あいまいな知識の表現とファジィ推論

認知システム論　知識と推論（２）　　知識を表現し，それを用いて推論する

　ファジィ論理

　ファジィ集合

　ファジィ推論

　ファジィ制御

ファジィ理論とはFuzzy theory

あいまい性についての数学的な理論　　例：「非常に背が高い」 主観の科学的利用 言語で表現された知識の利用　

提唱者：ザデー（ 1965 ，カリフォルニア大）

応用：日本で開花（ 1987 ，家電，地下鉄）

客観数値

ファジィ・エキスパートシステムファジィ制御

ファジィ論理Fuzzy logic

P Q P and Q P or Q not P

0 0 0 0 1

0 1 0 1 1

1 0 0 1 01 1 1 1 0

0.6 0.8 0.6 0.8 0.4

min(P,Q) max(P,Q) 1-P

２値論理

ファジィ論理

ファジィ集合 (1/6) ファジィ集合

Fuzzy set

背の高い人の集合

名前

身長(cm)

A 175

B 170

C 180

D 165

E 160

グレード0.8

0.6

0.9

0.4

0.3

ファジィ集合クリスプ集合

175cm 以上の人の集合

ファジィ集合 (2/6) メンバーシップ関数

membership function

170 180160150 190

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0140

身長 (cm)

グレード

1, if ( )

0, if A

x Af x

x A

メンバーシップ関数

特徴関数 (characteristic function)

( ) : [0,1]A x X

( ) : {0,1}Af x X crisp fuzzy

170 180160150 190

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0140

身長 (cm)

グレード

ファジィ集合 (3/6) 共通集合

Intersection

( ) ( ) ( )

min[ ( ), ( )]A B A B

A B

x x x

x x

0

1

( )x

x

A B

0

1

xA∩ B

共通集合(Intersection)

( )x

ファジィ集合 (4/6) 和集合

Union

( ) ( ) ( )

max[ ( ), ( )]A B A B

A B

x x x

x x

0

1

( )x

x

A B

0

1

x

A∪ B

和集合(Union)

( )x

ファジィ集合 (5/6) 補集合

complement

( ) 1 ( )AA x x

0

1

x

A

( )x

0

1

x

A

補集合(Complement)

( )x

ファジィ集合 (6/6) 成り立たない性質

0

1

( )x

x

AA

A A

0

1

x

AA

( )x A A X

ファジィ推論とファジィ制御

ファジィ推論の例題 (1/6)ファジィルール

ルール１ カーブがきつく，速度が小さいならば，速度を保持

カーブがきつく，速度が大きいならば，速度を下げるカーブがゆるく，速度が小さいならば，速度を上げるカーブがゆるく，速度が大きいならば，速度を保持

ルール２

ルール３

ルール４

IF x is A

AND y is B

THEN z is C

ルール

Question カーブ半径＝ 60m ，速度＝ 50km/h ならば，加速度＝？

ファジィ推論の例題 (2/6)メンバーシップ関数（前件部）

1

50 100 150

カーブがきつい

カーブがゆるい

カーブ半径 [m]

1

20 40 60

速度が小さい

速度が大きい

時 速 [km/ h]

ファジィ推論の例題 (3/6)メンバーシップ関数（後件部）

-1 0 1

速度を上げる

加速度 [m/ s2]

1

速度を下げる

速度を保持

ファジィ推論の例題 (4/6)ルールの評価

（ルール１ ） カーブがきつく，速度が小さいならば，速度を保持

1

60

カーブがきつい1

50

速度が小さい

MIN

-1 0 1

1速度を保持

（ルール２ ） カーブがきつく，速度が大きいならば，速度を下げる

1 カーブがきつい 1 速度が大きい

60 50

MIN

-1 0 1

1速度を下げる

ファジィ推論の例題 (5/6) ルールの評価　（続き）

1 カーブがゆるい 1速度が小さい

（ルール３ ） カーブがゆるく，速度が小さいならば，速度を上げる

60 50

MIN

-1 0 1

速度を上げる1

1カーブがゆるい

1速度が大きい

-1 0 1

1速度を保持

（ルール４ ） カーブがゆるく，速度が大きいならば，速度を保持

60カーブ半径

50時速

MIN

ファジィ推論の例題 (6/6)出力の合成と非ファジィ化

( )

( )

bAa

bAa

x xdxCOG

x dx

-1 0 1

-1 0 1

重心 (center of gravity)

離散化（重み付き

和）

( )

( )

b

Ax ab

Ax a

x xCOG

x

-1 0 1

-1 0 1

MAX

-1 0 1

1

重心

加速度 ＝ -0.4

速度をやや下げる

非ファジィ化

　すげの

菅野の方法 (1/2) 　ルールの形式

ルール１ カーブがきつく，速度が小さいならば，加速度＝ 0

カーブがきつく，速度が大きいならば，加速度＝ -2

カーブがゆるく，速度が小さいならば，加速度＝ 2

カーブがゆるく，速度が大きいならば，加速度＝ 0

ルール２

ルール３

ルール４

IF x is A

AND y is B

THEN z is f(x,y)

ルール

Question カーブ半径＝ 60m ，速度＝ 50km/h ならば，加速度＝？

あいまいでない

数値にする定数でもよい

菅野の方法 (2/2) 　推論

-1 0 1

速度を上げる

加速度 [m/ s2]

1

速度を下げる

速度を保持

加速度＝２

加速度＝－２

加速度＝０

加速度 [m/ s2]

0-2 20

1

0.3

0.75

0.1

0.1

0.75 ( 2) 0.3 0 0.1 21.13

0.75 0.3 0.1WA

単元集合

MAX

0-2 2

0.1

0.75

0.3

Crisp output

メンバーシップ関数の設計

パラメータ化し，後にチューニングする

学習

じゅうぶんな数のルールを用意する

1.0

0a b c d

ファジィ制御の応用

もし，布量が多く，かつ，布質がごわごわならば，水流を強くし，洗い時間を長くする．

洗濯機短い時間で，布傷みを少なくして洗う

もし，ゴミの量が多く，かつ，床面がカーペット状ならば，吸収力を大きくする．

掃除機吸収力は強く，ノズルが床面に吸着しないように