו- BC : K נקודות על 2בחרו

N חותך את המעגל בנקודה AKהמשך הקטע

F חותך את המעגל בנקודה ATהמשך הקטע

אפשר לחסום במעגלKTFN את המרובע הוכח:

11

1

1

22

1

1

19

A

B C

O

K T

F

N

- רמזים לפתרון 7תרגיל

חסום משולש שווה שוקיים Oבמעגל שמרכזו ב-ABC ) AC = AB (.

T ו- BC : Kנקודות על 2בחרו

N חותך את המעגל בנקודה AKהמשך הקטע

F חותך את המעגל בנקודה ATהמשך הקטע

אפשר לחסום במעגלKTFN את המרובע הוכח:11

1

1

22

1

1

: נראה ש K2 = F1

) ( ½ =F1 זווית היקפית-

A1 + B1 = K2 חיצונית למשולש- ABK

) ( ½ =K2 ....זווית היקפית שווה למחצית הקשת-

.על מיתרים שווים נשענות קשתות שוות

K2 = F1

°180 = K1 +K2 צמודות - °180 = K1 +F1 יש למרובע KTEN מעגל

חוסם

AB BN+

AC BN+

AC AB=

1

מה במצגת? שקופית לחונך

Documents