על מושג המספר על מושג המספר בגןבגן

יום עיון המספרים של הטבעיום עיון המספרים של הטבע2.7.062.7.06גן התעשייה תפן גן התעשייה תפן

לקראת הרצאה בכינוס העולמי לקראת הרצאה בכינוס העולמי למתמטיקה באוגוסט במדרידלמתמטיקה באוגוסט במדריד

דורון שדמי, משה קלייןדורון שדמי, משה קלייןגן אדם בע"מגן אדם בע"מ

המספר כמונה וכסודרהמספר כמונה וכסודר

במהלך השנה למדנו את במהלך השנה למדנו את •החשיבות של ראיית המספר החשיבות של ראיית המספר

כמונה וכסודר.כמונה וכסודר.

באמצעות פעילות עם ילדי הגן אנו באמצעות פעילות עם ילדי הגן אנו •לומדים להתבונן עליהם ולראות לומדים להתבונן עליהם ולראות

את אופן החשיבה שלהם.את אופן החשיבה שלהם.

על תפיסת הקועל תפיסת הקו

הניסיון שלנו הראה כי ילדי הגן הניסיון שלנו הראה כי ילדי הגן תופסים את הקו כשלמות אחת. תופסים את הקו כשלמות אחת.

אנו מציעים מרחב חקירה חדש, אנו מציעים מרחב חקירה חדש, בו מניחים כי הנקודה והקו הם בו מניחים כי הנקודה והקו הם

אטומים נפרדים שלא ניתן אטומים נפרדים שלא ניתן לגזרם זה מזה. לגזרם זה מזה.

בתפיסה זו , נקודה היא אלמנט בתפיסה זו , נקודה היא אלמנט מקומי וקו הוא אלמנט לא מקומי וקו הוא אלמנט לא

מקומימקומי

תגובות ילדיםתגובות ילדים

הנקודות והקווים רצו לשחק הנקודות והקווים רצו לשחק עפרי-עפרי-•בתופסת, בסוף הם החליטו לשחק בתופסת, בסוף הם החליטו לשחק

תופסת גובה, הם הקוים היו גבוהים תופסת גובה, הם הקוים היו גבוהים והנקודה לא יכלה לתפוס אותם.והנקודה לא יכלה לתפוס אותם.

עפרי מבינה כי נקודה )אלמנט מקומי( עפרי מבינה כי נקודה )אלמנט מקומי( •אינה יכולה להשיג )לתפוס בשפתה( קו אינה יכולה להשיג )לתפוס בשפתה( קו )אלמנט לא-מקומי(. ניתן להכליל הבנה )אלמנט לא-מקומי(. ניתן להכליל הבנה זו לכדי עצמאות-הדדית בין קו )ייצוג של זו לכדי עצמאות-הדדית בין קו )ייצוג של

אלמנט לא-מקומי( לנקודה )ייצוג של אלמנט לא-מקומי( לנקודה )ייצוג של אלמנט מקומי(. מכאן ניתן להסיק כי אלמנט מקומי(. מכאן ניתן להסיק כי

כדי לשחק תופסת )לגשר( בין נקודות כדי לשחק תופסת )לגשר( בין נקודות )אלמנטים מקומיים( לקווים )אלמנטים )אלמנטים מקומיים( לקווים )אלמנטים

לא-מקומיים( יש להמציא/לגלות את לא-מקומיים( יש להמציא/לגלות את מרחב הגישור )מרחב המשחק( מרחב הגישור )מרחב המשחק(

ביניהם.ביניהם.

המשךהמשך

למדתי מהסיפור שכדאי להיות חברים. למדתי מהסיפור שכדאי להיות חברים. סיון-סיון-•כשמשחקים לבד זה לא נעים, הקו והנקודה כשמשחקים לבד זה לא נעים, הקו והנקודה

לא שיחקו ביחד בהתחלה ולא היו צורות, רק לא שיחקו ביחד בהתחלה ולא היו צורות, רק בסוף הם היו חברים והיו צורות חדשות. בסוף הם היו חברים והיו צורות חדשות.

