Теория пластин

Уравнения равновесия гибкой пластины Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме Кармана Расчет пластины при произвольной ориентации внешних нагрузок

Уравнения равновесия гибкой пластины

Рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента пластины (рис.1).

Рис.1. Усилия и моменты, действующие на элемент гибкой пластины

Уравнения равновесия гибкой пластиныПроекция сил на ось x :

(1)

(2)

Проекция сил на ось y :

(3)

Проекция сил на ось z (рис. 2.):

0

dxdyy

SSdxSdydx

x

NNdyN xy

xyxyx

xx

0

y

S

x

N xyx

0

x

S

y

N xyy

Уравнения равновесия гибкой пластины

Рис.2.13. Проекционные углы для усилий деформированного элемента гибкой пластины

Уравнения равновесия гибкой пластины Проекция сил на ось z, пренебрегая слагаемыми выше второго порядка

малости и сокращая dxdy, получим

(4)

или с учётом (2) и (3)

(5)

x

w

x

N

x

wN

y

Q

x

Q xx

yx2

2

y

w

y

N

y

wN y

y 2

2

x

w

y

S

yx

wS xy

xy

2

02

qу

w

х

S

yx

wS xy

xy

022

2

2

2

2

qyx

wS

y

wN

x

wN

y

Q

x

Qxyyx

yx

Уравнения равновесия гибкой пластины

Уравнения равновесия для моментов относительно осей x,y полностью совпадают с уравнениями тонкой пластины:

(6)

используя эти соотношения, исключим перерезывающие усилия из уравнения(5)

(7)

Соотношения (2), (3) и (7) образуют систему уравнений равновесия пластины.

xxyx Q

y

M

x

M

yxyy Q

x

M

y

M

2

22

2

2

2y

M

yx

M

x

M yxyx

qy

wN

yx

wS

x

wN yxyx

2

22

2

2

Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме

Кармана Для получения разрешающих соотношений в перемещениях достаточно подставить в систему (2), (3) и (7) соответствующие выражения для внутренних силовых факторов Mx, My, Mxy, Nx, Ny, Sxy.

Используем функцию напряжений Ф(x,y), определив её как

, , (8)

при этом уравнения (2) и (3) удовлетворяются тождественно, а уравнение (7) преобразуется к виду

(9)

где

(10)

2

2

yN x

2

2

xN y

yxS xy

2

4

2

2222

4

4

2

11 y

w

yx

w

x

w

qy

w

xyx

w

yxx

w

y

2

2

2

222

2

2

2

2

2

6612 22

Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме

Кармана Таким образом, получили одно уравнение с двумя неизвестными функциями w,Ф. Дополнительное уравнение можно найти из условия совместности деформаций на серединной поверхности

(11)

С другой стороны, тензор мембранных деформаций связан с тензором мембранных напряжений соотношениями

(12)

где C٭ij – компоненты тензора податливости.

02

2

2

22202

2

02

2

02

y

w

x

w

yx

w

yxxyxyyx

Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме

Кармана Учитывая обозначения (13)

через функцию напряжения Ф

(14)

Подставим полученные соотношения в условие совместности деформаций

(15)

Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме

Кармана Сопоставляя (11) и (15), получим уравнение совместности деформаций относительно функции напряжений и функции прогибов

(16)

Таким образом, система двух нелинейных уравнений в частных производных (9) и (16) является системой разрешающих уравнений гибкой пластины относительно функции напряжений Ф и функции прогиба w (уравнение Кармана).

Расчет пластины при произвольной ориентации внешних нагрузок

Пусть на пластину действуют произвольным образом ориентированные нагрузки q , p – составляющие соответственно нормальная и действующая в плоскости пластины. Построение теории можно провести аналогично построению теории гибких пластин, но, учитывая малый прогиб, геометрические соотношения – соотношения Коши. В этом случае система уравнений Кармана распадается на два независимых линейных уравнения, в которых исключены нелинейные члены

(17)

из которых первое - техническая теория изгиба, второе - плоская задача теории упругости.