Численные методы в оптике

кафедра прикладной и компьютерной оптики

Методы численного дифференцирования

2

Односторонняя разность

Производная функции определяется выражением:

заменяем приращение на конечную величину (шаг дифференцирования):

x0

f(x0) f(x0+Δx)

x0+Δx

Δx

dx

xfdxxf

dx

dfxf

dx

)()(lim 00

00

x

xfxxfxf

)()( 00

0

3

Односторонняя разность

Численное дифференцирование:

правосторонняя разность:

левосторонняя разность:

xi

f(xi)f(xi+1)

xi-1 xi+1

f(xi-1)

f1 x1

f2 x2

… …

fi xi

… …

fn xn

x

xxfxfxf

)()( 000

x

xfxxfxf

)()( 00

0

1

1

ii

iii xx

fff

ii

iii xx

fff

1

1

4

Двусторонняя разность

Более точное значение производной:

Двусторонняя разность:

xi

f(xi)f(xi+1)

xi-1 xi+1

f(xi-1)

f1 x1

f2 x2

… …

fi xi

… …

fn xn

x

xxfxxfxf

2

)()( 000

11

11

ii

iii xx

fff

5

Производная высоких порядков

Производная n-го порядка считается первой производной от (n-1)-го порядка:

или

xfxf

dx

df

dx

d

dx

fd2

2

2

202

2002

11

2

2

2

2

222

2 h

fff

hh

ff

h

ff

h

ff

dx

df

dx

d

dx

fd

6

Частное дифференцирование функции от многих переменных

Все аргументы функции становятся константами, кроме аргумента по которому проводится дифференцирование

Требуемый порядок производной получается путем последовательного вычисления производных, вплоть до требуемого порядка

i

iii

i x

xfxxf

dx

df

,,,,

Лабораторная работа №1

Продифференцировать функцию волновой аберрации по и :

методами односторонних и двусторонних разностей на интервале

Задание оценивается в баллах: 4 балла - выполнение работы + 0.5 балла - выполнение работы в срок + 3 балла - первому кто сдаст отчет

Литература: Электронный учебник "Основы оптики", раздел "Дополнительные главы", глава

"8.1. Разложение волновой аберрации в ряд по полиномам Цернике" Иванова Т.В., Домненко В.М., Бурсов М.В. Моделирование формирования

оптического изображения. Учебное пособие.- СПб: НИУ ИТМО, 2011. с.136-139

7

),( yxW

x

yxW

),(

y

yxW

),(x y

1;1

Разложение волновой аберрации в ряд по полиномам Цернике

где nm, n+m = 2k - чётное, - радиальные полиномы Цернике, зависящие только от .

Поперечные и продольные аберрации: поперечные аберрации – частные производные первого порядка по x, y

продольные аберрации – частные производные второго порядка по x, y

8

-1

1

1

главный луч

-1 x

y

Канонические зрачковые координаты

Канонические зрачковые координаты:

x

x

x

xx A

P

A

P

y

y

y

yy A

P

A

P

где , – входные и выходные реальные зрачковые координаты, , – входные и выходные апертуры.

yx PP , yx PP , yx AA , yx AA ,

1,0 yx верхний луч:

0,1 yx сагиттальный луч:

1,0 yx нижний луч:

0 yx главный луч:

cos

sin

y

x 22yx

Полярные координаты: