الله بسمالرحیم الرحمن

حجتي خسرو

ها رويه

خسروحجتي

3

استوانه-1

خسروحجتي

4

گاه تعريف: يك cهرهادي منحني) ( منحني در استوانه

و صفحه اين Lيك بر ناواقع خطيباشد، بر صفحه متكي كه cخطي

با موازي ) Lو مولد كند حركتكه( استوانه ميكند توليد اي رويه

اي استوانه رويه يا نام استوانهمثال:•دارد

:0استوانه•

1:22

ZL

c yx1

22 yx

خسروحجتي

5

خسروحجتي

6

: مسايل حل كلي حل فرضراه

و • :Dهادي باشد استوانه مولد يك•D فصل شكل به راو • ميگيريم نظر در صفحه دو مشترك

حذف با را حاصل معادالت دستگاهx,y,z, بجاي سپس و ميكنيم حل

. استوانه معادله ميگذاريم مقدار. ميآيد بدست

0(,,)

0(,,)

zyxg

zyxfc

zcybxa

zcybxac

222

111

,

خسروحجتي

7

را مثال: اي استوانه معادلهامتداد و هادي خم كه بنويسيد

: است شده داده آن مولد

312:,

2

2222

zyxDa

zyx

zyxc

a

كنيد حل: فرض :

rzx

tyx

32

,2

:داريم

خسروحجتي

8

ryxax

rzx

tyx

yxa

za

zyx

zyx

c

a

(2

)3

1

232

2

22

2222 حل :ادامه

4(

2

3)

2,

122(

6

5),

63

ar

tz

arty

ar

tx

خسروحجتي

: حل قرار x,y,zادامه كره معادله در راميدهيم:

جايگذاري و كردن ساده از بر t,rپس:x,y,zحسب داريم

aa

rt

rata

tr

22

22

(36

1

144

1

16

1)

(3

1

12

1

4

3)(

9

1

36

5

4

1)

(3

2

6

5

2

3)(1

4

1

4

9)(

9

1

36

25

4

1)

خسروحجتي

10

حل :ادامه

2

22

65(32

)30(2

)16

(2

()32

)120(32

)252(2

)76

aazx

ayx

yzzxzx

yx

ميشود چنين نهايي نتيجه كردن ساده از :پس

azyx

xyaaxay

zyxz

2

222

651610716

4064287622

خسروحجتي

دوار -2 رويه

خسروحجتي

هر Lوخط cمنحني تعريف: كه رارا هستند واقع صفحه يك روي دو

: اگر ميگيريم نظر (cدر رويه ) مولد( Lحول دوران) . محور كند دوران

دوار رويه كه ميشود ايجاد اي رويه. دارد نام

: حل از روش يكي در منحني كه صورتي درمحور از يكي دوران محور و مختصات صفحات

معادله در است كافي باشد مختصات هايدوران محور كه متغيري نام بجاي فقط منحني

غير محور دو مربعات مجموع جذر نيستكنيم جايگذاري را خسروحجتي.دوران

13

دوار رويه دوران معادله محورمنحني معادله

F)x,y(=0

Z=0

محور x

محورy

F)x,

F)y,z(=0

X=0

محور y

محور z

F)z,x(=0

y=0

محور z

محور x

0(22

zy0(,)

22 yF zx

0(,)22 zF yx

0(,)22

xF zy

0(,)22 zxyF

0(,)22 yxzF

خسروحجتي

14

خم مثال: دوران از حاصل رويهxy=1 محور .xحول كنيد پيدا راحل:

122

zyx

خسروحجتي

هاي -3 رويه سايردوم درجه

خسروحجتي

16

: ها رويه نمودار رسم كلي اصولهاي- 1• محور با برخورد محل

: . قرار با مثال آوريد بدست را مختصاتy=z=0دادن

مختصات- 2• صفحات با برخورد محل : . دادن قرار با مثال آوريد بدست z=0را

موازي- 3• صفحات با برخورد محلبدست را مختصات صفحات

: دادن. قرار با مثال z=kآوريد

خسروحجتي

: دوم درجه هاي رويه كلي صورت

: خاص جمالت حالت ضرايب اگرشود صفر حاصلضرب

0

222

JIzHyGxFzx

EyzDxyCzByAx

0

222

JIz

HyGxCzByAx

خسروحجتي

18

: خاص حالت مسايل حل روشمعادله • در دوم درجه عبارتهاي

كرده تبديل كامل مربع به راصورتهاي از يكي به را ومعادله. ) ميآوريم) در استاندارد استانده

ادامه • در استانده معادالت. خواهدشد داده توضيح

خسروحجتي

19

3-1: بيضوي-

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

: شناخت روشسمت يك وعدد چپ سمت عالمت هم مربع جمله سه

تساوي راست

خسروحجتي

20

خسروحجتي

3-2: پارچه- يك هذلوليوار

: شناخت روشكه ) منفي جمله يك فقط كه مربع جمله سه ) چپ سمت است شكل محور دهنده نشان

. تساوي راست سمت يك وعدد

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

خسروحجتي

22

خسروحجتي

3-3: پارچه- دو هذلوليوار

: شناخت روشسمت منفي جمله دو كه مربع جمله سه

) است ) محور دهنده نشان مثبت جمله چپتساوي راست سمت يك وعدد

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax 23

خسروحجتي

24

خسروحجتي

25

3-4: سهميوار-

: شناخت روشدرجه جمله ويك سمت يك در مربع جمله دو

هم . جمالت همه تساوي ديگر سمت در يكمحور ) دهنده نشان يك درجه جمله عالمت

است(

by

axz 2

2

2

2

خسروحجتي

26

خسروحجتي

27

3-4 ( زين- هذلولوي سهميواراسبي(:

: شناخت روشسمت يك در العالمه مختلف مربع جمله دوتساوي ديگر سمت در يك درجه جمله ويك

) است) محور دهنده نشان يك درجه جمله

by

axz 2

2

2

2

خسروحجتي

28

خسروحجتي

29

3-4: مخروط-

: شناخت روشمربع جمله ويك سمت يك در مربع جمله دو

نشان ) تكي جمله تساوي ديگر سمت در) است محور دهنده

by

ax

cz

2

2

2

2

2

2

خسروحجتي

30

خسروحجتي

31

:مثال: كنيد شناسايي را زير رويه

حل:

8

13(

4

1)26

038

1(

4

1)26

0326

222

222

222

zx

zx

zyx

y

y

y

پارچه يك هذلوليوار

خسروحجتي

در ها رويه مسايل حل روش: كلي .1حالت مينويسيم- را دوم درجه صورت ماتريس

2 ( ضرايب- ميآوريم بدست را وي]]]ژه مقادير) جديد دوم درجه جمالت

3. ميآوريم- بدست را ويژه بردارهاي4 ( با- مينويسيم را مختصات تبديل ماتريس

.) ستونها در يكه ويژه بردارهاي دادن قراربدست- 5 را مختصات تبديل معادالت

قرار يك درجه عبارت در و ميآوريمميدهيم.

بند- 6 ساده 5و2نتيجه عبارت يك در راميكنيم.

خسروحجتي

33

را مثال: زير دوم درجه رويه: كنيد شناسايي

032860273209

0328(209()3)

0(5)4(3)40[00(5()4()3)

520

242

023

520

242

023

2043244543

223

2

2222

222

o

zyxyzxyzyxحل:

خسروحجتي

34

حل :ادامه

2

11

1

3

2

2

11

1

2

10

042

232

022

0

420

232

022

7,4,1

0(7()4()1)0(2811()1)

0283912

11

321

2

23

uv y

yz

yx

zy

zyx

yx

z

y

x

خسروحجتي

35

: حل ادامه

1

12

1

3

2

1

12

1

2

10

022

232

024

0

220

232

024

7,

2

1

2

3

1

2

1

2

2

20

02

22

02

0

120

202

021

,4

33

322

2

uv

uv

yyz

yx

zy

zyx

yx

z

y

x

y

yz

yx

zy

zx

yx

z

y

x

خسروحجتي

36

: حل تبديل ادامه ماتريسمختصات:

221

212

122

3

1

z

y

x

z

y

x

221

212

122

3

1

(22)3

1(,22)

3

1

(22)3

1

zyxzzyxy

zyxx

يك درجه عبارت در بايد كه مختصات تبديل معادالت: كرد جايگذاري

خسروحجتي

37

: حل بترتيب ادامه را حالضريب

در را مختصات تبديل معادالت و : ميدهيم قرار يك درجه عبارت

izyx ,,

205274

20(22)3

4(22)

(22)3

274

222

222

yxzyx

zyxzyx

zyxzyx

خسروحجتي

38

حل :ادامه

16

251207(

8

5)4(1)

20716

25(

8

5)41(1)

222

222

zyx

zyx

. است بيضوي

خسروحجتي

مختصات

خسروحجتي

40

: قطبي مختصات

xy A)x,y(=)r, (

()sin

cos

tan1

22

x

y

r

ry

rx yx

قراردا:د

,0r

خسروحجتي

41

: اي استوانه مختصات

x

x

y

y

z

z

r

zz

xx

y

xx

y

r

zz

ryrx

yx

0:()

0:()

sincos

tan

tan1

1

22

:قرارداد ,0r

A)x,y,z(=)r, ,z(

خسروحجتي

42

مختصات در شكلها بعضي معرفي: اي استوانه

R=0 محورz. است

cyx222 دكارتي مختصات در استوانه معادلهR=c اي استوانه مختصات در استوانه همان معادله

0

محور شامل صفحه نيم خط zمجموعه نيم و0r

Z=c محور كه صفحه يك است zمعادله عمود آن بر

خسروحجتي

43

كروي :مختصات

x

x

y

y

z

z

r

A)x,y,z(=

(,,)

cos

sinsin

cossin

z

y

x

z

xx

y

xx

yzyx

cos

tan

tan

1

1

1

222

0:

0:داد :قرار

0,,0

خسروحجتي

44

مختصات در شكلها بعضي معرفي:كرويrrzyx 2222

شعاع به اي مختصات rكره دكارتيدر كروي

0

شامل اي صفحه نيم نمودارzمحور

0 مخروط نيم نمودار

خسروحجتي

برداري توابع

46

: متغيره يك برداري تابع تعريفو • آن در كه n=3يا n=2تابع

يك متغيره را يك برداري مجموعه تابع ،A را دامنه را مجموعه تابع بردو اين

مينامند.ازاي • ، n=2به به )f)tو ميتوانيم را

كه .بنويسيم صورت روي حقيقي توابعي آن در

A . ديگر طرف از معرف )f)tهستند . بنابراين است چون اي نقطه

داريم:

47

: برداري تابع ادامهرا • فوق معادالت معادالت

را fنگاره پارامتري توابع و ،هاي متغير fمؤلفه يك tو را.پارامتر مينامند

•: ترتيب همين به

()(,)21tytx ff

f f2 1,AtttttfiRAn ffff

i :(()(,)(,))(),3,2,1:,3

321

ها (,)(,)()مؤلفه321tztytx fff

پارامتري معادالت

48

نگاره مثال: پارامتري fمعادالتشكلي. چه نگاره اين رابنويسيد

دارد؟(,,)(),:

323

ttR ttfRf حل:

tt zytx32

,, پارامتري معادالت

49

50

: حد برداري تعريف تابعبا ) ()

با نقطه ( در

است حد داراياگر

تابع • ديگر عبارت نقطه fبه دراز يك هر اكر تنها و اگر دارد حدحد نقطه اين در آن هاي مؤلفه

باشد داشته

RRAf2

:

(()(,))()21tttf ffRRAf

3:

(()(,)(,))()321ttttf ffftt

0

(,)(,,,) 2121 3llLlllL

33,22,11 ()lim()lim()lim000

ltfltfltftttttt

t0

51

در مثال: را زير تابع پيدا t=0حدكنيد:

sin,1)(1,0):حل

(1,)sin()2

0

2

lim)

tt

tttf

t

: پيوستگي آن تعريف در كه n=2تابعداشته n=3 يا اگر است پيوسته نقطه در

: باشيم F روي نقاط Aرا از يك هر در اگر نامند Aپيوسته

. آن هاي مؤلفه از يك هر كه وقتي يعني باشد پيوسته. باشد پيوسته

Rn

RAf :

Aat ()()lim aftf

at

52

داده مثال: نقطه در زير تابع آيااست؟ پيوسته ,ln,)0شده

1

1,

sin)()

ttt

tt

ttf

نيست حل: پيوسته اول مؤلفه چون. يست پيوسته تابع بنابراين

: اثر با تعريف اگرروي n=3ياn=2و پيوسته تابعي[a,b[ آنگاه در fباشد، خم يك را

. نگاره مينامند مجموعه fيا يعني

مسير را يا ) اثر خود گاه و خم. گويند( خم

nRbaf ,:ba

2R3R

baftfbaf ,(),

53

: خم اثر يافتن يابي روش نقطه بارويه دو برخورد محل كردن پيدا يا

دو هر بين پارامتر حذف از كه. ميآيد بدست تابع مؤلفه

در مثال:• زيركه خم از قسمتيدستگاهمختصات اول هشتم يك

: آوريد بدست را استحل:•

yxzy 4,4 22

54

55

شعاع تمرين:• به در aقرصيمحور xoy صفحه بدون x روي

. نقطه ميغلتد بلغزد بر qاينكهمعادالت . است واقع قرص اين

.qپارامتري كنيد پيدا راحل:•

BA

C

qED

O

1B1O

F

56

: حل -q:)x=oBادامهAB,y=oD+DE(

بوسيله شده طي :qمسافتtaqBqo 111

الزاويه قا‍ی]م مثلث :CFqدر داريم AB=CF,DE=Fq

taaytaatx

tataFq

tataCF

cos,sin

cos(2

sin)

sin(2

cos)

11

11

11

57

: مشتق برداري تعريف در fتابعاست x=t نقطه پذير مشتق

: باشد داشته وجود زير اگرحد

نقاط • در است از t=a ,t=bبديهي منظوريكطرفه حدهاي وجود فوق، حد وجود

را. فوق حد صورت اين در استنقطه fمشتق نمادهاي tدر مينامندوبا

: ميدهند نشان زير

(()())1

[,[(,32),[,[:

lim tfxftx

batxornRbaf

tx

n

()tfdt

df

58

ازاي توضيح: :n=2بهازاي :n=3به

اين • نقطه fبنابر پذير tدر مشتقهاي مؤلفه اگر وتنها اگر است

پذير مشتق نقطه اين در آنباشند

داده :مثال• نقطه رادر تابع مشتق. كنيد پيدا شده

(()(,)(,))()

(()(,))()

321

21

tftftftf

tftftf

(1,2,)(21)(2,1,2)()

21(,1,ln,)()

431

21

2

2

efxxxexf

xxxexf

x

x

59

) گيري:) مشتق قواعد قضيه

()()()()()()

()()()()()()

()()()()()(.)

()()()(())

,,[,[:,:32

,[,[:

tfttfttf

tgtftgtftgf

tgtftgtftgf

tgtftgf

RRbafgorn

Rbann

60

مثال:

حل:?(0)()?,(0)()?,(0)(.)(,12ln)()

(2,1

1,

1

2)()(,2,1,1)()

2

2

22

fgfgftt

tt

t

t

ttgttttf

(0)(.0)(0)(.0)(0)(.)

2(0)(,2,0,2)(0)(,2,0,2

1)(0)

12

2()(,2,2,

2

1)()

(2,(1)

(1)2(1)2,

(1)

4(1)2)()

0(0)(,0,1,0)(0)(,0,1,1)(0)

22

22

22

22

gfgfgf

gf

ttt

txf

t

tttt

t

ttxg

gf

61

: حل ادامه

(0,1,2)(0,1,1)2(0)(0)(0)(0)(0)()

(2

3,2,0)(2,2,2)(

2

1,0,2)

202

011

010

202

1(0())

fff

kjikji

gf

62

) اي:) زنجيره قاعده قضيه

با • را فوق در Iتوابع اي بازه Rكه . كنيد فرض بگيريد نظر در در fاست

مشتق )s=f)tدر gو tنقطه . تابع صورت اين در است پذير

نقطه gofبرداري پذير tدر مشتقداريم و است

32[,[ ornRIba ngf gof Ibaf [,[

[,[ bat

()(())()().()

tftfgtgofdt

df

ds

dg

dt

ds

ds

dg

dt

gofd

63

در مثال: را زير تابع مشتقبيابيد t=1نقطه

((ln2),ln2(,ln2)cos)() 4tttth :حل

(32,1,2sin)(1)

((ln2)4,(,ln2sin))() 3111

h

ttth ttt

64

: هموار خم تعريف

اش • دامنه روي را فوق تابعهر هموار ازاي به اگر گويند

پيوسته و داشته وجود ،و باشد

خم • اين روي fبنابر (a,b)هميشههر در اگر وتنها اگر است هموار

مؤلفه نقطه از يكي مشتق. باشد صفر غير آن هاي

32[,[: ornRbaf n

[,[ bat

[,[ bat()tf

ttf :0()

65

]مثال: بازه در زير خم -] 1و1آيا. است هموار

(1(,1ln),)() 2ttttf

هموار حل: شده داده بازه روي فوق تابعآن اول مؤلفه صفر نقطه در در زيرا نيست

نيست پذير مشتق

66

: هموار پاره خم تعريف

را • فوق هموار خم تعداد پاره در اگر نامند. نباشد هموار دامنه از نقطه متناهي

خم • ديگر عبارت اگر fبه است هموار پارهداشته وجود هاي نقطه

كه بطوري مشتق fباشند يا ها نقطه اين دركند صدق شرط در يا باشد نداشته

نقاط ] بقيه در درشرط] a,bولي . كند صدق

32[,[: ornRbaf n

[,[,....,, 21 battt n

0() tf

0() tf

67

در مثال: خم:t=0نقطه زيرا نيست، هموار

•: خم طول : تعريف كنيد فرض :

اين طول باشد، هموار خميبا را با sخم و ميدهند نشان

: مكنند تعريف زير رابطه

(,,)() 422 ttttf

0(0) f

32[,[: ornRbaf n

b

adttfs ()

68

: خم طول تعريف در fاگرتعميمباشد هموار پاره زير نقاط

طول با fو را: ميكنند تعريف زير رابطه

اين قراردادن با: ميآيد در زير بصورت فرمول

[,[,....,, 21 battt n

bttta n ...21

b

t

t

t

t

a n

dttfdttfdttfs ()...()()2

1

1

10 , ntbta

n

i

t

t

i

i

dttfs0

1

()

69

داده مثال: بازه در ذيل خم اگررا خم طول است هموار شده

. كنيد پيدا[3,1[(,,)() 23 ttttf

حل:

(1385)27

1232

494949()

0(2,3)()

23

23

3

1

3

1

2224

2

(49)181

.32

t

ttstttttf

tttf است هموار

متغیری چند توابع

حجتي خسرو

71

: اسکالر توابع :تعریف اسکالر توابع تعریف

BAF :

RB

2RA

حجتي خسرو

72

: اسکالر دومتغیره تابع مثال

zyxyxF , 2, Ryx

32010,1 F

است حقیقی توابع مانند جبری اعمال

حجتي خسرو

73

برداری توابع :تعریف

BAF :

nRAmRB

برداری حالتخاصتابع اسکالر تابع بنابراین است

حجتي خسرو

74

برداری : تابع از برداری :مثالی تابع از مثالی

tttf sin,cos: Rt

t=0 f(0) = (1,0)

‍یا zyxzyxf ,,,

حجتي خسرو

75

زیر: برداری درتابع تعریف

Xm1 f,...,f:f XX , nRAX

RA:fi i=1,2,3,…,m

اسکالر مولفه fi توابع توابع رابرداری تابع های مولفه ویا ای

f. ناميم میحجتي خسرو

76

:: مثالمثال

xyzyxyyxy,zyx zy,x, f

zyxyyxf ,,:1

zxyzxyyyxf ,,:2

xyzyyxf ,,:3

حجتي خسرو

77

بردارى تعريف : تابع در

xmfff xX ,...,: 1

وابسته متغیرهای انتخاب ,…,umبا

u1 تمعادالum= f m(x),…, u1=f 1(x) را

برداری تابع ناميم .fمعادالت مىمانند جبری اعمال

بردارهاست

nRAX

حجتي خسرو

78

متغیره تعریف : چند تابع در

نامند . می را

نامند : )2 می ز‍یررا مجموعه

Xfm,...,X1fX:f ,X ~ (x1, x2 ,…, x n ) nRA

AB },)(|{)( BXyXfRyBfm

GRFxfmxfxnxXfXZZ )}(),...,(1,,...,1())(,(~|{

اگر )1

مجموعه Bتصویرfتحت

نمودار fتابع

حجتي خسرو

79

گیر‍یم ) 3 می نظر در را ،نقطهمجموعه

را

ازاء تابع . y0به اگر كه متغیره fنامند دو اسکالرباشد

اگر و تابع ا‍ین را تراز های fمجموعه

ترازرا های مجموعه باشد متغیره اسکالرسه

نامند .