..הצורות הגיעו מהקו והנקודה כי הם הזדווגוהצורות הגיעו מהקו והנקודה כי הם הזדווגו

סיון מבין את הקו והנקודה כאלמנטים סיון מבין את הקו והנקודה כאלמנטים •עצמאיים-הדדית )שאינם נגזרים זה מזה(, ולכן עצמאיים-הדדית )שאינם נגזרים זה מזה(, ולכן

כדי ליצור/לגלות דבר חדש, יש כדי ליצור/לגלות דבר חדש, יש להמציא/למצוא את הגשר ביניהם להמציא/למצוא את הגשר ביניהם

)להמציא/למצוא את הדרך לשחק ביחד(. יש )להמציא/למצוא את הדרך לשחק ביחד(. יש לשים לב לערך המוסף של תובנה רגשית של לשים לב לערך המוסף של תובנה רגשית של

חיברות בין עצמאיים-הדדית, המאפשרת חיברות בין עצמאיים-הדדית, המאפשרת הזדווגות )גישור( לשם יצירת צורות חדשות, הזדווגות )גישור( לשם יצירת צורות חדשות,

כאשר החידוש הינו חריגה מעבר לקיום כאשר החידוש הינו חריגה מעבר לקיום הנפרד של הקו )הלא-מקומי( והנקודה הנפרד של הקו )הלא-מקומי( והנקודה

)המקומי)המקומי

המשךהמשך

אם הם לא יהיו חברים, הם יהיו מעטים אם הם לא יהיו חברים, הם יהיו מעטים טהר-טהר-•מאוד. בגלל שהם לא ייצרו צורות אחרות. הם מאוד. בגלל שהם לא ייצרו צורות אחרות. הם

יכולים להתמזג ולעשות כל מיני צורות אחרות, יכולים להתמזג ולעשות כל מיני צורות אחרות, למשל כמו מעויין. נקודה ושני קווים יוצאים למשל כמו מעויין. נקודה ושני קווים יוצאים

ועוד נקודות בצדדים ושני קוים ויוצא מזה ועוד נקודות בצדדים ושני קוים ויוצא מזה מעויין.מעויין.

טהר מבין שללא גישור בין אלמנטים יסודיים, טהר מבין שללא גישור בין אלמנטים יסודיים, •אין אפשרות לקיומן של ישויות החורגות מעבר אין אפשרות לקיומן של ישויות החורגות מעבר

לישויות היסוד.לישויות היסוד.

קוראים לסיפור הצורות שבדמיון, זה קוראים לסיפור הצורות שבדמיון, זה סיון-סיון-•צורה שמדמיינים אותה, צורה שחושבים ואין צורה שמדמיינים אותה, צורה שחושבים ואין

אותה ואז עושים אותה. אנחנו מציירים אותה, אותה ואז עושים אותה. אנחנו מציירים אותה, כי רואים אותה בלב.כי רואים אותה בלב.

סיון מבחין בין המרחב הפוטנציאלי לבין סיון מבחין בין המרחב הפוטנציאלי לבין •המרחב הקיים זה מכבר. החדש "נובע המרחב הקיים זה מכבר. החדש "נובע

מהלב", כדבריו. לעניות דעתנו, יש לטפח מהלב", כדבריו. לעניות דעתנו, יש לטפח תובנה זו כבסיס מכונן לפיתוח קישורי שפה תובנה זו כבסיס מכונן לפיתוח קישורי שפה

בכלל, וקישורי שפת-מתמטיקה בפרט. בכלל, וקישורי שפת-מתמטיקה בפרט.

ספר היסודותספר היסודות

ספרים סיכם ספרים סיכם 1313באמצעות באמצעות אוקלידס את הידע המתמטי אוקלידס את הידע המתמטי

של היוונים. של היוונים.

הספר הראשון עסק בביסוס הספר הראשון עסק בביסוס 55הגיאומטריה באמצעות הגיאומטריה באמצעות

אכסיומות יסודיות.אכסיומות יסודיות.

