Фиктивные переменные

Опр. Фиктивная переменная – сконструированная количественная переменная, описывающая

качественные факторы

• Примеры качественных факторов:– пол– профессия– образование– климатические условия– принадлежность к какой-либо группе

• Возможные пути учета качественного фактора:– оценивание отдельных регрессий для каждой категории с

последующим выяснением значимо ли отличаются коэффициенты;

– оценивание единой регрессии с введенной фиктивной переменной и измерением степени влияния качественного фактора.

Пример 1. Анализ зависимости урожайности пшеницы от вида вспашки и количества внесенного органического удобрения

• Пусть y – урожайность пшеницы,

x – количество внесенного удобрения,

z – вид вспашки.

z=1 – для зяблевой вспашки,

z=0 – для весенней вспашки.

1) Результаты регрессионного анализа без учета вида вспашки

F=8,7 ta=11,9 tb=2,95 rxy=0,5246

Вывод: уравнение регрессии статистически значимо.

xy 326,046,11ˆ

2) Результаты регрессионного анализа по отдельным видам вспашки

3) Результаты регрессионного анализа с учетом вида вспашки путем введения фиктивной переменной z

F=15,6 R=0,766 ta=11,8 tb=3,9 td=4,1 rxz=-0,016

uzxy zxy 908,2331,0908,9ˆ

xy 349,0678,12ˆ

xy 300,0148,10ˆ

xyz 331,0816,12ˆ 1 xyz 331,0908,9ˆ 0

Общий случай• Пусть качественный фактор имеет число градаций больше двух:

– тогда в модель вводим несколько фиктивных переменных, число которых меньше числа качественных градаций;

– одна из градаций выбирается как эталонная (для нее значения фиктивных переменных равны 0) и определяются значения фиктивных переменных для всех остальных градаций.

Пример 2. Анализ зависимости цены двухкомнатной квартиры от полезной площади с учетом качества (типа)

дома.

Тип дома: «хрущевка», панельный, кирпичный.

Решение. Введем две фиктивные переменные: z1 и z2.

Эталонная категория – «хрущевка».

кирпичныйхрущевка

панельныйz

,""0

11

панельныйхрущевка

кирпичныйz

,""0

12

21 16002200500320ˆ zzxy

Замечание 1: параметры при фиктивных переменных представляют собой разность между

средними уровнями результативного признака для соответствующей группы и эталонной группы.

Замечание 2: целью включения фиктивной переменной может быть желание отразить в модели неоднородность данных.

Замечание 3: рассмотренный метод фиктивной переменной предполагает равенство коэффициентов регрессии при x по

частным совокупностям и возможность их замены общим коэффициентом регрессии.

Множественные совокупности фиктивных переменных

• Если имеются данные, собранные как по ряду количественных факторов, так и по ряду качественных факторов, то в уравнение регрессии включаются более одной совокупности фиктивных переменных.

Пример 3. Исследуется зависимость веса новорожденного от интенсивности курения матери с учетом семейного положения и рожала ли ранее или нет.

y - вес новорожденного

x - количество сигарет, выкуриваемых в день будущей матерью

d - рожала ли в прошлом

s - семейное положение

• 1) Замужняя мать, первые роды s=0, d=0• 2) Одинокая мать, первые роды s=1, d=0• 3) Замужняя мать, не первые роды s=0, d=1• 4) Одинокая мать, не первые роды s=1, d=1

Эталонная категория – первая.

Результат исследования данных (США):

xsdy 2,71321093386ˆ

Фиктивные переменные для коэффициента наклона

• Пример 4. Исследуется зависимость веса новорожденного от интенсивности курения матери и фиктивной переменной числа родов в прошлом.Рассмотрим две модели:а)

воздействие курения матери на вес новорожденного не зависит от номера родов;б)

воздействие курения матери на вес новорожденного зависит от того, рожала раньше или нет

d=0

d=1

uxdy

uxddudxxdy )(

dxxdy 1,80,41433363ˆ xy 0,43363ˆ

xy 1,123506ˆ

Взаимодействие между фиктивными переменными

• Вернемся к примеру 3.Введем фиктивную переменную взаимодействия (sd), которую определим как произведение s и d.(sd)=1 для одиноких матерей, рожавших ранее(sd)=0 в остальных случаяхМодель

или

Результат

с.о. (18) (28) (52) (115) (2,1)

uxsdsdy

uxsdsy )(

uxsddy )(

xsdsdy 3,772117113385,3ˆ

Тест Чоу• Пусть имеется выборка, состоящая из двух подвыборок.

Вопрос: следует ли их объединить для оценивания общей регрессии P или оценить отдельные регрессии A и B?Обозначим: UA – сумма квадратов остатков выборки A

UB – сумма квадратов остатков выборки B UP – сумма квадратов остатков

объединенной выборки F-статистика:

Вывод: если F>Fтабл - не следует оценивать объединенную выборку

Что делать?Ввести фиктивные переменные,

позволяющие не задавать заранее какой-либо коэффициент одинаковым для обеих подвыборок.

22/

1/

knUU

kUUU

BA

BAP