)A(fy0

})(|{ 0yXfAXE

های منحنی تراز

سطوح تراز

مجموعه fترازتابع

حجتي خسرو

80

1مثال :)t,1t2(t:f Rt

f تصوير [ 0 , 1/2 ]-تحت:فاصله

0,

21

fA

0,21,,12|, ttytxyx

0,

21

fA

1,0,

21

2|, x

xyyx

حجتي خسرو

81

RttftzyxzyxGRF ,,,,|,,

Rttttzyxzyx ,,12,,,|,,

Rttztytxzyx ,,12,|,,

از که است پارامتریخطی معادالت که

بردار ) 0و1و0نقطه ( با و گذرد uمی

است . (1-,1,2)~ موازی

حجتي خسرو

82

2مثال :

نقطه و زير متغيره سه بردارى تابعدر را

گیر‍یم می تابع نظر تراز مجموعه ،f ازاء به

(1و2نقطه )

آور‍ید . بدست را

2)2,1( R

zzyxzyxf ,494

,,: 222

حجتي خسرو

83

2,1,,|,, zyxfzyxA

)2,1(,

494|,, zzyxzyx

2,1

494|,, zzyxzyx

1

18y

8xA

2 2

222

222

بيضى در واقع

= Zصفحه حجتي 2 خسرو

84

تعریفهمسایگی :

aمركز : rشعاع :

raxRxraN |,

2

2Ra

nR

3Raقرصبه اگر 1) را همسایگی باشد

گویند .aمرکز اگر) 2 یک و را همسایگی باشد

گویند . گوی در) 3 هندسی همسایگی تعبیر

ندارد . حجتي خسرو

85

: تعريففاصله

نقطه از :aاز xفاصله است عبارت

2...2

11 nanxaxax

حجتي خسرو

86

مثال :

:N((0,0),2)قرص از است عبارت

200|,2,0,0 222

yxRyxN

4|,

222yxRyx

حجتي خسرو

87

مثال :که دهیم می نشان

یک میتوان درهرهمسایگیکرد . محاط کوچکتر همسایگی

: یعنی rxNxNrxNx ,,0:, 00

rxxr,xNx 00 : حل فرض

فرض

rxxr0 0

اثبات برای در y حال را دلخواه : گیریم می نظر xyr,xNy 0

حجتي خسرو

88

براساس نامساوىمثلث

0xxxy

00 xxxyxy

rxx 0

r,xNy 0

r,xN,xN 0

حجتي خسرو

89

باز : تعريفمجموعه

آنگاه یک راUفرضکنیم

باز هرگاه : Rnدر مجموعه نامیم می

nRU

0r:Ux Ur,xN:

حجتي خسرو

90

مثال :

یک

از باز زیرا: R2زیرمجموعه است

0xRy,xA

0rAy,x ?Ar,y,xN:

0XAy,x فرض

فرض r=x

اثبات : برای داریم

0xr,y,xNy,x 111 ?

حجتي خسرو

91

xxxx 11

xryyxx ....

2211

xx

xxxx

20 1

1

ثابتاست وحکم.

حجتي خسرو

بسته : تعریفمجموعه

هرگاه گوئیم بسته را

F (متمم(

nRFFC

باشد . در باز Rn

حجتي خسرو

در

زیرا . است بسته

0y,0xy,xV RC

0,0|, yxyxVc

حجتي خسرو

کراندار : تعریفمجموعه

اگر گویند کراندار را

یکقرصباشد . از ای زیرمجموعه

دیگر : بعبارت

است: کراندار اگر

اگر گویند کراندار را

بعبارت . باشد گوی یک از ای زیرمجموعه

دیگر :

S

S RS 2

0,0DS:0M MRS S

S :است کراندار اگر

3

0,0,0DS:0M M

حجتي خسرو

کران بی را غیراینصورت در

. گویند

مرکز قرصبه هر خارج یعنی

ای نقطه مبدأ

است واقع . از

S

S

حجتي خسرو

511|, 22 yxyx

مثا: ل

کراندار است

داخل نقاط همه مجموعه زیرا

) مرکز و شعاع به ) 1و1دایره

کافیاست . بنابراین است

همه که انتخابشود قرصی

کافی . یعنی برگیرد در را دایره

باشد . است

5

25M

حجتي خسرو

همبند : تعریفمجموعه

nRC )n=2,3 ( هر گویند همبند را

بتوان گاه

دونقطه توسطیک x ,yهر را آن از

خطشکسته

کرد . وصل بهم آن در واقع

ناحیه یک را همبند باز مجموعه

گویند .

حجتي خسرو

بدون یا تعریفهمسایگیمحذوف: مرکز

raNnRa ,, مفروض

araNraN ,,

raxnRx 0|حجتي خسرو

است . R3در مثال : باززیرا :

2,1,0,1N

2,1,0,1NX0فر

ض 2,1,0,1N,XN:00

0

X1,0,12 :اگرفرض

20

20

20

112

zyx

20 حجتي خسرو

می نظر در اثبات برایگیریم :

,xNX0

مساوی نا بنابرمثلث

1,0,1XXX1,0,1X00

21,0,1X1,0,1XXX000

2,1,0,1NX

2,1,0,1N,XN0

باز است

حجتي خسرو

گیریم تعریفحد : می نظر در nmRxRARBBAF

n تاب:,,,0

ع

یکهمسایگیمحذوف A فرضکنید شامل

است . x0نقطه

نقطه Fگوئیم است x0در حد دارای

اگر :

mRL

,LN)x(f:,xNx:000

اینصورتمی در: نویسیم

0xx

Lxflim

حجتي خسرو

یا : و

Lxfxx0

:00

0

حجتي خسرو

مثال :تابع حد دهیم می نشان 2Ry,x:xy,xF

0

برابر نقطه در. است

000

y,x~X0

x

00

xxxy,xF 22

00yyxx

000,, XXyxyx

00

XXFXX

حجتي خسرو

حد فرمول همان کلی بطور و

تابع است .nبرای صحیح متغیره

00

0

y,xy,x

yy,xFlim

0

0

XX

XFXFlim

حجتي خسرو

مثال:زیردرنقطه تابع که دهیم می نشان

ندارد حد . 0,0~X

0

0,0,:,2

22

2

Ryxyx

xyxF

: فرضخلف 0

limXX

LXF

حجتي خسرو

مانند عددی باید برای بنابراین

بطوریکه باشد داشته وجود :

0 0

00

LXFXX0

0L

yxxX0 22

2

حجتي خسرو

می نظر در را نقطه حاالچون گیریم

2,0

02

,0F,22

,0

0L داری1

منظر در را نقطه اگر حال

چون بگیریم

0,

2

0,

2,10,

2F

داری م

0L1 2

حجتي خسرو

0002

L1LL1L1

حال 2: اگر

10

11 بنابراین تناقضاست کهندارد حد . تابع

حجتي خسرو

فرد به منحصر وجود صورت در حد

. است

در حقیقی توابع حد فرمولهای کلیه

چند توابع مورد

است صادق نیز . متغیره

داشته حد مولفه هر اگر بنابراین

دارد حد تابع . باشدحجتي خسرو

: مثال

1zyx1,xy,yxz,y,x:F

22222

2,0,1X0

0xz,y,x

61,0,1z,y,xflim

حجتي خسرو

حقیقی توابع مثل اگر پیوستگی ،

پیوسته برابرباشد مقدارتابع با حد

مولفه وقتیهمه کلی بطور استو

است پیوسته تابع باشند . هاپیوسته

حجتي خسرو

پيوستگي درمورد نكاتي

گاه تعريف: دو fهر تابع يكونمو بوده نقطه fمتغيره در

: دهيم نمايش چنين را

بطوريكه:

(,) 00 yx

yxyyxfDxyxfD

yxfyxfyyxxf

21002001

000000

(,)(,)

(,)(,)(,)

xx 2211 ,

حجتي خسرو

مشتقپذيري تعريف

داشته قبل تعريف در اگر:باشيم

اينصورت در fدراست .مشتقپذير

0,0(0,0)(,) 21 yx

(,) 00 yx

حجتي خسرو

متغيره قضيه: دو تابع گاه در fهرآن در باشد مشتقپذير اي نقطه

. است پيوسته نقطهجزئي قضيه: مشتقات اگر

باز قرص بر متغيره دو تابعنقطه در و پيوسته aموجود

آنگاه نقطه fباشد آن در. است مشتقپذير

حجتي خسرو

:مثال

محاسبه تعريف از استفاده باميكنيم:

220

00020

000000

22

1

2

()()

223

(,)(,)(,)

2,3

3(,)

yxyx

yxyyyxxyx

yxfyyxxfyxf

xyDyD

xyxyxf

yx

yyxfDxyxfDyxf

21

00200100 (,)(,)(,)

1حجتي خسرو

چپ خالصه 1طرف از پس:كردن

چهار از يكي به بايد كهطرف معادل زير طريق

. 1راست يعني باشد :

20

20 ()2() yxyxyyx

yyxyxxyx

yyxxyxy

yyxyxxyy

yyxxyyy

[2[0

()[())

()(2)

()[()2[

00

002

00

02

0

حجتي خسرو

دارند وجود توابع چونمورد يك در است كافي

كه شود داده نشان

بنابراين

21,

0,0(0,0)(,) 21 yx

0,0

,()2

2(0,0)(,)

1(0,0)(,)

022

01

limlim

yxyx

yxyyy

حجتي خسرو

بوده مشتقپذير تابع نتيجه درنقطه در و

است .پيوسته

(,) 00 yx

تابع مثال: پيوستگي مورد دركنيد تحقيق :زير

نيست پيوسته نتيجه در و ندارد حد اين .بنابر

22242

6

0

2242

6

1

42

22

(1)

4

()

2

()

2

(,)

lim

m

m

yx

xy

myxyx

xyfD

yx

yxyxf

y

حجتي خسرو

پيوسته تمرين: زير تابع دهيد نشاناست

xyzezyxzyxf yx sinh(cosh)(,,) 1222 22

پيوسته

پيوستنمائي ه و هيپربوليك توابع چون

توابع تركيب و پيوستهبنابراين است پيوسته پيوسته،

است fتابع پيوسته

پيوسته

حجتي خسرو

جزئی : تعریفمشتق

یک روی اسکالر تابع اگر

نقطه همسایگی

اینصورت در باشد تعریفشده

در را زیر رابطه

جزئی مشتق وجود به Xدرنقطه Fصورت نسبت

با iمتغیر و نامند ام

دهند . می نشان یا یا

BA:F:nRA

Ax,...,xx n1

0

,...,...,,,,...,,lim 11121

nh

xxFxxxxxxF hhihii

ixXF

XFi

x

XFDi

حجتي خسرو

32: مثال yyxy,x:F

0

,,lim

hh

yxFyhxFXxF

0h

xy2h

yyxyyhxlim

3232

22 y3xy,xyf

باال مراتب مشتقاتجزئیتر

حجتي خسرو

: مثال32, yxxyyxF

32xyyXxf

223 yxxXyf

32

22yX

xf

xyxyf 61

2

xy

yxf 61

2

هر تا باشند وپیوسته موجود مشتقاتجزئی اگر

رده از تابع گویند ای مرتبه ) Cn ) nمرتبه همان

است .