ספר היסודות מהווה עד היום ספר היסודות מהווה עד היום מודל מכונן לאופן בו מפתחים מודל מכונן לאופן בו מפתחים

ומציגים תורה מתמטית.ומציגים תורה מתמטית.

הבעיות של הילברט הבעיות של הילברט2323

הציג הילברט הציג הילברט 19001900 בשנת בשנת ICMICMבכינוס השני של בכינוס השני של

בעיות בעיות 2323רשימה של רשימה של מתמטיות ללא פתרון, שהיוו מתמטיות ללא פתרון, שהיוו

אתגר לקהילה המתמטית. אתגר לקהילה המתמטית.

בעיות בעיות 2020 עד היום נפתרו עד היום נפתרו ונותרו עדיין ללא פתרון הבעיה ונותרו עדיין ללא פתרון הבעיה

השישית, השמינית והשש השישית, השמינית והשש עשרה. עשרה.

הבעיה הסמויההבעיה הסמויה

בסיום הרצאתו הציג הילברט אתבסיום הרצאתו הציג הילברט את

הסמויה, כחשש הסמויה, כחשש 2424הבעיה ה-הבעיה ה-

לאיבוד האינהרנטיות האורגאניתלאיבוד האינהרנטיות האורגאנית

של שפת המתמטיקה.של שפת המתמטיקה.

בחזונו קיווה הילברט כי הסתעפותבחזונו קיווה הילברט כי הסתעפות

המתמטיקה לענפים ולענפי ענפים, המתמטיקה לענפים ולענפי ענפים,

לא תאפיל על מבנה-העל האורגאנילא תאפיל על מבנה-העל האורגאני

של שפה זו.של שפה זו.

ההנחה הסמויהההנחה הסמויה

על פי התפיסה המקובלת על פי התפיסה המקובלת במתמטיקה, מקבלים הקו במתמטיקה, מקבלים הקו

והנקודה והנקודה את משמעותם בהתאם למערכתאת משמעותם בהתאם למערכתהאכסיומות אליה הם משתייכים.האכסיומות אליה הם משתייכים.

דורון שדמי משתמש בקו כייצוגדורון שדמי משתמש בקו כייצוג ( המאפשרת ( המאפשרת____) ) לאי-המקומיותלאי-המקומיות

( המייצגות ( המייצגות ..........גישור בין נקודות )גישור בין נקודות )מערכות אכסיומטיות מקומיות.מערכות אכסיומטיות מקומיות.

בכך נפתחת הדרך למימוש החזוןבכך נפתחת הדרך למימוש החזוןהאורגאני של הילברט. האורגאני של הילברט.

דואליות ושייכותדואליות ושייכות

כאשר מניחים שהנקודה והקו כאשר מניחים שהנקודה והקו הם שני אטומים נפרדים שלא הם שני אטומים נפרדים שלא

נגזרים זה מזה, ניתן להגדיר נגזרים זה מזה, ניתן להגדיר את מושג השייכות באופן את מושג השייכות באופן

דואלי.דואלי.

נקודה יכולה להיות שייכת לקו נקודה יכולה להיות שייכת לקו וקו יכול להיות שייך לנקודה. וקו יכול להיות שייך לנקודה.

אך קיים הבדל מהותי בין אך קיים הבדל מהותי בין להיות שייך לבין להיות מרכיב.להיות שייך לבין להיות מרכיב.

על מקומיותעל מקומיות

נקודה שייכת או לא שייכת לקו נקודה שייכת או לא שייכת לקו ולכן היא אלמנט מקומי:ולכן היא אלמנט מקומי:

קו יכול להיות שייך ולא שייך קו יכול להיות שייך ולא שייך בו- זמנית לנקודה ולכן הוא בו- זמנית לנקודה ולכן הוא נחשב לאלמנט לא-מקומי:נחשב לאלמנט לא-מקומי:

..

..

..

