第二章 转子的临界转速
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第二章 转子的临界转速. 转子的振动问题是影响机组能否长期安全运行 的决定性因素,一旦发生大的 振动 ,就要影响生 产,甚至被迫停产,造成巨大的经济损失,可见, 如何设计出具有良好振动特性的转子是设计人员 在 设计阶段必须做好的一项十分重要的工作。. 第一节 基本概念 造成 振动 的原因是复杂的,多方面的,其中一个重要 的其危害性最大的方面就是“临界转速”的问题。 有一个圆盘转子,如图所示:. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第二章
转子的临界转速
转子的振动问题是影响机组能否长期安全运行
的决定性因素,一旦发生大的振动 ,就要影响生 产,甚至被迫停产,造成巨大的经济损失,可见,
如何设计出具有良好振动特性的转子是设计人员
在设计阶段必须做好的一项十分重要的工作。
第一节 基本概念
造成振动的原因是复杂的,多方面的,其中一个重要
的其危害性最大的方面就是“临界转速”的问题。 有一个圆盘转子,如图所示:
由于加工的原因,转子的质心与其几何轴线心不完全重合,产生的偏心(距)为 e ,转子质量为 M ,以角速度 旋转,产生的离心力为 P ,使轴挠曲,圆盘处挠度为y ,由力的平衡有:
( 3-1 )
12
k
ey
式中: ——质量偏心距(质心到几何中线心的距离) —— 转子的固有频率(弯振频率)由上式可知:1 )若质量偏心 =0 (理论而言),那么在一般转速
(也即一般 )下,转轴无挠度, y=0 ,即不发 生 弯曲。
ek
e
2 ) 若 =0 ,但 时(即转子在临界转速下运转) 则
e k
0
0y
此时可能
y
y
y 0
任意值(即发生弯曲)
在这三种情况的无穷多个值中, 的机会只有 一个。所以由此说明:在质量完全匀布而无质量 偏心时即 =0 时,转子只有以 运转时, 转子才会发生挠曲,即弯曲,而且 y 值有可能很大。
0y
e k
3 )当 (即存在质量偏心时),若 ,则 y 值 会很大,甚至当 时都会使 y 值很大。4 )以上 2 )、 3 )说明,转子不能在临界转速下工作, 否则转子会因弯曲过大而折断。
0e k k
5 )式( 3-1 )也说明,质量偏心 e 的大小并不影响临界转 速的数值,它们是互相独立的二个参数。也就是说存 不存在临界转速以及它的大小如何,与存不存在质量 偏心 无关。
e但是,偏心 严重影响振幅 y 的大小。它说明加工和平衡都不好的转子,由于其偏心 过大,即使其工作转速远离临界转速,由于振幅 y 大,转子也会发生强烈的振动。反之,若加工和平衡都做得很好的转子,只要保证工作转速不等于临界转速,即使工作转速很接近临界转速,转子也能良好运转。
ee
6 ) 行业规定,为安全起见,应该有: —— 此状态下的轴称为刚轴
—— 此状态下的轴称为柔轴。
knn 75.0
knn 3.1
第二节 等直径轴的临界转速 讨论: 无圆盘、等直径光轴的临界转速以及 轴弯曲振动的形式
假设:无质量偏心即 = 0 ,轴的临界角速度为e k
1 ( 1 )由材料力学知:轴挠曲时,轴上任意一截面弯矩方
2 程为: 3 ( A )
( 2 )目前状态下,轴单位长度所受的载荷就是轴单位长
度的质量 所产生的离心力:
( B )
Mdx
ydEI
2
2
im2
ki ymq ( 3 )又由材料力学知:沿轴长度弯矩的二次导数,等 于轴单位长度所受的载荷,即: ( C )
qdx
Md
2
2
( 4 ) 由( A )( B )( C )得:
令常数项的组合: 得到: ( 3-2 )
上式的通解为:
2
2
4
ki ymdx
ydEI
EImk ki /24
044
4
ykdx
yd
chkxCshkxCkxCkxCy 4321 cossin ( 3-3 )