پیوسته که است برقرار وقتی تساویباشد .

حجتي خسرو

: مثال

222 ,,: yyxxyxyxf

2, Ryx

xyyxyxxf 2,2,

,, 22

yxxyxyf

حجتي خسرو

تابع تمرين: جزئي مشتقاتكنيد پيدا را :زير

22

2

222

22

22

(9

2)

3sin2(

92)

3cos

3()

(1)

sin2(1)cos

(3

,1),1

sin(,)

pf

f

pf

حجتي خسرو

126

22

2

222

22

(9

2)

3sin

32(

92)

3cos()

(1)

sin2(1)cos

pf

f

حجتي خسرو

تابع تمرين: مشتقات fاگر دارايباشدو پيوسته -v=xجزئي

y,u=x+y,w=f)u,v( : كنيد ثابت

(,)

(,).,.

()(). 22

v

f

u

f

y

w

v

f

u

f

x

v

v

f

x

u

u

f

x

f

x

w

v

f

u

f

y

w

x

w

:حل

حجتي خسرو

22 (.)().v

f

u

f

y

w

x

w

حجتي خسرو

داده تمرين: تابع جزئي مشتقپيدا شده داده نقطه در را شده

كنيد

21

cos2()

cos

(21,,1),cos

px

w

yz

y

x

w

pyz

xyw

z

z

حجتي خسرو

21

23

21

1

2

21

21

21

sin2cos4()

sincos

sincos2()

sincos

pz

w

yz

Lnyxyy

z

xy

z

w

py

w

yxyyz

x

y

w

zz

z

zzz

حجتي خسرو

دار جهت : تعریفمشتقبا

بردارواحدVفرض:

,,:0AxRAf

0

lim0

00

h

xfDh

xfhvxfV

دار جهت مشتق وجود صورت fدر

نقطه جهت x0در در است .Vوحجتي خسرو

: مثال yxxyyxf 53222

,: 2,1

0x

21

,2

1V

در نقطه

بردار جهت در و واحد

22,

21

2,

22,1

0

hh

hhhvx :داری

م

حجتي خسرو

152

252

13

22

212

2

2

00

hh

hhxhvx ff

hhh

211

29

2

23

حجتي خسرو

2112

1129

2lim

2,1

23

h

hhh

fDV

حجتي خسرو

قائم : تعریفمماسونقطه صفحه Sرویه برP در

اگر برمنحنی مماساست

بر های بر Sواقع مماس Pومار

صفحه .باشد دیگر در بعبارت

رویه Pنقطه مماساست Sبر

باشد خطوطی تمام شامل اگر

نقطه در منحنىهاى P که به

بر بر Sواقع مار .مماسباشد Pو

حجتي خسرو

از که صفحه Pخطی بر و گذشته

Pدر Sمماسبر

بر عمودباشد خطعمود ،S درنقطه

P می شود . نامیده

حجتي خسرو

صفحه بر قائم امتداد فرمول

نقطه در رویه مماسبر

:

3RS

000,, zyxP

kjyxfiyxfN 002001 ,,

حجتي خسرو

رویه مماسبر صفحه در SمعادلهP: نقطه

0

,,

0

00020001

zz

yyyxfxxyxf

حجتي خسروحجتي خسرو

رویه بر قائم خط در Sمعادله P : نقطه

10

002

0

001

0

,, zz

yxfyy

yxfxx

حجتي خسرو

: مثال

0,0,12

PxCOSZ

22sin

2

xxz 0

yz

0012

zyx

12

1 zx

صفحه معادلهمماس

خط معادلهقائم

حجتي خسرو

مماس صفحه : شرطوجود

ز‍یر باز مستطیل روی تابع اگر

باشد پیوسته

روی آن جزئی داشته Rومشتقات وجود

ودرنقطه

باشد ( ،پیوسته تابع) آنگاه نمو قضیه شرا‍یط

بررو‍یه Lخطی مماس صفحه آن نمودار Zکه

است که . درنقطه دارد وجود

است . رو‍یه مماس صفحه آن نمودار

kyyhxxyxR 00 ,|,

yxfz ,

00,yx

0000,,, yxfyx

0002000100,,,, yyyxfxxyxfyxfyxL

حجتي خسرو

ای زنجیره : قاعده

tyytxxRRg ,,: 2

نقطه gاگر از همسایگی مشتقاتجزئیروی دارای

)x0,y0 ( و این در بوده

توابع و باشند پیوسته نقطه yو xنقطه t=t0در

آنگاه فرض مشتقپذیر با

مرکب تابع

داریم : و است مشتقپذیر درنقطه

0000

,, yxtytx

tytxgtG ,

0t

حجتي خسرو

000000

tt

ty,tytxgtx,tytxg

|dtdg

0

00020001

,, tyyxgtxyxg

ygxg 21

حجتي خسرو

:مثال,cos,sin, uyuxxyztLnT

uu etez ,

uy

yT

ux

xT

dudT

ut

tT

uz

zT

..

uu etezuyux 11sin1cos1 11 y

xxy

uuu

xyxy 22

221

2 cotsin

cos22

حجتي خسرو

گیریضمنی : مشتق

3

2

3

1 ,,,,,

,, 0

FF

yz

zyxFzyxF

xz

zyxF

03F

حجتي خسرو

تقریب : فرمول

xy کوچک کافی بحد و بشرط

yyxfxyxfyxf

yyxxf

00200100

00

,,,

,

حجتي خسرو

مماسبر مثال : صفحه معادله

کنید پیدا نقطه در را .

0 zxyzxy

1,2,2

43

xyzy

xz

43

xyzx

yz

000yy

yzxx

xzzz

2432

431 yxz

حجتي خسرو

تعريفگرادیان :

اسکالر تابع Fمتغیره nفرضکنیم

مجموعه روی

مشتقاتجزئی تمام دارای

اینصورت : در باشد اول مرتبه

nRA

XxfXfX

xfx

gradff

nx

,,,:

:

21

AX,حجتي خسرو

:مثال

yzyxzyxf 22,,:

yzxxyf ,2,4

2

1,4,42,1,1 f

حجتي خسرو

ای : زنجیره و( قاعده برداریاسکالر)

mnRBRA

BAfRBg

,

:,:

g,f مشتقات دارای قلمروشان رویاند . پیوسته جزئی

اینصورت درداریم :

XxfXfgX

xgof

ii

.

حجتي خسرو

: مثال xyyxyxf ,,:

22,: yxyxg

yxyxg 2,2,

xyyxyxfg 2,2,

2,1, yxxf

yxyxyxxgof 2

22,

حجتي خسرو

روش از فوق مثال حل: معمولی

xyyxgyxfgyxgof ,,,

222 yxyx

222, xyyxyx

xgof

همان کهحجتي است . خسرو

: قضیه

و دار جهت مشتق بین رابطه: گرادیان

00 . XfVXfvD

حجتي خسرو

: مثال

درنقطه روبرورا دارتابع جهت مشتق

بدست بردار جهت در و

: آورید

2,1,3~0

X

76

,73

,72

V

yzyxzyxf 22,,:

1,16,12 f

17181,16,12.

76,

73,

72

fvD

حجتي خسرو

داده تمرين: تابع سوئي مشتقتعيين وسوي نقطه در را شده

كنيد پيدا :شده

(2

1,

2

1

4)(1,1)

(

1

1,

1

)tan

2,(1,1),tan(,)

22

21

1

f

xy

xyxy

xx

yf

jiAxx

yxyxf

حجتي خسرو

(22

)5

1(11

2)

5

1

((1,2)5

1(.)

2

1,

2

1

4)

(.1,1)(1,1)

(1,2)5

1

uffD

u

u

حجتي خسرو

تابع تمرين: سوئي مشتقنقطه در را شده داده

كنيد پيدا شده تعيين :وسوي

0()

(43)5

1,(0,0)()

1,

1

43,(6,6),(,)

22

pfD

jiupf

xy

x

x

y

yf

jivpx

y

y

xyxf

u

:حل

حجتي خسرو

و تمرين: مماس صفحه معادلهرا شده داده رويه بر قائم خط

كنيد پيدا شده داده نقطه :در

12

3

9

2

4

0(3)12(2)9(0)4

(12,9,4)()

(2,2,2)

(3,2,0),8

222

222

zyx

zyx

p

yzxzxyyxz

pyzxyzx

حجتي خسرو

یک توابع تیلور بسط يادآوریمتغیره :

یک تابع مراتبمختلف مشتقات اگر

حقیقی همسایگی fمتغیره , a-h ( در

a+h ( برای آنگاه باشند موجود

وداریم :

hahax ,

حجتي خسرو

مرتبه در fام nباقیمانده : aنقطه

وجود x و aبینکه دارد

داشت : خواهیم

nn

fnax

afnax

afax

afxf

nn

!!1

...!

111

nf

n

nax

!

