高考复习的境界：

把题目的结果看出来

高考复习的境界：

把题目的结果看出来

杭州市长征中学 朱成万

三角函数复习研究三角函数复习研究

引子• 观点 1 ：三角属基础题，容易题，中档题• 观点 2 ：三角已经没什么可研究了• 观点 3 ：三角题目要求学生拿满分

把题目的结果看出来把题目的结果看出来

思考：三角函数的复习怎样才算到位了呢？

• “ 一秒钟看清本质的人和花一辈子也看不清一件事本质的人，自然是不一样的命运”．（电影《教父》中一句台词）．

一、把题目结果看出来的教育之道

• “把题目的结果看出来”顺应了以能力立意的高考命题原则；体现了“多一点想的，少一点算的”命题理念．

数学理解的精准解题过程的简约思维品质的优化

“ 道”之 所在

1 ． 1 数学理解的精准

• 强调把题目的结果看出来，不是为了投机取巧，不是追求高难度的解题技巧，而是追求对数学的理解．

只有理解了数学问题的内核，理清了知识的内部联系，才能透过现象看本质，把题目的结果看出来．

常规解法

（ 2010 全国课标卷 9 ）．

结果可以看出来

看出结果的机理：三角函数线三角函数线是三角函数内容的根之所在

结论 1 ：只有理解问题的本质， 才能看出问题的结果。

1 ． 2 解题思路的简约

• 基础数学的本质都是精简朴实的，它们的根源都是自然而富有直观的内涵．表面看数学内容纷繁芜杂，但内核的东西却简约明了．

把题目的结果看出来，解题思路、解题过程一定是简约的．即排除了中间诸多的干扰环节．

?

2,2

的最大值的三角形面积求满足条件 BCACAB

（2010浙江省高考）已知平面向量 , ( 0, )

满足 1 ，且与 的夹角为 120°，则 的取

值范围是________ . B

��������������

O A��������������

����������������������������60

粗浅的理解 繁复的过程

深刻的理解 简洁的过程

1 ． 3 思维品质的优化

• 以能力立意的高考命题原则，对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度．

为了把数学结果看出来，必需对数学内涵及其蕴含的思想方法有一种直观、直觉、迅速的理解，借助直觉思维或逻辑的推理达成对数学本质的认知．

, 忽略了

隐含条件

孤立看，无懈可击

结果可以看出来：

• 从方程的角度看，两个方程，三个未知数，虽解不出具体的三边，但其中一个了可以用另外两个量表示——即三边的比值关系是可以求出——由余弦定理可知三个角是可以求出的。所以 sinB+sinC是一个确定的值。

• 从角的角度分析：

三个方程三个未知数，所以三角形的形三个方程三个未知数，所以三角形的形状是确定的。状是确定的。

• 解题思维品质：• 第一层次：条件直接使用，关注表面关系。• 第二层次：想到可能有隐含关系，自觉防错，形成理性；

• 第三层次：由守转攻，将理性思维优化成“直觉上的显然”。

结论 2 ：只有形成第三层次的思维品质， 才能将问题的结果看出来

二、把题目结果看出来的教学之法

• 立足学科• 抓住主干• 寻求题根

“ 法”之 所在

2 ． 1 立足学科

• 站在学科的高度让知识成为整体．一个数学问题，就数学的某一知识点或某一模块而言，可能很难解决．一旦站在学科整体的高度，就会迎刃而解．它们之间的联系也就一目了然，也就看出了问题的结果．

•课标：单位圆应贯穿三角函数教学始终 .

• 教材：用单位圆定义三角函数 .