系数(常数) C1 、 C2 、 C3 、 C4 由边界条件决定。 对两端铰支座(一般滑动轴承相当于这种情况), 边界条件为: A ) 当 x=0 时,B
B ) 当 x=l 时, C ) 当 x=0 时, D ) 当 x=l 时,
0y0y
0" y
0" y
最终解得:
( 1 )有 显然,对正弦函数,当 时, 上式可满足, i 为任意整数( i=1 , 2 , 3 ,……), 因为前面令有 ,现又得
到 ,所以有:
( 3-5 )
式中: ——为整个轴得质量,
0sin kl
ikl EImk ki /24
ikl
3
2
ml
EIik
m lmm i
由上式可知:( A )一个转子的临界转速不是一个,而是无限多
个。( B )第一阶振动时的临界转速称为第一临界转速
, ;第二阶振动时的临界转速称为第二临界 转速, ;余依次类推。( C )行业一般要求(为安全起见):
1kn2kn
21 7.03.1 kk nnn
( 2 ) ( 3-4 )
可见:轴的振动弹性线为正弦曲线。第一阶振动( i=1)
l
xiCy
sin1
轴无节点;第二阶振动( i=2 )有一个节点; 第三阶振动( i=3 )有二个节点;余依次类推。
第三节 普洛尔法计算转轴的 临界转速 前面已讨论了有关“临界转速”的基本概念, 下面将介绍真实转子临界转速的计算。
一.力学模型的建立
1. 将质量连续分布的实际转轴,简化为一系列质量集 中而又分散分布的计算轴,在各个集中质量之间用
没有质量但有弹性的轴段连接起来,因而将整个转
轴分为许多小段,如图所示:
2. 转轴中凡直径改变之处,一般均取为分段点, 如“ 1” 、“ 3” 点; 3. 叶轮和其他回转零件通常作为一个质量集中于 其质心的集中质量来考虑,同时取质心所在位置 作为分段点,如“ 2” 点;
4. 每段轴的质量均分为二半,分别集中到该段轴 的两端的截面上(即分段点处)。这样,各段之 间的分段点上则分别集中有相临两段轴的质量和 的一半。如分段点“ 1” 点上集中有第Ⅰ段的质量 与第Ⅱ段的质量 之和的一半;即
1m2m
221
1
mmM
5. 如分段点之上还有其他回转零件(如叶轮)则分段点上还应该加上这部分零件(如叶轮)的集中质量,例如:在分段点“ 2” 上面,除了集中有第Ⅱ段的质量 与第Ⅲ段的质量 之和的一半,还应加上叶轮的质量,即 , 式中 ——叶轮的质量
2m3m
impmmm
M
2
322
impm
6. 除上所述,按变直径和集中载荷自然分段外,一般分段数应该高于所求临界转速阶数的 5~6倍,例如:求转轴2 阶临界转速,则至少要划分 2* ( 5~6 )段,上述的图中,可在每一段中人为再增加段数。
二.计算公式——递推公式
1 1.基本参数 由材料力学可知,弯曲梁上任一截面的变形情 况可由 4 个基本参数来反映,即 切力—— Q 弯矩—— M 转角—— θ 挠度—— y
2. 计算公式 将实际轴简化为计算轴后,如下图所示:
以左边为起点,转轴的第一个分段点为 0 点,依次各
个分段点分别为 1 , 2 , 3 ,…… i-1 , i ,…… j ,分段点 0
于 1 之间称为第 1段, 1 与 2 之间称为第 2段,… .. ( i-1 )与 I
点之间称为第 i段,依次类推。 规定: 第 i段包括第( i-1 )分段点的集中质量,不包
括第 i分段点的集中质量,而第 i分段点的质量包含再 i与 i+1
分段点组成的第( i+1 )段上,依次类推。
取第 i段轴分析, i 和( i+1 )分段点上的 Q 、 M 、θ和 y ,
当轴以某临界角速度 旋转时,根据“规定”,再 ( i-1 )分段点上除有切力 Qi-1外,还有因为 i-1分段
点上 的集中质量产生的离心力,所以由力的平衡则有: ( A )
再由力矩的平衡,则有: ( B )
k
12