گو‍یند تیلور ای جمله چند را آن نشود نوشته باقیمانده اگر فوق فرمول در

حجتي خسرو

: قضیه

از Nدرهمسایگی fفرضکنیم

مشتقاتجزئی )a,b(نقطه دارای

دراینصورت . باشد پیوسته سوم مرتبه

:

RRAf 2

:

bayxnNyx ,,,,:, خطواصل

حجتي خسرو

nbayxR

bafyxf

bayf

by

baxf

ax

,,,,,

,,

1,

,

نقطه حول تابع اول تیلورمرتبه بسطاست .باباقیمانده

f)a,b(R

حجتي خسرو

bayfbyba

xfaxbaf

yxf

,,,

,:

[2

22

,

2

2,2

22]

21

y

fby

bayxf

byaxba

x

fax

2R (,,,,,) bayx

است باقیمانده با نقطه حول تابع دوم مرتبه تیلور بسط f)a,b(R.که

حجتي خسرو

: مثالتابع دوم مرتبه تیلور بسط

نقطه در کنید .(a,b(=)0,0)را محاسبه

222, yxyxyxf

02,04

yx

yfyx

xf

2,1,42

22

2

2

yf

yxf

xf

2

22 21421 2, 000 Ryxyxyxf

حجتي خسرو

دوم تمرين: مرتبه تيلور بسطشده داده نقطه در را زير تابع

كنيد پيدا

25(5,2)76

0(5,2)34

(5,2)(,)

7332(,) 22

y

fyx

y

fx

fyx

x

f

ba

yxyxyxyxf

:حل

حجتي خسرو

22

2

2

2

2

2

(5)6(5()2)2(2)42

1

(5)25(2)076(,)

765,2

1,6,4

yyxx

yxyxf

f

yx

f

y

f

x

f

حجتي خسرو

مرتبه تمرين: تيلور بسطنقطه در را زير تابع دوم

كنيد پيدا شده داده

0(1,2)32

(1,2)(,)

232(,) 22

x

fyx

x

f

ba

yxyxyxyxf

حجتي خسرو

2

2

2

2

2

2

2

(1)4(1()2)2

(2)2

2

14(,)

4(1,2)

1,4,2

0(1,2)24

yyx

xyxf

f

yx

f

y

f

x

f

y

fyx

y

f

حجتي خسرو

ماکسیمم و : تعریفمینیممnRABAf ::

نسبی 1) مینیمم نقطه یک نامیم fرا میهرگاه

: بطوریکه

اینصورت نسبی f(x0)در مینیمم .است f یک

نسبی 1) ماکزیمم نقطه نامیم fرایک میهرگاه

بطوریکه

اینصورت نسبی f(x0)در ماکزیمم یک گویند .fرا

Ax 0ArxN

,0

xfxfrxNx00

,

Ax 0ArxN

,0

00

, xfxfrxNx

حجتي خسرو

یک 3) مطلق را ماکزیمم نامند fنقطههرگاه

اینصورت مطلق f(x0 )در ماکزیمم نامند .fرا

مطلق 3) مینیمم نقطه یک نامند fراهرگاه

اینصورت مطلق f(x0 )در مینیمم نامند .fرا

Ax Ax 0

0xfxf

Ax 0Ax

xfxf0

حجتي خسرو

: مثالگیریم می نظر در را ,222: تابع yxyxf

2

22

,

,220,0

Ryx

yxfyxf

مطلق ) 0,0 ( ماکزیمم نقطهاست .

F(0,0) نسبی و مطلق ماکزیمماست .

حجتي خسرو

گیریم می نظر در را : تابع

: مثال2

1,

yxyxf

0,:, 2 yxfRyx

برابر خط نقطه هر در تابع مقدار چون

مطلق مینیمم نقاطرویخطفوق است f صفر

است .

01 yx

حجتي خسرو

: قضیه

و fاگر باشد پذ‍یر مشتق روی

نقطه ‍یک

نسبی مینیمم ‍یا آنگاه باشد .fماکز‍یمم

د‍یگر : بعبارت

rxN ,0Nx0

0,...,0

001

0,..., x

xfx

xfxf

n

000

1

...

xxfx

xf

n

nRARAf ,:

حجتي خسرو

بحرانی : تعریفنقطه

بحرانی نقطه ‍یک اگر fرا گو‍یند

کند : صدق ز‍یر شرط دو از ‍یکی در

نقطه fالف( نباشد .x0در پذ‍یر مشتق

موجود ) جزئی مشتقات از ‍یکی الاقل

نباشد .(

و x0در fب( مشتقپذ‍یر

domfx0

00

xf

0

0

0

01

xxf

xxf

n

حجتي خسرو

از ‍یکی مینیمم و ماکز‍یمم نقاط نتیجه در

ز‍یر دستگاه جواب ‍یعنی است بحرانی نقاط

مینیمم و ماکز‍یمم ‍یا بحرانی نقطه ‍یک

. است

بحرانی نقاط صورتیکه ‍یا ،در ماکز‍یمم

گو‍یند اسبی ز‍ین نقطه آنرا نباشد . مینیمم

0

0

0

01

xxf

xxf

n

حجتي خسرو

: مثال

؟ کدامند ز‍یر تابع بحرانی نقاطyxyxyxyxf 232 22,

:پاسخ

024

2,1

032

yxyf

xy

yxxf

بحرانی : ( )2و- 1نقاط

حجتي خسرو

دوم( )قضیه : مشتق آزمون

کنیم می رده ) N)x 0روی fفرض ‍یک x 0و C2 از

بحرانی ا‍ینصورت :fنقطه در باشد

nRARAf ,: ,N(x 0 )مفروض : همسایگی

Ax0

202

2

0

2

02

2

,

,

BACCB

BADxyfC

xyxfBx

xfA

حجتي خسرو

: آنگاه

اگر : اسبی x0نقطه D<0الف ز‍ین نقطه

است .

اگر: نسبی x0نقطه A>0و D>0ب مینیمم

است .

اگر: نسبی x0نقطه A<0و D>0ج ماکز‍یمم

است .

اگر: کرد .D=0د نظر اظهار توان نمیحجتي خسرو

: مثالکنید تعیین را ز‍یر تابع بحرانی نقاط . نوع

153, 23

xyyxyxf

:پاسخ

033

033

2

2

xyyf

yxxf

1100

yxyx

yy

fCyxfBx

xfA 636

2

22

2

2

حجتي خسرو

جواب : ادامه

0903

30

030:0,0

D

CBA

09362

6306:1,1

BACD

CBA

زین اسبی

مینیمم نسبی

حجتي خسرو

تحت ومینیمم ماکزیمم محاسبه: شرایطخاص

تابع مینیمم و ماکز‍یمم نقطه کردن پیدا fبرایبه نسبتدستگاه g)x,y,z(=0شرط با‍ید

به نسبت نقطه zو yو xرا وجواب نمود حل و(x,y,z)

. است

0,,

zyxg

zg

zf

yg

yf

xy

xf

حجتي خسرو

: مثالمنحنی تا را مبدا فاصله مینیمم و ماکزیمم

کنید پیدا 08565. زیر 22 yxyx

فاصله ::پاسخ نقاط( فرمول زیرادارند ) را فاصله بیشترین دایره این بر واقع

22 yxdf

08565

041062

6102

22

22

yxyx

xyxyyxy

yxx

حجتي خسرو

12

2,2

2,22,

2212 2

fx

42,2,2,222

fx

ومینیمم ماکز‍یمم نقاط

ماکزیمم

مینیمم

حجتي خسرو

كه تمرين: دهيد نشانتابع ماكزيمم

f)x,y,z(=x+y+z كره روياز است عبارت زير

:حل

3a

2222: azyxg

2222 azyx

حجتي خسرو

32

3(

2

1)3

(2

1)(

2

1)(

2

1)

2

12

12

1

21

21

21

(2,2,2),(1,1,1)

22

2222

2222

azyx

aa

a

z

y

x

azyx

z

y

x

zyxgf

حجتي خسرو

33

,3

,3

aaaa

f

حجتي خسرو

دوبل : انتگرال

حجتي خسرو

dydxyxfR

,

ناحیه در توسطمنحنی Rانتگرال کهC شده :محدود

حجتي خسرو

های مستطیل به را ناحیه محاسبه برای

عملیات ومشابه میکنیم تقسیم کوچک

حد و مساحات معمولیمجموع انتگرال

این به که نمائیم حسابمی را آنها

ناحیه اگر مستطیلیفرض fترتیب به

توسطخطوط که x=bو y=cو y=d شود

داشت :x=aو خواهیم شده محدود

حجتي خسرو

dxdyyxfdAyxfR R

,,

dydxyxfdxdyyxf b

a

d

c

d

c

b

d

,,می محاسبه اول شود

محاسبه اول میشود

بعد بعد

خاص : حالت

a b

c

ds

x

y

o

حجتي خسرو

کلی حالت منحنی Rدر با که باشد ای ناحیه و نبوده مستطیل

C. باشد شده محدود

که کنید منحنی B2و B1فرض ماکز‍یمم و مینیمم ترتیب به

و داده تشکیل مقاد‍یر A2و A1را وبیشتر‍ین Cکمتر‍ین

کنند . می تعیین را افقی محور روی

yx1

yx2

حجتي خسرو

معادله و را

منحنی معادله در . را بگیر‍ید

جای به مقاد‍یر bو aا‍ینصورت

بجای و قرار B2و B1مقاد‍یر dو cو

داشت . : خواهیم نتیجه در گیرند می

yx1

211BAB

yx2

221BAB

y1

y2

حجتي خسرو

dxdyyxfdAyxfR

B

B

y

y

,, 2

1

2

1

توان ترتیبمی بهمین و: نوشت

dydxyxfdAyxf xf

xfR

a

a

,, 2

1

2

1

حجتي خسرو

: مثال

شده محدود ناحیه روی را Rمقدار

را است معادله به ای بیضی ربع که

کنید . محاسبه

RydAI

1

12

2

2

2 by

ax

dxdyyI ybbab

22

001

dyxyyb

ba

b

0

22

0

:پاسخ

حجتي خسرو

3

32

0

23

22

220

ab

ybba

dyybyba

b

b

ریاضی مطالب به توجه با 1که

مختص ثقل yهمان مرکز

ترتیب بهمین و است بیضی ربع

مختص xکه

مرکز

است . ثقل

xdAba32

حجتي خسرو

کاربردی مورد چند

حجتي خسرو

اینرسی -1 : ممان

محور ‍یک حول ذره ‍یک ا‍ینرسی ممان

مربع در آن جرم حاصلضرب با مساو‍یست

محور از آن . فاصله

ناحیه ‍یک ا‍ینرسی ممان محاسبه برای

انتگرال از آن بر عمود محوری حول مسطح

کنیم می استفاده حجتي .دوبل خسرو

: مثالدستگاه اول ربع در که را اینرسیسطحی ممان

توسطمنحنی و گرفته قرار محدود y2 =1-xمختصات

سطح بر عمود محوری حول را )1,0 (در xyشده

نمائیم . می پیدا

دلخواه : حل نقطه هر نقطه p(x,y)فاصله ) 1,0(از

با : است برابر

221, yxryxf

حجتي خسرو

10544537

426

2

3

22

0

1

1

0

0

1

1

0

21

0

1

0

31

51

31

71.

