«Исследования

преобразования плоскости»

Определение симметричных точек: точка А2 называется симметричной точки А1

относительно окружности ω с центром О и радиусом R, если точка А2 лежит на луче ОА1 и ОА1

*ОА2 = R2

О

ω

А1

А2

1) Для каждой точки плоскости, кроме центра О, существует единственная точка, симметричная ей относительно окружности ω.

2) Для центра О симметричной точки не существует.

3) Если точка А2 симметричная точки А1 относительно окружности ω, то и точка А1

симметрична точки А2 относительно окружности ω.

4) Каждая точка лежащая на окружности ω симметрична сама себе.

5) Если А1 и А2 – различные симметричные точки, то одна из них лежит внутри окружности ω, а другая – снаружи.

Инверсия – это отображение плоскости на себя, которое переводит любую точку, кроме центра О, в точку, симметричную ей относительно окружности ω.

О

ω

А1

А2

Пусть точка А лежит снаружи окружности ω с центром О, АМ и АN – касательные к окружности ω, прямые ОА и MN пересекаются в точке В. Тогда точки А и В симметричны относительно окружности ω.

Доказательство:1)Треугольник OMA ~ OBM2)OM/OB = OA/OM OA*OB = OM2 => т. А и В симметричны (по опр.)

А

N

M

O

B

Свойства Инверсии:1)Прямая, не проходящая через центр инверсии переходит в

окружность, проходящую через центр инверсии.2)Окружность, не проходящая через центр инверсии,

переходит в окружностью не проходящую через центр инверсии.

3)Пусть точка О - центр гомотетии окружностей α1 α2 ; точке А1 окружности α1 соответствует при этой гомотетии точка А2 окружности α2. Пусть прямая А1 А2 второй раз пересекает окружности в точках В1 В2 соответственно. Тогда произведение ОА1 * ОВ2 постоянно не зависит от выбора точки А1.

4)Для двух непересекающихся или касающихся окружностей существуют две различные серединные окружности. Центром серединной окружности всегда является один из центров гомотетии двух исходных окружностей.

5)Инверсия сохраняет угол между пересекающимися окружностями.

6)Пусть точки А1 и А2 симметричны относительно окружности ω. Тогда Любая окружность α , проходящая через это точки, ортогональна в окружности ω.

До-во:1)Опустим из центра О перпендикуляр ОМ на данную прямую а и рассмотрим

т. К, симметричную точке М относительно окружности инверсии.2)Построим окружность α с диаметром ОК.3)Рассмотрим произвольную прямую, не совпадающую с ОК, проходящую

через центр О и непараллельную прямой а. Пусть она пересекает окружность ω в точке В, а прямую а – в точке А.

4)Угол при вершине В прямой, т.к он опирается на диаметр.5)Треугольник ОВК ~ ОМА (т.к они прямоугольные и угол O – общий )=>

ОА/OM = OK/OB OA*OB = OM*OK, т. M и N по построению симметричны, то OM*OK = R2 и

OA*OB =R2

6) Значит, точки А и В также симметричны относительно окружности инверсии, следовательно, прямая а и окружность ω переходят друг в друга при инверсии.

ω

О

В

КМ

А

а

α

Задача АполлонияПостроить окружность, касающуюся трех

данных окружностей.Эта задача впервые была решена известным

греческим геометром Аполлонием Пергским в III в. до н. э. Способ, с помощью которого решил эту задачу Аполлоний, неизвестен. Многие задачи из числа рассматриваемых в школьном курсе геометрии представляют частные или предельные случаи задачи Аполлония. Частные случаи возникают при специальном расположении данных окружностей, предельные – когда все или некоторые из данных окружностей вырождаются в точки (радиус окружностей неограниченно уменьшается) или прямые (радиус неограниченно возрастает).

И вот как объяснил суть метода инверсии профессор Принстонского университета (Нью-Джерси) Г. Петард в работе «Другие математические способы охоты»:

«Помещаем круглую клетку в заданную точку пустыни, входим в неё и запираем изнутри. Производим инверсию пространства по отношению

к клетке. Теперь лев внутри клетки, а мы - снаружи»

Заключение:В данной работе было рассмотрено

понятие инверсии как метод решения задач, рассмотрены основные свойства и теоремы, на которые опирается данный метод. Также в работе рассмотрена задача Аполлония, решение которой и является основной метод инверсии.