11 ikiii ymQQ
iiii xQMM 1
又因为由实轴简化为计算轴的过程及上述“规定”,在当前讨论的第 i段轴上,除了在 i-1分段点有集中质量外,其他部分是无关质量,只有弹性的轴,所以这一段内的切力为常数,即 Qi ,因此在这段轴上 i 与 i-1分段点的距离为 x 的地方的弯矩就为:
( C )x
x
MMMxQMxM
i
iiiii
111)(
另:由材料力学知有: ( D )
由材料力学及数学知识有: ( E ) 将( C )代入( D )得到:
EI
xM
dx
yd )(2
2
)()( xxtgdx
dy
)(1 1
12
2
xx
MMM
EIdx
yd
i
iii
对上式积分一次,得:
由边界条件: 处有:
1
21
1 2
1)( C
x
x
MMxM
EIdx
dyx
i
iii
0x 1)( ix
所以得 C1=
所以有: ( F )
1i
1
21
1 2
1)(
ii
iii
x
x
MMxM
EIdx
dyx
又对上式积分,得:
( F+ )
又由边界条件: 处有:
21
31
2
1 62
1)( Cx
x
x
MMxM
EIxy i
i
iii
0x 1)( iyxy
所以有: C2= 1iy
C2代入( F+ )得:
( G )
1
31
2
1 62
1)(
iii
iii yx
x
x
MMxM
EIxy
又由边界条件: 时有: ixx
i
i
yxy
x
)(
)(
所以当 时由( F )和( G )式及
则有:
ixx
i
i
yxy
x
)(
)(
11
21
2
1
1
21
1
62
1
2
1
iiiiiii
ii
ii
i
iiiii
yxEI
xMMxM
EIy
x
x
MMxM
EI
( H )
( I )
将以上 2 式整理后与( A )、( B )两式归纳在一起,得:
36
2
111
11
1
12
11
iiiiiiii
iiiii
iiii
ikiii
MMxxyy
MM
xQMM
yMQQ
( i=1 , 2 , 3…n ) ( 3-6 )
式中
EI
xii
上式表明:
只要知道第 i-1分段点上的 4 个基本参数( Qi-1 、Mi-1 、
θi-1 、 yi-1 ),在选定一个临界角速度值 后,利用上
式就可求得相邻的后一个分段点 i分段点上的 4 个基本参
数( Qi 、 Mi 、 θi 、 yi ),依次类推,就可以求得转轴
上任一个分段点上的这 4 个基本参数,直至最后一个分 段点,因此,上式又称为“递推公式”。
k
三.计算步骤:
1. 将实际轴简化为计算轴;
2. 假设(试凑)一个临界角速度 ; 3.在保证满足轴始端(一般取左端)的边界条件 的情况下,给定一组始端的参数( Q0 、 M0 、 θ0 、 y0 )。
k
4 .利用递推公式逐段递推计算各个分段点的 4个基本参数 ( 、 、 、 ),直到计算出转轴终端(右端)的 4个边界参数( 、 、 、 )5 .如果计算出的终端的 4个参数能满足边界条件,则所假 设(试凑)的 就是真实的临界角速度,否则就不是 真实的临界角速度。6 .重新假设(试凑)临界角速度 ,重复上述 1-5 步骤, 直到满足边界条件为止。
注:不同的支撑和联接方式有不同的边界条 件,计算时根据具体情况确定相应的边 界条件。
iiQ iYiM
zzQ zYzM
k
k
四.几种情况的计算: 1 .二支座单跨
如图所示,两端铰支,这是一种最简单又最常见的转子支撑情况。一般单根轴且无外伸端时均属这种情况。 从递推公式可以看出,若把O支座作为始端,那么,只要知道这个分段点(也即截面)上的 4个弯振基本参数 、 、 、 (称为初参数),再假设(试凑)一个临界角速度 ,就可按公式逐段递推,依次计算了。由此便可求出轴上任一个分段点 i上的 4个参数, 即 、 、 、 。
那么始端 O分段点上的 4个基本参数知道不知道呢?
