平面向量数量积的坐标表示 四川省沐川中学 刘少民

平面向量数量积

复 习

1. 已知两个非零向量 a 和 b, 它们的夹角为 θ ，则

a·b ＝ a b cos .a·b 称为向量 a 与 b 的数量积（或内积） .

θ

2. 数量积 a·b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的

投影 b cos 的乘积 .θ

6. a·b ≤ a b .

3. a⊥b a·b ＝ 0.

4. a·a ＝ a 2 ＝ a2.

a·ba b

5. cos ＝ .θ

复习题 1 已知： a ＝ 4 ， b ＝ 5 ， a·b ＝ 10 ， 求： a 与 b 的夹角 θ.

θ ＝ 60°.

解：设 a 与 b 的夹角为 θ ，则

cos ＝ ＝ ,a·ba b

12θ

复习题 2 已知： A(2 ， 1) ， B(3 ， 2) ， C(–1 ，4) ，

求证： ABC 是直角三角形 .

分析：先画图，

A

B

C

O x

y 从图中可知，∠ A 应为 90° ，为证明∠ A

＝ 90° ，只需证明

AB · AC ＝ 0.

复习题 2 已知： A(2 ， 1) ， B(3 ， 2) ， C(–1 ，4) ，

求证： ABC 是直角三角形 .

A

B

C

O x

y由 AB·AC ＝ AB AC cosA

可知，为了证明 AB·AC = 0,

需先得出 cosA = 0 ，需先

证明∠ A 为 90° ，而这正是最终要证明的结论 .

平面向量数量积的坐标表示

新 课

在坐标平面 xoy 内，已知 a ＝ (x

1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ，则

a·b ＝ x1x2 ＋ y1y2.

即 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 .

a·b ＝ x1x2 ＋ y1y2

证明：设 x 轴、 y 轴方向的单位向量

分别是 i 、 j ，则a·b ＝ (x1i ＋ y1j)·(x2i ＋ y2j)

＝ x1x2i·i ＋ x1y2i·j ＋ y1x2j·i ＋ y1y2j·j＝ x1x2 ＋ y1y2.

已知： A(2 ， 1) ， B(3 ， 2) ， C(–1 ，4) ，

求证： ABC 是直角三角形 .

∴ AB⊥AC.

证明： AB ＝ (3 – 2 ， 2 – 1) ＝ (1 ， 1),

AC ＝ (– 1 – 2 ， 4 – 1) ＝ (– 3 ， 3),∵ AB · AC ＝ 1×(– 3) ＋ 1×3 ＝ 0,

∴ ABC 是直角三角形 .

由向量数量积的坐标表示 , 可得(1) 若 A 、 B 坐标分别为 (x1 ， y1) 、 (x2 ， y2) ，则

|AB| ＝√ (x1 － x2)2 ＋ (y1 － y2)2

(2) 设 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ，则

a⊥b x1x2 ＋ y1y2 ＝ 0

(a∥b (b≠0) x1y2 － x2y1 ＝ 0)

A(x1 ， y1)

O x

y

B(x2 ， y2)

( |AB|2 ＝ AB·AB = (x1 － x2)2 ＋ (y1 － y2)2 )

例 1 已知 a ＝ (1 ，√ 3 ) ， b ＝ (– 2 ， 2√3 ), （ 1 ）求 a·b ；

（ 2 ）求 a 与 b 的夹角 θ.

解：（ 1 ） a·b ＝ 1×(–2) ＋√ 3×2√3＝ 4;

b ＝√ (– 2)2 ＋ (2√3 )2 ＝ 4,

（ 2 ） a ＝√ 12 ＋ (√3 )2 ＝ 2,

cos ＝ ＝ ＝ ,42×4

a·ba b

12θ

∴ ＝ 60º.θ

例 2 ：已知 a ＝ (5, 0) ， b ＝ (–3.2, 2.

4), 求证： (a ＋ b)⊥b .

证明： ∵(a ＋ b)·b

＝ a·b ＋ b2

＝ 5×(–3.2) ＋ 0×2.4 ＋ (–3.2)2 ＋ 2.42

＝ 0 ，∴ (a ＋ b)⊥b .

例 3 ：已知： A 、 B 、 C 三点坐标分别为 (2 ，0) 、 (4 ， 2) 、 (0 ， 4) ，直线 l 过 A 、 B 两

点，求点 C 到 l 的距离 .

H

O A

B

C

x

y

l

分析一：如图， 为求 CH 长，由CH ＝ AH － AC 可知，关键在于求出 AH.

由 AC·AB 的几何意义， AC·AB 等于 AB 的长度与 AC 在 AB 方向上的投影的乘积 .

所以 AC·AB ＝ AH·AB.

解：

HO A

B

C

x

y

l∵AH 与 AB 共线，

∴ 可设 AH ＝ mAB ＝ (2m ，2m).AH·AB ＝ 4m ＋ 4m ＝ 8m.

由 AC·AB=AH·AB ，得

m ＝ .12

AC ＝ (0 – 2 ， 4 – 0) ＝ (–2 ， 4) ，

AB ＝ (4 – 2 ， 2 – 0) ＝ (2 ， 2),

AC·AB ＝– 2×2 ＋ 4×2 ＝ 4.

CH=AH － AC ＝ (3 ，–3) ，

CH ＝√ 32 ＋ (–3)2 ＝3√2 .

即 C 点到直线 l 的距离为 3√2 .

∴ AH ＝ (2m ， 2m) = (1 ， 1).

HO A

B

C

x

y

l

为定 H 点坐标 ( 两个未知数 ) ， 可利用 H 点在 l 上，

及 CH⊥AB 这两个条件 .

分析二：

HO A

B

C

x

y

l

若能确定 H 点坐标，CH 长就易求了 .

练习：1. 向量 a 、 b 夹角为 θ,（ 1 ） a ＝ (3 ，－ 2) ， b ＝ (1 ， 1) ，

则 a·b ＝ _________ ， cos θ ＝ ______.

1

（ 2 ） a ＝ ( － 1 ， 2) ， b ＝ (2 ，－ 4) ，

则 a·b ＝ _______ ， θ ＝ __________－ 10 180º

2. 已知 ABC 三个顶点坐标 A( ， ) ，

B( － 2 ， 3) ， C(0 ， 1) ，

求证： ABC 是直角三角形 .

13

43

|a| ＝√ 13,|b| ＝√ 2

√2626

小结：

（ 1 ）掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；

（ 2 ）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题 .

今日作业

（ 1 ） P121 练习 ;

（ 2 ） P121 习题 5.7

第 1 、 2 、 4 、5 题 .