חשיבה מקבילית חשיבה מקבילית וחשיבה סדרתיתוחשיבה סדרתית

השנים האחרונות מצטברות עדויות השנים האחרונות מצטברות עדויות 2020ב-ב-מחקריות הקושרות את שפת המתמטיקה מחקריות הקושרות את שפת המתמטיקה

עם מבנה ופעילות המוח, ומאפשרות עם מבנה ופעילות המוח, ומאפשרות הבחנה בין תהליכי חשיבה מקביליים הבחנה בין תהליכי חשיבה מקביליים

לתהליכי חשיבה סדרתיים . מתוך לתהליכי חשיבה סדרתיים . מתוך מחקרים אלו עולה כי המתמטיקה דהיום מחקרים אלו עולה כי המתמטיקה דהיום הינה בעיקר ביטוי של חשיבה סדרתית, הינה בעיקר ביטוי של חשיבה סדרתית, שבה התוצאה מושגת בשיטת צעד אחר שבה התוצאה מושגת בשיטת צעד אחר צעד, כאשר כל צעד נסמך על צעד קודם.צעד, כאשר כל צעד נסמך על צעד קודם.

חניכה מתוך עירות לקיומן של לפחות שתי חניכה מתוך עירות לקיומן של לפחות שתי צורות חשיבה, מאפשרת לילד הרך לגשר צורות חשיבה, מאפשרת לילד הרך לגשר

בטבעיות בין חשיבה אינטואיטיבית בטבעיות בין חשיבה אינטואיטיבית )כוללנית-מקבילית( לחשיבה אנליטית )כוללנית-מקבילית( לחשיבה אנליטית

)פרטנית-סדרתית( . אנו מעריכים כי )פרטנית-סדרתית( . אנו מעריכים כי פיתוח כישורי הגישור בין האינטואיטיבי פיתוח כישורי הגישור בין האינטואיטיבי

לאנליטי מאפשרים שינוי משמעותי לאנליטי מאפשרים שינוי משמעותי ביחסו ובכישוריו של הילד בתחום ביחסו ובכישוריו של הילד בתחום

המדעים והמתמטיקה.המדעים והמתמטיקה.

לסיכוםלסיכוםאנו מציעים דרכים לחקירת הכישורים אנו מציעים דרכים לחקירת הכישורים

המולדים באדם, תוך בחינה מחדש של המולדים באדם, תוך בחינה מחדש של מושגי-יסוד במתמטיקה, טרם השפעותיו מושגי-יסוד במתמטיקה, טרם השפעותיו של ידע נרכש על כישורים אלה, ושימוש של ידע נרכש על כישורים אלה, ושימוש בתובנות הנובעות מהכישורים המולדים, בתובנות הנובעות מהכישורים המולדים, כבסיס מפרה לפיתוח שפת המתמטיקה כבסיס מפרה לפיתוח שפת המתמטיקה )תוך שילובן המושכל עם שיטות החניכה )תוך שילובן המושכל עם שיטות החניכה

עפ"י ידע נרכש(. בחינת מושגי היסוד עפ"י ידע נרכש(. בחינת מושגי היסוד , , הפדגוגיה של הלא-נודעהפדגוגיה של הלא-נודעמבוססת על מבוססת על

בה המבוגר והילדים מתנסים בתהליך בה המבוגר והילדים מתנסים בתהליך חקירה אמיתי, שבו התשובות אינן ידועות חקירה אמיתי, שבו התשובות אינן ידועות

מראש.מראש.

בנוסף לכך נבחנות תובנות אלה כבסיס בנוסף לכך נבחנות תובנות אלה כבסיס אפשרי לפיתוח מרחבי מחקר חדשים, אפשרי לפיתוח מרחבי מחקר חדשים, המבוססים על הרחבת מושג המספר, המבוססים על הרחבת מושג המספר,

המובן עתה כמודל המכונן את הגשר בין המובן עתה כמודל המכונן את הגשר בין חשיבה מקבילית לחשיבה סדרתית.חשיבה מקבילית לחשיבה סדרתית.

תודה רבהתודה רבה