实际情况是:有的知道,有的不知道。
ooQ oYoM
iiQ iYiM
( (1) 边界条件: 由材料力学知,对一根两端绞支的梁,应有: 而 且不为 0
( 2) 分析: 从递推公式可看出,前后两截面 4个基本参数 Q、M、 、 Y之间的关系是线性的(在已经假定 之后),从数学知识可知,如果我们一开始就 将 和 作为未知数代入递推公式(此时的 边界条件 ),逐个分段点递推, 那么很显然,任一截面(分段点) i上的 4个基 本参数 、 、 和 都只是 和 的线性函数,即有:
0
0
O
O
M
Y
?
?
O
O
Q
k
o oQ
0 OO MY
iY i iM iQ
o oQ
oioii
oioii
oioii
oioii
QHGQ
QFEM
QDC
QBAY
( i=1 , 2 , 3……n ) ( 3-7 )
另外,递推公式清楚地表明,在目前两端绞支这种情况下,在递推过程中,未知的始终只是 和 ( 已先假定了一个数值),所以上式中的系数 、 、…… 都是有确定值的。
o oQ kiA iB
iH
( 3) 计算系数 、 、…… 首先假定一个 值,且对两端绞支,已知有 边界条件:
再分两次计算系数 、 、…… 第一次:
取 , (已知 ) 因为转轴的第一个分段点(即始端点) 、 、 和 均已知,代入递推公式( 3-6),就可逐段递推 依次计算出各个分段点的参数,写为: 、 、 、 ( i=1, 2,…… n……j)
iA
iB
iH
0 oo MY
iA
iB
iH
1o 0oQ
0 oo MY
o oQ
oYoM
)( IiY )( I
i )( IiM )( I
iQ
k
将第一次计算的结果与( 3-7)式对照,显然有 :
)(
)(
)(
)(
Iii
Iii
Iii
Iii
QG
ME
C
YA
( i=1 , 2 ,…… n……j ) ( 3-8 )
上式说明:第一次取 , ,用递推公式( 3-6 )所计算出来的各个截面(分段点)的 、 、 和 并不是在各个分段点的真实挠度、转角、弯矩和切力,而只是相应的系数 、 、 、
1o 0oQ
iY iiM iQ
iA iCiE iG
第二次:
取 , (同样已知有 ) 同第一次一样,将 、 、 、 代入递推公式,逐 段递推,得出各个分段点的 4 个基本参数,写为: 、 、 、 ( II=1 , 2 ,…… n……j )
上标 II表示第二次计算结果。 同理,将此次结果与( 3-7 )式对照,显然有:
0o 1oQ 0 oo MY
o oQ oY oM
)( IIiY )( II
i )( IIiM )( II
iQ
)(
)(
)(
)(
IIii
IIii
IIii
IIii
QH
MF
D
YB
( II=1 , 2 ,…… n……j ) ( 3-9 )
同样,第二次计算得出的并不是各个分段点(截面)上的真实参数 、 、 和 ,而只是相应的系数。iY
i iMiQ
这样,通过以上二次计算,边可得出各个分段点(截面)上的所有系数 、 、……
iAiB iH