31

31

3

31

1

2

yyyy

dyyyy

dyxyx

dxdyyxM

y

y

جواب : ادامه

حجتي خسرو

حجم -2 : محاسبه

( )z=f)x,yاگر که ) باشد رو‍یه سطح ‍یک معادله

منحنی از Cتوسط حادث حجم آنگاه آمده بوجود

ناحیه آن دو و بوسیله رو‍یه شده دو محدود

منحنی توسط رو‍یه آن انتگرال Cمقطع بوسیله

شود . می محاسبه دوبل

dAyxfVR

,

حجتي خسرو

دوبل x,y(=1(fهرگاه) تذکر : انتگرال باشد

بدست Rناحیه مساحت را

) دهد می

dAyxfVR

,

حجتي خسرو

: مثال

توسطسطح که وجهی یکچهار حجم

پیدا را شده محدود مختصات سطوح و

: کنید

1 cz

by

ax

: حل

ax

bycz 1

صفحه لذا Cمنحنی xyدر است خطداشت : خواهیم

1by

ax

حجتي خسرو

رئوس Dاگر تمرين: به مثلثيو( 0و0)

زير انتگرال باشدروي :Dرا كنيد محاسبه

(0,)(,,)

D

dAyxx (cos)

(0,)

(,)

y=x

حجتي خسرو

xvxdxdv

dxduxu

xdxxdxyxxI

dxdyyxx

x

x

2cos2

12sin

2sin([sin)

[(cos)

0

0

0

00

حجتي خسرو

22sin

4

12cos

2

1

2cos2

12cos

2

1

0

0

xxx

xdxxxI

حجتي خسرو

ناحيه تمرين: مساحتكمك به را قبل تمرين

محاسبه دوگانه انتگرال:كنيد

2

0

2

0

0

000

2

1

2

1

[[

x

xdxdxydxdy xx

(0,)

(,)

y=x

حجتي خسرو

به Dاگر تمرين: اي ذوزنقهرئوس

,)A=)1,0(,B=)1,2و=o(0و0)c=)0,1( باشد

روي را زير Dانتگرال: كنيد محاسبه

D

ydxdyxI sin(1)حجتي خسرو

1

110

21

1

2:

xyx

yBC

:حل

O

C

B

A

y=x+1

حجتي خسرو

dxxxxx

dxxxx

yx

ydydxxI

x

x

(1(1cos)(1cos))

(0cos(1)(1cos)(1))

cos(1)

sin(1)

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

حجتي خسرو

001cos01sin2

112cos2sin2sin

2(1sin)

(1sin))(1sin)

(1sin)(1cos)

,

1

0

2

x

xdxx

xxx

I

xvdxxdv

dxduxu

حجتي خسرو

ناحيه تمرين: مساحتكمك به را قبل تمرين

محاسبه دوگانه انتگرال:كنيد

2

3

2(1)

1

0

21

0

1

0

1

0

1

0

1

0

xx

dxx

dxydydxAxx

حجتي خسرو

شده تمرين: داده انتگرالناحيه روي محاسبه Dرا

كنيد:

:حل

1:(,), yxyxDdAeI yx

D

10,0

10,0

10,0

10,0

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

x+y=1

-x+y=

1

x-y=

1

-x-y=1

حجتي خسرو

dyee

dyee

dyedye

dxdyedxdyeI

yyyy

yyyy

y

y

yxy

y

yx

yxy

y

yxy

y

()

()

110

1

111

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

حجتي خسرو

1111

0

1

1121

0

12

1120

1

121

0

2

1

2

1

2

1

2

1

(2

1)(

2

1)

()()

eeeeeeee

yeeeey

dyeedyeeI

yy

yy

حجتي خسرو

ناحيه تمرين: مساحتكمك به را قبل تمرين

محاسبه دوگانه انتگرال:كنيد

20

1

1

1

1

0

1

1

dxdydxdyAy

y

y

y

حجتي خسرو

شده تمرين: داده انتگرالناحيه روي بين Dرا محصور

هذلولي و xy=1 , xy=2دودر y=x, y=4xخطوط واقع

: كنيد محاسبه اول dxdyyxIربعD

22

حجتي خسرو

:حل

y=x

y=4x

xy=1

xy=2

2y2

1x1x4

x4y

1xy:D

22y2

2x2x4

x4y

2xy:C

y2x2xxy

2xy:B

y1x1xxy

1xy:A

2

2

2

2

~~D

~~C

~~B~~A

حجتي خسرو

dyyx3

1dyyx

3

1

dyyx3

1dxdyyx

dxdyyxdxdyyxI

y2

4y

2322

2

y

4y

232

2

y2

y1

232

1

2222

2

y2

4y

222

2

y

4y

222

1

y2

y1

حجتي خسرو

22

2

6

2

2

6

2

1

522

2

52

2

2

1

522

2

552

2

2

1

y6192

1Lny

3

8y

648

47Lny

3

7

dyy192

1

y3

8dyy

48

47

dyy3

7dyy

192

1

y3

8

dyy192

1y

3

1dy

y3

1

y3

8I

حجتي خسرو

144

7552Ln5

144

12Ln

3

4

3

42Ln4

9

47

36

472Ln

3

7

26192

12Ln

3

82

6192

1

2Ln3

82

648

472

648

472Ln

3

7I

y6192

1Lny

3

8y

648

47Lny

3

7

321

9

23

63

22

2

6

2

2

6

2

1

حجتي خسرو

66221

221

2

1

0

0

0

1

0

1

00

2

32

2

2

2

abcby

byyac

dyby

byac

dybxy

axxc

dxdyax

bycV

b

b

bya

b

byab

جواب : ادامه

حجتي خسرو

كاربردي ناحيه : 1نكته اگرگيري به R انتگرال نسبت

متقارن yمحور روي fو هاx چون فرد -=)f)-x,yباشد،

f)x,y(: آنگاه

R

dxdyyxf 0(,)

حجتي خسرو

(1-2-14مثال:)

منحني Rناحيه دو بين. است محصور

02

,2:

2(,)22

xydA

xyxyR

xyyxf

R

حجتي خسرو

كاربردي ناحيه : 2نكته اگرگيري به R انتگرال نسبت

متقارن yمحور روي fو هاx چون زوج -(fباشد،

x,y(=f)x,y(: آنگاه

dxdyyxf

dxdyyxf

fRrightsideo

R

(,)2

(,)

حجتي خسرو

(1-2-36مثال:)

شعاع به دايره rمساحتناحيه است : Dروي كافي

تابع ناحيه f)x,y(=1از رويشده بيان نكته به توجه با و

: بگيريم گانه دو انتگرال

r

r

xr

dxdy ?12

22

0حجتي خسرو

22

2

2

222

2

22

00

(2cos1)

cos2

,cossin

2

21222

22

rdr

drs

rjdrdxrx

dxxr

xdxdys

r

r

xrr

r

r

r

xr

حجتي خسرو

كاربردي ناحيه : 3نكته اگرگيري به R انتگرال نسبت

متقارن xمحور روي fو هاy چون فرد -=)f)x,-yباشد،

f)x,y(: آنگاه

R

dxdyyxf 0(,)

حجتي خسرو

كاربردي ناحيه : 4نكته اگرگيري به R انتگرال نسبت

متقارن xمحور روي fو هاy چون زوج -,f)xباشد،

y(=f)x,y(: آنگاه

dxdyyxf

dxdyyxf

upsideofR

R

(,)2

(,)

حجتي خسرو

سه ( تریپل انتگرالگانه )

حجتي خسرو

گانه سه : انتگرال

گانه دو و گانه یک انتگرال مشابه

می نظر در را جزئیحجمی تقسیمات

می محاسبه را ناحیه حجم و گیریم

متغیره ( ) سه توابع برای کنیم dvzyxfR

,,

dxdydzzyxfxx

yy

zz ,,1

0

1

0

1

0

حجتي خسرو

مناسبمشابه جایگذاری با که

بشکل توان می دوگانه انتگرال

کرد تبدیل را فرمول : زیر

dxdydzzyxfzyzy

zfzf

zz ,,,

,2

1

2

1

2

1

dvzyxfR

,,

حجتي خسرو

: مثال

اینرسی را Ix ممان جامدی با جسم که

استوانه

سطوح محصور z=0و z=bو

محور حول تعیین ( ) xشده مطابقشکل

ثابت ( فرضچگالی با کنیم (می

222ayx

حجتي خسرو

: پاسخمحور از نقطه هر فاصله زیر xچون فرمول با

آید . بدستمی 222

,, zyzyxfr

dydxbby

dzdydxzy

dvzyI

xaa

bxaa

Rx

34

43

2

00

22

000

22

22

22

خواهیم بنابراین

: داشت

حجتي خسرو

dxxaxbab

dxxaybby

a

a

22222

0

2233

0

34

0334

002

cossin

xax

dadxax

بگیریم نظر در : اگر

حجتي خسرو

22

2

2

22

2

22

0

2222

2

4312

6

10234

cossin3

4

baba

aba

ba

dababa

حجتي خسرو

: تعریفژاکوبین

تابع v=v(x,y)و u=u(x,y)فرضکنید دو

بطوریکه باشند پیوسته دومتغیره

پیوسته اول مرتبه جزئی مشتقات

لذا باشند داشته

yxvu

yxvu

J

xv

yu

yv

xu

yv

yu

xv

xu

,,

,,

دترمینان و uتابعی

v به نسبتx وy

حجتي خسرو

بطور ژاکوبین متغیره سه تابع مورد در

تعریفمیشود چنین : مشابه

zyxwwzyxvv

zyxuu

,,,,

,,

فرض : کنیم

zw

zv

zu

yw

yv

yu

xw

xv

xu

zyxwvu

zyxwvu

J

,,,,

,,,,

حجتي خسرو

بیش با توابعی برای ترتیب بهمین تعریفقبل

یابد می تعمیم نیز متغیر سه . از

انتگرالهای متغیر تغییر برای ژاکوبین از

. اگر که ترتیب بدین میشود استفاده چندگانه

انتگرال در شود الزم

دادن قرار با متغیر

عبارت شود داده uبرحسبجمالت dAتغییر

کند :vو می تغییر بدینصورت

dAyxfR ,

vuxxvuyy ,, ,

dudvvuyx

JdA

,,

حجتي خسرو

به متعیر تغییر در مثال عنوان به: مختصاتقطبی

dddA

yxJ

yx

22

sincos

cossin

sincos

,,

sin,cos

حجتي خسرو

داریم کلی بطور : بنابراین

dudvvuF

dudvvuyx

Jvuyvuxf

dAyxf

R

R

R

,

,,

|,,,

,

متغیره سه توابع برای نیز مشابه بطور ومیشود . محاسبه

حجتي خسرو

متغیر تغییر

حجتي خسرو

: مثالدکارتی دستگاه در که زیر دوگانه انتگرال

سپس تبدیلو قطبی دستگاه به را است

کنیم می : محاسبهتغییر :