•项武义：从本质上讲正弦、余弦函数是一对源于圆周运动，密切配合的周期函数．

•数学史：三角函数曾经被称为“圆函数”．

如图，锐角内接于圆 x2+y2=1 ．已知 BC平行于x 轴， AB所在直线方程为 y=kx+m.（难度 0.29 ）(1) 若 ,求(2) 若 k=2, 记∠ xOA=α，∠ xOB=β，求 sin(α

+β)解 (2)sin(α+β) = =

y

x

C

A

B

O

（第 19 题）

sincoscossin

2121 yxxy

)(24 2121 xxmxx

222

23

bca

ack

B

CA2sin

2cos2

(2009(2009 杭州市二杭州市二模模 ))

(2010全国Ⅰ卷 6）

2 ． 2 抓住主干• 《考试说明》：“高考数学试题对数学

基础基础知识的考察，既要全面又要突出重点，对支撑学科知识体系的重点内容，要占用大量的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性” ．

三角函数主干知识

• 三角函数• 三角变换• 三角测量

课标对三角函数的定位

三角函数是基本初函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用 . 在本模块中，通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用 .

课标下的高考题课标下的高考题

2009 浙江文 10理 8．

考察周期

2010 浙江理 11 ．

2011浙江文（ 18）

结论结论 33 ：课标下的浙江高考试题：课标下的浙江高考试题

对三角函数的考察与课标定位是一致的。对三角函数的考察与课标定位是一致的。

考察周期

• 两个基本模型

图 5图 4

图 6

猜想：这个图一定会出一个好的高考题。猜想：这个图一定会出一个好的高考题。

• 两者的联系

三角恒等变换• 三角恒等变换位于三角函数与数学变换

的结合点上，三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点．

• 由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式上，而且还表现在角及其函数类型上，因此三角恒等变换有着自身的特点

三角恒等变换分为三类

• 第一类：三角函数本身蕴涵的恒等关系

• 第二类：边角关系中蕴涵的恒等关系

• 第三类：三角函数运算中蕴涵的恒等关系

)2sin(sin kxx

1cossin 22 xx

sinsincoscos)cos(

三角变换的基石三角变换的基石

2010 四川理（ 19）

久违的课本题目

高考中的课本题一定是学科支撑基石

• 思考：如果还考课本题，哪个最可能？

2011陕西 18 叙述并证明余弦定理．

•《中数参 2011.10》吴晓英巨申文•“ 为叙述并证明余弦定理成为高考题教好”

第一，试题实现了高考命题的突破，导向正确：用第一，试题实现了高考命题的突破，导向正确：用课本原题。课本原题。

第二，此题能够从多个角度检测学生素质，有教好第二，此题能够从多个角度检测学生素质，有教好区分度区分度

第三，为高考复习指明方向，有利于减负第三，为高考复习指明方向，有利于减负

•《中数参 2011.10》吴晓英巨申文•“ 为叙述并证明余弦定理成为高考题教好”

个人观点：这篇文章只讲了些表面个人观点：这篇文章只讲了些表面现象，没能指出本质所在。现象，没能指出本质所在。

他这三点，随便评价哪道课本题都成立？他这三点，随便评价哪道课本题都成立？

应该考虑，比如：为什么不考正弦？——应该考虑，比如：为什么不考正弦？——要从学科的基桩去分析要从学科的基桩去分析

三角测量

• 正弦定理• 余弦定理• 面积公式

下面对这部分内容从学科基桩的角度做一下面对这部分内容从学科基桩的角度做一番返璞归真的探究番返璞归真的探究

(1) 边长为 1 的菱形的面积等于任意一个角的 正弦， S=sinA ，或者 S=sinB

(2)特殊地，单位边长正方形面积 S=sin90=1

(3)一般地，平行四边形的面积为 s=absinC

(4)将平行四边形分成等面积的两个三角形， 因此三角形的面积为 CabS sin

2

1

图 9 图 10 图 11 图 12

余弦定理的本质是边上的投影

图 13

BaAbc

AcCab

BcCba

coscos

coscos

coscos

2 2 2

cos2

b c aA

bc

解方程组

从三角形全等的角度看，SSS的几何意义是三角形三边的边长唯一确定了它的三个内角．即内角是边长的函数

从向量的角度看，余弦定理是数量积的另一种表示

2

222 cbaba

是同一事物的不同表现，其本质是由两种不同的数学结构所造成．

从勾股定理的角度看，余弦定理是勾股定理的推广

2 ． 3 寻求题根• 所谓题根就是一个题族的根祖，一个题系

中的根基，一个题群中的代表．抓到题根，就抓住了知识主干，就能举一反三，通过做一道题而会一类题，高考复习就能起到事半功倍的效果．

已知函数 ,

求函数 y 的最大值，并求此时 x 的值 .