(4) 临界转速的判别: 经过以上二次计算,已得出各个分段点截面上的系数,设最后一个分段点(转轴终点)为“ j” 点,则 、 、…… 已求出。则由( 3-7 )式,有
iA iB iH
ojojj
ojojj
ojojj
ojojj
QHGQ
QFEM
QDC
QBAY
而目前讨论二端绞支的情况下,终端参数应该有如下边界 条件: 即
0
0
i
i
M
Y
( 3-10 )0)(
0)(
ojojj
oooji
QFEM
QBAY
和 虽为未知数,但材料力学知识告诉我们, 和 在两端绞支的情况下肯定不为 0 。这样在 和 不 为 0 的前提下,要式( 3-10 )成立,只有系数行列式必 须为 0 ,即
ooQo oQ
ooQ
( 3-11 )
也即: ( 3-11A )
经过上述计算与分析,得出如下结论:
0jj
jj
FE
BA
0 jjjj EBFA
( A ) 若最初假设(试凑)的角速度 为真实临界
角速度 , 则式( 3-11A )成立。反之,则式
( 3-11A )不成立(即不为 0 ),这样,就要重
新假设(试凑)新的 值,再重复上述的计 算及判别过程,直至式( 3-11A )成立,从
而 求出各阶之临界角速度 。( B ) 由于不可能很快就试凑出真实 ,而上述
计 算过程又是一个繁琐的重复过程,为计算方 便起见,不妨先令式( 3-11A )式为:
显然 与假设(试凑)的 有关,称为 残值。
k
kk
(3-11B)0 jjjj EBFA
)( j
)( j
若
不同的 对应不同的残值 。当试凑过一定数量的角速度 后,就可画出 曲线,如图所示:
)( j
)(__ j
显然,曲线与 轴的交点, =0 ,这些交点的 值就是转轴的各阶临界角速度,例如 、 、
…… 。 实际上,利用计算机计算时,是很容易搜索出各个交 点,也即各阶临界角速度 值的。
)( j
1k 2k
3k
k
2 .多支点多跨情况 下图就是实轴简化为计算轴的一根 3跨(二支撑点间为一跨) 4 支点的转轴。(例如二根转轴用刚性联轴器联接后,就构成一根 4 支点 3跨的转子)
如 如 图所示,始终端点用 o 、 z表示,中间支座用 j 、 s表示。
( 1 )第 1跨从 o 到 j 之间各个分段点上参数 Y 、、 M、 Q 的计算显然与前面介绍的 2 支座单跨的情况一样。
( 2 ) 第 2 跨从 j 到 s分段点之间任意一分段点(截面)的计算与第一跨基本一致,只是要多考虑一个问题——即“跨越支座点”的问题。具体如下: 在计算 j 支座点后一点,即 j+1分段点时,按第推公式,需要用到 j分段点的 4 个基本参数(作为已知数)。而 j分段点的 4 个基本参数则应该在上一次的第推中求出。但我们再仔细分析一下第推公式( 3-6 )式就可知,第推公式中没有考虑“支座反力”的影响,这是 j 点既具有一般分段点的性质有具有其作为“支座点”的特点。
显然,这个“支座反力”在 4 个基本参数( Y 、 、 M 、Q )中应反映在切力 Q 的大小中,也就是说按递推公式计算出的 j 点的切力 还应再加上支反力(写为 )即,
那么支反力 有多大呢?不知道!