به متغیرقطبی

arory

rx

sin

20cos

dydxyxaI xaa22222

00

حجتي خسرو

33

2

33

20

0

22

20

62.3

|33 0

2

3|

31

22

0

aa

ad

a

dI

ara

rdrraa

حجتي خسرو

برای ( متغیر تغییر ترتیب بهمین

دستگاه ) به متغیره سه توابع

خالصه بطور ای استوانه مختصات

میشود : چنین

مختصات دستگاه به وتغییرمتغیر

با است برابر : کروی

rzrI ,,

sin,,2

I

حجتي خسرو

: مثال

اول ناحیه در که باشد جسمی اگر

توسط و باشد داشته قرار مختصات

صفحات و کره

باشد . شده مختصاتمحصور

( از استفاده با الف را

کروی مختصات

ای) استوانه مختصات از استفاده با ب

کنید . پیدا

16222

zyx

xyzdvS

حجتي خسرو

dd

ddd

xyzdvJS

cossincossin64

sin.cos.

sinsinsincos

32

0

02tan

2

0

6

2

2

0

2

0

4

0

2

الف قسمت : حل

حجتي خسرو

34

484

cossin21

.64

46

32

0

6

dv

الف قسمت : ادامه

حجتي خسرو

drz

zrdzdrdrr

xyzdv

r

r

sincos

sincos

322

0

4

0

2

0

4

0

16

0

0

216

2

1

2

( ) قسمتب مثال حل :دنباله

حجتي خسرو

قسمتب : ادامه

d

drdr

rr

r

cos

sincos

0

4

64

16

2

1

162

1

2

0

32

0

4

0

64

2

حجتي خسرو

3

4

6

44

2

146

4

یکیاست جواب طریق هر از . بنابراین

2

0sincos

6

44

64

d

قسمتب : ادامه

حجتي خسرو

: انتگرالخطی تغییر: حاصلضرب دانیم می مقدمه

جهت در وارده نیروی مولفه و مکان

این توسط شده انجام کار را مکان تغییر

گویند . نیرو

اگر دیگر و بعبارت تغییر نیرو

باشد : مکان

cos.

RFRF

تغییر Fمولفه امتداد درمکان

F

R

حجتي خسرو

که نمایشیک Cفرضکنیم منحنی

فاصله در برداری و )a,b(تابع باشد

روی در که باشد برداری نیروی Cیک

و باشد فاصله تعریفشده در

[a,b]

اینصورت . در باشد گیری انتگرال قابل

نیروی توسط شده انجام برای Fکار

امتداد در ذره یک آوردن در از Cبحرکت

r(a) تاr(b): از است عبارت

rF.Fr

dttrtrFw ba

.

حجتي خسرو

نیروی اگر

شده انجام کار مقدار باشیم داشته را

درآوردن بحرکت برای را نیرو این توسط

امتداد در ای تا A(0,0)از y=xذره

B(1,1). آورید بدست را

: مثال

jyxiyyxF

,

حجتي خسرو

: پاسخ

1

1010

10

jitR

txtx

tjtit

jtyitxtRty

tx

حجتي خسرو

32

32

.

0

21

2

3

1

0

1

0

tdttw

dttRtRFw

itjttittRF

مثال : ادامه

حجتي خسرو

خم روی : انتگرال

C خم از عبارت ttbta ,:

b

a

C

dtttttf

dsyxf22

,.,

,

رویخم در f(x,y)انتگرال : Cمسیر

حجتي خسرو

محاسبه را روبرو خم روی انتگرال

: کنید

زیر : Cکه خم از است عبارت

: مثال

C

x

dsye

2110,

321

tan

tLnxt

tty

حجتي خسرو

: پاسخ

dtt

t

t

tt

dsye

t

C

x

11

2

1

2

32

2

2

2

1

02

1

.1

tan

حجتي خسرو

1

02

1

02

11

0

1

13

1tantan2

t

dt

dtt

tttd

dtt

tt

1

02

1

1

3tan2 پاسخ : ادامه

حجتي خسرو

43

221

16

tan3

121

tan2

2

1

221

0

1

Ln

t

tLnt

پاسخ : ادامه

حجتي خسرو

مثال :

انتگرال مطلوبستمحاسبه

نقطه دو که زیر خطهای مسیر و )0,0(در

کنند :)1,1( می وصل بیکدیگر خط) را : y=xالف

3

1

0

1

3

1 321

0

xdxxxxI

C dyxyxydxI

:حل

حجتي خسرو

سهمی) y=x2 : ب

:حل

121

32

43

32

43

23

2

0

134

1

0

23

1

0

23

xx

dxxx

dxxxxxI

حجتي خسرو

سهمی) y2=x : ج

:حل

3017

31

21

52

23

.21

21

52

121

21

0

123

25

1

0

21

23

1

0

21

23

2

1

xxx

dxxx

dxxxxxI

حجتي خسرو

یا کامل دیفرانسیلواقعی

حجتي خسرو

: ‍یادآوری

باشد فرضاینکه با: داریم

xFxf

dttfxF xa

f(x)dx دیفرانسیلF(x) است

حجتي خسرو

اگر مشابه تابع x,y( Q(و P(x,y)بطور دو

برای صورتیکه در آنگاه باشند متغیره دو

)1 ( P(x,y)dx+ Q (x,y)dy

مثل که F(x,y)تابعی باشد داشته وجود

yxFx

yxP

yxFy

yxQ

,,

,,

حجتي خسرو

رابطه ( دیفرانسیل) 1دراینصورت را

کامل یا یا F(x,y)واقعی و گویند

تابع برای دیگر F(x,y)بعبارت

چنین کامل یا واقعی دیفرانسیل

:تعریفمیشود Fdyy

Fdxx

dF

خسرو حجتي

:1مثال

xdyydxyxdF

xyyxF

,

,

حجتي خسرو

:2مثال

فرض 0yبا

2

,

y

xdyydxdF

yx

yxF

حجتي خسرو

: قضیه

آنکه برای کافی و +P(x,y)dxشرطالزم

Q (x,y)dy

که است این باشد کامل دیفرانسیل یک

xQ

yp

حجتي خسرو

باشد x,y-=(x Q(و P(x,y)=y اگرآنوقت

-ydx بنابراین xdy

نیست . کاملی دیفرانسیل

:3مثال

11

xQ

yp

حجتي خسرو

کاملی دیفرانسیل روبرو عبارت آیا؟ است

:4مثال

dyyeyx

xedx

ye

xeyx

11

زیرا :حل : بله

ye

xe

yeyx

xe

x

ye

xe

ye

xeyx

y

1

1

حجتي خسرو

کنسرواتیو برداری میدانهاینگهدارنده برداری میدانهای : یا

اسکالر تابع داشته F اگر وجود بنحوی

باشیم داشته بردار برای که باشد

اینصورت یا Fدر پتانسیل را

نامند( ) . نگهدارنده

برداری میدان یک را دراینصورت

داریم و نامند : کنسرواتیو

V

VF

0 V

V

حجتي خسرو

: مثال

زیرکنسرواتیو عبارت که کنید ثابتآورید بدست را آن پتانسیل تابع و است

.

kzyx

jzyxizyxV

2

22

حجتي خسرو

0

222

zyxzyxzyx

zyx

kji

V

برداری میدان یکاست . کنسرواتیو

V

طبق: تعریف

kVjViV

kzF

jyF

ixF

F

VFF

321

: حل

حجتي خسرو

1,2

,,,,

2

2

1

2

1zyEzxyxx

dxzyxzyxF

zyxVxF

zyzyE

zyxVzyExyF

y

,

2,2 2

جواب : ادامه

حجتي خسرو

3

2

2

2

321

221

,,2,1

221

,

VzhyxzF

zhyyz

zxxyxzyxF

zhyzy

dyzyzyE

z

جواب : ادامه

حجتي خسرو

czzyzx

xyxzyxF

czzdzzh

zzhzyxV z

22

2

2

3

21

221

,,4,3

42

22,

جواب : ادامه

حجتي خسرو

چرخه ( ) کرلچرخش

حجتي خسرو

: تعریفکرل برداری تابع تعریف uاگر نقاط همه در

اینصورت : در باشد پذیر مشتق شده

321 uuu

kji

ukz

jy

ix

uucurl

zyx

حجتي خسرو

نقطه uکرل در محاسبه ) 1,1,1 (راکنید :

: مثال

22

22

2

22

yzyzzxxyz

zyx

kji

curlu

kyzjyzxixyzu

: حل

حجتي خسرو

kjiu

xzxyzxyjiyxz

541,1,1

422322

جواب : ادامه

حجتي خسرو

الپالسین :تعریفعملگر

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22

.

z

u

y

u

x

uu

zyx

تابع uدراینصورت اگر راگویند . هارمونیک

0

2

u

حجتي خسرو

: مثالنقطه uالپالسین در محاسبه )1,0,1(را

کنید .

18012601,0,1

1212612

6

2

222222

2

2

2

2

2

22

3222

u

yxzxxzy

z

u

y

u

x

uu

xzyxu

حجتي خسرو

ای رویه انتگرال

از رو‍یه سطح و مساحت محاسبه و تعر‍یف برایانتگرالهای

کنیم : می استفاده چندگانهمنحنی بوسیله که رو‍یه سطح از قسمتی

محدود بستهو رو‍یه )Z=f)x,yشده سطح Sمعادله

محور) با موازی خط هر ا‍ینکه شرط فقط zبانقطه ‍یک در

انجام قابل محاسبات کند قطع را سطحاست . شدن

S

S

حجتي خسرو

286

x

y

z s

N

Rc

's

s

R

حجتي خسرو

C سطح تصو‍یر هادی xyروی زاو‍یه و

خط

بر بر Sعمود قائم از است ‍Sیا پس و

و ومجموع مساحت روی جزئی تقسیمات

: نتیجه در و خالصه بطور حدگیری

dxdyyz

xz

dAS

R

R

1

sec22

حجتي خسرو

مختصات د‍یگر سطوح بر اگر مشابه بطور

هادی زوا‍یای به توجه با کنیم تصو‍یر نیز

بطور و شود می حاصل مشابهی فرمولهای

تابع انتگرال سطح )u)x,y,z کلی روی

z=f)x,y(: نمود تعر‍یف چنین میتوان را

dxdyyf

xf

yxfyxu

dszyxuS

R

R

1,,,

,,

22

حجتي خسرو

: مثالرا استوانه از قسمتی مساحت

سطوح بین مختصات دستگاه اول در که

Z=0 وZ=mx . کنید حساب گرفته قرار

222ayx

81

حجتي خسرو

290

حل:

روی سطح ا‍ین فقط که است بد‍یهی

تصو‍یر xy ‍یا xzصفحات قابل

سطح بر قائم چون است xyنمودن

روی لذا دارد قرار سطح xyروی

نیست . نمودن تصو‍یر قابل

روی تصو‍یر با دار‍یم :xzحال

حجتي خسرو

21

22

2

22

222

22

10sec

1sec

sec

xaa

xa

x

xay

xy

xy

dAS CAB

حجتي خسرو

جواب : ادامه

ma

dxxaamx

dzdxxaaS

a

mxa

2

22

0

22

00

21

21

حجتي خسرو

صورتیکه در را ای رو‍یه انتگرال

و بوده سهمیگون u=1رو‍یه

کنید . محاسبه چون) است ا‍ینکه است u=1توضیح

ای رو‍یه انتگرال مقدار ‍یعنی بنابرا‍ین

سطح )است .Sرو‍یه همان

: مثال

dszyxuR

,,

222 yxZ

dsSS

حجتي خسرو

: حل

dxdyyx

dxdyyx

dszyxu

R

R

S

22

22

441

221

,,

حجتي خسرو

رویصفحه را می xyتصویر: نماییم

جواب : ادامه

313

0

241

121

4

414

2020:

23

22

0

2

0

22

0

2222

dr

rdrdrS

yxyxZR

حجتي خسرو

: تعریفدیورژانسواگرائی

برداری تابع شده uاگر تعر‍یف نقاط تمام در

تابع . د‍یورژانس باشد پذ‍یر است uمشتق عبارت

از :

kujuiuzyxu

321,, : برداری تابع مفروض

zu

yu

xu

ukz

jy

ix

uudiv

321

..