)(1cossin2

3cos

2

1 2 Rxxxxy

（ 2000全国高考）

题根

此题根的核心是降次、合一

此题的来龙此题的去脉各年的考法

研究题根需要考虑三个问题

问题：求下列函数的最大最小值

)(sin Rxxy

xy 2sin2

1 )( Rx

)(,2

32sin

2

1Rxxy

此题的来龙

1.

2.

3.

4. )(,2cos2

32sin

2

1Rxxxy

)(,2cos2

32sin

2

1Rxxxy

)(,2

3cos32sin

2

1 2 Rxxxy

4.

5.

)(),1cos2(2

32sin

2

1 2 Rxxxy

)(,2

3sin3cossin 2 Rxxxxy

)2cos,(cos),2

3,(sin xxbxa 已知

baxf )(设

6.

7.

8.

题根题根根据周期确定解析式根据周期确定解析式

确定周期确定周期

指定区间求最值指定区间求最值

画出图像（五点作画出图像（五点作图）图）

单调区间单调区间

对称周，对称中心对称周，对称中心

平移平移

奇偶性奇偶性

借助向量表达借助向量表达

此题的去脉

根据图像确定解析式根据图像确定解析式

的最小值求的最小正周期；求

已知函数

)()2(

)()1(

sincossin32cos)( 44

xf

xf

xxxxxf (2004高考 )

已知函数 f(x)＝ 2sinxcosx＋ cos2x． 求 f( ) 的值；

4

（ 2005 浙江）

各年的考法

（ 2007 湖南理）

2006重庆

(2008 山东 )

(2009 山东理 )

(2010 湖北卷 )

(2011(2011福福建建 ))

此题型前几年是大热门，此题型前几年是大热门， 20112011 年降次合年降次合一的题型有所淡化，可以猜想一的题型有所淡化，可以猜想 20122012 年也年也不是高考热点不是高考热点

结论 4：重要的题型不怕重复

但该题型具有良好的教学功效，是综合但该题型具有良好的教学功效，是综合三角函数的图像和性质，三角恒等变换三角函数的图像和性质，三角恒等变换的良好素材，并可以融入三角测量的知的良好素材，并可以融入三角测量的知识和其他的内容。识和其他的内容。所以依旧是教学重点 之一

三、把题目结果看出来的应考之术

• 数学考试要做到“准、快、灵”， 是“把题目结果看出来”的外在表现．

3 ． 1 技术要领之——数形结合(2011陕西理 6)．

BB

[ 类比 ] 可以过 原点作切线 ， 再证明之 .

3 ． 2 技术要领之——归纳类比

例 △、在 ABC中，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c．若 a、b、c成等差数列，则

cosA cosC

1 cosAcosC

．

【解析】解法一：取特殊值 a＝3, b＝4, c＝5 ,则 cosA＝ ,5

4 cosC＝0,

CA

CA

coscos1

coscos 4

5．

解法二：取特殊角 A＝B＝C＝600 cosA＝cosC＝2

1 ,

CA

CA

coscos1

coscos 4

5．

答案： 4

5

3 ． 3 技术要领之——特殊赋值

• 技术要领之 1—— 数形结合• 技术要领之 2——归纳类比• 技术要领之 3——特殊赋值• 技术要领之 4——正难则反• 技术要领之 5—— ●●● ●●●

• ●●● ●●●

应考之“术”

看出结果的方法技巧很多，关键是解决：会不会？对不对？快不快？

• 考场如战场，知识的多寡，能力的高下，心态的好坏，决定着考试的结果．

• 高考复习只有到达“把题目的结果看出来”的境界，才能在考场上随心所欲，向所披靡．

口号：把题目的结果 “看”出来！

谢谢倾听，敬请指导谢谢倾听，敬请指导