'jQ jR
jjj RQQ '
jR 它也是一个未知数,既然这样,为计算方便,就将作为一个未知数来处理(因为 ),这样,在用递推公式计算 j +1分段点时就似乎有三个未知数了,即 、 和 。
jQ
jjj RQQ '
o oQ jQ
但在深入分析后又可以发现,在 j分段点,既然它又是支座点,那么必有:
则 :0jY
所以有: ( 3-12 )
将上式代入( 3-7 )式,则得:
0 ojojj QBAY
oj
jo B
AQ
joj
jjjjojojj
oj
jjjojojj
oj
jjjojojj
j
RB
AHGRQHGQ
B
AFEQFEM
B
ADCQDC
Y
)(
)(
)(
0
( 3-13 )
未知数
从上式可看出,通过中间支座 j ,利用其上 4 个参数 、 、 和 再计算 j+1分段点的 4 个参数 、 、 和 时,必然减少一个初参数 同时又增加一个新未知参数 。因此 j 支座点后各个分段点的 4 个参数通过递推公式计算出来后,将表达为 和 的线性组合,若以 K标号代表 j 和 s 支座间(即递 2跨)任一分段点,则有:
jY j
jM jQ 1jY1j 1jM
1jQoQ
jQ ojQ
k=j+1 ,…… s ( 3-14 )
jkokk
jkokk
jkokk
jkokk
QHGQ
QFEM
QDC
QBAY
即他们是 和 的线性组合而不是 和 的
线性组合了,其中,系数 、 …… 的确定与前面
介绍 2 支座单跨的情况时相同。同理,从 S 到 Z 之间的第3跨
的任一分段点的参数的计算同第 2跨完全一样,不再赘述。
最后,临界转速的判别也与 2 支座单跨的一样, 不再 重复。
o jQ o oQ
kA kBkH
3 .存在外伸端的情况
( ( 1 )分析和边界条件 一般的转子都有一定的外伸端,其 的计算过程 及所用的递推公式与前面介绍的情况基本相同,差 别只是边界条件不同,如下图所示, 双支座三跨转 子有较长的外伸端(轴两端挂叶轮,二轴承支座在 中间就是这种情况) 图 3
k
仍以 o 和 z分别表示始端和终端。显然这时的边界条件属自由端情况,按材料力学知识,应有边界条件为:
因此在第一跨内各分段点(截面)上的 4 个基本参数不是 和 的线性组合而是 和 的线性组合,如仍取 i 作为第一跨中任一点的标号,则有:
0
0
o
o
M
Y
o oQ ooY
( i=1 , 2……j ) ( 3-15 )
oioii
oioii
oioii
oioii
QHGQ
QFEM
QDC
QBAY
式中系数 、 …… 的求法与前述一样。当递推经过j 支座和 s 支座时其处理也与前述一样:减少一个初参数,增加一个初参数,不再赘述。
iA iB iH
( 2 ) 临界角速度的判定 A. 终点 z 上质量的处理 根据最初的“规定”,第 i段轴在运用递推公式时只考虑集中到 i-1分段点上的质量,而不考虑集中到 i分段点上的 , 是往后推到第 i+1 上来考虑,依次类推。但是此时对第 z段的 z分段点而言,它上面的集中质量已无“后”推(因为 z 点已经是整个转轴的最后一个分段点了),而递推公式又没有考虑到这种特殊的情况,因此,只能在用递推公式计算出 z分段点的 4 个基本参数 、 、 和 的基础上,再在切力 上加上 z 点上的质量 所产生的离心力 即:
iMiM
zY z zM zQzQ
zMzz YM 2
szozz QBAY
( 3-16 )
szoz
zzszozz
szozz
szozz
szozz
QHG
YMQHGQ
QFEM
QDC
QBAY
11
2
( 3-17 ))(
)(2
1
21
zzzz
zzzz
MBHH
MAGG
式中:
代入:
B.终点边界条件及临界角速度的判定 按材料力学知识,外伸端按自由端处理,其边界条件 应该为:
由( 3-16 )和( 3-17 )式,上式即为:
0
0
z
z
M
Y
与前面相同。
0
0
11
szoz
szoz
QHG
QFE
由材料力学知道, 和 的值虽然不知道, 但他们不为 0 ,所以要上式成立,其系数行列 式必 应为 0 ,
即:
o sQ
011
zz
zz
HG
FE
011 zzzz GFHE
式中:
zzzz
zzzz
HMBH
GMAG
21
21
( 3-18 )
( 3-19 )
判定:若所假设(试凑)之 为真实临界角
速度 ,则式( 3-18 )成立。反之,则需要
试凑 重算,直至满足( 3-18 )式,其详细 过程与前面介绍的一样,不再赘述。
k