حجتي خسرو

: مثالنقطه uد‍یورژانس در حساب (1,1,1)را

:کنید

95315392

53

xyzzyyzdivu

kxyzjzyixyzu

حجتي خسرو

صفحه در گرین : قضیه

درصفحه R اگر میدان توسط xy ‍یک که باشد

است ) Cمنحنی بطوری منحنی شده محدود

در آنرا مختصات محورهای موازی خط هر که

اگر ( نکند قطع نقطه دو از توابعی Qو Pبیش

پیوسته اول مرتبه جزئی مشتقات با پیوسته

ا‍ینصورت در باشندdxdy

yP

xQ

QdyPdxc

jyxQiyxPyxF ,,,

حجتي خسرو

: مثالزیر انتگرالخطی گرین قضیه از استفاده با

نمائید محاسبه . را 1:

222

22

yxc

xydydxyxIc

: حل

R

R

ydxdy

dxdyyyI

4

22

حجتي خسرو

03

4

3

4

3

1

0

2

0

1

cos34

sin34

sin4

sin4

2

0

32

0

2

0

1

0

d

dr

rdrdrجواب : ادامه

حجتي خسرو

: تبصره

حالتیکه در بسته قضیه Cمنحنی

موازی خط هر که باشد طوری

دو بیشاز در آنرا مختصات محورهای

است . صادق نیز کند قطع نقطه

حجتي خسرو

: مثال

حساب شده داده مسیر روی را زیر خطی انتگرال

گرین قضیه از استفاده سپسبا و کرده

کنید مقایسه و آورید بدست را : مقدارانتگرال

1010 ,|,

2

yxyxR

xdyydxIc

حجتي خسرو

dydyy

dxxc

dxdxx

dyyc

Ic cc c c

10

10

11

00

2

1

3 41 2

روی مسیر

روی مسیر

گرین قضیه طبقچنین توان می

: نوشت

: حل

حجتي خسرو

dydyy

dxxc

dxdxx

dyyc

10

01

10

01

4

3روی مسیر

روی مسیر

جواب : ادامه

حجتي خسرو

dyyxdx

dyyxdxI

0

1

0

1

1

0

1

0

000

000

22

22

1122

2

1

0

0

1

1

0

0

1

xy

dxdy

جواب : ادامه

حجتي خسرو

گرین قضیه از استفاده با حال

R

R

dydxdxdy

dxdyI1

0

1

01

12

حجتي خسرو

میدان Sنتیجه : یکی Rمساحت از توان می را

آورد : بدست زیر فرمولهای از

c

c R

c R

xdyydxS

dxdyydxS

dxdyxdyS

21

حجتي خسرو

: مثالبیضی سطح گر‍ین قضیه از استفاده با

آور‍ید بدست : را12

2

2

2

b

y

a

x

مسیر : حل پارامتری معادالت دانیم میاست : بدینگونه

tdtbdytbty

tdtadxtatx

jtyitxtR

cossin

sincos

حجتي خسرو

ababtt

ab

dtt

abtdtab

tdtbtaxdyS

220

2

2

12sin

2

2cos1

cos

coscos

2

0

2

2

0

2

2

0

جواب : ادامه

حجتي خسرو

: تبصره

به ز‍یر فرمول از مساحت قطبی مختصات در

شود می محاسبه قبل : روش

drSc

2

21

حجتي خسرو

گرین قضیه برداری فرم : اولین

dsTxdS

jtyitxtX

jQiPF

طول پارامتر

قوسمنحنی

منحنی بر مماس واحد Tبردار

c c c R

dAFdxdykFQdyPdxxdFdsTF (.)(.)..

طول به و میدان بر عمود است برداری dxdyAdکه

R Ad

حجتي خسرو

فيزیکی : تعبير

شار ومیزان جهت نمایانگر اگر

صفحه در نقطه در یکسیال

انتگرال از عبارت فوق انتگرال باشد

جهت در که است شار از ای مولفه

گردش بنام و است منحنی مماسبر

موسوم مرزی نقاط اطراف در

. است

F(x,y)Flow

(x,y)

CF

Rحجتي خسرو

دیورژانس قضیه( قضیه

( فضا در گرین : مقدمه

رویه یک خارجی نرمال : بردار

که برداریست

به ان جهت و بوده عمود رویه بر

باشد رویه . طرفخارجحجتي خسرو

مختصات : مبدا بمرکز کره یک اگر مثال

شعاع Rو

)X2 + Y2 + Z2 =R2 ( این ، باشیم داشته

محور نقطه Zکره در را قطع Bو Aها

این خارجی نرمال بردار آنگاه کند می

نقطه دو در ترتیب Bو Aکره K-و Kبه

محور ومنفی مثبت جهت در ها Zیعنی

یعنی بود خواهد

RARB ,0,0,,0,0 حجتي خسرو

دیورژانس : قضیهو دوگانه به گانه سه انتگرال تبدیل عمال

. بالعکساست

و Sفرضکنید رویه داخلی Vیک فضای

خارجی نرمال یکه بردار و آن

برداری تابع از Sبطوریکه عبارت

و 2A و 1Aکه

3A مشتقاتجزئی با پیوسته توابع

اینصورت در باشند پیوسته اول مرتبه

: داشت خواهیم

kAjAiAA

321

n

حجتي خسرو

s

s

v

dswAcocvAuA

dxdyAdxdzAdydzA

dVz

A

y

A

x

A

coscos 321

321

321

حجتي خسرو

dsnAdvA

یا .. و

دیورژانس

نرمال wو vو uکه بردار زوایای

رویه مثلثاتی Sخارجی مثبت جهت در

است . مختصات محورهای با

حجتي خسرو

318

مورد مثال : در را ژانس ديور قضيهكنيد تحقيق زير .مساله

kzjyixzyxF 222,,

10,10,10,, zyxzyxs

حجتي خسرو

: حل

30

12

0

1

21

0

21

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

22

12

122

222.

..

xxdxx

yyx

dydxyx

dzdydxzyxdVF

dVFdsnF

dx

V

VS

قضیه :دیورژان س

حجتي خسرو

320

x

y

z

A

B C

DE

FG

O

1

1

1

حجتي خسرو

حل : از Sرویه ادامه که است چنینداریم : بنابراین شده تشکیل ششسطح

1

0

1

0

2

222

1

1

..

1,

.

1

1 1

1 2 6

dydzdsx

idskzjyixdsnF

xinABCDs

dsnF

s

s s

s s sS

حجتي خسرو

1.

1,,

0.

0,,

33

22

2

3

2

2

ss

ss

dszdsnF

zknAGFDs

dsxdsnF

xinGOEFs

جواب : ادامه

حجتي خسرو

جواب : ادامه

55

44

1.

1,,

0.

0,,

2

5

2

4

ss

ss

dsydsnF

yjnDFECs

dszdsnF

zknBOECs

حجتي خسرو

6 6

0.

0,,2

6

S SdsydsnF

yjnAGOBS

3

حجتي خسرو

325

حالت ) گرين قضيه برداري فرم دومين خاص(

Rc c

divFdxdydsnFqdxpdy .

oy

oq

ox

opFdivF . به ( توجه با

اينكه(

حجتي خسرو

326

مثال:جزئي مشتقات با اسكالري تابع اگر

در باز ميدان در اول مرتبه پيوستهباشد در ميداني و باشد صفحهبسته منحني يك آن مرزي نقاط كه

كنيد ثابت باشد ساده

g

sxy

Rs

c

Rc

gdxdydsn

g 2

حجتي خسرو

327

:حل

عبارت امتداد در دار جهت مشتق دانيم مياز :است

gn

ngon

og.

c c R

gdxdydsngdson

og..

دار‍یم جا‍یگزاری :با

حجتي خسرو

328

: استوكس قضيهگرين : قضيه كلي حالت

كه باشد طوري رويه كه کنید فرضمختصات صفحات در آن تصاوير

شده مسدود بسته منحني يك بوسيلهاگر ، باشد

s

yxfz , )x,z(y=hو )x=g)y,zو

معادالت]رويه]]]باشند]و]توابع]]]]]]]]پيوسته]و]داراي]مشتقات]نسبي]مرتبه]اول]باشند].آنگاه]اگر

dsnAdrAkAJAiAASc

..321

sf,g,h

با]توجه]به]321]اينكه ,, AAA[پيوسته]و]داراي]مشتقات]جزئي

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]مرتبه]اول]پيوسته]و

kdzjdyidxrd

حجتي خسرو

329

مثال:قضيه]استوكس]را]در]مورد]]

.مسئله]زير]تحقيق]كنيد

jxiZA 1,10,,10: zyxs

:حل

) دهيم ) نشان را استوكس فرمول زير تساوي خواهيم :مي

oB

DE

1c

2c

3c

4c

sxy روي تصوير

x

yشده تشكيل و ، ، چهارمسير 1c2c4cاز

3c

dsnAdrAc

..

حجتي خسروحجتي خسرو

330

اول طرف

oB

DE

1c

2c4c

x

3c

y

c c c c c c c

xdyzdxdzkdyjdxixjzidrA1 2 3 4

..

010,0::1 1 dyxycz 1

0

1dx

010,1:2 dxyxc 1

0

1dy

0,01,1:3 dyxyc 0

1

1dx

0,01,0:4 dxyxc 00dy

drAc

. 1

حجتي خسرو

331

دوم طرف

kj

xzzyx

kji

A

0

چون]رويه]]موازي]صفحه]]]]]]است]پس [[[sxykn

s R

dxdydsdsndsAkkjnA 111..

حجتي خسرو